帶有Chaplygin 壓力的耦合Aw-Rascle 模型黎曼解的極限?

翁莎莎，潘麗君?，呂順

(1. 南京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇南京 211106；2. 工業(yè)和信息化部飛行器數(shù)學(xué)建模和高性能計(jì)算重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（NUAA），江蘇南京 211106)

0 引言

考慮CAR 交通模型[1]

和

其中：ρ≥0 和v≥0 分別表示車輛的密度和速度，變量u表示相對速度. 壓力項(xiàng)p(ρ)是關(guān)于ρ的函數(shù)，用來模擬駕駛員對前方交通狀況的應(yīng)急反應(yīng). 系數(shù)η和μ是p(ρ)的比例系數(shù)且η>μ>0. 由于密度ρ隨著系數(shù)的減小而增大，CAR 模型(1)和(2)可以用來表示司機(jī)的注意力暫時分散，它們常用來描述司機(jī)在駕駛過程中短暫走神的交通現(xiàn)象. 更多關(guān)于耦合模型的相關(guān)結(jié)果見文獻(xiàn)[2-4].

2011 年，Herty 等[1]研究了初值為

的黎曼問題，其中常數(shù)v-、ρ-、v+、ρ+≥0，壓力項(xiàng)滿足

他們證明了解的存在性，但解不唯一也不穩(wěn)定. 潘麗君等構(gòu)造了具有Chaplygin 壓力的CAR 模型(1)和(2)的黎曼解，并證明了解的存在唯一性，其中Chaplygin 壓力滿足

潘麗君等認(rèn)為Chaplygin 壓力具有負(fù)壓，delta 激波會出現(xiàn)在上述黎曼問題的解中. 更多關(guān)于Chaplygin 壓力在交通流模型及其它模型中的應(yīng)用見文獻(xiàn)[5-10].

當(dāng)μ=η時，CAR 模型轉(zhuǎn)變成經(jīng)典的Aw-Rascle (AR)模型[11]

當(dāng)μ=η=0 時，即兩側(cè)壓力均消失，CAR 模型轉(zhuǎn)變成無壓氣體動力(PGD)模型

2010 年，Shen 等[12]討論了壓力項(xiàng)為p(ρ)=ργ的AR 模型(5)、(3)的極限，發(fā)現(xiàn)當(dāng)η→0，AR 模型的delta激波解不收斂到PGD 模型(6)、(3)的delta 激波解，不同之處在于delta 激波解的權(quán)重和速度. 2013 年，Pan等[13]研究了AR 模型(5)、(4)、(3)的極限，證明了當(dāng)η→0 時，AR 模型的delta 激波解收斂到PGD 模型(6)、(3)的delta 激波解. 很自然地，我們想知道：當(dāng)μ→0+且η→0+時，CAR 模型(1)、(4)和(2)、(4)的黎曼解是否相應(yīng)地都收斂于具有相同初值的PGD 模型(6)的黎曼解？特別是出現(xiàn)delta 激波解時，其極限后的權(quán)重和速度是否能與PGD 模型的delta 激波解的權(quán)重和速度保持一致？

本文研究帶有Chaplygin 壓力的耦合Aw-Rascle 模型兩側(cè)壓力同時消失時黎曼解的極限. 由于耦合模型相變兩側(cè)的壓力系數(shù)不同，導(dǎo)致相變兩側(cè)模型存在差異，用經(jīng)典的方法研究耦合模型比較困難. 因此耦合模型的結(jié)果很少，關(guān)于耦合模型壓力消失時漸近性的理論結(jié)果更是幾乎沒有，具有Chaplygin 壓力的非耦合模型壓力消失時的理論結(jié)果見文獻(xiàn)[14-15]. 我們討論當(dāng)μ→0+且η→0+時，CAR 模型(1)和(2)的極限，發(fā)現(xiàn)CAR 模型(1)、(3)、(4)和(2)、(3)、(4)的黎曼解相應(yīng)地都收斂于PGD 模型(6)、(3)的黎曼解. 與文獻(xiàn)[7]的結(jié)果不同的是，極限后的delta 激波解的權(quán)重和速度與PGD 模型的delta 激波解的權(quán)重和速度完全一致.

1 黎曼解

1.1 CAR 模型(1)和(2)的黎曼解

AR 模型(5)的特征值和對應(yīng)的右特征向量為

因?yàn)?/p>

所以系統(tǒng)嚴(yán)格雙曲且完全線性退化. 可以得到(5)的自相似解(v,ρ)(x,t)=(v,ρ)(ξ)(ξ=x/t)，計(jì)算可得常狀態(tài)解或者稀疏接觸間斷R為

對于間斷解ξ=σ，Rankine-Hugoniot 條件

其中：[ρ]=ρ+-ρ-，[ρv]=ρ+v+-ρ-v-，其它記號類似. 求解方程(10)可以得到接觸間斷J和壓縮接觸間斷S分別為

根據(jù)右狀態(tài)(v+,ρ+)的值，潘麗君等得到CAR 模型(1)、(3)、(4)的黎曼解為

(i) (v+,ρ+)∈I={(v,ρ)|v

(ii) (v+,ρ+)∈II={(v,ρ)|v--(η/ρ-)

(iii) (v+,ρ+)∈III={(v,ρ)|v>v-}:R+PTJ.

其中：“+”意味著“隨后”，PTSδ和PTJ分別表示相變與delta 激波重合和相變與接觸間斷J重合. 相變是指屬于不同相的不連續(xù)分離狀態(tài)，即具有質(zhì)的差異[16]，記作PT. CAR 模型(2)、(3)、(4)的黎曼解為

(i) (v+,ρ+)∈I={(v,ρ)|v

(ii) (v+,ρ+)∈II={(v,ρ)|v--(μ/ρ-)

(iii) (v+,ρ+)∈III={(v,ρ)|v>v-}:R+PTJ.

1.2 PGD 模型(6)的黎曼解

PGD 模型(6)的特征值和對應(yīng)的右特征向量為

因?yàn)?/p>

所以系統(tǒng)線性退化. 類似上一小節(jié)的討論，我們可以得到PGD 模型(6)、(3)的黎曼解為

(i) (v+,ρ+)∈I={(v,ρ)|v

(ii) (v+,ρ+)∈II={(v,ρ)|v>v-}:J1+J2;

(iii) (v+,ρ+)∈III={(v,ρ)|v=v-}:J.

2 兩側(cè)壓力消失時黎曼解的極限

本節(jié)我們分別討論CAR 模型(1)和(2)兩側(cè)壓力同時消失時黎曼解的極限，并研究該極限與具有相同初值的PGD 模型的黎曼解的關(guān)系.根據(jù)v+與v-的大小關(guān)系，我們將分為以下三種情形討論：(1)v+>v-；(2)v+

定義1若對任意都滿足

則(v,ρ)是黎曼問題(1)、(4)、(3)的弱解.

命題1當(dāng)v+>v-時，令μ→0+且η→0+，CAR 模型(1)、(3)、(4)和(2)、(3)、(4)的黎曼解都收斂到PGD模型(6)、(3)的黎曼解(如圖1 所示)

圖1 PGD 模型（6）的黎曼解

其中：接觸間斷J1和J2的速度σ1、σ2分別滿足σ1=v-和σ2=v+.

證明當(dāng)v+>v-時，CAR 模型(1)、(3)、(4)的黎曼解為(如圖2 所示)

圖2 CAR 模型（1）的黎曼解

和

令μ→0+且η→0+，可以得到

式(19)說明CAR 模型(1)兩側(cè)壓力同時消失時出現(xiàn)真空狀態(tài). 下面證明稀疏接觸間斷R轉(zhuǎn)變成接觸間斷J1.R滿足熵條件

令μ→0+且η→0+，熵條件(20)變?yōu)?/p>

而式(21)正是J1滿足的熵條件. 進(jìn)一步，(1)兩側(cè)壓力同時消失時，相變也消失. 因此，當(dāng)v+>v-時，CAR 模型(1)、(3)、(4)的黎曼解(16)收斂到PGD 模型(6)、(3)的黎曼解(15).

當(dāng)v+>v-時，CAR 模型(2)、(3)、(4)的黎曼解為

注1 由命題1 的證明過程，可以觀察到稀疏接觸間斷到接觸間斷的轉(zhuǎn)化.

引理1當(dāng)v+

證明由于v+

命題2當(dāng)v+

圖3 PGD 模型（6）的黎曼解

Sδ的位置x(t)、速度vδ(t)和權(quán)重ω(t)滿足

當(dāng)[ρ]/=0 時，

當(dāng)[ρ]=0 時，

證明由于v+

圖4 CAR 模型（1）的黎曼解

PTSδ的位置、速度和權(quán)重滿足

當(dāng)[ρ]/=0 時，

當(dāng)[ρ]=0 時，

不失一般性，我們只討論[ρ]/=0 情形，[ρ]=0 情形類似可證. 令μ→0+且η→0+，不難計(jì)算得到：

將黎曼解(26)和(27)代入式(14)的第一個方程，可以得到

由最后一個等式得到

類似的，代入式(14)的第二個方程，有

由最后一個等式得到

方程(29)和(30)表示黎曼解(23)的廣義Rankine-Hugoniot 條件[17-18]成立，即當(dāng)μ→0+且η→0+時，式(26)的極限是式(23). 下面證明極限后的熵條件成立，PTSδ的熵條件為

令μ→0+且η→0+，熵條件(31)變?yōu)?/p>

而式(32)正是Sδ滿足的熵條件. 因此，當(dāng)v+

當(dāng)v+

類似上面討論，可以證明黎曼解(33)也收斂到PGD 模型(6)、(3)的黎曼解(23).

命題3當(dāng)v+=v-時，令μ→0+且η→0+，CAR 模型(1)、(3)、(4)和(2)、(3)、(4)的黎曼解都收斂到PGD模型(6)、(3)的黎曼解(如圖5 所示)

圖5 PGD 模型（6）的黎曼解

其中J的速度為σ=v+.

證明當(dāng)v+=v-時，CAR 模型(1)、(3)、(4)黎曼解為(如圖6 所示)

圖6 CAR 模型（1）的黎曼解

其中PTJ的速度為=v+. 很顯然，當(dāng)v+=v-時，CAR 模型(1)、(3)、(4)的黎曼解(35)收斂到PGD 模型(6)、(3)的黎曼解(34)；當(dāng)v+=v-時，CAR 模型(2)、(3)、(4)的黎曼解

也收斂到PGD 模型(6)、(3)的黎曼解(34).

結(jié)合命題1～3，得到本文主要結(jié)果定理1.

定理1當(dāng)兩側(cè)壓力消失時，即μ→0+且η→0+時，帶有Chaplygin 壓力(4)的CAR 模型(1)和(2)的黎曼解都收斂到具有相同初值的PGD 模型(6)的黎曼解.