角度非均勻連續(xù)介質(zhì)材料反平面V 形切口應(yīng)力奇性分析

姜 偉,葛仁余,李浚淇,潘家雨,尚 悅

(安徽工程大學(xué) 建筑工程學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

角度非均勻連續(xù)介質(zhì)材料是物理性能參數(shù)隨著角度坐標(biāo)連續(xù)變化的,這種特殊非均勻介質(zhì)材料常見于自然界和工程合成材料。長期以來,人們已認(rèn)識到材料物理性能隨著坐標(biāo)位置變化,既可以增加材料物理性能,又能減少造價成本。為了滿足各種特殊工程結(jié)構(gòu)的需要,非均勻連續(xù)介質(zhì)材料也是一種新型合成材料,能將多種物理力學(xué)性能各異的材料按照人們的設(shè)計意愿,形成材料物理性能連續(xù)變化的組織結(jié)構(gòu)。同時,使異質(zhì)材料結(jié)合部位的界面消失,避免了力學(xué)性能不連續(xù)性和應(yīng)力集中現(xiàn)象,因此,角度非均勻連續(xù)介質(zhì)材料吸引了廣大學(xué)者們的研究興趣[1]。

關(guān)于非均勻連續(xù)介質(zhì)材料裂紋和切口的奇異應(yīng)力場問題,Carpinteri等[2]研究了角度非均勻連續(xù)介質(zhì)材料裂紋的應(yīng)力奇異性,發(fā)現(xiàn)裂紋的應(yīng)力奇性指數(shù)與非均勻材料梯度有關(guān)。Cheng等[3]運(yùn)用插值矩陣法(IMM)計算了角度非均勻連續(xù)介質(zhì)材料平面和反平面切口和裂紋的應(yīng)力奇性指數(shù),但是,Carpinteri和Cheng沒有進(jìn)一步給出角度非均勻連續(xù)介質(zhì)材料切口和裂紋尖端處的完整奇異應(yīng)力場。目前,據(jù)作者所知,平面楔形體受體積力和集中荷載作用時,僅有Theotokoglou等[4-6]基于線彈性理論研究了角度非均勻連續(xù)介質(zhì)材料的靜力問題。Delale等[7]研究了泊松比為常數(shù),楊氏模量為指數(shù)函數(shù)變化的非均勻材料的平面斷裂問題,研究發(fā)現(xiàn):泊松比對裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響可以忽略不計;同時,Delale等[8]分析了處于均勻材料半平面和非均勻材料半平面之間的界面裂紋問題,研究表明:只要材料的力學(xué)屬性在裂紋尖端保持連續(xù),非均勻材料與均勻材料裂紋尖端應(yīng)力場的奇異性是一致的。Konda等[9]研究了材料非均勻常數(shù)、裂紋方向、加載條件和泊松比對裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響;Gao[10]運(yùn)用攝動算法研究了非均勻連續(xù)介質(zhì)材料裂紋的斷裂力學(xué)問題;基于三重互易邊界元方法,Ochiai[11]研究了非均勻連續(xù)介質(zhì)材料二維彈性應(yīng)力場和三維熱傳導(dǎo)問題。Zhou等[12]運(yùn)用復(fù)變函數(shù)方法研究了夾雜物對非均勻介質(zhì)材料彈性力學(xué)解的影響?；谄娈惙e分方程的方法,Erdogan等[13-14]研究了非均勻連續(xù)介質(zhì)材料平面裂紋問題;運(yùn)用相互積分法,Yu和Sladek等[15-19]研究了非均勻連續(xù)介質(zhì)材料裂紋問題,Itou等[20]分析了非均勻連續(xù)介質(zhì)材料界面裂紋問題;基于梯度有限元法,Kim 等[21]研究了非均勻連續(xù)介質(zhì)材料的裂紋問題;通過求解柯西型奇異積分方程的方法,Yong等[22]研究了粘結(jié)彈性材料的反平面裂紋問題;Wang和Monfared等[23-24]研究了非均勻各向異性材料的動態(tài)反平面多裂紋應(yīng)力奇性問題;基于邊界積分方程的方法(BIEM),Zhang等[25]研究了非均勻連續(xù)介質(zhì)材料裂紋的應(yīng)力奇性問題。

DQM 的基本原理是對于任意連續(xù)函數(shù),將其定義域上各點(diǎn)的函數(shù)值加權(quán)求和來表示各節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值的方法。長期科學(xué)研究已證明,該方法求解常微分方程具有公式簡單、編程方便、計算量少和精度高等優(yōu)點(diǎn),所以在振動工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用,主要用來求解工程結(jié)構(gòu)的自由振動和強(qiáng)迫振動問題。本文將DQM 創(chuàng)新地應(yīng)用到非均勻連續(xù)介質(zhì)材料斷裂力學(xué)研究領(lǐng)域,根據(jù)彈性力學(xué)基本理論,將角度非均勻連續(xù)介質(zhì)材料反平面V 形切口端部應(yīng)力奇性指數(shù)的計算轉(zhuǎn)化為關(guān)于應(yīng)力奇性指數(shù)及其相應(yīng)位移特征函數(shù)的常微分方程組特征值問題,由DQM 基本理論,將該常微分方程組的特征值問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型廣義代數(shù)方程組特征值問題,采用正交三角分解(QR)法可一次性地計算出角度非均勻連續(xù)介質(zhì)材料反平面V 形切口和裂紋端部應(yīng)力奇性指數(shù)及其相應(yīng)的位移特征角函數(shù)。

1 角度非均勻材料反平面V 形切口應(yīng)力奇性分析

切口兩邊自由的角度非均質(zhì)材料反平面V 形切口如圖1所示,切口張角為α=θ2-θ1,x軸與切口張角的角平分線一致。θ=θ1起始邊的彈性模量為E1,θ=θ2終止邊的彈性模量為E2,泊松比不隨角度變化,取v=0.25。切口內(nèi)的彈性模量E(θ)按照一定的函數(shù)關(guān)系變化,如圖2所示。

圖1 角度非均質(zhì)反平面切口

圖2 材料彈性模量與角度變化的關(guān)系

根據(jù)線彈性理論,反平面切口尖端區(qū)域的漸近位移場w(r,θ)可以表達(dá)成極坐標(biāo)r的漸近展開形式

將式(2)代入反平面問題的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,可以得到應(yīng)力分量表達(dá)式為:

將式(3)代入忽略體積力的彈性力學(xué)反平面問題平衡方程

化簡得:

為了便于編程計算,引入無量綱變量ξ(0≤ξ≤1),當(dāng)θ1≤θ≤θ2時,有

將式(7)代入式(6),有

設(shè)切口邊界θ=θ1和θ=θ2上面的力自由(見圖1a),有

將式(3)代入式(9)可以獲得如下邊界條件:

綜上,將角度非均質(zhì)材料反平面切口奇性分析問題,轉(zhuǎn)化為求解在邊界條件式(10)下方程組式(8)的特征值問題。

式中,lj(ξ)為拉格朗日多項式;n為離散單元總數(shù),n+1為離散節(jié)點(diǎn)總數(shù),離散節(jié)點(diǎn)方式采用具有穩(wěn)定收斂特性的余弦網(wǎng)格模式,即

由式(11)對函數(shù)w~(ξ)求一階導(dǎo)數(shù),得到:

將式(13)在區(qū)間ξ?[0,1]上離散n段,從而進(jìn)一步得到:

將式(14)寫成向量形式,得:

這里,向量A(1)nn、′和如式(16)所列,

其中,一階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)系數(shù)矩陣A(1)ij顯示表達(dá)式為:

依次類推可得:

將式(15)、(18)代入式(8),控制方程寫成向量形式,化簡得:

式中,為變系數(shù)對角陣形式,即=diag((ξ0),(ξ1),…,(ξn)),I為(n+1)×(n+1)階單位矩陣。

以切口兩邊自由的邊界條件為例,寫成向量形式為:

這里,Il=0或n。將邊界條件式(21)代入控制方程式(20),替換相應(yīng)的0行或n行,得:

由于式(22)中含有λ2項,導(dǎo)致非線性特征值問題,引入1個新向量g,

其中,g=(g(ξ0),g(ξ1),…,g(ξn-1),g(ξn))T。

聯(lián)立式(22)和式(23)可得矩陣特征方程組如下:

至此,式(24)為2(n+1)個未知列向量關(guān)于應(yīng)力奇性指數(shù)λ的一般廣義代數(shù)特征方程組。對于廣義代數(shù)特征值問題,這里采用QR法求解該式,可得到角度非均勻材料反平面V 形切口應(yīng)力奇性指數(shù)λ和相應(yīng)的特征向量。

2 數(shù)值算例

2.1 彈性模量按照角度坐標(biāo)的指數(shù)函數(shù)形式變化

假設(shè)材料的彈性模量E(θ)按照角度坐標(biāo)的指數(shù)形式變化,且θ=0時的彈性模量為E1,θ=2π時的彈性模量為E2,則

當(dāng)反平面切口終止邊和起始邊彈性模量比值E2/E1=1、10、50和100時,取離散單元數(shù)n=20,采用DQM計算角度非均勻材料反平面V 形切口尖端區(qū)域第1階應(yīng)力奇異特征指數(shù)值如表1所示。表1計算結(jié)果表明:彈性模量按照指數(shù)函數(shù)形式變化時,采用本文DQM 獲得的角度非均勻材料反平面切口應(yīng)力奇異性指數(shù)計算值與文獻(xiàn)[3]計算結(jié)果完全吻合,證明了本文方法的有效性和精確性。

表1 彈性模量按照角度坐標(biāo)的指數(shù)函數(shù)形式變化時反平面切口的奇性指數(shù)

2.2 彈性模量按照角度坐標(biāo)的冪函數(shù)形式變化

假設(shè)材料的彈性模量E(θ)按照角度坐標(biāo)的冪函數(shù)形式變化,且θ=0°時的彈性模量為E1,θ=2π時的彈性模量為E2,則

當(dāng)反平面切口終止邊和起始邊彈性模量比值E2/E1=1、10、50和100時,取離散單元數(shù)n=20,采用DQM 計算角度非均勻材料反平面切口尖端區(qū)域第1階應(yīng)力奇異特征指數(shù)值如表2所示。由表2計算結(jié)果表明:當(dāng)角度非均勻材料的彈性模量按照冪函數(shù)形式變化時,采用本文DQM 獲得的反平面切口應(yīng)力奇異性指數(shù)計算值與文獻(xiàn)[3]計算結(jié)果完全吻合,再一次證明了本文方法的有效性和精確性。

表2 彈性模量按照角度坐標(biāo)的冪函數(shù)形式變化時反平面切口的奇性指數(shù)

2.3 彈性模量按照角度坐標(biāo)的倒數(shù)形式變化

假設(shè)材料的彈性模量E(θ)按照角度坐標(biāo)的倒數(shù)形式變化,且θ=0時的彈性模量為E1,θ=2π時的彈性模量為E2,則

當(dāng)反平面切口終止邊和起始邊彈性模量比值E2/E1=1、10、50和100時,取離散單元數(shù)n=20,采用DQM計算角度非均勻材料反平面切口尖端區(qū)域第1階應(yīng)力奇異特征指數(shù)值如表3所示。表3計算結(jié)果表明:當(dāng)角度非均勻材料的彈性模量按照倒數(shù)形式變化時,采用本文DQM 獲得的反平面切口應(yīng)力奇異性指數(shù)計算值與文獻(xiàn)[3]計算結(jié)果亦完全一致,因此,DQM 求解角度非均勻單相材料反平面V 形切口應(yīng)力奇性指數(shù)是一種有效且準(zhǔn)確的手段。

表3 彈性模量按照角度坐標(biāo)的倒數(shù)形式變化時反平面切口的奇性指數(shù)

采用DQM 求解角度非均勻材料反平面切口應(yīng)力奇性問題的控制方程,反平面裂紋和V 形切口端部前若干階應(yīng)力奇異性指數(shù)和相應(yīng)的位移特征角函數(shù)一并解出。彈性模量按照指數(shù)函數(shù)和倒數(shù)形式變化分別如圖3、4所示。從圖3、4計算結(jié)果可知:終止邊和起始邊的彈性模量比值E2/E1對角度非均勻材料反平面裂紋或切口的位移特征函數(shù)影響比較明顯。E2/E1=1時,均勻材料反平面裂紋位移特征角函數(shù)關(guān)于裂紋是反對稱的;E2/E1=10、50時,材料非均勻性導(dǎo)致裂紋位移特征角函數(shù)的反對稱性發(fā)生畸變。

圖3 彈性模量按照指數(shù)函數(shù)形式變化時,角度非均勻材料反平面切口位移特征函數(shù)

圖4 彈性模量按照倒數(shù)形式變化時,角度非均勻材料反平面切口位移特征函數(shù)

3 結(jié)論

基于V 形切口端部位移場和應(yīng)力場的Williams漸近展開式,將其典型項代入彈性力學(xué)反平面問題平衡方程中,將角度非均勻材料反平面V 形切口端部應(yīng)力奇性指數(shù)的計算轉(zhuǎn)化為一類常微分方程組特征值問題,再由DQM 求解之,可獲得V 形切口和裂紋的第1階應(yīng)力奇性指數(shù)。本文主要結(jié)論如下:

(1)論文給出典型算例的DQM 計算值與已有文獻(xiàn)結(jié)果完全一致,證明了DQM 求解角度非均勻單相材料反平面V 形切口應(yīng)力奇性指數(shù)是一種有效且準(zhǔn)確的手段。

(2)采用DQM 既可求解角度非均勻材料反平面切口應(yīng)力奇性指數(shù),同時,相應(yīng)的位移特征角函數(shù)一并解出。角度非均勻材料切口的終止邊和起始邊的彈性模量比值E2/E1對角度非均勻材料反平面裂紋或切口的位移特征函數(shù)影響不容忽略,且材料非均勻性會導(dǎo)致裂紋位移特征角函數(shù)的反對稱性發(fā)生畸變。

(3)基于本文的計算結(jié)果,在V 形切口外圍使用有限元或邊界元等數(shù)值方法離散,可以計算出切口或裂紋端部完整的奇異應(yīng)力場,為評價含切口結(jié)構(gòu)的安全性提供依據(jù)。