教學評一體化的高中數(shù)學學歷案設計

北京師范大學附屬實驗中學 曹 絮

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）中指出，數(shù)學學科教育教學以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，重視階段性評價和過程性評價，開展多元化評價，以評促學，以評促教。通過課程的學習，使學生獲得進一步學習以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力?！墩n標》中還首次給出了學業(yè)質(zhì)量標準，即學生完成學習任務后，學科核心素養(yǎng)應該達到的各水平的關鍵表現(xiàn)。強調(diào)素養(yǎng)達成的同時，給出了素養(yǎng)達成的各層級水平的判斷標準。這既是先進教育理念的體現(xiàn)，也是社會發(fā)展對人才培養(yǎng)的客觀要求。

一、教學評一體化是素養(yǎng)達成的重要保障

目標的變化，必然倒逼教學方式和理論的革新。《課標》指出，要對標學業(yè)質(zhì)量標準，促進教、學、評有機銜接，形成育人合力。教、學、評中以學為中心，以評為引領，重點則是教學評的一致性，三個環(huán)節(jié)相輔相成，彼此促進。

在教的過程中，應該以學生實際情況為出發(fā)點，遵循科學理論，甄選學生感興趣的教學材料，精心設計教學過程，幫助學生完成新知識的建構(gòu)。設計時要有“大單元”意識，要以“學科大概念”為核心，用“大觀念”引導學生更加順暢地進行新舊知識的聯(lián)結(jié)，理解知識與知識之間的結(jié)構(gòu)體系，讓學生不僅知其然，還要知其所以然，在此基礎上提高數(shù)學知識的遷移能力和應用意識。

學是教學評的核心。首先要明確學生在學習中的主體地位，以學生發(fā)展為本，關注學生個性化的發(fā)展需求，落實立德樹人根本任務。在教學設計中，要結(jié)合授課內(nèi)容和學生實際情況，選擇恰當?shù)恼n型，靈活選用獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，調(diào)動學生的積極性，從而達到深度學習、提高學科素養(yǎng)的目的。其次，還要注意避免“替學”“假學”，這也正是“明明教了但學生學不會”的癥結(jié)所在。學生必須親歷在學科基本思想指導下凝練新知的全過程，積累知識與技能發(fā)展的基本經(jīng)驗，達到學會，進而舉一反三，做到會學。

與原先只重視終結(jié)性評價不同，現(xiàn)在的評價應貫穿學和教的全過程，對過程性評價和階段性評價應給予充分重視，且評價可以采用更多元的方式。過程性評價可以外化學習過程中目標完成的實時情況，方便及時反饋、及時調(diào)整，從而盡可能提高學習效率，落實素養(yǎng)目標的達成。學習不是一蹴而就的，要遵從螺旋式上升的客觀規(guī)律，因此，要注意按照學習的不同階段制定階段性評價標準。評也不只評學生的學，還要評教師的教。因此，在結(jié)束教學后，應及時確認目標的達成情況，反思教學過程是否可以進一步優(yōu)化。

由此可見，教學評一體化是落實課程目標、提升學科核心素養(yǎng)的重要手段。

二、什么是學歷案

顯然，不論教師常用教案還是學案，都是無法兼顧上述所有需求的。華東師范大學崔允漷教授認為，學習的本質(zhì)是經(jīng)驗在深度或廣度上持續(xù)變化，即個體在原有經(jīng)驗的基礎上通過自主建構(gòu)或社會建構(gòu)形成新經(jīng)驗的過程。學習是與生俱來的，人天生都是愛學習且會學習的。教師的專業(yè)性則體現(xiàn)在通過專業(yè)方案的設計、實施與評估，規(guī)范或指導學生的學習過程，即引起、維持或促進學生的學習。學與教的關系可以簡要概括為：學主教從，先學后教，以學定教，由此崔允漷教授提出了學歷案這一新的方式。學歷案是指教師在班級教學的背景下，為了便于學生自主或社會建構(gòu)經(jīng)驗，圍繞某一相對獨立的學習單位，對學生學習過程進行專業(yè)化預設的方案，是學生可以反復使用的認知地圖。學歷案將教學評有機結(jié)合到一起，一般包括以下幾個基本要素：（1）學習主題／課時；（2）學習目標；（3）評價任務；（4）學習過程；（5）檢測與練習；（6）學后反思。學歷案的使用人是學生，教師從學生立場設計學會什么、何以學會，激發(fā)學生進行“真學習”，從而達到深度學習的狀態(tài)。

三、基于教學評一體化的學歷案設計

下面以一節(jié)數(shù)學探究活動課“形如f（x）＝ax＋（ab≠0）的函數(shù)的研究”為例，進行學歷案的設計。

（一）學情分析

本課是在學生學習完人教B版《普通高中教科書數(shù)學必修第一冊》（以下簡稱“必修一”）之后進行的一節(jié)數(shù)學探究活動課。必修一包括三章，其中第二章是“等式與不等式”，第三章是“函數(shù)”，函數(shù)作為高中數(shù)學課程的主線之一，和多章知識都有緊密聯(lián)系。選擇用形如f（x）＝ax＋（ab≠0）的函數(shù)作為研究對象，既可以作為學習完函數(shù)性質(zhì)后的一次實踐，又可以在分類討論與研究性質(zhì)過程中建立與不等式的聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡，考查學生的知識遷移能力，提升學科素養(yǎng)。最好的學莫過于從做中學，因此，在此處設置探究活動課，能夠充分激發(fā)學生的“真學習”過程，促進高階思維的發(fā)生。另外，借助手持計算器，讓學生直觀感受、發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)，也給予程度較弱的學生以輔助，滿足不同學情學生的個性化需求。

實施授課的班級學生具有較好的數(shù)學功底和很強的求知欲，思維活躍，接受能力強，愿意進行探究思考，樂于分享和交流。本節(jié)課前，筆者對學生進行了TI圖形計算器函數(shù)圖像繪制、滑動條相關功能和圖形計算器中尺規(guī)作圖等功能的培訓，為研究雙參數(shù)函數(shù)做了鋪墊。同時通過繪制函數(shù)y＝x＋（ab≠0）的圖像和研究相應函數(shù)性質(zhì)為本節(jié)課中猜想、驗證圖形的形狀等活動做了充分的準備。

圖形計算器可以快速準確作圖，使得每一位同學都可以便捷地參與到函數(shù)的研究中，特別是對于含參函數(shù)，提供了動態(tài)觀察函數(shù)圖像變化的機會，滑動條的設計，可以幫助學生控制變量，突破對多參數(shù)函數(shù)的學習難點，形成對多參數(shù)函數(shù)研究的一般方法。在學生對函數(shù)性質(zhì)有所猜測時，可以借助計算器進行快速直觀驗證，有效減少了所學知識的限制，降低探究門檻，讓各個層次的學生都有用武之地。

（二）學歷案呈現(xiàn)

1．學習主題／課時

本節(jié)課是必修一第三章函數(shù)學習完成后進行的探究活動課，1課時。

2．學習目標

（1）借助圖形計算器，觀察函數(shù)f（x）＝ax＋（ab≠0）的圖像及參數(shù)對圖像的影響，歸納函數(shù)性質(zhì)，提高直觀想象的核心素養(yǎng)。

（2）經(jīng)歷新函數(shù)的研究過程，猜想、驗證函數(shù)圖像特征，感悟含參函數(shù)的研究方法，體會數(shù)形結(jié)合、控制變量和分類討論等數(shù)學思想，發(fā)展數(shù)學運算和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。

（3）在合作交流、小組協(xié)同互助等活動中，豐富和積累數(shù)學活動經(jīng)驗，感受探索數(shù)學的樂趣。

3．評價任務

（1）完成評價活動一，以此評判學生是否能夠復現(xiàn)已學過的函數(shù)的探究過程并從中提煉一般的研究方法。

（2）完成評價活動二，以此評判學生是否掌握了簡單多參數(shù)函數(shù)的研究方法，即控制變量法。

（3）完成評價活動三，以此評判學生是否有較好的知識遷移能力，發(fā)現(xiàn)并證明函數(shù)f（x）＝ax＋（ab≠0）的性質(zhì)，通過學生的呈現(xiàn)方式和驗證方式，辨別數(shù)學抽象素養(yǎng)達成的不同程度。

（4）完成評價活動四，考查學生對圖像信息提取和基于已有信息進一步得到新性質(zhì)的能力，考查直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。

4．學習過程

（1）資源與建議

函數(shù)是數(shù)學學科中重要的研究內(nèi)容，高中在初中函數(shù)定義的基礎上，完善了函數(shù)的定義，對函數(shù)的性質(zhì)有了更加清晰和明確的刻畫。對于函數(shù)性質(zhì)的研究也不再限于對函數(shù)圖像的觀察、歸納，而是給出嚴謹?shù)淖C明方法，在學習、研究函數(shù)過程中，可以回顧已學過函數(shù)的探究過程和方法，類比進行新函數(shù)的研究。要逐步養(yǎng)成科學的探究方法，既要注意基于直觀歸納猜想，也要明確如何驗證，進而提高直觀想象和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。

（2）課前預習

回顧第三章函數(shù)的學習內(nèi)容，總結(jié)已學過或接觸過的函數(shù)性質(zhì)及其證明方法，熟悉圖形計算器的基本操作。

（3）課中學習

①學習活動一

任務一：利用TI圖形計算器，繪制函數(shù)y＝x＋的圖像，回顧研究該函數(shù)性質(zhì)時的探究過程，體會一般函數(shù)的研究方法。

評價活動一：請總結(jié)一般函數(shù)研究都包含哪些性質(zhì)，如何研究，如何驗證。

任務二：利用游標卡尺，繪制一次函數(shù)y＝kx＋b，動態(tài)觀察參數(shù)與函數(shù)圖像變化的對應關系，總結(jié)含參函數(shù)的研究方法。

評價活動二：請總結(jié)多參數(shù)函數(shù)的研究方法。

②學習活動二

f（x）＝x＋可以看成是由正比例函數(shù)y＝x和反比例函數(shù)y＝相加而成，正比例函數(shù)的一般形式是y＝ax（a≠0），反比例函數(shù)的一般形式是y＝（b≠0），對勾函數(shù)的一般形式是f（x）＝ax＋，其中ab≠0，都有哪些性質(zhì)？

任務一：利用TI圖形計算器，設置滑動條，繪制函數(shù)f（x）＝ax＋（ab≠0）的圖像，觀察當a、b取不同的值時圖像的變化。

任務二：小組討論，歸納總結(jié)f（x）＝ax＋（ab≠0）的性質(zhì)并進行驗證。

任務三：小組代表發(fā)言分享。

評價活動三：請總結(jié)函數(shù)f（x）＝ax＋（ab≠0）的性質(zhì)并給出相應驗證。

③學習活動三

任務一：小組交流，觀察函數(shù)圖像，思考其是否存在漸近線，借助漸近線，猜想圖像是否有對稱軸。

任務二：驗證所觀察到的特征。

評價活動四：請?zhí)岢霾孪氩⒔o出相應驗證思路。

5．檢測與練習

（1）完善相關性質(zhì)的代數(shù)證明。

（2）查閱資料，了解函數(shù)f（x）＝ax＋（ab≠0）圖像的名稱。

（3）自選一個雙參函數(shù)，研究它的性質(zhì)并證明。

6．學后反思

（1）通過這節(jié)課，你學到了哪些知識？哪些方法？有什么收獲？

（2）探究過程中遇到了什么困難，又是如何解決的？

（三）設計思路及反思

本節(jié)課精心選擇函數(shù)f（x）＝ax＋（ab≠0）作為研究對象，符合學生現(xiàn)有能力水平，一方面完成了知識的承上啟下；另一方面，此類函數(shù)性質(zhì)豐富，圖像形狀熟悉，結(jié)論帶來驚喜，能充分激發(fā)學生的探究熱情。通過復習舊知設置情境，由特殊到一般引出新問題后，主要由學生開展自主探究、合作探究、交流分享，教師在各組巡視，對有需求的學生給予引導，對手持計算器操作上遇到問題的學生及時進行幫助。本節(jié)探究課是基于大單元設計中的最后一節(jié)，在前面的學習中，已為本節(jié)課的開展做好了理論和技能上的充分準備，因此，給予學生充分的活動時間和自由，讓學生在小組互助中感悟研究方法，合理分類，歸納性質(zhì)并通過多種方式驗證，讓學生充分參與到學的活動中來。具體表現(xiàn)為：借助圖形計算器，運用數(shù)學知識和方法，提出研究思路和方案，歸納總結(jié)函數(shù)性質(zhì)；通過對函數(shù)圖像的觀察和分析，發(fā)現(xiàn)并提出有意義的數(shù)學問題，猜測合理的數(shù)學結(jié)論。其中，學習活動三應由教師根據(jù)課堂實際情況，有選擇性地開展，也可留在課后完成。學生在進行相應性質(zhì)驗證時，可以根據(jù)自身情況，先采用圖形計算器內(nèi)置功能進行直觀驗證，突破難點，而后進行嚴謹?shù)拇鷶?shù)運算進行計算。通過動態(tài)觀察函數(shù)圖像的變化，分析、猜想、驗證圖像特征。所想即所得，有助于提高問題意識，發(fā)展幾何直觀能力。

本節(jié)課的研究內(nèi)容，能夠在評價中較好地體現(xiàn)出學生核心素養(yǎng)達成的不同層次。比如，有的學生是直接借助計算器畫出圖像再進行歸納研究，也有學生是先對解析式進行分析，得出部分性質(zhì)再畫圖，進一步得出更多性質(zhì)。還有學習活動二中，學生通過圖形計算器，設置滑動條，繪制函數(shù)f（x）＝ax＋（ab≠0）的圖像，觀察當a、b取不同的值時圖像的變化，是否能夠發(fā)現(xiàn)要對參數(shù)a、b的符號進行分類討論，此時需要分四類，即：a＞0，b＞0；a＜0，b＜0；a＞0，b＜0；a＜0，b＞0。有的學生則能通過圖像形狀或函數(shù)性質(zhì)，將其抽象為兩大類，即ab＞0，ab＜0，研究單調(diào)性時再細化為四類或由同一類中函數(shù)圖像的對稱關系得到相應性質(zhì)，其體現(xiàn)的數(shù)學抽象素養(yǎng)顯然是不同的。再如，驗證函數(shù)性質(zhì)時，對整個定義域內(nèi)的取值進行討論，或利用函數(shù)的奇偶性，將研究范圍先縮小到一半，再進行研究，其體現(xiàn)出的數(shù)學應用能力也是不同層次的。有的學生在直觀觀察到函數(shù)性質(zhì)后，可能無法順利完成代數(shù)證明；有的學生能夠想到漸近性，而有的學生由于第三章中未重點研究則忽略了漸近性，在求值域時，是否能夠聯(lián)想到利用均值不等式的知識準確把握其應用條件等，均能夠較好地體現(xiàn)出學生當前數(shù)學知識、能力和素養(yǎng)水平，便于學生把握自身學習情況，也便于教師進行個性化學習指導，對標學業(yè)質(zhì)量標準，考查素養(yǎng)目標達成情況。

課后作業(yè)則體現(xiàn)落實嚴謹代數(shù)證明的要求，啟發(fā)學生在信息時代要充分利用豐富的網(wǎng)絡資源，開闊視野。在發(fā)揮學生自主性的基礎上，再次鞏固本節(jié)課的相關知識。另外，教師應提醒學生重視課后反思，在積累完善知識技能的同時，積累問題解決的經(jīng)驗，這對促成知識遷移有著重要作用。本節(jié)課課程容量較大，要根據(jù)學生程度進行恰當?shù)恼n時調(diào)整或?qū)?nèi)容進行刪減。

四、結(jié)語

值得注意的是，教師在進行課程設計時，一定要避免為了探究而探究，為了活動而活動，每節(jié)課都應明確教學目標，教學形式、教學素材都應緊密圍繞課程目標。另外，要關注內(nèi)容、方法和學生實際情況三者之間的適配，比如，探究活動課應基于學生已經(jīng)有了比較扎實的前期知識和技能儲備的前提下開展，否則無異于揠苗助長，對于學困生，則應重點提高對基礎知識的掌握落實。

隨著時代發(fā)展，教育的內(nèi)涵也在不斷發(fā)展完善，信息技術(shù)提供的便捷條件給教學提供了更多可能，因此，教師要注意積累、充分挖掘好的教學素材，在教學中要及時調(diào)整教學方法和教學材料，選取更多貼近實際生活的新情境，適應社會科學技術(shù)的新變化，促進學科知識、思想方法與學生的生活和學習產(chǎn)生更加緊密的聯(lián)系，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生關注生活、善于從生活中發(fā)現(xiàn)問題，用科學的方法探究、解決問題的意識。從課程設計開始，到課程實施后反思，都應注意教學評之間的相互反饋，盡可能地提高學生單位時間內(nèi)獲得的知識能力密度，促進學生得到更好的發(fā)展。