基于表面效應(yīng)三維納米多孔金屬力學(xué)性能的有限元分析1)

張永超 糜長穩(wěn) 茍曉凡 ,3)

* (河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院,南京 211100)

? (東南大學(xué)土木工程學(xué)院,南京 211102)

引言

近10 年來,伴隨著先進(jìn)增材制造技術(shù)的快速發(fā)展,納米多孔金屬代表著多孔金屬材料極端形態(tài),兼具傳統(tǒng)多孔結(jié)構(gòu)和納米金屬材料的雙重特性,受到廣泛地關(guān)注[1-4].納米多孔金屬不僅具有高孔隙率和高比表面積的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),在表面效應(yīng)的作用下,還具備異于傳統(tǒng)多孔金屬的力學(xué)性能[5-7].因此,針對(duì)納米多孔金屬材料,結(jié)合微結(jié)構(gòu)表面效應(yīng),探究模型參數(shù)與力學(xué)性能的影響規(guī)律,具有重要的工程實(shí)際意義.

納米多孔金屬材料力學(xué)性能的研究與納米表面理論發(fā)展密切相關(guān),最早可以追溯到Gibbs[8]的開創(chuàng)性工作.為在力學(xué)框架內(nèi)衡量表面效應(yīng),Gurtin 和Murdoch 等[9-10]將納米表面視作一層能夠承受面內(nèi)拉伸的零厚度薄膜,并建立了考慮表面拉伸剛度的表面彈性模型.此后,針對(duì)不同形式的納米多孔金屬材料,微結(jié)構(gòu)表面效應(yīng)的影響研究逐漸發(fā)展起來.按結(jié)構(gòu)的維度次序,Feng 等[11]較早地將表面效應(yīng)引入一維納米梁,結(jié)合歐拉-伯努利梁理論,提出可預(yù)測開孔納米多孔金屬材料有效楊氏模量的微觀力學(xué)模型.Dai 等[12]和He 等[13]分別討論了遠(yuǎn)場載荷作用下二維彈性平面和三維彈性介質(zhì)中納米孔洞附近的應(yīng)力集中效應(yīng).Wang 等[14]則研究了兩個(gè)具有表面張力的納米橢圓孔間的相互作用.

分子動(dòng)力學(xué)方法可通過追蹤原子相互作用來捕捉納米材料微結(jié)構(gòu)表面效應(yīng)[15-20].對(duì)特征尺寸處于幾十納米以內(nèi)的多孔金屬材料,分子動(dòng)力學(xué)方法被證明具有一定的指導(dǎo)作用,但當(dāng)結(jié)構(gòu)尺寸上升至幾百納米甚至更高時(shí),分子動(dòng)力學(xué)方法的計(jì)算成本急劇增加,計(jì)算效率也顯著降低[21-22].值得慶幸的是,在合理網(wǎng)格密度前提下,基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基本原理的有限元法,其計(jì)算效率并不明顯受到制造工藝、結(jié)構(gòu)建模和模型尺寸等因素的約束[23-26].然而,傳統(tǒng)有限元方法因尚不具備模擬納米尺度下材料和結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的公式體系,因此難以精準(zhǔn)捕捉納米材料微結(jié)構(gòu)表面效應(yīng)[27-28].

盡管如此,依然有部分學(xué)者通過為孔洞表面定制有限單元的方式,嘗試捕捉納米孔洞表面力學(xué)響應(yīng).二維納米孔洞表面可離散為一維單元,因此,Gao等[29]在傳統(tǒng)有限元程序中引入一維表面單元,并以此研究了二維納米多孔金屬材料力學(xué)性能.Wang 等[30]采用與Gao 等[29]類似的方法,討論了二維納米圓孔附近應(yīng)力集中現(xiàn)象,不同的是,他們通過用戶單元二次開發(fā),進(jìn)一步將所開發(fā)的一維納米單元植入商用有限元軟件.通過以上分析可以發(fā)現(xiàn),以往采用有限元方法對(duì)納米多孔金屬力學(xué)性能的研究,將計(jì)算模型簡化為較為簡單的二維結(jié)構(gòu),因此無法真實(shí)刻畫納米多孔金屬材料的力學(xué)特性.截至目前,通過直接定制表面單元的方式來捕捉三維納米多孔金屬表面效應(yīng)的研究還未見報(bào)道,依然缺乏針對(duì)一般三維納米多孔金屬結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型和分析方法.

據(jù)此,本文基于能量最小原理,將Gurtin-Murdoch表面模型引入單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧胶夥匠?通過為納米表面構(gòu)建有限元單元的方式,結(jié)合微觀模型非均勻性,構(gòu)建針對(duì)一般三維納米多孔金屬力學(xué)性能的有限元模型.采用所開發(fā)的計(jì)算模型,揭示孔隙率、孔洞數(shù)量和表面參數(shù)等因素對(duì)楊氏模量、壓縮屈服強(qiáng)度和吸能性等力學(xué)性能的影響規(guī)律,為納米多孔金屬的材料制備和力學(xué)性能預(yù)測提供科學(xué)依據(jù).

1 納米多孔金屬有限元模型

1.1 系統(tǒng)能量方程

考慮包含任意形狀納米孔洞的彈性體V,其中,Ω代表納米孔洞區(qū)域,Γ=?? 代表納米孔洞邊界.假設(shè)彈性體V受體力b的作用,在彈性體外邊界St上受面力t的作用,如圖1 所示,則基體材料應(yīng)變能UB、表面彈性能US、外力做功W和彈性系統(tǒng)的總能量П滿足

圖1 包含任意形狀納米孔洞的彈性體力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of elastomer containing arbitrarily shaped nanoholes

其中,u表示外力作用引起的位移張量,γB和γS分別表示基體應(yīng)變能密度和表面彈性能密度.彈性基體應(yīng)變能密度和Gurtin-Murdoch 表面模型[9]定義的表面彈性能密度分別為

其中,γ0為表面自由能密度,εB,εS和τS分別為基體應(yīng)變、表面應(yīng)變和表面殘余應(yīng)力張量,DB和DS分別為基體和表面彈性剛度張量.

對(duì)式(1)進(jìn)行變分后根據(jù)能量最小原理可得

將式(3)帶入式(2)后進(jìn)行變分,可得基體應(yīng)變能、表面彈性能和外力做功的變分式

1.2 單元平衡方程

為刻畫表面效應(yīng),對(duì)納米多孔金屬表面定制有限元單元.其中,基體單元的位移uB、應(yīng)變 εB和表面單元的位移uS和應(yīng)變 εS可分別表示為

其中,NB和NS分別為基體單元和表面單元的形函數(shù),BB和BS分別為基體單元和表面單元的應(yīng)變矩陣,分別為基體單元和表面單元節(jié)點(diǎn)位移.在孔洞表面,基體單元與表面單元的節(jié)點(diǎn)位移之間滿足

其中,T為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,可將單元節(jié)點(diǎn)位移由全局坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為局部坐標(biāo).將式(5)～式(8)代入式(4),可以得到系統(tǒng)能量方程的有限元格式

因此,離散系統(tǒng)的單元平衡方程可表示為

對(duì)于基體單元滿足:c1=1,c2=0;對(duì)于表面單元滿足:c1=0,c2=1.式(10)表示的單元平衡方程由基體單元?jiǎng)偠染仃嚒⒈砻鎲卧獎(jiǎng)偠染仃嚭蛦卧?jié)點(diǎn)力f3 個(gè)部分組成.其中,表面單元?jiǎng)偠染仃嚥糠职砻鎻椥詣偠菵S的貢獻(xiàn),而表面殘余應(yīng)力(Gurtin-Murdoch 表面本構(gòu)模型中應(yīng)變無關(guān)項(xiàng)的表面殘余應(yīng)力)則與體力和面力一同被包含進(jìn)單元節(jié)點(diǎn)力部分.因此,只要分別對(duì)基體和表面制定合適的單元,按式(11)計(jì)算出基體單元?jiǎng)偠染仃?、表面單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧?jié)點(diǎn)力f,再帶入系統(tǒng)單元平衡方程進(jìn)行迭代,即可計(jì)算出納米表面力學(xué)響應(yīng).

1.3 表面單元定制

對(duì)于基體材料,ABAQUS 內(nèi)置了豐富的體單元類型,因此不需要進(jìn)行特別定制.三維納米多孔金屬的孔洞表面經(jīng)離散后可視作二維單元,由式(11)可知,Gurtin-Murdoch 表面模型將納米表面視為一層能夠承受拉伸的零厚度薄膜,因此變形模式與二維面單元類似.經(jīng)常使用的二維面單元有3 節(jié)點(diǎn)單元和四節(jié)點(diǎn)單元.其中,4 節(jié)點(diǎn)單元計(jì)算精度較高,3 節(jié)點(diǎn)單元?jiǎng)t對(duì)復(fù)雜邊界具有較強(qiáng)的適應(yīng)能力,同時(shí)也更有利于有限元計(jì)算的快速收斂,可以達(dá)到節(jié)約計(jì)算成本的目的,因此,本文以3 節(jié)點(diǎn)三角形面單元為基礎(chǔ),來對(duì)Gurtin-Murdoch 型納米表面進(jìn)行離散,基體材料則采用四面體單元進(jìn)行離散.如圖2(a)所示,3 節(jié)點(diǎn)三角形面單元的i,j和k節(jié)點(diǎn)分別與4 節(jié)點(diǎn)四面體單元的I,J和K節(jié)點(diǎn)互為共有節(jié)點(diǎn).

圖2 表面單元和基體單元Fig.2 Surface element and bulk element

3 節(jié)點(diǎn)三角形面單元是二維單元,在利用FORTRAN語言對(duì)ABAQUS 進(jìn)行二次開發(fā)時(shí),可直接獲取有限元系統(tǒng)全局坐標(biāo)系下表面單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),但無法直接獲取局部坐標(biāo)系下表面單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),因此可分三步對(duì)表面單元進(jìn)行定制:

(1) 將全局坐標(biāo)系下表面單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到局部坐標(biāo)系中;

(2) 在局部坐標(biāo)系下推導(dǎo)表面單元應(yīng)變矩陣和單元?jiǎng)偠染仃?

(3) 將局部坐標(biāo)下應(yīng)變矩陣和單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系中,建立表面參數(shù)和單元參數(shù)關(guān)聯(lián)機(jī)制,實(shí)現(xiàn)表面單元與三維基體單元的數(shù)據(jù)交換.

將全局坐標(biāo)系下的單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入式(12),可以得到投影ars,隨后根據(jù)式(13)(坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程)可得3 節(jié)點(diǎn)三角形面單元在局部坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值.

其中,a1,a2和a3分別為局部坐標(biāo)系原點(diǎn)O′在全局坐標(biāo)系下的坐標(biāo).

在局部坐標(biāo)系和全局坐標(biāo)系下,3 節(jié)點(diǎn)三角形面單元的單元節(jié)點(diǎn)位移可分別表示為

二者之間滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系

其中,坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣滿足

需要指出的是,在孔洞表面處,全局坐標(biāo)系下表面單元節(jié)點(diǎn)位移和基體單元節(jié)點(diǎn)位移滿足:對(duì)3 節(jié)點(diǎn)三角形面單元的應(yīng)變矩陣在空間中進(jìn)行擴(kuò)充可得

其中,單元面積Atri為

常數(shù)bi和ci為

式中的 (i,j,m) 表示下標(biāo)輪換操作,即i→j,j→m,m→i.因此,通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可獲得全局坐標(biāo)系下應(yīng)變矩陣

將式(16)～式(19)代入式(20)可得

其中,D和ttri分別代表3 節(jié)點(diǎn)三角形面單元的彈性剛度矩陣和單元厚度.

在使用FORTRAN 對(duì)ABAQUS 用戶子程序進(jìn)行二次開發(fā)時(shí),單元應(yīng)變矩陣和單元?jiǎng)偠染仃囀菂⑴c計(jì)算迭代和數(shù)據(jù)更新中最為重要的兩個(gè)指標(biāo),可分別通過式(21)和式(22)計(jì)算得到.為準(zhǔn)確構(gòu)建納米表面單元,還必須建立表面參數(shù)與3 節(jié)點(diǎn)三角形面單元材料參數(shù)之間的關(guān)聯(lián).

3 節(jié)點(diǎn)三角形面單元的物理方程可表示為

在平面應(yīng)力問題中,彈性剛度矩陣可表示為

其中,Etri和vtri分別為單元的彈性模量和泊松比.

根據(jù)Gurtin-Murdoch 表面模型定義,納米表面物理方程可表示為

其中,σS和 εS為表面應(yīng)力張量和表面應(yīng)變張量,IS為表面單位張量.將式(23)與式(25)進(jìn)行對(duì)比,不難得出以下關(guān)系

利用式(21)、式(22)和式(26)構(gòu)造表面單元?jiǎng)偠染仃?隨后連同表面殘余應(yīng)力,代入單元平衡方程即可完成對(duì)Gurtin-Murdoch 型納米表面單元的構(gòu)建.

1.4 有限元模型和材料參數(shù)

為納米多孔金屬選取合適的微觀結(jié)構(gòu)是多尺度力學(xué)框架的關(guān)鍵一環(huán),分別選取含1/8 球孔、單球孔和隨機(jī)多球孔的3 種模型進(jìn)行研究,其中,1/8 球孔模型用來驗(yàn)證所開發(fā)有限元程序的有效性,單球孔模型用來分析表面效應(yīng)對(duì)材料吸能性的影響,以及模型參數(shù)對(duì)材料楊氏模量和壓縮屈服強(qiáng)度的影響,多球孔模型則包含一組具有相同孔徑并隨機(jī)分布的圓形孔洞,用來探究三維多孔金屬材料的單軸壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線、楊氏模量和壓縮屈服強(qiáng)度.需要注意的是,本文所定義壓縮屈服強(qiáng)度為壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線屈服平臺(tái)應(yīng)力波動(dòng)段中應(yīng)力最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力.圖3 展示了上述3 種有限元模型的示意圖.

圖3 有限元模型Fig.3 Finite element model

為與參考文獻(xiàn)[13]無限大空間中孔洞附近應(yīng)力場作對(duì)比,將1/8 球孔模型的孔洞半徑R0設(shè)為10 nm,邊長設(shè)為20 倍孔徑,以消除模型邊界影響.如圖3(a)所示,分別約束面N0N2N4N3沿x方向的位移、面N0N1N5N3沿y方向的位移和面N0N1N6N2沿z方向的位移.采用與參考文獻(xiàn)[13]相同的材料參數(shù),即基體材料為線彈性鐵材,楊氏模量E和泊松比v分別取為177.33 GPa 和0.27,表面殘余應(yīng)力τ0為1.70 N/m,表面拉梅常數(shù)λ0和μ0分別取為-8.00 N/m 和2.50 N/m.

對(duì)單球孔和隨機(jī)多球孔模型則采用周期性邊界條件,按下式分別對(duì)立方體代表性體元邊界面、棱和頂點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行約束[31]

2 結(jié)果與討論

2.1 有限元程序校驗(yàn)

為驗(yàn)證所開發(fā)有限元程序的有效性,選取1/8球孔模型進(jìn)行有限元仿真,沿z軸施加100 MPa 的單軸拉伸應(yīng)力,如圖4(a)所示.邊界條件和材料參數(shù)按1.4 節(jié)設(shè)置,表面和基體單元分別按1.3 小節(jié)設(shè)置,單元總數(shù)約5 萬個(gè).

圖4 1/8 球孔模型附近應(yīng)力分布Fig.4 Stress distribution near 1/8 spherical hole model

圖4(b)～圖4(d)所示為分別考慮經(jīng)典和Gurtin-Murdoch 表面模型的球孔附近(φ=0 和 φ=π) 徑向、緯向和經(jīng)向應(yīng)力分布曲線,其中散點(diǎn)代表利用本文所開發(fā)計(jì)算模型得到的數(shù)值解,曲線代表He 等[13]所發(fā)展的解析解.通過比較可以發(fā)現(xiàn),圖中散點(diǎn)能夠較為精準(zhǔn)地落在對(duì)應(yīng)的曲線上,這表明所開發(fā)的計(jì)算模型能夠有效地捕捉球孔附近應(yīng)力響應(yīng).此外,考慮表面效應(yīng)的模型在孔洞表面出現(xiàn)了不同程度的應(yīng)力集中,隨著觀測位置遠(yuǎn)離孔洞,考慮表面效應(yīng)的應(yīng)力分布曲線逐漸與經(jīng)典工況重合,這說明表面效應(yīng)對(duì)彈性體應(yīng)力場的影響只在數(shù)倍于孔徑的范圍內(nèi)較為明顯.

圖5 為球孔附近von Mises 應(yīng)力云圖.在經(jīng)典工況下,應(yīng)力集中出現(xiàn)在xy平面與孔洞表面的交匯處,而xz平面、yz平面和孔洞表面的交匯處出現(xiàn)了應(yīng)力凹陷.相對(duì)于經(jīng)典工況,考慮表面效應(yīng)的孔洞表面整體應(yīng)力水平有所提升,但應(yīng)力集中發(fā)生在xz平面、yz平面和孔洞表面的交匯處(經(jīng)典工況的應(yīng)力凹陷處).由此可見,表面效應(yīng)不僅加劇納米多孔金屬表面應(yīng)力集中,還改變應(yīng)力集中出現(xiàn)的位置.

2.2 單球孔模型分析

納米多孔金屬材料是一種優(yōu)良的吸能材料,在壓縮載荷作用下,經(jīng)過較小的彈性變形階段之后,會(huì)進(jìn)入一個(gè)較長的應(yīng)力平臺(tái)階段,在這個(gè)階段,應(yīng)力水平相差不大,但應(yīng)變卻快速增加,因此材料能在較為穩(wěn)定的應(yīng)力水平下吸收大量的能量,此后隨應(yīng)變進(jìn)一步增加,應(yīng)力迅速上升,材料進(jìn)入密實(shí)化階段.為衡量納米多孔金屬材料的吸能性,分別采用應(yīng)變能密度vε和能量吸收率pe作為吸能指標(biāo)

其中,εm代表任意應(yīng)變,σm為對(duì)應(yīng)的應(yīng)力.由定義可知,應(yīng)變能密度即單位體積材料所儲(chǔ)存的應(yīng)變能,反映納米多孔金屬的能量吸收能力,而能量吸收率為材料所吸收能量與對(duì)應(yīng)應(yīng)力之間的比值,當(dāng)能量吸收率達(dá)到最大值時(shí),表明在該應(yīng)力水平下,材料的吸能效率最高.

首先對(duì)結(jié)構(gòu)形式較為簡單的單球孔模型力學(xué)性能進(jìn)行研究,選取模型為10 nm×10 nm×10 nm 的立方體,孔隙率 ρ 分別設(shè)置為10%,20%,30% 和40%.沿z軸負(fù)方向施加最大7 nm 的位移載荷,按1.4 節(jié)設(shè)置周期性邊界條件和對(duì)應(yīng)的材料參數(shù),表面和基體單元分別按1.3 小節(jié)設(shè)置,為保證計(jì)算精度,每個(gè)模型中單元數(shù)量不低于150 萬個(gè).對(duì)孔洞表面進(jìn)行自接觸設(shè)置,表面法向接觸為硬接觸,切向接觸的摩擦系數(shù)為0.1.

圖6(a)為單軸壓縮下不同模型和孔隙率的納米單球孔模型應(yīng)變能密度隨應(yīng)變的改變.可以發(fā)現(xiàn),曲線分為線性和非線性兩區(qū)域,其中,當(dāng)應(yīng)變較低(小于0.4)時(shí),由于對(duì)應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線處于應(yīng)力平臺(tái)階段,應(yīng)力水平較為平穩(wěn),因此應(yīng)變能密度隨應(yīng)變呈線性增長.當(dāng)應(yīng)變較高(大于0.4)時(shí),由于模型進(jìn)一步被壓實(shí),進(jìn)入密實(shí)化階段,壓縮應(yīng)力迅速增加,致使材料吸收更多的應(yīng)變能,因此應(yīng)變能密度隨應(yīng)變呈非線性增長.

圖6 單軸壓縮下不同表面模型和孔隙率的納米單球孔模型應(yīng)變能密度,能量吸收率隨應(yīng)變的改變以及孔隙率對(duì)表面效應(yīng)的影響Fig.6 Variation of strain energy density energy absorption rate with seain,and effect of porosity on surface effects for nano single sphere hole model with different surface models and porosities under uniaxial compression

圖6(b)為單軸壓縮下不同模型和孔隙率的納米單球孔模型能量吸收率隨應(yīng)變的改變.能量吸收率曲線可分為上升和下降兩個(gè)區(qū)域,當(dāng)應(yīng)變量達(dá)到0.4 左右時(shí),材料的能量吸收率達(dá)到最大,說明在應(yīng)力平臺(tái)即將結(jié)束時(shí),材料的吸能效率最高.在密實(shí)化階段,雖然材料吸能性得到進(jìn)一步提升,但吸能效率卻呈現(xiàn)出下降趨勢,這同樣也是由于壓縮應(yīng)力進(jìn)一步增加導(dǎo)致的.

圖6(c)展示了不同孔隙率下表面效應(yīng)對(duì)模型應(yīng)變能密度和能量吸收率的提升比例.相對(duì)于經(jīng)典工況,表面效應(yīng)降低了模型應(yīng)變能密度,但提高了模型能量吸收率,產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因是考慮表面效應(yīng)模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線中應(yīng)力水平低于經(jīng)典工況[33],因此吸收的總能量也低于經(jīng)典工況,也正是因?yàn)檩^高的應(yīng)力水平,導(dǎo)致模型吸能效率的降低(見式(28)).此外,隨著孔隙率的增加,表面效應(yīng)對(duì)應(yīng)變能密度和能量吸收率的影響都逐漸增強(qiáng),這是由于高孔隙率時(shí)模型比表面積較大,導(dǎo)致表面效應(yīng)更加明顯.

圖7(a)為單軸壓縮下納米單球孔模型的楊氏模量和壓縮屈服強(qiáng)度隨孔隙率的變化.考慮表面效應(yīng)的楊氏模量小于經(jīng)典工況,而壓縮屈服強(qiáng)度卻與經(jīng)典工況接近.在高孔隙率下表面效應(yīng)對(duì)楊氏模量的降低效果更加明顯,例如,當(dāng)孔隙率為10%時(shí),考慮表面效應(yīng)的楊氏模量相對(duì)于經(jīng)典工況降低了0.7%,而當(dāng)孔隙率為40%時(shí)則降低了2.9%,這一規(guī)律與圖6 中應(yīng)變能密度隨孔隙率變化類似,同樣也是因?yàn)楦呖紫堵誓Ｐ偷谋缺砻娣e更大導(dǎo)致的.

圖7 納米單孔模型楊氏模量或壓縮屈服強(qiáng)度隨孔隙率變化Fig.7 Variation of Young's modulus or compressive yield strength with porosity for nano single sphere hole model

如圖7 中圖例所示,為研究表面參數(shù)對(duì)納米單孔模型力學(xué)性能的影響規(guī)律,以2.2 節(jié)中納米鋁表面參數(shù)為基準(zhǔn),選取不同量級(jí)的數(shù)值進(jìn)行研究.采用控制變量法,在研究表面殘余應(yīng)力的影響時(shí),令表面拉梅常數(shù)為零,在研究表面拉梅常數(shù)的影響時(shí),令表面殘余應(yīng)力保持0.91 N/m 不變.

由圖7(a)可知,表面效應(yīng)對(duì)納米單孔模型壓縮屈服強(qiáng)度的影響較小,因此圖7(b)～圖7(d)僅展示采用不同表面殘余應(yīng)力和表面拉梅常數(shù)條件下納米單孔模型楊氏模量隨孔隙率的改變.可以發(fā)現(xiàn),表面拉梅常數(shù)對(duì)楊氏模量的影響較小,相比之下孔洞表面殘余應(yīng)力對(duì)楊氏模量的影響較為顯著.此外,從圖7(b)可以發(fā)現(xiàn),表面殘余應(yīng)力對(duì)楊氏模量的影響強(qiáng)烈依賴于外載荷方向,當(dāng)加載方向?yàn)槔鞎r(shí),表面殘余應(yīng)力對(duì)材料楊氏模量有增強(qiáng)效果,而當(dāng)加載方向?yàn)閴嚎s時(shí),表面殘余應(yīng)力則降低了材料楊氏模量.由于正向的表面殘余應(yīng)力有促使孔洞收縮的效果[13,34],因此在壓縮載荷作用下,孔洞收縮促進(jìn)了材料的壓縮變形,這導(dǎo)致材料楊氏模量的減小.在拉伸載荷作用下,孔洞收縮抵抗了材料拉伸變形,這導(dǎo)致材料楊氏模量的增加.值得注意的是,宏觀材料的楊氏模量屬于材料固有屬性,一旦確定結(jié)構(gòu)形式和材料類型,其楊氏模量不受加載條件等外界因素影響,而通過以上分析可知,納米結(jié)構(gòu)的楊氏模量不僅與表面參數(shù)相關(guān),還與加載方向密切相關(guān),不同的加載方向甚至可以改變表面效應(yīng)對(duì)楊氏模量影響趨勢.

2.3 隨機(jī)多球孔模型分析

為考慮模型非均勻性的影響,選取具有相同孔徑的隨機(jī)多球孔模型進(jìn)行研究,模型仍取10 nm×10 nm×10 nm 的立方體,孔隙率 ρ 分別為10%,20%和30%,孔洞數(shù)量分別為5,10,15 和20 個(gè),如圖8(a)所示.沿z軸負(fù)方向施加最大值為6 nm 的單軸壓縮位移載荷,邊界條件、單元類型、單元數(shù)量和接觸設(shè)置與2.2 節(jié)相同.

圖8 單軸壓縮下不同孔隙率和孔洞數(shù)的隨機(jī)多球孔模型及應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.8 Under uniaxial compression,random multispherical hole models with different porosity and number of holes,and stress-strain curves for models

圖8(b)～圖8(d)展示了單軸壓縮下不同孔隙率的納米隨機(jī)多球孔模型單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線.可以發(fā)現(xiàn),單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線出現(xiàn)了與傳統(tǒng)多孔材料類似的彈性、應(yīng)力平臺(tái)和密實(shí)化3 個(gè)階段.當(dāng)孔隙率為10%時(shí),考慮表面效應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線和經(jīng)典工況幾乎重合.當(dāng)孔隙率為20%和30%時(shí),考慮表面效應(yīng)的曲線應(yīng)力水平明顯低于經(jīng)典工況,并且從放大圖中可以觀察到其與孔洞數(shù)量成負(fù)相關(guān),而在經(jīng)典工況下卻無法觀察到類似的規(guī)律.這說明相同孔隙率下,納米多孔金屬材料具有尺寸效應(yīng),減小孔洞尺寸會(huì)增強(qiáng)材料的表面效應(yīng),而宏觀材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線是獨(dú)立于孔洞尺寸的.

圖9 為單軸壓縮下隨機(jī)多球孔模型楊氏模量和壓縮屈服強(qiáng)度隨孔隙率和孔洞數(shù)量的變化.可以觀察到,表面效應(yīng)不同程度上降低了材料的楊氏模量和壓縮屈服強(qiáng)度,這與圖8 中表面效應(yīng)對(duì)曲線應(yīng)力水平的影響規(guī)律類似.此外,在相同的孔隙率下,經(jīng)典工況的模型楊氏模量和壓縮屈服強(qiáng)度并不隨孔洞數(shù)量改變,而考慮表面效應(yīng)的模型楊氏模量和壓縮屈服強(qiáng)度隨孔洞數(shù)量的增加逐漸下降,這一現(xiàn)象與圖7(a)保持一致,需要指出的是,圖7(a)中表面效應(yīng)對(duì)模型楊氏模量的影響并不像圖9 那樣明顯,這是由于相同孔隙率下多孔模型具有更高的比表面積,因此表面效應(yīng)更為顯著.

圖9 單軸壓縮下隨機(jī)多球孔模型的楊氏模量和壓縮屈服強(qiáng)度隨孔隙率和孔洞數(shù)量的變化Fig.9 Young's modulus and compressive yield strength of the random multi-sphere holes model in uniaxial compression vary with porosity and number of holes

由于缺乏可對(duì)比的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),本文僅采用1/8球孔模型、單球孔模型和隨機(jī)多球孔模型來對(duì)納米多孔金屬材料力學(xué)性能進(jìn)行研究,所開發(fā)的有限元模型基于納米表面理論和有限元原理,因此該方法并不受微觀建模限制,仍可適用于一般納米多孔金屬結(jié)構(gòu).可以預(yù)見,對(duì)于具有復(fù)雜微觀結(jié)構(gòu)的納米多孔金屬材料,可借助專業(yè)建模程序(如SOLIDWORKS)和網(wǎng)格劃分程序(如HYPERMESH)進(jìn)行建模和離散,在此基礎(chǔ)上結(jié)合本文所構(gòu)建的有限元表面單元即可完成對(duì)復(fù)雜納米結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的預(yù)測.

3 結(jié)論

本文基于能量最小原理,將Gurtin-Murdoch 表面模型引入有限元方程,通過為納米表面構(gòu)建有限元單元的方式,發(fā)展了可捕捉三維納米多孔金屬材料表面效應(yīng)的有限元計(jì)算模型,在此基礎(chǔ)上揭示孔隙率、孔洞數(shù)量和表面參數(shù)等因素對(duì)楊氏模量、壓縮屈服強(qiáng)度和吸能性等力學(xué)性能的影響規(guī)律,得到以下主要結(jié)論.

(1) 通過與參考文獻(xiàn)應(yīng)力分布對(duì)比分析,驗(yàn)證了所開發(fā)有限元計(jì)算模型的準(zhǔn)確性.表面效應(yīng)不僅加劇納米多孔金屬表面應(yīng)力集中,還改變應(yīng)力集中出現(xiàn)的位置.

(2) 盡管考慮表面效應(yīng)的納米多孔金屬材料應(yīng)變能密度低于經(jīng)典工況,但能量吸收率卻高于經(jīng)典工況.表面拉梅常數(shù)對(duì)楊氏模量的影響較小,而孔洞表面殘余應(yīng)力對(duì)楊氏模量的影響較為顯著.與宏觀結(jié)構(gòu)不同,納米結(jié)構(gòu)楊氏模量不僅依賴于表面參數(shù),還與加載方向密切相關(guān).

(3) 相同孔隙率下,納米多孔金屬材料具有尺寸效應(yīng),減小孔洞尺寸會(huì)增強(qiáng)材料的表面效應(yīng),而宏觀材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線是獨(dú)立于孔洞尺寸的.