圍巖松動(dòng)圈敏感因素解析分析

臧冬冬，曾朝辰，張 洋，朱初初

（1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木工程學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2.河南能源集團(tuán)永煤公司 城郊煤礦，河南 永城 476600）

0 引言

巷道開挖后，如果集中應(yīng)力小于巖體強(qiáng)度，那么圍巖將處于彈塑性穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)應(yīng)力超過(guò)圍巖強(qiáng)度之后，巷道周邊圍巖將首先破壞，并逐漸向深部擴(kuò)展，直至在一定深度取得三向應(yīng)力平衡為止，此時(shí)圍巖已過(guò)渡到破碎狀態(tài)。董方庭等人[1-2]經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期研究，將巷道圍巖中產(chǎn)生的松弛破碎帶稱為圍巖松動(dòng)圈，其力學(xué)特性表現(xiàn)為應(yīng)力降低，并于1985 年系統(tǒng)地提出圍巖松動(dòng)圈巷道支護(hù)理論。巷道開挖后，地應(yīng)力與圍巖的相互作用會(huì)產(chǎn)生圍巖松動(dòng)圈，而松動(dòng)圈范圍越大，支護(hù)越困難；在目前的技術(shù)條件下，支護(hù)對(duì)松動(dòng)圈的影響并不明顯；松動(dòng)圈擴(kuò)展過(guò)程中產(chǎn)生的碎脹力及其所造成的有害變形是巷道支護(hù)的主要對(duì)象。以上3 點(diǎn)是圍巖松動(dòng)圈巷道支護(hù)理論的核心內(nèi)容，是分析錨桿作用機(jī)理及指導(dǎo)錨桿支護(hù)設(shè)計(jì)的有效理論依據(jù)，在煤炭行業(yè)以及各類地下工程中得到了廣泛的應(yīng)用。圍巖松動(dòng)圈是地下工程中普遍存在的實(shí)際物理力學(xué)狀態(tài)，從最初董方庭等人通過(guò)大量的模型試驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試所驗(yàn)證，后續(xù)又經(jīng)過(guò)宋宏偉、靖洪文等多位學(xué)者通過(guò)聲發(fā)射法、鉆孔攝像、地質(zhì)雷達(dá)等多種測(cè)試方法對(duì)松動(dòng)圈進(jìn)行實(shí)測(cè)驗(yàn)證和分析[3-10]，劉剛等人采用ANSYS、FLAC3D、MIdas/GST 等數(shù)值模擬軟件對(duì)松動(dòng)圈進(jìn)行模擬，并結(jié)合實(shí)際工程進(jìn)行驗(yàn)證分析[11-12]。本文采用解析方法，分析影響圍巖松動(dòng)圈范圍大小的敏感因素，是對(duì)圍巖松動(dòng)圈支護(hù)理論的補(bǔ)償和完善。

1 巷道圍巖的彈塑性分析

為簡(jiǎn)化問(wèn)題且便于討論，假設(shè)巷道為圓形，其半徑為a。對(duì)應(yīng)巖石全應(yīng)力應(yīng)變曲線的彈性、塑性和破裂狀態(tài)，圍巖中依次產(chǎn)生松動(dòng)圈（破裂區(qū)）、塑性區(qū)和彈性區(qū)[14]，如圖1 所示。

圖1 分析模型Fig.1 Analytic model

考慮平面應(yīng)變情形，徑向、環(huán)向應(yīng)力和應(yīng)變分別用極坐標(biāo)σr、σθ和εr、εθ表示；位移用u 表示；原始地應(yīng)力為p0，支護(hù)力為pi；采取Mohr-Coulomb 屈服準(zhǔn)則，即：

其中，塑性區(qū)：

松動(dòng)圈（破裂區(qū)）：

各區(qū)應(yīng)力滿足平衡方程：

幾何方程為:

邊界條件和接觸條件為:

聯(lián)立式（1）和式（2），得：

此式為松動(dòng)圈與塑性區(qū)應(yīng)力分布通式，其中D為積分常數(shù)，B=c cotφ。

用式（4）中第一式，得：

令A(yù)c=D，則松動(dòng)圈應(yīng)力

由于塑性區(qū)和彈性區(qū)交界處應(yīng)力既滿足屈服準(zhǔn)則又符合彈性條件，即r=Rp時(shí)：

將式（5）代入，求得積分常數(shù)D，得到塑性區(qū)應(yīng)力。

彈性區(qū)應(yīng)力利用拉梅解答，有

至此，各區(qū)應(yīng)力均已求出，由此可計(jì)算各區(qū)位移。彈性區(qū)位移可根據(jù)物理方程和幾何方程得出：

塑性區(qū)位移包含彈性位移和塑性位移兩部分。塑性位移的計(jì)算可以利用圍巖為剛塑性體的假設(shè)，即塑性區(qū)圍巖不可壓縮，體積不變，塑性區(qū)圍巖的體積變形僅有彈性變形；松動(dòng)圈圍巖的體積變形包括彈性變形和碎脹變形，并引進(jìn)碎脹擴(kuò)容系數(shù)k，用于描述松動(dòng)圈圍巖的擴(kuò)容情況。

式中：V0為未破裂巖石的體積；V' 為破裂后的體積。

對(duì)于塑性區(qū)，體積僅有彈性變形。

將式（9）代入：

積分得：

積分常數(shù)Dp可利用式（4）中第四式獲得。

對(duì)于松動(dòng)圈，體積變形包括彈性變形和擴(kuò)容變形。

積分可得：

至此，各區(qū)應(yīng)力和位移均已求出，利用塑性區(qū)和松動(dòng)圈接觸條件即式（4）中第三式，得

根據(jù)上式中第一式可將第二式簡(jiǎn)化，有

積分系數(shù)Dc和Dp取決于Rc和Rp，但Rc和Rp還未確定。至此，所有的邊界條件和接觸條件都已利用，必須補(bǔ)充一個(gè)附加條件才能確定Rp和Rc。

由彈性理論知，只要滿足所有的基本方程、邊界條件和接觸條件，應(yīng)力應(yīng)變的解答就是正確的。這樣，通過(guò)給定不同的松動(dòng)圈范圍Rc就會(huì)得到不同的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)。而在實(shí)際情況中，巖體力學(xué)參數(shù)、原巖應(yīng)力和巷道尺寸一定的情況下，其應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)是唯一的。蔣斌松等[3]認(rèn)為塑性變形不能無(wú)限發(fā)展，變形達(dá)到一定程度巖體就要破裂進(jìn)入破裂狀態(tài)，由此建立圍巖破裂的變形條件，即在塑性區(qū)與破裂區(qū)的交界處徑向應(yīng)變相等。將進(jìn)入塑性狀態(tài)的巖體假設(shè)為剛塑性體，體積不可壓縮，體積變形僅有彈性變形，而彈性變形所產(chǎn)生的應(yīng)變是連續(xù)的，自然滿足塑性區(qū)與破裂區(qū)交界處徑向應(yīng)變相等的條件。可以近似求出塑性區(qū)和松動(dòng)圈的徑向位移：

利用幾何方程可以得到徑向應(yīng)變：

上式在塑性區(qū)和松動(dòng)圈內(nèi)是連續(xù)的函數(shù)，自然滿足變形限制條件，補(bǔ)充條件無(wú)效，無(wú)法確定松動(dòng)圈范圍的大小。所以，若將進(jìn)入塑性狀態(tài)的巖體假設(shè)為剛塑性體，利用此變形條件無(wú)法確定松動(dòng)圈范圍的大小。

對(duì)于圖1 所示簡(jiǎn)化模型，根據(jù)Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則可計(jì)算出巖石在塑性狀態(tài)和破裂狀態(tài)時(shí)的強(qiáng)度，由彈性參數(shù)可求出彈性應(yīng)變，而塑性應(yīng)變發(fā)展到什么程度后試件破裂進(jìn)入破裂狀態(tài)卻無(wú)法確定。假如對(duì)試件施加圍壓同樣可求出塑性狀態(tài)和破裂狀態(tài)下的強(qiáng)度，而試件破裂時(shí)的塑性應(yīng)變無(wú)法計(jì)算。對(duì)于巷道開挖的情況，利用Mohr-Coulomb 屈服準(zhǔn)則可以求得各區(qū)應(yīng)力，由于缺少可以確定巖石材料破裂時(shí)塑性應(yīng)變大小的條件，也就無(wú)法判斷不同位置處的圍巖是否破裂，并無(wú)法確定圍巖松動(dòng)圈范圍的大小。因此，若要計(jì)算松動(dòng)圈Rc的范圍，須從其它方面著手。

2 圍巖松動(dòng)圈范圍的計(jì)算

由塑性理論可知，塑性變形是可以自由發(fā)展的，而實(shí)際工程中并非如此。從能量角度分析可知，圍巖除了本身內(nèi)部?jī)?chǔ)存的彈性應(yīng)變能以外，還有因巷道開挖產(chǎn)生的變形使得外力對(duì)其做的功，這些能量在巷道開挖后逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閺椥詰?yīng)變能和塑性應(yīng)變能。巷道開挖致使圍巖由三向受力變?yōu)槎蚴芰Γ休d能力減弱，圍巖所能儲(chǔ)存的極限彈性應(yīng)變能大大減少，能量向塑性能轉(zhuǎn)變；而塑性能首先用于產(chǎn)生不可恢復(fù)的塑性變形，微觀上即是晶格位錯(cuò)；若能量繼續(xù)向塑性能轉(zhuǎn)變，巖體中則出現(xiàn)微裂紋，進(jìn)而裂紋貫通出現(xiàn)宏觀破裂面，圍巖進(jìn)入破裂狀態(tài)。在這一狀態(tài)，巖石材料已發(fā)生破壞或局部破壞，失去或部分失去承載力，所能儲(chǔ)存的極限彈性應(yīng)變能又將減少，巖體繼續(xù)破壞，直至穩(wěn)定。沿徑向方向，較遠(yuǎn)部位巖體應(yīng)力狀態(tài)得到改善，極限彈性能增加，相應(yīng)的塑性破壞能減少；總會(huì)存在某一位置，在這里塑性能恰好完全消耗于晶格位錯(cuò)，沒(méi)有產(chǎn)生裂紋，巖石材料的強(qiáng)度也沒(méi)有損失。這一位置就是圍巖松動(dòng)圈與塑性區(qū)的分界線。

因此，若要確定松動(dòng)圈的范圍可以嘗試從兩個(gè)方面著手：一是強(qiáng)度差值條件，找出在圍巖松動(dòng)圈和塑性區(qū)交界處切向應(yīng)力之間關(guān)系；二是塑性應(yīng)變條件，求出塑性應(yīng)變并確定巖石塑性應(yīng)變發(fā)展到什么程度時(shí)破裂。

首先，從強(qiáng)度差值條件著手。由巖石三軸應(yīng)力－應(yīng)變曲線可知，隨著圍壓的增大，巖石材料將由脆性逐漸向塑性轉(zhuǎn)變，塑性變形逐漸增大，巖石破壞時(shí)的強(qiáng)度差σp-σc逐漸減小，當(dāng)圍壓增加到一定程度時(shí)巖石的強(qiáng)度隨著應(yīng)變的發(fā)展不會(huì)降低，巖石不會(huì)破裂。由此可知：巖石由于破裂產(chǎn)生的強(qiáng)度差值隨著圍壓的增加逐漸減少至零。圍巖中松動(dòng)圈和塑性區(qū)的σr是隨著r 的增大逐漸增大的，所以，強(qiáng)度差值△σθ隨著r 的增大逐漸減小。若將松動(dòng)圈內(nèi)巖體的力學(xué)參數(shù)假設(shè)為恒定，那么，根據(jù)Mohr-Coulomb 屈服準(zhǔn)則求出的巖石破裂前后強(qiáng)度差值△σθ=(Np-Nc)σr+(Sp-Sc)是隨著σr的增大而逐漸增大的，這與三軸壓縮試驗(yàn)是矛盾的。因此，松動(dòng)圈內(nèi)巖體的力學(xué)參數(shù)是變量。這是由于圍壓增加巖體強(qiáng)度的同時(shí)也增加了巖體內(nèi)的彈性應(yīng)變能、減少了破裂時(shí)巖體消耗的塑性能，當(dāng)圍壓改變時(shí)，巖體破裂損傷程度也隨之改變。

假設(shè)在松動(dòng)圈內(nèi)N、S 為線性增加，即：

將上式代入平衡方程并積分，得：

所以：

上式為Rp和Rc之間的關(guān)系，但仍然無(wú)法確定其值。

其次，從塑性應(yīng)變條件著手。由于塑性應(yīng)變不可能無(wú)限發(fā)展，達(dá)到一定量時(shí)巖石進(jìn)入破裂狀態(tài)，破裂狀態(tài)的巖體已經(jīng)歷過(guò)塑性狀態(tài)，材料已經(jīng)受到損傷，強(qiáng)度有一定幅度的下降，塑性應(yīng)變已經(jīng)超過(guò)區(qū)分塑性狀態(tài)和破裂狀態(tài)的臨界塑性應(yīng)變。那么，松動(dòng)圈圍巖的應(yīng)變必定大于或等于這一臨界塑性應(yīng)變與彈性應(yīng)變之和，而在松動(dòng)圈和塑性區(qū)的交界處總應(yīng)變必然相等，即若是可以確定這部分塑性應(yīng)變的大小，也就可以確定巖石在什么狀態(tài)下破裂。由塑性位勢(shì)理論即正交流動(dòng)法則可知：

式中：f 為應(yīng)力空間中的屈服面，λ 為塑性應(yīng)變。塑性位勢(shì)理論確定了塑性變形的方向，但不能確定其大小，其大小可由變形協(xié)調(diào)條件確定。由幾何方程可得到變形協(xié)調(diào)方程：

利用Mohr-Coulomb 屈服準(zhǔn)則建立塑性勢(shì)φ=σθ-ασr，求得塑性應(yīng)變：

式中：塑性區(qū)αp=(1+sinφp)/(1-sinφp)，松動(dòng)圈αc=(1+sinφc)/(1-sinφc)，φ為破裂角。

將塑性應(yīng)變與彈性應(yīng)變相加，可得松動(dòng)圈和塑性區(qū)的應(yīng)變。

塑性區(qū)：

松動(dòng)圈：

若α=1 則塑性應(yīng)變之和為零，即εrp+εθp=0，此時(shí)巖體即為剛塑性體，破裂角為零。

上述應(yīng)變代入變形協(xié)調(diào)方程即式（29），得：

解此微分方程得：

式中：D 為積分常數(shù)。

將式（31）和式（32）代入，得：

塑性區(qū)：

松動(dòng)圈：

根據(jù)幾何方程ur=εθr 并利用位移接觸條件可得(r=Rc)，由此可以確定積分常數(shù)：

再由附加條件[12]εrp=εθc(r=Rc)可得：

聯(lián)立式（19）第一式，可解出Rp和Rc。

位移也可以確定：

3 圍巖松動(dòng)圈敏感因素分析

現(xiàn)采用MATLAB 軟件，利用控制變量法分析各參數(shù)對(duì)Rc的影響程度。按深部巷道考慮，取圍巖彈性模量E=20 GPa，泊松比μ=0.25，粘聚力cp=5.31 MPa、cc=2.0 MPa，內(nèi)摩擦角φp=38°，φc=15°，破裂角αp=αc=30°，原巖應(yīng)力p0=20 MPa，支護(hù)力p1=0 MPa，根據(jù)式（39）可求出Rc/a=1.35、Rp/a=1.43。改變各參數(shù)的大小，得出各參數(shù)與Rc/a 之間的關(guān)系，如圖2 所示。

圖2 各參數(shù)對(duì)松動(dòng)圈范圍的影響曲線Fig.2 Influence curve of each parameter on the range of loose circle

分析圖2 各曲線圖可知：

（1）塑性區(qū)巖體的力學(xué)參數(shù)即原巖力學(xué)參數(shù)對(duì)Rc的影響是顯著的，Rc關(guān)于原巖力學(xué)參數(shù)近似成一階線性關(guān)系。塑性區(qū)的內(nèi)摩擦角對(duì)松動(dòng)圈范圍Rc的影響較松動(dòng)圈的內(nèi)摩擦角和破裂角大，且松動(dòng)圈內(nèi)摩擦角的取值范圍較小，增大到一定程度Rc沒(méi)有實(shí)數(shù)解。塑性區(qū)巖體的粘聚力對(duì)Rc的影響較松動(dòng)圈巖體粘聚力的影響大，且Rc對(duì)松動(dòng)圈的粘聚力在一定范圍內(nèi)（cc≤1.5 MPa）較敏感，超出這一范圍影響不大。

（2）在松動(dòng)圈巖體的力學(xué)參數(shù)中，粘聚力的改變對(duì)松動(dòng)圈范圍的影響雖然沒(méi)有原巖力學(xué)參數(shù)明顯，但也不容忽視。在松動(dòng)圈粘聚力由1.0 MPa 增加到2.0 MPa 時(shí)松動(dòng)圈范圍減少了22%，由2.0 MPa 增加到3.0 MPa 時(shí)，松動(dòng)圈范圍減少了11%，繼續(xù)提高粘聚力對(duì)松動(dòng)圈范圍影響越來(lái)越小。對(duì)松動(dòng)圈圍巖進(jìn)行注漿加固可有效提高破裂圍巖的粘聚力和殘余強(qiáng)度，進(jìn)而可在有限限度內(nèi)減少松動(dòng)圈的范圍，抑制圍巖的繼續(xù)破壞。

（3）支護(hù)力與Ro的關(guān)系也近似為一階線性關(guān)系，但對(duì)Rc的影響范圍較小，與破裂角類似。在支護(hù)力由0 增加到0.4 MPa 時(shí)松動(dòng)圈范圍減少7.4%，由0.4 MPa 增加到0.8 MPa 時(shí)松動(dòng)圈范圍減少了6.4%。而現(xiàn)有的支護(hù)技術(shù)所能提供的支護(hù)力一般在0.2～0.6 MPa。因此，在現(xiàn)有支護(hù)條件下，試圖通過(guò)支護(hù)或提高支護(hù)強(qiáng)度來(lái)阻止圍巖的松動(dòng)破壞，不會(huì)產(chǎn)生明顯的效果。這與圍巖松動(dòng)圈巷道支護(hù)理論的核心內(nèi)容是一致的，即支護(hù)對(duì)松動(dòng)圈的影響工程上可忽略不計(jì)。

（4）原巖壓力對(duì)Rc的影響較大，這是因?yàn)樵瓗r壓力的取值范圍較大，實(shí)際上，Rc-pi曲線較Rcp0曲線更陡。但由于支護(hù)力的大小范圍有限，原巖應(yīng)力對(duì)松動(dòng)圈范圍的影響較支護(hù)力更為顯著。

圖3 和圖4 分別為塑性區(qū)范圍與松動(dòng)圈范圍關(guān)系曲線和徑向位移分布曲線。分析圖3 和圖4 可知：①塑性區(qū)范圍與松動(dòng)圈范圍近似成反比例關(guān)系，即松動(dòng)圈范圍越大塑性區(qū)范圍相應(yīng)越小，總范圍也越來(lái)越大，且塑性區(qū)范圍在總范圍中所占比例越來(lái)越??；②根據(jù)文獻(xiàn)[14]由塑性位勢(shì)理論求得的位移與理想彈塑性條件下的位移相比較大。

圖3 塑性區(qū)范圍-松動(dòng)圈范圍曲線Fig.3 Curve of plastic zone range-loosening zone range

圖4 位移分布曲線Fig.4 Distribution curve of displacement

綜上所述，松動(dòng)圈范圍的敏感因子為原巖力學(xué)參數(shù)和原巖應(yīng)力，其次是松動(dòng)圈內(nèi)圍巖的粘聚力和支護(hù)力。其中，在粘聚力增加到一定程度后對(duì)松動(dòng)圈范圍的影響變微小，且由于支護(hù)力的取值有限，對(duì)松動(dòng)圈范圍的影響也是有限的。支護(hù)對(duì)破碎圍巖的維護(hù)作用，表現(xiàn)在松動(dòng)圈發(fā)展變形過(guò)程中維持破碎巖塊相互嚙合不垮落，通過(guò)提供支護(hù)阻力限制破裂縫的過(guò)度擴(kuò)張，從而減少巷道的收斂變形。

4 結(jié)論

本文分析討論了巷道圍巖進(jìn)入破裂狀態(tài)后圍巖內(nèi)的應(yīng)力分布以及松動(dòng)圈范圍的計(jì)算方法，在此基礎(chǔ)上，分析了影響松動(dòng)圈范圍大小的敏感因素。

（1）在理想彈塑性情況下，是無(wú)法確定松動(dòng)圈范圍的大小。利用塑性位勢(shì)理論求出塑性應(yīng)變并補(bǔ)充徑向應(yīng)變?cè)谒蓜?dòng)圈與塑性區(qū)交界處相等的條件就可以確定松動(dòng)圈范圍的大小。

（2）影響松動(dòng)圈范圍的敏感因素是原巖力學(xué)參數(shù)和原巖應(yīng)力，而支護(hù)力和松動(dòng)圈內(nèi)圍巖的粘聚力對(duì)松動(dòng)圈范圍的影響較弱，但粘聚力的影響不容忽視。

（3）松動(dòng)圈內(nèi)圍巖的粘聚力在有限范圍內(nèi)對(duì)松動(dòng)圈范圍影響顯著，繼續(xù)增大粘聚力對(duì)松動(dòng)圈范圍的影響越來(lái)越小。注漿加固可有效提高圍巖的粘聚力，進(jìn)而可在有限限度內(nèi)減少松動(dòng)圈范圍。

（4）支護(hù)力對(duì)松動(dòng)圈范圍的影響較小，在支護(hù)力由0 增加到0.4 MPa 時(shí)松動(dòng)圈范圍減少7.4%，由0.4 MPa 增加到0.8 MPa 時(shí)松動(dòng)圈范圍減少了6.4%。因此，現(xiàn)有支護(hù)條件下，支護(hù)力對(duì)松動(dòng)圈范圍的影響很小，工程上可忽略不計(jì)。