基于π定理及多元線性回歸的河道穩(wěn)定水力幾何形態(tài)公式研究

閆志方,賈云飛

(1.廣東珠榮工程設(shè)計有限公司,廣東 廣州 510610;2.廣州開發(fā)區(qū)財政投資建設(shè)項目管理中心,廣東 廣州 510000)

河道水力幾何形態(tài)指河道流量、輸沙率、河寬、水深、流速等之間的相互關(guān)系,穩(wěn)定水力幾何形態(tài)即在挾沙水流長期作用下可能形成的與所在河段流量、泥沙等條件相適應(yīng)某種均衡形態(tài)[1]。準(zhǔn)確預(yù)測一定水沙條件下河道斷面的穩(wěn)定水力幾何形態(tài)對河道防洪、渠道設(shè)計、河道整治、航運(yùn)碼頭建設(shè)等均有重要意義。河道穩(wěn)定水力幾何形態(tài)最早是由Kennedy[2]開展研究,經(jīng)過大量地匯總分析印度渠道的不沖不淤資料,構(gòu)建了平均水深H與平均流速U之間的經(jīng)驗關(guān)系。繼Kennedy后,大量學(xué)者開始了對穩(wěn)定特征變量經(jīng)驗關(guān)系的研究:Lindley[3]認(rèn)為穩(wěn)定河道的形態(tài)取決于流量、床沙的天然特性和床沙的輸沙量以及河段的粗糙度,他對Chenab運(yùn)河下游展開了廣泛勘察并收集了觀測數(shù)據(jù),最終得到了穩(wěn)定河道中穩(wěn)定河寬、穩(wěn)定水深、穩(wěn)定比降、穩(wěn)定流速之間的經(jīng)驗關(guān)系式;Lacy[4-5]分析了大量可用數(shù)據(jù)并提出了3個方程,阻力方程、河寬方程、比降方程,其中河寬方程和比降方程分別建立了穩(wěn)定河寬、穩(wěn)定比降和造床流量的經(jīng)驗關(guān)系;Leopold等[6]針對美國中西部的河流建立了穩(wěn)定河道方程,他們通過觀察發(fā)現(xiàn)對河流的穩(wěn)定特征參量可用同一頻率下流量的指數(shù)形式表示;Blench[7]應(yīng)用2個分別代表河床材料和河岸材料參數(shù),并且又引入了一個阻力方程,聯(lián)立后得出了穩(wěn)定河寬、穩(wěn)定水深、穩(wěn)定比降與造床流量之間的顯式方程;錢海強(qiáng)[8]根據(jù)西北江三角洲多年實測數(shù)據(jù),采用Leopold的水力幾何形態(tài)關(guān)系建立了北江三水河段斷面河相關(guān)系并探討了其河相特征及其變化;李倩[9]通過對國內(nèi)404個實測河道斷面數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,提出了一套以流域面積和河流發(fā)育系數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的河流寬度計算方法。以上經(jīng)驗方法得到的穩(wěn)定水力幾何形態(tài)關(guān)系式看似簡單,但是其重要性是不可估量的,這些經(jīng)驗方程為渠道、河道、航運(yùn)等設(shè)計提供了有效的工具,在實踐中被廣泛應(yīng)用。

然而,利用以上方法得到的結(jié)果,存在很大區(qū)域局限性,一般也只適用于資料來源區(qū),前人的方法也是針對資料來源區(qū)所擬合的經(jīng)驗公式。與前人得到的河道穩(wěn)定水力幾何形態(tài)經(jīng)驗關(guān)系式不同的是,本文基于π定理找出了影響參數(shù),運(yùn)用大量原型觀測和水槽實驗資料作為樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析,提出了穩(wěn)定河道水力幾何形態(tài)關(guān)系式。

1 量綱分析

本文所研究的河道水力幾何形態(tài)特征參數(shù)主要有穩(wěn)定河寬、穩(wěn)定水深、造床流量、床沙中值粒徑等。Yalin等[10]提出與河道穩(wěn)定水力幾何形態(tài)相關(guān)的變量AR可用Q、ρ、υ、γs、D、g表示:

AR=fA(Q,ρ,υ,γs,D,g)

(1)

則穩(wěn)定河寬和穩(wěn)定水深可以表示為:

BR=fB(Q,ρ,υ,γs,D,g)

(2)

hR=fh(Q,ρ,υ,γs,D,g)

(3)

式中AR——河道穩(wěn)定水力幾何形態(tài)變量;BR——穩(wěn)定河寬,m;hR——穩(wěn)定水深,m;Q——造床流量,m3/s;ρ——水流密度,kg/m3;υ——水流運(yùn)動黏滯系數(shù),m2/s;γs——床沙容重,kN/m3;D——床沙粒徑,本文中為中值粒徑,mm;g ——重力加速度,m/s2。

分別選取D、Q、γs為幾何學(xué)、運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)量,且3個量相互獨(dú)立。

應(yīng)用π定理:

(4)

(5)

(6)

式(4)—(6)分子和分母應(yīng)滿足量綱一致性,則第一個因子的量綱關(guān)系有:

[υ]=[Q]x1[D]y1[γs]z1

(7)

即 [L2T-1]=[L3T-1]x1[L]y1[ML-2T-2]z1

(8)

由式子兩邊量綱相等,得到:

[L]:2=3x1+y1-2z2

[T]:-1=-x1-2z2

[M]:0=-z2

則式(2)、(3)可變?yōu)?

(9)

(10)

(11)

(12)

2 公式擬合

2.1 樣本數(shù)據(jù)來源

本文樣本數(shù)據(jù)來源于前人發(fā)表文獻(xiàn)及工程報告[11-23],數(shù)據(jù)主要涉及加拿大安大略省西南部諸河流、加拿大阿爾伯塔省諸河流、美墨邊境格蘭德河等河流。為使擬合公式更適用于天然沖積河流,本文從從原始數(shù)據(jù)中選取寬深比50.05 mm。其中包括11組原型觀測數(shù)據(jù)及2組實驗數(shù)據(jù),見表1。

2.2 數(shù)據(jù)分析

a)lnΠ1

從圖1看出,ln(BR/D)與lnΠ1、lnΠ2有較明顯的線性關(guān)系,且根據(jù)lnΠ1和lnΠ2的不同取值,ln(BR/D)～lnΠ1和ln(BR/D)～ lnΠ2顯現(xiàn)不同的線性關(guān)系,其關(guān)系分為3部分,其中l(wèi)nΠ2<16及l(fā)nΠ2>18.5兩部分樣本點相關(guān)性顯著,R2分別為0.887和0.961,在兩部分的過渡區(qū)域16≤lnΠ2≤18.5,ln(BR/D)與lnΠ2之間相關(guān)性不明顯;ln(BR/D)～lnΠ1的關(guān)系同樣分為3部分,其中l(wèi)nΠ2<16及l(fā)nΠ2>18.5兩部分樣本點相關(guān)性顯著,R2分別為0.827和0.958,同樣在兩段的過渡區(qū)域16≤lnΠ2≤18.5,ln(BR/D)與lnΠ1關(guān)系不明確。

同樣從圖2看出,ln(hR/D)與lnΠ1、lnΠ2有較明顯的線性關(guān)系,且根據(jù)lnΠ1和lnΠ2的不同取值,ln(hR/D)～lnΠ1和ln(hR/D)～ lnΠ2分別有不同的線性關(guān)系,其相關(guān)關(guān)系分為3部分,其中l(wèi)nΠ2<16及l(fā)nΠ2>18.5兩部分樣本點相關(guān)性顯著,R2分別為0.865和0.932,在兩部分的過渡區(qū)域16≤lnΠ2≤18.5,ln(hR/D)與lnΠ2之間相關(guān)性不明顯;ln(hR/D)～lnΠ1的關(guān)系同樣分為3部分,其中l(wèi)nΠ2<16及l(fā)nΠ2>18.5兩部分樣本點相關(guān)性顯著,R2分別為0.442和0.775,同樣在兩段的過渡區(qū)域16≤lnΠ2≤18.5,ln(hR/D)與lnΠ1關(guān)系不明確,R2僅為0.009。

圖1、2這種分段分布的特性與以往一些學(xué)者研究的到經(jīng)驗公式法是不同的,并且通過這些規(guī)律本文作者進(jìn)行猜想,圖中的過渡區(qū)域可能是天然沖積河流某種特征發(fā)生轉(zhuǎn)變的過渡狀態(tài)。

2.3 公式擬合

通過上文對樣本數(shù)據(jù)分析,可在線性相關(guān)顯著的區(qū)域(lnΠ2<16及l(fā)nΠ2>18.5)分別建立以ln(BR/D)、ln(hR/D)為因變量,lnΠ1和lnΠ2為自變量的二元線性回歸方程(13)和(14):

(13)

(14)

式中,aB、bB、cB、ah、bh、ch分別為待定參數(shù),Π1、Π2含義同式(9)、(10)。

通過二元線型回歸分析求得式(13)、(14)的待定參數(shù)及相關(guān)性見表2、3。

表2 式(13)待定參數(shù)值、標(biāo)準(zhǔn)誤差及R2

表3 式(14)待定參數(shù)值、標(biāo)準(zhǔn)誤差及R2

將表2、3中各參數(shù)代入式(13)、(14),分別得出式(15)、(16)。

(15)

(16)

分別將式(15)、(16)去對數(shù)得式(17)、(18)。

(17)

(18)

式中各符號含義見式(1)—(3)。

從式(15)—(18)看出,本文得到的關(guān)系式在16≤lnΠ2≤18.5區(qū)間關(guān)系混亂,沒有較好的表達(dá)式,這也不難聯(lián)想到雷諾數(shù)與阻力系數(shù)的關(guān)系與之類似,因此針對本文提出的經(jīng)驗方法還有待深入研究,以得到具有普遍適用性的河道穩(wěn)定水力幾何形態(tài)計算方法。

3 公式精度檢驗

3.1 檢驗數(shù)據(jù)

本文用于公式精度檢驗的數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[24-28],主要涉及河流為土庫曼斯坦Kara-Kum河、俄羅斯Saratov河、新西蘭Porter河、中國長江等河流,并且檢驗數(shù)據(jù)與用于公式擬合的樣本數(shù)據(jù)不同源(表4)。

表4 檢驗數(shù)據(jù)來源及變化范圍

3.2 公式檢驗

戴文鴻等[29]通過對3種經(jīng)典的穩(wěn)定河道水力幾何形態(tài)計算方法進(jìn)行了分析與比選,選出了計算精度較高的Yalin和da Silva方法。故本文將采用Yalin和da Silva方法作為標(biāo)準(zhǔn)方法,分別將式(17)、(18)及Yalin和da Silva方法計算出的穩(wěn)定水力幾何形態(tài),以實測值為橫坐標(biāo),計算值為縱坐標(biāo),對計算結(jié)果進(jìn)行對比,結(jié)果見圖3、4。

a)式(17)、(18)計算結(jié)果

a)式(17)、(18)計算結(jié)果

由圖3可看出,對于穩(wěn)定河寬計算,本文式(17)、(18)計算及Yalin和da Silva方法計算結(jié)果散點均集中且均勻分布于“計算=實測”直線兩側(cè),表明本文計算公式與Yalin和da Silva方法計算值均與實測值接近。

由圖4可看出,對于穩(wěn)定水深計算,本文式(17)、(18)計算結(jié)果散點集中且均勻分布于“計算=實測”直線兩側(cè),表明計算值與實測值接近;而Yalin和da Silva方法對于文獻(xiàn)[23]的計算散點分布于“計算=實測”直線下側(cè),說明計算值小于實測值,其余大部分散點均較均勻集中分布于直線兩側(cè)?？傮w而言,對于穩(wěn)定水深本文計算公式與Yalin和da Silva方法計算值均與實測值接近。

以上是通過散點分布情況定性比較檢驗,為定量檢驗本文公式計算精度,需采用誤差指標(biāo)進(jìn)行對比。閆志方等[30]在比較溢洪道寬頂堰流量系數(shù)公式時采用了差異比(DR)、相對誤差(RE)、幾何平均偏差(GAD)3個指標(biāo),本文將采用這3項指標(biāo)來分析比較計算值與觀測值之間的誤差。指標(biāo)計算見式(19)—(21):

(19)

(20)

(21)

式中Cc——計算值;Cm——實測值;N——數(shù)據(jù)組數(shù)。

DR越接近1表示計算值與觀測值越接近;RE越接近0表示計算值與觀測值越接近;GAD越接近1表示計算值與觀測值越接近。

經(jīng)計算,本文式(17)、(18)與Yalin和da Silva方法計算結(jié)果的平均相對誤差、平均差異比以及幾何平均偏差對比見表5。

表5 本文公式與Yalin和da Silva方法誤差指標(biāo)比較

由表5誤差指標(biāo)比較可得出以下結(jié)論。

a)本文公式計算河寬和水深的平均相對誤差分別為36.6%和30.3%,Yalin和da Silva方法計算河寬和水深的平均相對誤差分別為38.7%和31.4%,本文公式計算河寬和水深的平均相對誤差略低。

b)本文公式計算河寬和水深的平均差異比分別為1.18和1.09,Yalin和da Silva方法計算河寬和水深的平均相對誤差分別為1.20和1.04。對于河寬的計算,本文公式計算結(jié)果更接近于實測值,而對于水深計算Yalin和da Silva方法計算結(jié)果更接近實測值。

c)本文公式計算河寬和水深的幾何平均偏差分別為1.37和1.33,Yalin和da Silva方法計算河寬和水深的平均相對誤差分別為1.42和1.38。對于河寬和水深的計算,本文公式計算結(jié)果更接近于實測值。

綜上分析,總體而言本文公式計算結(jié)果的誤差指標(biāo)略優(yōu)于Yalin和da Silva方法,但從各誤差指標(biāo)的數(shù)值上看2種方法差別不大,可認(rèn)為2種方法計算精度相當(dāng)。因此,可將本文公式應(yīng)用于河道防洪、渠道設(shè)計、河道整治、航運(yùn)碼頭建設(shè)等工程實踐當(dāng)中。

4 結(jié)論

a)基于量綱分析理論找出了穩(wěn)定河道水力幾何形態(tài)的影響參數(shù)Π1和Π2,可將穩(wěn)定河寬BR和穩(wěn)定水深hR分別表達(dá)為BR/D=fB(Π1,Π2)和hR/D=fh(Π1,Π2),原型觀測和水槽試驗資料作為樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析,得出穩(wěn)定河寬BR和穩(wěn)定水深hR的表達(dá)式。

b)對比本文公式及Yalin和da Silva方法計算的河寬散點圖,2種方法計算值均與實測值接近;對比兩者計算的水深散點圖,本文公式計算值與實測值接近,而Yalin和da Silva方法少量散點計算值小于實測值,其余大部分散點均較均勻集中分布于直線兩側(cè)?？傮w而言,本文計算公式與Yalin和da Silva方法計算的河寬和水深值均與實測值接近。

c)對比各誤差指標(biāo),總體而言本文公式計算結(jié)果略優(yōu)于Yalin和da Silva方法,但從各誤差指標(biāo)的數(shù)值上看2種方法差別不大,可認(rèn)為兩者計算精度相當(dāng),故可將本文公式應(yīng)用于工程實踐當(dāng)中。