人環(huán)境家禽之間禽流感傳播模型的穩(wěn)定性分析

田苗苗, 劉俊利

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710048)

禽流感是由甲型流感病毒引起的一種以禽類為主要侵害對(duì)象的人畜共患傳染病。2013年3月,中國(guó)東部首次發(fā)現(xiàn)H7N9亞型禽流感病毒,至2020年8月,禽流感已經(jīng)出現(xiàn)了5次爆發(fā),感染人數(shù)突破千人,致死率達(dá)35%以上,嚴(yán)重危害著人類的身體健康[1]。 相關(guān)報(bào)道顯示,2013年4—6月我國(guó)發(fā)生的H7N9禽流感疫情對(duì)家禽行業(yè)造成超過(guò)600億元的巨大經(jīng)濟(jì)損失,平均每天損失約10億元[2],嚴(yán)重影響了經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。 因此研究禽流感的傳播極其重要。

許多學(xué)者建立了不同的數(shù)學(xué)模型來(lái)研究禽流感的傳播。 為評(píng)估新型H7N9禽流感病毒的傳播能力,文獻(xiàn)[3]建立了人-家禽流感模型,模擬結(jié)果表明,為了防止禽流感在家禽中爆發(fā)而引起人群中疾病的爆發(fā),需要對(duì)家禽進(jìn)行仔細(xì)檢測(cè)和實(shí)施持續(xù)干預(yù)策略。 文獻(xiàn)[4]提出了一個(gè)數(shù)學(xué)模型,解釋了禽流感從鳥(niǎo)到人的傳播,分析表明,為了控制禽流感的傳播,不僅要對(duì)感染禽流感的鳥(niǎo)采取滅絕措施,還必須對(duì)感染突變型禽流感的人采取隔離措施。 文獻(xiàn)[5]考慮了媒體宣傳對(duì)禽流感傳播的影響,模型中使用了飽和治療函數(shù),研究結(jié)果表明,撲殺禽類、及時(shí)治療病患和加入媒體報(bào)道,可以有效減少人類感染禽流感的概率。 文獻(xiàn)[6-8]研究了政府干預(yù)對(duì)疫情的影響,結(jié)果表明,政府及時(shí)實(shí)施干預(yù)策略可以有效控制H7N9禽流感的爆發(fā)和傳播。 文獻(xiàn)[9]建立了一類人-禽H7N9禽流感模型,假設(shè)家禽之間,家禽和人之間具有不同的傳染率,數(shù)值模擬結(jié)果表明,加強(qiáng)飼養(yǎng)場(chǎng)及禽類交易市場(chǎng)的衛(wèi)生消毒力度以及增強(qiáng)人們的預(yù)防意識(shí)可以有效降低疾病的傳播。 文獻(xiàn)[10]考慮了禽流感病毒在人群中的潛伏期和對(duì)人接種,研究發(fā)現(xiàn),接種疫苗之后,潛伏期的感染者和染病者的數(shù)量顯著減少。 文獻(xiàn)[11]提出了一個(gè)SI-V-SEIR禽流感傳染病模型,考慮了禽流感在人、家禽和環(huán)境3者之間的傳播,研究結(jié)果表明,降低環(huán)境中的病毒數(shù)量,降低禽類之間以及禽到人的接觸率能夠有效地減少染病人數(shù)。 文獻(xiàn)[12]同樣研究了一個(gè)SI-V-SEIR禽流感傳染病模型,模型中加入了各種干預(yù)措施(包括撲殺、接種疫苗、篩查、消毒和降低接觸率等),結(jié)果表明,綜合使用這些干預(yù)措施,并將這些措施與實(shí)際情況相結(jié)合,是控制H7N9禽流感疫情的必要條件。

隨著流感病毒的進(jìn)化,一些通常在動(dòng)物中傳播的流感病毒有時(shí)會(huì)感染人類,人類感染的主要風(fēng)險(xiǎn)因素是直接或間接接觸受感染的活的或死的動(dòng)物以及受污染的環(huán)境[13]。 本文在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上重新建立了一個(gè)SI-V-SIR模型,研究禽流感在家禽、人和環(huán)境3者之間傳播的動(dòng)力學(xué)行為。

1 模型的建立

家禽總數(shù)、人口總數(shù)和周圍環(huán)境中的病毒載量分別用Np,Nh和V表示。 家禽分為2類:易感禽類Sp和染病禽類Ip;人口分為3類:易感者Sh,染病者Ih和恢復(fù)者Rh。 假設(shè)家禽的輸入率為A,家禽的屠宰率為dp,人口輸入率為B,人的自然死亡率為dh,家禽和人的因病死亡率分別為μp和μh,家禽之間的傳染率為λp,染病的家禽對(duì)人的傳染率為λh,環(huán)境中的病毒對(duì)家禽和人的傳染率分別為βp和βh,染病家禽釋放病毒的速率為r,設(shè)病毒的清除率為dv,染病者的恢復(fù)率為δ。 本文對(duì)家禽實(shí)施撲殺干預(yù)措施,撲殺可直接以αp的速度減少易感家禽和感染家禽的數(shù)量。 依據(jù)以上假設(shè),建立如下模型:

(1)

系統(tǒng)(1)的初始條件為

Sp(0)≥0,Ip(0)≥0,V(0)≥0,Sh(0)≥0,Ih(0)≥0,Rh(0)≥0。

(2)

假設(shè)μp≥0,模型(1)中其他參數(shù)都是正常數(shù)。

下面研究系統(tǒng)(1)在條件(2)下解的非負(fù)性和有界性,記

由定理1可知Ω為系統(tǒng)(1)的正向不變集。

定理1 系統(tǒng)(1)在條件(2)下的解(Sp,Ip,V,Sh,Ih,Rh)始終是非負(fù)有界的。

證明 首先證明解的非負(fù)性。 將系統(tǒng)(1)表示成向量形式,令

式中,F:R6→R6且F∈C(R6),則系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(4)

下面證明解的有界性。 家禽總數(shù)Np(t)和人口總數(shù)Nh(t)滿足下面的微分方程:

2 基本再生數(shù)和穩(wěn)定性分析

定理2 當(dāng)R0<1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時(shí),E0不穩(wěn)定。

證明 系統(tǒng)(1)在無(wú)病平衡點(diǎn)E0處的雅可比矩陣為

式中:

顯然A2有3個(gè)負(fù)的特征值,A1有1個(gè)特征值為-(dp+αp),它的其余特征值滿足方程

f(λ)=0,

(5)

式中

令

則

f(λ)=λ2+c1λ+c2=0。

(6)

定理3 當(dāng)R0<1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)E0在Ω內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。

(7)

考慮系統(tǒng)(7)的輔助系統(tǒng)

規(guī)模上，雖然大多宣稱支持上萬(wàn)路攝像頭的大型組網(wǎng)，但由于各家軟件內(nèi)部底層設(shè)計(jì)和存儲(chǔ)轉(zhuǎn)發(fā)轉(zhuǎn)碼等技術(shù)水平差異，還需要實(shí)際應(yīng)用案例和運(yùn)營(yíng)狀況的事實(shí)支撐。

(8)

(λ+dh+μh+δ)f(λ)=0,

(9)

下面證明地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

定理4 當(dāng)R0>1時(shí),系統(tǒng)(1)存在地方病平衡點(diǎn)E*,且在Ω內(nèi)是局部漸近穩(wěn)定的。

式中:

Z3+a1Z2+a2Z+a3=0。

顯然當(dāng)R0>1時(shí),ai>0,i=1、2、3,a1a2-a3>0,因此由Routh-Hurwitz判據(jù)知D1的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部,從而JE*的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部。 因此,當(dāng)R0>1時(shí),地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的。 定理得證。

下面討論地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性。 在一般情況下,地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性不易證明,我們僅考慮當(dāng)家禽的因病死亡率μp=0時(shí)的情況。

定理5 假設(shè)μp=0,若R0>1,則E*在Ω上是全局漸近穩(wěn)定的。

(10)

對(duì)于系統(tǒng)(10),構(gòu)造Dulac函數(shù)

容易算出

3 參數(shù)的敏感性分析

基本再生數(shù)是決定疾病是否流行的閾值。 為了檢測(cè)它對(duì)各個(gè)參數(shù)的依賴性,本文使用PRCC(偏秩相關(guān)系數(shù))方法對(duì)模型(1)中的參數(shù)進(jìn)行敏感性分析,以確定各個(gè)參數(shù)對(duì)基本再生數(shù)的影響。ρPRCC的絕對(duì)值越大,表明參數(shù)對(duì)R0的影響越大,其中正值表示該參數(shù)的增加會(huì)導(dǎo)致R0的增加,負(fù)值表示該參數(shù)的增加會(huì)導(dǎo)致R0的減少。 本文選取8個(gè)參數(shù)A,λp,βp,dv,r,αp,dp以及μp進(jìn)行敏感性分析。 參數(shù)值見(jiàn)表1。

表1 模型的參數(shù)值Table 1 Parameter values of the model

由圖1可以看出,在這些參數(shù)中,A,λp,βp以及r對(duì)R0有正影響,αp,dp,dv以及μp對(duì)R0有負(fù)影響,且參數(shù)λp,βp,r和μp的ρPRCC的絕對(duì)值較大,即這4個(gè)參數(shù)對(duì)R0的影響較大。

圖1 敏感性分析Fig.1 Sensitivity analysis

1) 定期對(duì)環(huán)境進(jìn)行消殺,降低環(huán)境中禽流感病毒的存活率,減小環(huán)境中禽流感病毒對(duì)易感家禽的傳染率;

2) 對(duì)感染家禽及時(shí)撲殺和隔離,使家禽和人群盡量避免接觸感染家禽,降低染病家禽對(duì)易感家禽的傳染率;

3) 疫情爆發(fā)前就對(duì)家禽接種疫苗,增強(qiáng)其免疫力,降低家禽感染禽流感的風(fēng)險(xiǎn)。

4 結(jié) 論

本文建立了一個(gè)禽流感在家禽,人和環(huán)境中相互傳播的SI-V-SIR傳染病模型,模型假設(shè)人與人之間不傳染,分別考慮家禽與家禽、家禽與人、環(huán)境中的禽流感病毒對(duì)家禽及人的傳播。 通過(guò)定義模型的基本再生數(shù)R0,分析了模型平衡點(diǎn)的存在性以及穩(wěn)定性,并通過(guò)數(shù)值模擬對(duì)參數(shù)進(jìn)行敏感性分析,研究了控制禽流感傳播的有效措施。 結(jié)果表明,定期對(duì)環(huán)境進(jìn)行消殺,撲殺感染家禽或適當(dāng)?shù)膶?duì)家禽接種疫苗能夠有效控制禽流感的傳播。