高等數(shù)學與高中數(shù)學的銜接比較研究

袁利國+郭軍+房少梅

[摘 要]高中數(shù)學近十年的教學內(nèi)容、大綱、高考考試范圍都發(fā)了巨大變化，而大學中的高等數(shù)學內(nèi)容改革相對滯后，仍沒有做出相應調(diào)整以適應新形勢。應該探討高等數(shù)學（上冊）中一元函數(shù)極限、微積分內(nèi)容與高中數(shù)學所對應內(nèi)容的異同，通過比較對照研究，提出解決兩個時段所學數(shù)學中銜接存在的問題。

[關鍵詞]高等數(shù)學;銜接比較;極限;一元函數(shù)微積分

[中圖分類號] G64 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2016）11-0140-04

一、引言

高等數(shù)學作為一門大學生的基礎課，在大學一年級入學時就開設了。根據(jù)生源的情況，學生可能是選修高等數(shù)學（理工科學生）、經(jīng)濟高等數(shù)學（經(jīng)濟管理類學生）、文科數(shù)學（文科生）、大學數(shù)學（介于理工科與文科之間的，如農(nóng)學、林學等專業(yè)）。通常是學習一個學年，上學期學習高等數(shù)學I，內(nèi)容主要集中在一元函數(shù)極限與微積分及其應用;下學期學習高等數(shù)學II，內(nèi)容主要集中在多元函數(shù)極限與微積分及其應用、無窮級數(shù)、微分方程等。由于最近幾年大多數(shù)高校調(diào)整教學模式、減少理論課學時、增加實驗課學時數(shù)，高等數(shù)學I、II的理論課時均縮減至64學時。同時，高中生也在所開設的數(shù)學課中，學習了部分高等數(shù)學的知識，與大學所學內(nèi)容有重復的情況。高中數(shù)學也細分為必修與選修內(nèi)容，這樣做的出發(fā)點是好的，但高中數(shù)學是以高考為指揮棒，高考不要求的內(nèi)容，中學教師基本上是不會花過多時間講解的。高考大綱才是決定高中數(shù)學內(nèi)容的關鍵。因此，在非常有限時間里，如何高效地講授高等數(shù)學？如何補充高中未學過的內(nèi)容？如何減弱或規(guī)避高中已經(jīng)學過的內(nèi)容？如何編寫高等數(shù)學教材與大綱？現(xiàn)行的高中數(shù)學大綱與高等數(shù)學大綱是否合理？如何做好高中數(shù)學與高等數(shù)學的教學銜接？現(xiàn)在的中學教師與大學教師是否應該與時俱進，更多地提升自己以適應新形勢與新情況？現(xiàn)在教育部門的管理者是否應該更多的聽取一線教師的意見，正視教學實踐中碰到的問題，從而主導大學高等數(shù)學的教學改革？本文通過比較研究，系統(tǒng)性地指出二者間的異同及存在的問題，并提出自己的建議，供中學教師、大學教師、教育管理部門參考。

二、內(nèi)容的比較

最近十多年，大學數(shù)學中的部分內(nèi)容已經(jīng)下放到高中進行講解;高中的內(nèi)容在20世紀90年代的教材基礎上，增加了微積分初步內(nèi)容、算法初步、概率、平面向量、簡單邏輯、統(tǒng)計等，同時也刪除了一些內(nèi)容。部分內(nèi)容在高等數(shù)學中有重復，因此，在大學數(shù)學教學過程中面臨著一些實際問題。重復的內(nèi)容如何精簡講解？高中弱化或不作要求的內(nèi)容，如何再強化講解？這些都是一線教師、教材編寫者、教育主管部門需要了解并想辦法處理的事情?，F(xiàn)對高中數(shù)學中的函數(shù)與極限、一元微積分內(nèi)容與大學高等數(shù)學中相應的內(nèi)容做比較。這塊內(nèi)容是重復較多的部分，也是最有代表性的內(nèi)容。通過比較可以發(fā)現(xiàn)哪些內(nèi)容在中學已經(jīng)學過了？哪些內(nèi)容在中學還沒有接觸？哪些內(nèi)容在高中與大學都省略掉了，但在后續(xù)的學習中又要繼續(xù)用到它，這部分內(nèi)容是應該重點講授的。如果是學過的內(nèi)容，這部分內(nèi)容的計算技巧學生應該是比較熟練。如果沒有學過，那就得加強講解與學習。下表是一元函數(shù)極限、微積分內(nèi)容與高中數(shù)學所對應內(nèi)容的異同，以這塊內(nèi)容為例，可以看出目前大學的高等數(shù)學（上冊）內(nèi)容與中學很多內(nèi)容是重復的。

這是大學數(shù)學內(nèi)容下放的結(jié)果。感覺還是混亂，大學數(shù)學與中學數(shù)學的內(nèi)容界限不清楚。中學數(shù)學是在模仿大學的課程模式，如必修、選修，其中又細分為必修1、2等。選修也分好幾個模塊，這樣的初衷是想因人而異，讓學生去選，出發(fā)點是好的。但所有的這一切，其實最終還是落到了高考指揮棒上。無論怎么細分，最終中學的師生都是圍繞高考大綱進行學習，其他的只不過是擺設，即使學有余力的學生，也不會花精力去學習這些高考不考的內(nèi)容。這樣的選修內(nèi)容就沒有意義，它不像大學的選修課，至少可以修學分。

三、存在的問題

高等數(shù)學通常分上、下兩冊，一個學年的學習時間。由于課時縮減，很多學校是64學時一個學期，即一周4節(jié)高等數(shù)學課。對于高數(shù)上冊的內(nèi)容，這個時間是完全夠用的。高數(shù)上冊集中講解一元函數(shù)的微積分，這些內(nèi)容學生在高中都有了初步認識，因此，入手并不難，學生期末考試的通過率也較高。但高數(shù)上冊的教學、內(nèi)容安排存在一些問題。

（一）大學學生的直觀認識

剛進入大學，學生忙于各種事情，包括適應新的環(huán)境。高等數(shù)學上冊的前幾次課是講映射與函數(shù)，數(shù)列極限等內(nèi)容。這些內(nèi)容學生在中學已經(jīng)學過，如果教師還是照本宣科，學生的積極性與求知欲會受到嚴重打擊，從而失去興趣。學生會直觀認為教師是在重復高中的內(nèi)容，以為高等數(shù)學很容易學。但事實是高等數(shù)學下冊內(nèi)容是較難的，但學生礙于師生關系，不會及時向教師反映這些情況。出現(xiàn)這些情況，教師與教育管理部門應該負很大責任。除了教材之外，我們還應該了解一下高中數(shù)學、往年的高考數(shù)學題等，從而對學生的高中數(shù)學有一個基本了解。

（二）教師的教學問題

現(xiàn)在的大學數(shù)學教師基本是碩士研究生或以上的學歷，他們對高數(shù)內(nèi)容的理解、講解是沒有問題的。但這些教師的高中數(shù)學知識都是在20世紀90年代獲得的，現(xiàn)在高中數(shù)學的教學大綱已經(jīng)發(fā)生了很大的變化。教師們還是停留在自己以前的記憶里，沒有與時俱進，拿著老舊的教材，重復講解高中的數(shù)學知識，學生在課堂上一臉茫然，不是聽不懂，而是覺得■嗦。而對比較難的、有實用性的內(nèi)容教師反而又省略了，如相關變化率、反常積分等。這樣下去，學生會覺得教師是在做無用功、在重復高中數(shù)學。學過的、容易的反復講，難點內(nèi)容又省略了。其實不用過分擔心學生，數(shù)學是嚴謹?shù)模褪且v解抽象定義、定理與方法，而不是回避、省略它們。

（三）高等數(shù)學教材要做大的修訂

修訂高等數(shù)學教學大綱與高等數(shù)學教材迫在眉睫。不僅是高等數(shù)學，還有概率論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、文科數(shù)學等，這些課程也一樣。為什么要修訂？重復的內(nèi)容太多，斷層的內(nèi)容不少，兩不管的內(nèi)容也存在。有了合適的教材與教學大綱，才能與中學的內(nèi)容銜接好，做到既不重復又不遺漏地把高中數(shù)學與高等數(shù)學有機地銜接起，成為一個完整的體系?，F(xiàn)在流行自編高等數(shù)學教材，這是很好的現(xiàn)象，理工學校有自己的教材、農(nóng)林院校有自己合適的高數(shù)教材。這些工作通常是由一個學校或幾個學校的數(shù)學教師合作完成的。正是因為如此，教材也參差不齊，這是關系到學生后續(xù)課程的基礎內(nèi)容。在編寫教材的過程中，教師們應該充分調(diào)研高中數(shù)學內(nèi)容，知道學校的生源主要在哪里？文科生還是理科生？不同的高數(shù)教材應該區(qū)別對待。教材的編寫應盡量做到知識點內(nèi)容不重復、不遺漏、突出重點與應用。

（四）高等數(shù)學的教學教法需要項目立項

只有立項這方面的教改科研項目，才能更好地展開全面研究，才能投入更多人、財、物去實踐。因為這是一個系統(tǒng)工程，不是簡單寫本教材即可。在項目支撐下，可以對高中數(shù)學的教學情況、教學范圍、教學用教材、教學輔導材料、教師的教學理念等進行調(diào)查，對大學教師的教學觀念、高等數(shù)學教材、高等數(shù)學的教學計劃與大綱等進行分析。通過比較研究，形成學術成果，發(fā)表于刊物，讓教育工作者與決策層參考，從而對高等數(shù)學進行全方位的改革。

（五）現(xiàn)行高等數(shù)學授課、考試等相關問題

現(xiàn)在高等數(shù)學與高中數(shù)學的重復內(nèi)容較多，這就決定了我們在授課過程中，首先要了解學生們在高中都學了些什么內(nèi)容？是必修還是選修，是高考有要求的嗎？如果是必修、高考要求的內(nèi)容，那么學生高中三年對常見的計算技巧應該是比較熟悉的。如：定積分的計算、數(shù)列的極限等。其次，要了解生源，由于大學很多是大班授課，學生來自全國不同的省份，可能高中學過的數(shù)學內(nèi)容有些不一樣。有的可能是文科生與非文科生混在一起，這時學生的數(shù)學基礎是不一樣的，要照顧好所有學生的學習。再次，要充分了解高等數(shù)學教材與教學大綱，只有這樣才能對高等數(shù)學與高中數(shù)學的區(qū)別、異同做到心中有數(shù)，突出重點難點，少重復，才能在非常有限的時間里，不遺漏地傳授數(shù)學知識。第四，在考試方面，大學高等數(shù)學不是競爭性考試，應該更多地考查學生掌握知識的全面性，考查的覆蓋面要廣、知識點要多，但難度與技巧性要降低。更多的是讓學生理解高等數(shù)學中的定義、定理、方法的內(nèi)涵，了解數(shù)學思想，而不是死記很多公式、定理，要讓學生學會自學、發(fā)現(xiàn)問題、查找資料解決問題。最后，應該增加平時的考核，方法與形式可以多樣化。這樣做是為了突出應用性，而不是為了應用而講應用，應該結(jié)合學生的專業(yè)方向，讓學生以課程論文的形式去挖掘其中的數(shù)學思想與方法理論，這是區(qū)別于高中數(shù)學的地方。

（六）高中的數(shù)學內(nèi)容安排是否合理

對于大學高等數(shù)學與高中數(shù)學的銜接比較問題，現(xiàn)在我們更多的是從高等數(shù)學的內(nèi)容適應高中內(nèi)容的角度來研究，是否可以換個角度看這個問題？比如高中的數(shù)學內(nèi)容與大綱的改革是否恰當？是否應該修正？目前，高中數(shù)學有必修課和選修課，內(nèi)容多而雜，幾乎涉及了目前大學中非數(shù)學專業(yè)的所有數(shù)學課，如：高等數(shù)學、概率論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、線性代數(shù)等。其中，高等數(shù)學、概率論與大學數(shù)學的內(nèi)容重復較多。高中是以高考為目的、為指揮棒的，這是師生努力學習的目標。如果其所選的內(nèi)容沒有納入高考范圍，那么這些選修內(nèi)容就形同虛設。另外，因為文科生與理科生的考試范圍不一樣，學習的內(nèi)容也不同。中學的教材是不是應該更細化？對偏文科的高中生有專門的教材，從而把理科生的教材也區(qū)別出來。這樣處理高中所學的數(shù)學內(nèi)容就非常明確。對高考不要求的內(nèi)容應該堅決去除，以免高中有內(nèi)容但不講解，而大學又覺得中學接觸過了，從而輕視講解，這樣導致出現(xiàn)兩不管現(xiàn)象從而誤導了學生。最后，大學的數(shù)學內(nèi)容是否下放到高中太多了呢？目前有這種現(xiàn)象，小學就接觸初中的內(nèi)容，初中里有高中的知識，高中又占了很多大學的內(nèi)容，都是往前趕，界限不明確，學生以為自己都學了，都接觸了，但事實是都不太懂。

（七）大學生學習高等數(shù)學的問題

在目前的高等數(shù)學教材、教學大綱下，大學生如何學習高等數(shù)學？這得從高中數(shù)學的教與學談起。高中數(shù)學主要以高考為目標，對各種學習都是舉一反三、反復練習。教師可以用較短的時間講完新課，每個小的知識點教師可以講得很詳細，板書也很到位，一步接一步，很清晰。然后是課后的大量作業(yè)、測試題、模擬題。而且教師會每天陪在學生身邊，包括晚自習時間。但進入大學之后，情況發(fā)生了巨大的變化。大學生的時間相對自由，教師上完課后就走了，其余時間大學生可以自由支配。在大學里，學生主要是靠自學，他們在圖書館查資料，與同學討論，向教師請教，通過自主完成教師布置的作業(yè)，自己動手解題。教師的講課過程相對較快，教師要在短時間內(nèi)完成較多的教學內(nèi)容，板書也不像高中那樣整齊劃一，形式比較自由。因此，有部分學生不適應大學高等數(shù)學的學習。在大學里，平時考試測驗較少或幾乎沒有，只有期末考試一次，這也與高中大不一樣，這也讓學生有點不太適應。這些問題值得注意，應適當調(diào)整，讓學生適應新的學習環(huán)境。

（八）上級主管部門是否應主導改革，其余時間大學生可以自由支配

這得從兩個方面看。一是高中數(shù)學安排是否合理？很多以前大學數(shù)學內(nèi)容下放到高中，而高中目前還都是以高考為目標，納入很多選修的內(nèi)容是否恰當？是否有點事與愿違？將大學數(shù)學內(nèi)容下放到高中，出發(fā)點是拓寬學生的知識面，但實際上高中師生只圍繞高考大綱而進行教學。因此，應該少而明確地下移部分大學數(shù)學內(nèi)容到高中，不能太泛，不然與大學的數(shù)學沒有明顯的界限。也許高中的數(shù)學教師并不太了解大學的數(shù)學，這就導致了是不是把更多的大學數(shù)學內(nèi)容下放到高中，讓學生們提前接觸大學的數(shù)學知識就是一種素質(zhì)教育，是一種看起來很讓人覺得“高大上”的學習？這些都值得思考。此外，高中數(shù)學的教學大綱、高考的大綱與范圍是否應該調(diào)整？二是大學的高等數(shù)學必須改革，如果再不改革，就跟不上時代的變化。高等數(shù)學的教材、教學大綱、教學計劃與要求、考試的模式等，都要在上級主管部門的組織下進行改革。同時，任課教師需要了解當前高中數(shù)學學習的內(nèi)容，需要進一步加深對當前高中數(shù)學學習內(nèi)容的了解。做到知己知彼，方能融會貫通，這樣兩個階段所學的數(shù)學內(nèi)容才能做到自然銜接。教育管理部門應自上而下出臺相應的政策，讓高中教師與大學教師均參與其中，把這兩塊數(shù)學的改革工作順利完成，使得這兩塊的內(nèi)容銜接更自然。

四、對問題的思考與對策

針對以上問題，筆者提出如下一些思考對策。第一，修改高中數(shù)學與大學高等數(shù)學的教學大綱，做到二者之間的內(nèi)容盡量少重復、少遺漏，知識點界限明確，少模糊地帶。高中不要有不屬高考范疇的選修課，至少目前不適合。應該把文科生的教材與理科生的教材區(qū)分開來，采用不同的教材。在當前高中教育階段，不適合開設選修課，因為師生都沒有多余的時間和精力去教學高考不要求的內(nèi)容。第二，修編高中與大學的數(shù)學教材，組織既了解大學又了解當前高中數(shù)學的教師參與編寫教材，合理安排內(nèi)容，做到有機銜接。有了明確的教學大綱與好的教材，那么經(jīng)過高中數(shù)學的學習，大學的高等數(shù)學就好處理了。同時，高中學過的內(nèi)容在高等數(shù)學教材中就不用再寫入了。第三，大學生在學習高等數(shù)學時，要有心理準備。進入大學并不是什么都“解放”了，雖然平時不用考試，與高中相比輕松了很多，但要學會自己管理時間。學生要和高中時一樣努力，獨立完成作業(yè)、獨立思考，從圖書館查找資料，與同學、教師多交流，主動思考，勤學多問，而不是像中學那樣等教師來講解。第四，在教學過程中，教師也需正視自己的問題，積極提升自我，積極申報教學研究項目。教師在教學過程中應盡量做到小班教學。如果條件不夠，那文科生和理科生一定要分開授課，這樣才有針對性。如果這個也做不到，那只能遷就文科生的數(shù)學水平教學，而不是拿著教材就講，不去了解學生們高中數(shù)學都學了些什么。如何快速了解高中數(shù)學？一是買本高中數(shù)學教材，二是查找近幾年的高考數(shù)學試卷。這樣就基本可以掌握學生的基礎情況。第五，教育主管部門應充分調(diào)研，收集一線教師的教學問題與經(jīng)驗，為改革作參考。教育主管部門要更多地傾聽一線師生的意見，并參考海內(nèi)外的教學教材的優(yōu)秀經(jīng)驗，取其精華，為我所用。

以上這些思考與對策雖不太全面，但從教學內(nèi)容與教材、學生的學習、教師的教學、主管部門的主導改革等幾個方面做了分析，為高等數(shù)學與高中數(shù)學中存在的銜接問題提出了一定的解決思路。

五、總結(jié)

作為一線的高校數(shù)學教師，在最近幾年的教學過程中，筆者深刻感覺到當前大學的數(shù)學教學與高中的數(shù)學有很多重復的內(nèi)容，如高等數(shù)學中的微積分、概率論、概率統(tǒng)計等。鑒于此，筆者從高等數(shù)學中的一元函數(shù)的微積分與高中數(shù)學的比較出發(fā)，提出了當前高等數(shù)學與高中數(shù)學中存在的一些問題，這些類似情況也存在于概率論與概率統(tǒng)計中。筆者在這里提出自己的一些思考與對策，也許還不太完整且不太成熟，但這些都是一些獨立的思考，僅供大家參考。

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[責任編輯：陳 明]