基于錯位塔形工件的旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差辨識

程 濤， 項四通*， 張海南， 楊建國

（1. 寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，浙江 寧波 315211；2. 上海交通大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院，上海 200240）

1 引 言

五軸機(jī)床作為工業(yè)母機(jī)，廣泛應(yīng)用于航空、航天和國防等領(lǐng)域。作為五軸機(jī)床的重要零部件，旋轉(zhuǎn)軸在裝配與制造過程中，存在4 項與位置無關(guān)的幾何誤差（Position-Independent Geometric Error， PIGE）和6項與位置有關(guān)的幾何誤差（Position-Dependent Geometric Error， PDGE）［1］。上述誤差直接影響五軸加工精度，因此有必要進(jìn)行辨識與補(bǔ)償［2］。

球桿儀［3］、R-test［4］、激光［5］與視覺類［6］設(shè)備常用于旋轉(zhuǎn)軸的誤差測量。其中，球桿儀操作簡單，通過圓軌跡可辨識出旋轉(zhuǎn)軸的幾何誤差。Seth 等［7］基于齊次坐標(biāo)變換建立運動學(xué)模型，利用3 種不同的球桿儀安裝模式辨識旋轉(zhuǎn)軸8 項PIGE。郭世杰等［8］依據(jù)旋轉(zhuǎn)軸不同運動狀態(tài)下幾何誤差的影響因素，建立4 種球桿儀測量模式，辨識旋轉(zhuǎn)軸10 項PIGE。鄭華林等［9］采用區(qū)別建模方法，利用多種球桿儀測量策略并結(jié)合運動學(xué)模型迭代分離出旋轉(zhuǎn)軸的PIGE 與PDGE。球桿儀價格便宜且測量精度高，但因誤差耦合于圓軌跡，通常需設(shè)定巧妙的測量模式以便于誤差解耦。

ISO 230-1：2012［10］中提出了R-test 測量裝置，通過一次采樣即可獲得三維球體的球心坐標(biāo)，可用于旋轉(zhuǎn)軸的誤差測量。阮大文等［11］基于R-Test 辨識了雙五軸系統(tǒng)中旋轉(zhuǎn)軸的安裝誤差與運動誤差。Pu 等［12］基于所提出的刀尖點坐標(biāo)誤差建模與運動鏈傳動誤差建模兩種誤差建模方法，利用R-test 辨識了旋轉(zhuǎn)軸XYZ3 個方向上的體積誤差。相比于球桿儀，R-Test 可同樣連續(xù)測量機(jī)床誤差且效率更高，但設(shè)備成本高昂。

在激光類測量方法中，皮世威等［13］采用激光干涉儀對旋轉(zhuǎn)軸與直線軸聯(lián)動測量，實現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角誤差及重復(fù)轉(zhuǎn)角誤差的測量與補(bǔ)償。針對大型龍門機(jī)床，殷建等［5］利用激光跟蹤儀測量旋轉(zhuǎn)軸不同角度下靶鏡的位置，辨識出旋轉(zhuǎn)軸12項幾何誤差以及3 項垂直度誤差。對于小型機(jī)床，Deng［14］通過引入剛體運動約束，采用激光跟蹤干涉儀測量旋轉(zhuǎn)軸誤差，辨識得到旋轉(zhuǎn)軸的4項PIGE 與6 項PDGE。激光測量雖然精度高，但設(shè)備成本和對光要求較高，因此測量效率較低。

近年來，視覺測量常用于旋轉(zhuǎn)軸的誤差測量。Yin 等［6］以視覺測量為基礎(chǔ)，提出了一種用于辨識緊湊空間中運動的旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差方法。Chen 等［15］基于視覺測量安裝于主軸上標(biāo)靶的三維位移，辨識旋轉(zhuǎn)軸10 項PDGE。視覺測量具有非接觸、實時性與動態(tài)測量等優(yōu)勢，在工業(yè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用［16］。但相機(jī)與旋轉(zhuǎn)臺位置定位操作較為復(fù)雜，且對光源、環(huán)境等要求較高，因此測量精度難以保證［17］。

在機(jī)測量與數(shù)控系統(tǒng)具有良好的通信能力，可實現(xiàn)高效與自動化的測量［18］。基于工件切削的在機(jī)測量可真實地反映機(jī)床的加工精度［19］。ISO-10791-7：2014［20］中提出4 種工件，在加工中采用直線插補(bǔ)、圓插補(bǔ)與鉆孔等不同指令，基于加工后工件尺寸精度以檢查加工中心的整體性能。由中國成飛集團(tuán)自主設(shè)計研發(fā)的“S”件目前已收錄于ISO-10791-7：2020［21］，可綜合評定五軸機(jī)床聯(lián)動加工的性能。Ibaraki 等［22］通過階梯形工件切削與在機(jī)測量，結(jié)合空間誤差模型推導(dǎo)出的誤差辨識模型，精確辨識出旋轉(zhuǎn)軸8 項PIGE。Jiang 等［23］利用激光位移傳感器代替在機(jī)測頭，通過切削工件辨識旋轉(zhuǎn)軸PIGE，同時通過預(yù)先辨識線性軸垂直度誤差以消除它對辨識結(jié)果的影響。利用工件切削與在機(jī)測量辨識機(jī)床誤差，能反映實際工況下的機(jī)床幾何誤差，該方法的測量成本較低，且辨識精度與效率較高。

本文設(shè)計并加工了一種錯位塔形工件，基于在機(jī)測量以辨識旋轉(zhuǎn)軸的6 項PDGE。在工件不同層級的底面與側(cè)面規(guī)劃在機(jī)測量測點，并基于空間誤差模型推導(dǎo)出每項誤差的辨識原理與解析解。工件在機(jī)床充分預(yù)熱后進(jìn)行加工，機(jī)床線性軸幾何誤差已通過激光干涉儀進(jìn)行預(yù)先辨識與補(bǔ)償，對旋轉(zhuǎn)軸誤差辨識結(jié)果的影響可以忽略不計。該錯位塔形工件設(shè)計方便，且每項誤差的辨識原理與辨識結(jié)果簡易，可辨識旋轉(zhuǎn)軸PDGE。

2 錯位塔形工件設(shè)計

2.1 工件設(shè)計

本文在XZRYBC 型雙轉(zhuǎn)臺五軸機(jī)床上開展研究，其運動鏈中的刀具鏈為T-Z-X-R，工件鏈為W-C-B-Y-R。以旋轉(zhuǎn)軸C軸為例，為辨識其PDGE 設(shè)計錯位塔形工件，具體尺寸如圖1（a）～1（b）所示。

圖1 錯位塔形工件Fig.1 Misaligned tower-shaped artefact

工件主體為三層錯位疊加的矩形塊，相鄰兩層矩形塊之間錯位30°。如圖1（c）～1（d）所示，對工件側(cè)面與底面以Si，j與Ui，j（i=1，2，3；j=1，2，3，4）進(jìn)行命名，其中S與U分別表示工件的側(cè)面與底面，i表示層數(shù)，j表示同一層的4 個方向面。如圖1（c）所示，以第一層垂直于+Y軸的側(cè)面為第一個面，記為S1，1，以逆時針為正方向，依次為面S1，2，S1，3與S1，4。記第一層垂直于面S1，1的底面為U1，1，以逆時針為正方向，依次為面U1，2，U1，3與U1，4。其他層的側(cè)面與底面的命名以此類推。

2.2 工件優(yōu)勢分析

與球桿儀［3］辨識PDGE 方法相比，球桿儀需經(jīng)徑向、軸向與切向等多次安裝才能將旋轉(zhuǎn)軸誤差分離辨識。該方法所需步驟繁雜，且多次安裝時引入的多項安裝誤差對辨識結(jié)果的影響較大。所提出的錯位塔形工件切削測量方法，僅通過一次安裝便可完成后續(xù)辨識工作，降低了安裝誤差的影響。

R-Test［10］與激光跟蹤干涉儀［14］等專用測量設(shè)備價格昂貴，且操作技術(shù)要求較高，人工成本也相應(yīng)上升。與所提出的方法相比，錯位塔形工件成本較低，且技術(shù)要求較低，適用于實際生產(chǎn)加工過程中的旋轉(zhuǎn)軸誤差辨識。

ISO-10791-7：2020［21］中提出了“S”件等5 種特征工件，采用特定的加工方式與三坐標(biāo)測量模式，但此類工件主要用于評估機(jī)床的加工性能，無法用于辨識旋轉(zhuǎn)軸的單項運動誤差。

Ibaraki 等［22］提出了塔形工件用于辨識旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差。如圖2 所示，以C軸為例，旋轉(zhuǎn)軸在0°，90°，180°與270°位置完成四層階梯的切削，將4 個角度位置的旋轉(zhuǎn)軸誤差反映至工件上，最終在三坐標(biāo)測量機(jī)上完成測量。該工件僅在旋轉(zhuǎn)軸4 個角度位置進(jìn)行加工，因此僅能反映0°，90°，180°與270°的旋轉(zhuǎn)軸誤差，無法反映更多角度位置。

圖2 Ibaraki 提出的塔形特征工件［22］Fig.2 Tower-shaped artefact proposed by Ibaraki［22］

與上述工件不同的是，本文對階梯進(jìn)行錯位設(shè)計，相鄰兩層階梯之間依次同向錯位30°。通過工件切削與測量方法辨識誤差的前提是保證工件存在有效測量面，而錯位30°的設(shè)計則保證了旋轉(zhuǎn)軸每旋轉(zhuǎn)30°均有可用來測量的矩形特征面。一方面，同一矩形特征面可多次利用，增加矩形特征面的利用率；另一方面，共有13 個角度位置（0°，30°，…，360°）可反映旋轉(zhuǎn)軸誤差，相比于非錯位的塔形工件增加了旋轉(zhuǎn)軸誤差的采樣頻率。

2.3 工件在機(jī)測量

2.3.1 測點規(guī)劃

分別在Si，j與Ui，j面上沿工件坐標(biāo)系X軸與Y軸方向布置測點，測點間距為3 mm。工件在機(jī)測量后，將側(cè)面測點擬合為l（Si，j），底面測點擬合為l（Ui，j）。在圖3 所示測點中，第一層側(cè)面底面測點的擬合線為l（S1，1）與l（U1，1）；第二層測點的擬合線為l（S2，1）與l（U2，1）；其他測點擬合線的命名以此類推。

圖3 工件在機(jī)測量的測點分布與擬合線示意圖Fig.3 Schematic diagram of measurement points distribution and fitting line of artefact on-machine measurement

2.3.2 在機(jī)測量

工件在C=0°時由線性軸聯(lián)動完成加工，待機(jī)床冷卻后進(jìn)行在機(jī)測量。C軸由0°轉(zhuǎn)至360°，每轉(zhuǎn)30°測量平行于X和Y方向的側(cè)面與底面，整個過程共進(jìn)行13 步測量，具體測量過程如圖4所示。

圖4 在機(jī)測量策略Fig.4 On-machine measurement strategy

如圖4（a）所示，當(dāng)C=0°，90°，180°，270°與360°時，分別測量第一層中與X和Y方向平行的側(cè)面與底面。例如，C=0°時，測量側(cè)面S1，1與S1，4及底面U1，1與U1，4；C=90°時，測量側(cè)面S1，2與S1，1及底面U1，2與U1，1。其他角度以此類推。

如圖4（b）所示，當(dāng)C=30°，120°，210°與300°時，分別測量第二層中與X和Y方向平行的側(cè)面與底面。例如，C=30°時，測量側(cè)面S2，1與S2，4及底面U2，1與U2，4；C=120°時，測量側(cè)面S2，2與S2，1及底面U2，2與U2，1。其他角度以此類推。

如圖4（c）所示，當(dāng)C=60°，150°，240°與330°時，分別測量第三層中與X和Y方向平行的側(cè)面與底面。例如，C=60°時，測量側(cè)面S3，1與S3，4及底面U3，1與U3，4；C=150°時，測量側(cè)面S3，2與S3，1及底面U3，2與U3，1。其他角度以此類推。

3 旋轉(zhuǎn)軸PDGE 辨識

3.1 誤差定義與建模

根據(jù)ISO-230-1［10］，旋轉(zhuǎn)軸C軸的6 項PDGE如表1 所示。

表1 C 軸的6 項PDGETab.1 Six PGDE for C-axis

在工件加工及測量過程中，B軸固定于0°位置不動，建立C軸6 項PDGE 影響下的五軸機(jī)床空間誤差模型，如下：

式中：與分別表示理想狀態(tài)與實際狀態(tài)下刀具坐標(biāo)系相對于工件坐標(biāo)系的空間位置，ΔP與ΔO分別為位置與姿態(tài)誤差。

將位置誤差ΔP（Px（θ），Py（θ），Pz（θ））與方向誤差ΔO（Ox（θ），Oy（θ），Oz（θ））展開，如下：

式中：θ為C軸轉(zhuǎn)動角度，x，y與z為工件切削與測量時X軸、Y軸與Z軸的運動量。

3.2 PDGE 辨識原理

3.2.1 坐標(biāo)系變換

如圖5 所示，C=0°時，工件坐標(biāo)系（Workpiece Coordinate System， WCS）與機(jī)床坐標(biāo)系（Machine Coordinate System， MCS）重合；在機(jī)測量時，工件隨C軸轉(zhuǎn)動角度θ（θ=30°，60°，…，360°），即WCS 相對于MCS 反向轉(zhuǎn)動θ。C=360°時，與C=0°的WCS 重合，因此共建立12 個WCS。

圖5 C 軸不同角度下的坐標(biāo)系Fig.5 WCS at different angles of C-axis

將空間誤差測量值與理論值進(jìn)行比較，可辨識出C軸的6 項PDGE。在不同WCS 下，基于在機(jī)測量可獲取側(cè)面與底面的測點數(shù)據(jù)，其測點擬合直線（l（Si，j），l（Ui，j））與理論面的距離與角度偏差，即空間誤差測量值。為計算不同WCS 下的空間誤差理論值，需對空間誤差模型作旋轉(zhuǎn)變換，將式（1）中的反轉(zhuǎn)θ，即乘以[R(ZM，θ)]-1，以獲得不同WCS 的空間誤差模型，即：

將式（3）代入空間誤差模型式（1）后，展開后得到不同WCS 下的空間誤差理論值，如下：

基于上述空間誤差測量值與理論值，可辨識出C軸的6 項PDGE。

3.2.2 辨識原理

在不同WCS 下對工件的側(cè)面與底面進(jìn)行在機(jī)測量，通過比較在機(jī)測量的空間誤差測量值與理論值，可辨識出C軸的6 項PDGE，其辨識原理如圖6 所示。

圖6 PDGE 辨識原理Fig.6 PGDE identification principle

如圖6（a）所示，在XY平面上，以理論測點線l*（Si，j）為 基 準(zhǔn) ，與為實測點擬合線l（Si，j）相對于基準(zhǔn)在X與Y方向上的實測距離偏差。其中，符號‖ ‖表示兩直線在X軸方向上的距離。同時，根據(jù)式（4）可計算出X與Y方向的理論距離偏差(θ) 與(θ)，由此得到辨識方程式如下：

類似地，如圖6（b）所示，在YZ平面上，以理論測點線l*（Ui，j）為基準(zhǔn)，基于Z向?qū)崪y距離偏差

如圖6（b）與6（d）所示，分別在XZ與YZ平面上，以理論測點線l*（Ui，j）為基準(zhǔn)，與為實測擬合線相對于基準(zhǔn)繞Y軸與X軸的實測角度偏差。其中，符號?表示兩直線夾角。同時，根據(jù)式（4）計算出理論角度偏差(θ)與可得辨識方程如下：

類似地，如圖6（c）所示，在XY平面上，以理論測點線l*（Si，j）為基準(zhǔn)，可得繞Z軸的角度偏差該誤差僅由C軸的角度定位誤差ECC引起，故得辨識方程如下：

求解式（5）～式（8），可辨識出C軸全部6 項PDGE，其辨識解析式如下：

4 實 驗

4.1 工件加工與在機(jī)測量

實驗在一臺XZRYBC 型雙轉(zhuǎn)臺五軸機(jī)床上進(jìn)行，機(jī)床放置于恒溫實驗室中，環(huán)境溫度控制在（20±0.5） ℃。加工前，首先對機(jī)床充分預(yù)熱，工件材料選用6061 鋁合金，刀具采用直徑為4 mm 的硬質(zhì)合金平底銑刀，刀距設(shè)置為1.5 mm。

粗加工結(jié)束后，在開始精加工之前需對刀具重新標(biāo)定，主軸帶動刀具進(jìn)行預(yù)熱，每兩分鐘進(jìn)行一次激光對刀，直至相鄰兩次對刀誤差控制在2 μm 以內(nèi)。精加工采用高主軸轉(zhuǎn)速低進(jìn)給率，主軸轉(zhuǎn)速為10 000 r/min，進(jìn)給率為1 000 mm/m，確保加工面具有較好的表面質(zhì)量。

加工完成后靜置機(jī)床4 h，待機(jī)床充分冷卻后，在不同C軸角度下對工件各層側(cè)面與底面進(jìn)行在機(jī)測量。在機(jī)測量系統(tǒng)使用Marposs VOP40，其測頭直徑為2 mm，測桿長度為35 mm，重復(fù)精度為2 μm。工件的在機(jī)測量過程如圖7 所示，測量時長約20 min。由于測量時間較短，測量過程幾乎不受機(jī)床熱誤差的影響。

圖7 C 軸不同角度下的在機(jī)測量Fig.7 On-machine measurement at different angles of Caxis

4.2 辨識結(jié)果與驗證

C軸6 項PDGE 的辨識結(jié)果如圖8 所示。EXC總體在±40 μm 內(nèi)，該誤差在C=270°時達(dá)到最大值22.8 μm；在C=90°時達(dá)到最小值-34.4 μm。EYC在［-26.8 μm，20.4 μm］內(nèi)變化。EZC在［-3.5 μm，10.2 μm］內(nèi)變化，較為平穩(wěn)。角度誤差EAC與EBC的范圍分別為［-3.6″，4.6″］與［-6.7″，3.1″］，角度定位誤差ECC的范圍為［2.1″，25.8″］。

圖8 C 軸6 項PDGE 的辨識結(jié)果Fig.8 Identification results of 6 PDGE of C-axis

不確定性分析對于旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差辨識至關(guān)重要，本研究通過蒙特卡洛模擬進(jìn)行不確定性分析，以明確不確定因素對辨識結(jié)果的影響［24］。以EYC辨 識 為 例 ，實 測 距 離 偏 差可由S1，3面上隨機(jī)選取5 個測點擬合計算而得。選取不同的測點組合，重復(fù)此操作，將辨識結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差視為不確定度（k=1），如圖8 中的誤差棒所示。

為驗證辨識結(jié)果的準(zhǔn)確性，使用球桿儀進(jìn)行驗證。如圖9 所示，分別在徑向、切向與軸向3 種測量模式［23］下各進(jìn)行球桿儀測試以辨識C軸6 項PDGE。圖10 對比了球桿儀辨識與本辨識方法的結(jié)果。如圖10（a）所示，線性誤差EXC，EYC與EZC的辨識結(jié)果偏差分別在［-1.9 μm，2.7 μm］，［-1.7 μm， 1.5 μm］與［-1.3 μm，0.9 μm］之間；如圖10（b）所示，角度誤差EAC，EBC與ECC的辨識結(jié)果偏差分別在［-1.0″，1.3″］，［-0.6″，0.4″］與［-2.1″，1.8″］之間。兩者辨識結(jié)果的平均吻合度達(dá)95.4%，證實了本方法的準(zhǔn)確性。

圖9 球桿儀辨識方法Fig.9 Identification method based on ball-bar

圖10 球桿儀對比實驗結(jié)果Fig.10 Comparison of test results between proposed method and ball-bar identification

5 結(jié) 論

本文提出了一種工件切削測量方法，可辨識旋轉(zhuǎn)軸的6 項PDGE。設(shè)計了一種錯位塔形工件，它由三層錯位疊加的矩形塊組成，工件特征簡單且加工測量方便。通過在工件不同層級的底面與側(cè)面布置在機(jī)測量測點，可求解出每項誤差的解析解，且辨識原理與辨識結(jié)果形式簡單。與現(xiàn)有的球桿儀辨識方法相比，線性誤差EXC，EYC與EZC的辨識結(jié)果偏差分別在［-1.9 μm，2.7 μm］，［-1.7 μm，1.5 μm］與［-1.3 μm，0.9 μm］之間；角度誤差EAC，EBC與ECC的辨識結(jié)果偏差分別在［-1.0″，1.3″］，［-0.6″，0.4″］與［-2.1″，1.8″］之間，辨識結(jié)果的吻合度達(dá)95.4%，證實了本方法的準(zhǔn)確性。本辨識方法基于工件切削，可辨識實際工況下旋轉(zhuǎn)軸的6 項PDGE。