氣液兩相流中液滴識別及體積計算

蘇明,裴世紅

(沈陽化工大學 化學工程學院,遼寧 沈陽 110142)

氣液兩相流研究對多個領(lǐng)域具有重要意義,而液滴識別和體積計算則是氣液兩相流研究的重要問題。液滴體積是液滴的重要物理屬性之一,在數(shù)值模擬中具有重要意義。它可以幫助研究人員更準確地預(yù)測液滴的行為,包括液滴的形態(tài)、運動、分離和融合等。通過計算液滴體積,還可以了解液滴的大小、形狀、表面張力和內(nèi)部流體壓力等參數(shù),以便更好地設(shè)計和優(yōu)化液滴相關(guān)的工藝和應(yīng)用。因此,在液滴相關(guān)研究和應(yīng)用中,計算液滴體積是不可或缺的一部分,具有重要意義。

液滴的形態(tài)受到多種條件的影響,其中包括兩相性質(zhì)、氣流和壁面等,這導(dǎo)致構(gòu)成液滴的微觀離散粒子與液滴之間的關(guān)系不清晰,并使得在空間上識別和計算液滴體積變得非常困難。為了解決這些問題,提出一種結(jié)合帶有噪聲的基于密度的空間聚類算法(Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise,簡稱DBSCAN算法)和光滑粒子流體動力學方法(Smooth Particle Hydrodynamics Method,簡稱SPH方法)的新方法來解決氣液兩相流中液滴的識別和體積計算問題,該方法能夠應(yīng)對復(fù)雜的液滴分布結(jié)構(gòu)和形態(tài),并具有良好的可行性和較高的準確性。

1 計算方法

1.1 液滴識別

DBSCAN算法是由Ester等[1]開發(fā)的聚類算法,Tian等[2]應(yīng)用該算法于氣固兩相流中顆粒團簇的識別,并驗證了該方法在微小粒子間的識別方面的有效性。該算法通過輸入離散粒子的位置信息和指定DBSCAN模型參數(shù)來快速準確地識別液滴,其可適用于各種形態(tài)的液滴。以下是對該算法相關(guān)概念和實現(xiàn)步驟的簡要介紹。

1.1.1 相關(guān)概論

DBSCAN算法是一種基于密度的可表示聚類識別方法。它將聚類定義為按密度連接的最大點集,該算法可以發(fā)現(xiàn)任意形狀和大小的聚類。算法有兩個關(guān)鍵的輸入?yún)?shù),第一個參數(shù)是搜索半徑eps,它定義了離散粒子搜索鄰域粒子的搜索半徑大小,第二個參數(shù)是密度閾值MinPts,MinPts是屬于所謂核心點的相鄰點的最小數(shù)量,eps和MinPts通常由人為指定大小。為了準確描述該算法,給出以下定義:

eps鄰域:一個樣本數(shù)據(jù)p,p的鄰域用Neps(p)來表示,以數(shù)據(jù)p為中心eps為半徑的區(qū)域內(nèi),即:

Neps(p)={q∈D|dist(p,q)eps}

(1)

其中,D為數(shù)據(jù)集;dist(p,q)表示D中兩個數(shù)據(jù)對象p和q之間的距離;Neps(p)包含了數(shù)據(jù)集D中與對象p距離不大于eps的所有對象。

核心點和邊界點:若點p的鄰域粒子數(shù)大于設(shè)定的最小點數(shù)閾值,則點p為核心點,若小于設(shè)定的最小點數(shù)閾值且在某個核心點的鄰域內(nèi),則為邊界點。

直接密度可達:給定樣本數(shù)據(jù)p、q,滿足p∈Neps(q)且|Neps(q)|≥MinPts,則稱對象p是從對象q密度直達的。

密度可達:若數(shù)據(jù)集D中存在對象p1,p2,…pn,存在0

密度相連:若對象p、q、r同屬一個數(shù)據(jù)集D且對象p和q是通過r密度可達,則稱對象p和q密度相連。該過程是對稱的。

聚類和噪聲:由任意一個核心點對象開始,從該對象密度可達的所有對象構(gòu)成一個聚類,如果p的閾值密度小于MinPts,并且p的eps鄰域中的所有點都是邊界點,則點p是噪聲點。

DBSCAN算法根據(jù)以下內(nèi)容建立聚類:首先,如果|Neps(p)|≥MinPts,則點p將作為核心點,并將創(chuàng)建一個新的集群。接下來,新的聚類被從p密度可達的點不斷展開。重復(fù)此過程直到找不到新的聚類。另一方面,如果|Neps(p)|≤MinPts,則點p將是一個噪聲,但是如果這個離散點從某個核心點密度可達,則它可以包含在另一個聚類中。如圖1所示,給定距離eps和參數(shù)MinPts=3,紅色點表示核心粒子,因為在尺寸為eps的殼層內(nèi)至少存在3個相鄰粒子。紅色點由雙向箭頭連接,表示它們是相互連接的核心粒子。紅點構(gòu)成了聚類的核心。點B、C和D不是核心粒子,但可以從至少一個紅點直接到達(如單向箭頭所示)。它們形成了團聚的邊界。紅圈所覆蓋的區(qū)域被視為一個簇,因為其中的粒子要么屬于簇核,要么可以從簇核直接到達。點N是一個異常值,即噪聲點。

圖1 DBSCAN方法的示意圖[2]

1.1.2 實現(xiàn)過程

對于三維空間中的離散粒子,本文使用歐幾里得距離作為距離度量標準,對于給定的數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)集,任意兩個離散粒子之間距離的大小,反映了其是否可以被識別到同一個液滴中。本文使用DBSCAN算法識別液滴的步驟如下:

1) 解析樣本數(shù)據(jù)文件;

2) 計算每個粒子與其鄰域27個網(wǎng)格內(nèi)所有粒子之間的歐幾里得距離;

3) 計算每個粒子的k-距離值,并對所有粒子的k-距離集合進行升序排序,輸出排序后的k-距離值;

4) 根據(jù)給定的MinPts、eps,計算得到所有核心粒子,并建立核心粒子與到核心粒子距離小于半徑eps的點的映射;

5) 根據(jù)得到的核心粒子集合,以及半徑eps的值,計算能夠連通的核心粒子,并得到離群粒子;

6) 將能夠連通的每一組核心粒子以及到核心粒子距離小于半徑eps的粒子,都放到一起形成一個液滴。

1.2 液滴體積計算

由離散粒子構(gòu)成的液滴在三維空間中的大小無法估計,表面形狀更是復(fù)雜,這就導(dǎo)致使用一般方法計算液滴體積異常困難。為了解決該問題,在此引入SPH方法[3],該方法是一種基于粒子的模擬方法,與傳統(tǒng)的模擬方法不同,它無需網(wǎng)格計算空間導(dǎo)數(shù)。相反,它基于分析插值微分公式的原理,能夠解析地表達空間導(dǎo)數(shù)項,從而將動量方程和能量方程轉(zhuǎn)化為一系列常微分方程。由于SPH方法不依賴網(wǎng)格,因此可以避免在處理具有大變形自由表面的問題中出現(xiàn)的網(wǎng)格纏結(jié)和扭曲問題。理論上可以處理任意邊界大變形問題,因此非常適合用于液滴體積問題的計算。

在SPH方法中,位置為xi的物理量Ai可以根據(jù)其鄰域粒子進行核插值得到,即

(2)

其中,N是支持域內(nèi)鄰域粒子數(shù),xij=xi-xj,mj為粒子質(zhì)量,W為緊支域半徑為h的光滑核函數(shù)。

所以根據(jù)式(2),可得粒子i的密度為:

(3)

SPH離散方程嚴格滿足質(zhì)量守恒定律,則由式(3)可進一步推導(dǎo)出粒子i的體積為:

(4)

式(2)中光滑核函數(shù)W(xij,h)的選取非常重要,它與粒子的支持域尺寸和函數(shù)近似息息相關(guān),還決定了核近似和粒子近似的一致性和精確性。許多科研人員對光滑核進行了研究,并提出光滑核函數(shù)應(yīng)滿足如下要求[4-7]:

1)在支持域時進行積分時滿足正則化條件(歸一性):

(5)

2)緊致性。SPH方法中通常認為只有支持域內(nèi)的粒子對給定粒子有影響因此核函數(shù)必須具備緊支性條件,即:

W(x-x′)=0,|x-x′|>κh

(6)

式中,κ為比例因子,h為光滑長度。

3)非負性:

W(x-x′)0

(7)

4)狄拉克函數(shù)條件:

limW(x-x′)=δ(x-x′)

(8)

5)偶函數(shù)、遞減性及充分光滑性質(zhì)。

理論上,同時具備上述5個條件的函數(shù)都可以被用來當做SPH方法的光滑核函數(shù)。目前常見的核函數(shù)有以下幾種:高斯型核函數(shù)、鐘型核函數(shù)、三次樣條核函數(shù)、二次核函數(shù)及五次樣條核函數(shù)[8],其中三次樣條核函數(shù)[9-10]是現(xiàn)有SPH文獻中應(yīng)用最為廣泛的光滑函數(shù)。因此選取三次樣條核函數(shù)作為光滑函數(shù)計算液滴體積,其形式如下:

(9)

其中s=|x-x'|/h,αd是與維度d相關(guān)的歸一化因子,在三維中αd=15/62πh3。

2 結(jié)果與分析

2.1 計算方法驗證

2.1.1 算例設(shè)計

為了驗證結(jié)合方法的正確性,使用具有不同數(shù)量粒子的三個不同離散體來進行實例計算。這些離散體包括粒子數(shù)為29 147個的橢球體(參見圖2a)、粒子數(shù)為17 093個的環(huán)面體(參見圖2b)和粒子數(shù)為104 630個的圓錐半球體(參見圖2c)。橢球體、環(huán)面體及圓錐半球體的方程和體積計算公式如下:

(a)橢球體;(b)環(huán)面體;(c)圓錐半球體。

2.1.1.1 橢球體

曲面方程:

(10)

體積計算公式:

(11)

其中a=20,b=15,c=10。

2.1.1.2 環(huán)面體

曲面方程:

(12)

體積計算公式:

V=2π2Rr2

(13)

其中R=15,r=5。

2.1.1.3 圓錐半球體

曲面方程:

(14)

體積計算公式:

(15)

上述離散粒子集中,粒子粒徑dp=0.85,因此在結(jié)合算法中設(shè)置eps=2dp,MinPts=1,光滑長度h=0.85。

2.1.2 驗證結(jié)果與分析

在使用結(jié)合方法計算2.1.1中生成的離散粒子集后,經(jīng)識別得出空間中存在3種液滴。液滴數(shù)量以及每個液滴的粒子數(shù)與2.1.1中的初始設(shè)置完全一致:第一種液滴包含29 147個粒子,第二種液滴包含17093個粒子,而第三種液滴包含104 630個粒子。

為了驗證使用SPH方法計算液滴體積的準確性,這里使用公式法和體素計算法做對比驗證。如下是體素方法計算液滴體積的簡單流程:

1)首先需要將待計算的液滴數(shù)據(jù)集置于一個最大包圍盒中;

2)將該包圍盒分割成若干個體素,體素的大小要與液滴粒子直徑相同(即體素邊長e=dp=0.85);

3)遍歷所有體素,若該體素內(nèi)有粒子,則將該體素的體積加和,最終得到液滴的體積。

使用2.1.1中公式、SPH方法及體素計算法分別對識別的橢球體、環(huán)面體和圓錐半球體計算體積,計算統(tǒng)計結(jié)果如表1所示:

表1 三種方法體積計算對比表

通過公式法計算得到的體積為標準體積。表1表明SPH方法與公式法關(guān)于三種形體體積計算的相對誤差分別為橢球體2.1%、環(huán)面體1.5%和圓錐半球體2.1%,而體素方法與公式法在三種形體體積計算的相對誤差分別為20.3%,23.1%和21.3%。通過對比,可以發(fā)現(xiàn)相較于體素方法而言,SPH方法計算得到的體積與標準體積的相對誤差僅在2%左右,并且對計算形體不敏感。因此,SPH方法不僅精度高,而且更具有普適性。

2.2 橫向射流霧化過程液滴識別及體積計算

航空發(fā)動機加力燃燒室、沖壓發(fā)動機燃燒室和超燃沖壓發(fā)動機燃燒室,通常使用射流將液態(tài)燃料噴入橫向氣流中實現(xiàn)摻混過程。這種方式會使得液態(tài)燃料發(fā)生破碎霧化,從而獲得小尺寸的液滴并大幅增加液體燃料的表面積。這些效應(yīng)可以顯著提高點火能力、拓展燃燒范圍,并減少廢氣排放與污染物。

液體從橫向射流出口噴出到完全霧化需要經(jīng)歷兩個過程:液柱變成大液滴為一次霧化,接著大液滴進一步破碎變成小液滴為二次霧化。圖3展示了這一過程。下面使用液滴識別及體積計算方法對液體橫向射流霧化結(jié)果進行計算,得到霧化后液滴群的粒徑分布,并分析液體破碎的霧化程度和霧化效果,展示其應(yīng)用場景。

圖3 橫向氣流中射流破碎霧化過程[11]

2.2.1 計算設(shè)置

圖4展示的為橫向射流霧化結(jié)果圖,計算區(qū)域的范圍是850×500×150(無量綱)的長方體,粒子總數(shù)為N=332 674,粒子粒徑dp=0.85。因此本次計算的參數(shù)設(shè)置如表2所示:

表2 計算參數(shù)設(shè)置

圖4 橫向射流霧化結(jié)果圖

2.2.2 計算結(jié)果與分析

霧化的目的是使液體破碎成多而小且滴徑均勻的小液滴,但是現(xiàn)實中液滴的大小并不相同,為了方便研究問題,這里使用假想的均勻尺寸液滴來代替現(xiàn)實中不均勻尺寸的液滴。因此引入索特爾平均直徑(Sauter Mean Diameter,簡稱SMD)[12]來表示液滴的平均直徑,表達式為:

(16)

其中,di為液滴的等體積直徑,ni為粒徑是di的液滴數(shù)。

在橫向氣流速度下,計算得到沿X軸方向的液體破碎后液滴群的SMD變化如圖5所示:

圖5 液滴平均SMD沿X方向的變化

由圖5可以發(fā)現(xiàn),噴口后的一小段距離內(nèi),在橫向氣流的作用下液滴群的SMD減小較為迅速,此時液柱破碎為大液滴,隨著氣流的進一步?jīng)_擊,液滴群的SMD也隨著向前推進而逐漸變小,說明霧化程度也在逐步加深,直到SMD維持在5(無量綱)左右,霧化過程完畢。

從上述分析中可知,可以通過液滴群的SMD變化得到液體破碎后的霧化程度,而霧化效果則可通過各粒徑液滴數(shù)百分比分布得到。如圖6所示,液體破碎霧化后極小液滴(粒徑在1～2(無量綱)左右)數(shù)占液滴群總數(shù)的93%左右,小液滴(粒徑在2～3(無量綱)左右)數(shù)占據(jù)液滴群總數(shù)的6%左右,說明液體破碎后的液滴主要以極小液滴和小液滴為主,反應(yīng)總體的霧化效果較好。

圖6 各粒徑液滴數(shù)百分比分布

3 結(jié)論

本文將DBSCAN算法和SPH方法結(jié)合,可用于解決氣液兩相流中液滴識別及體積計算問題。通過實例計算分析可知,即使對不同形體,該結(jié)合方法也可正確識別液滴個數(shù)及每個液滴的粒子數(shù),并且計算得到的液滴體積與其真實值相近。使用液滴識別及體積計算方法對橫向射流霧化結(jié)果進行計算,計算結(jié)果表明,該方法可得到液體破碎后液滴群的粒徑分布,可用于分析液體破碎的霧化程度和霧化效果。綜上所述,本文的結(jié)合方法可以用于氣液兩相流中液滴識別及體積計算。