主成分分析法在園林專業(yè)學(xué)生成績?cè)u(píng)價(jià)中的應(yīng)用

崔 珺，潘 健

（黃山學(xué)院生命與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，安徽 黃山 245041）

0 引 言

學(xué)生成績?cè)u(píng)價(jià)是高校教學(xué)管理的重要組成部分[1]，對(duì)學(xué)生的成績進(jìn)行分析有利于教師了解學(xué)生對(duì)課程的掌握情況，而成績?cè)u(píng)價(jià)體系對(duì)學(xué)生在校期間的獎(jiǎng)懲、后期的深造和就業(yè)都有很大影響。早期的成績?cè)u(píng)價(jià)主要采用平均成績和學(xué)分績點(diǎn)評(píng)價(jià)等方式進(jìn)行[2]，隨著信息技術(shù)不斷革新，眾多學(xué)者將多元分析引入學(xué)生成績?cè)u(píng)價(jià)體系中[3，4]，主要以因子分析[5，6]、主成分分析[7]和聚類分析[8，9]為主，亦有綜合兩種方式進(jìn)行分析的案例[10，11]。采用統(tǒng)計(jì)的方法來進(jìn)行成績?cè)u(píng)價(jià)可以將復(fù)雜的指標(biāo)簡單化，解決定量或定性分析中存在的問題[12]，便于進(jìn)行成績?cè)u(píng)價(jià)?；谝陨显?，結(jié)合園林專業(yè)課程特點(diǎn)和主成分分析法進(jìn)行學(xué)生成績?cè)u(píng)價(jià)，以期為后期學(xué)生成績?cè)u(píng)價(jià)提供參考依據(jù)。

1 研究對(duì)象和研究方法

1.1 研究對(duì)象

以黃山學(xué)院生命與環(huán)境科學(xué)學(xué)院園林專業(yè)2018屆、2019屆和2020屆3屆畢業(yè)生的基礎(chǔ)課和專業(yè)課課程成績?yōu)槔?，運(yùn)用主成分分析法對(duì)學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)效果和綜合能力進(jìn)行評(píng)價(jià)。三屆學(xué)生人數(shù)不一致，每屆隨機(jī)抽取90 名共270 名學(xué)生的課程成績作為研究對(duì)象。園林專業(yè)開設(shè)課程較多，如表1 所示，經(jīng)過對(duì)培養(yǎng)方案的梳理研討初步遴選了20門課程作為變量。選擇的課程包括10門基礎(chǔ)課程A1-A10；10門專業(yè)課程B1-B10，以上20門課程對(duì)應(yīng)的成績分別用x1，x2，…，x20來表示，這樣即可得到一個(gè)270×20的數(shù)據(jù)矩陣，使用SPSS 22.0進(jìn)行主成分分析。

表1 用于分析的課程及編號(hào)

1.2 研究方法

主成分分析法的基本思想為對(duì)問題的原始指標(biāo)做線性組合形成綜合指標(biāo)，按方差大小進(jìn)行排序，選取前幾個(gè)綜合指標(biāo)，依次定義為第一、第二、第三主成分等。這些主成分間是線性無關(guān)的。這樣處理，既能降低問題的復(fù)雜度，又能從原始數(shù)據(jù)中進(jìn)一步挖掘?qū)嶋H問題的某些新信息[13，14]。

在實(shí)際問題中，為了降低分析的難度，提高分析效率，通常不直接對(duì)原始指標(biāo)（p個(gè)）構(gòu)成的隨機(jī)向量x=（x1，x2，…，xp）進(jìn)行分析，而是先對(duì)向量做線性變換，把原來的隨機(jī)向量變換成新的綜合變量y1，y2，…，yp。變量y1，y2，…，yp之間相互獨(dú)立，并且其方差依次遞減。下面用兩個(gè)向量對(duì)問題進(jìn)行說明，考慮通過線性變換，將x1和x2進(jìn)行線性組合，得到兩個(gè)新的變量y1和y2。從幾何角度來看，就是將坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角度，得到新坐標(biāo)軸y1和y2，具體坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式如下[15]：

式中，U為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，由（1）可知它是正交陣，即滿足式（2）：

從相關(guān)系數(shù)矩陣開始，求解主成分的步驟：

1.標(biāo)準(zhǔn)化各觀測(cè)變量數(shù)據(jù)；

2.求各觀測(cè)變量標(biāo)準(zhǔn)化后的相關(guān)系數(shù)矩陣；

3.根據(jù)矩陣知識(shí)|ρ-λI|=0，求解相關(guān)系數(shù)矩陣的特征根；

4.求解各特征根對(duì)應(yīng)的特征向量ρμi=λiμi。

其中，第一主成分的系數(shù)向量為最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量；第二主成分的系數(shù)向量為第二大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，同理可以得到其他系數(shù)。

2 結(jié)果與分析

2.1 相關(guān)系數(shù)矩陣

將270名學(xué)生的課程成績作為原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，首先將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化并計(jì)算相關(guān)矩陣得到表2。由表2 可以看出，在被進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的20 門課程中，有5 門基礎(chǔ)課程，包括氣象學(xué)、繪畫1、繪畫2、園林設(shè)計(jì)初步和園林史,與10 門專業(yè)課程成績間呈極顯著正相關(guān)，1 門基礎(chǔ)課程植物學(xué)與除園林規(guī)劃設(shè)計(jì)1 以外的9 門專業(yè)課程成績間呈極顯著正相關(guān)，除少數(shù)課程間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)外，多數(shù)課程之間的相關(guān)系數(shù)都達(dá)到了顯著正相關(guān)或極顯著正相關(guān)，這表示大多數(shù)課程成績具有較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，即某門課程的成績的波動(dòng)，可由另外一門課程成績分布規(guī)律來進(jìn)行推斷。

表2 課程成績(變量)間相關(guān)系數(shù)

以花卉學(xué)和園林樹木栽培學(xué)為例，二者之間的相關(guān)系數(shù)最高，達(dá)到0.669，這表明花卉學(xué)掌握較好的同學(xué)，其園林植物栽培學(xué)掌握的也較好。此外，對(duì)于園林專業(yè)開設(shè)的基礎(chǔ)課程和專業(yè)課程進(jìn)行相關(guān)性分析時(shí)，可以看出對(duì)氣象學(xué)、繪畫1、繪畫2、園林設(shè)計(jì)初步和園林史這5門基礎(chǔ)課程與園林專業(yè)開設(shè)的專業(yè)課程相關(guān)性均呈正顯著相關(guān)，這充分說明園林專業(yè)基礎(chǔ)課程的設(shè)置對(duì)于園林專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課具有重要的影響。園林規(guī)劃設(shè)計(jì)2、園林建筑、園林植物造景、花卉學(xué)1和園林樹木栽培學(xué)與所有的專業(yè)基礎(chǔ)課均呈現(xiàn)顯著相關(guān)，這5 門課程也是生物類專業(yè)重要的專業(yè)課程，這有力地驗(yàn)證了學(xué)好基礎(chǔ)課程對(duì)專業(yè)知識(shí)的掌握至關(guān)重要。

2.2 公因子方差分析

由輸出結(jié)果公因子方差看出，表3 中最后一列的數(shù)據(jù)均在50%以上，表明提取的主成分對(duì)每個(gè)變量的解釋程度都較高。

表3 公因子方差分析

2.3 解釋的總方差

如表4 所示，由輸出結(jié)果圖的總方差可以看出前4 個(gè)主成分y1，y2，y3，y4的方差之和占總方差的比例達(dá)到了65.281%。所以，前4 個(gè)主成分就可以基本保留了原來指標(biāo)的信息，這樣就由原來的12個(gè)減少為4 個(gè)新指標(biāo)，從而起到了降維的作用。第一主成分的方差貢獻(xiàn)率為38.399%，即第一主成分可以反映原指標(biāo)38.399%的信息量，表示第一主成分承載了學(xué)生成績的主要綜合信息。前4個(gè)主成分的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率達(dá)到65.281%，若按照60%的判斷標(biāo)準(zhǔn)，只需選取前4 個(gè)主成分就可以代表原來20 個(gè)指標(biāo)所包含信息量的65.281%。

表4 主成分的特征值、方差貢獻(xiàn)率和累計(jì)貢獻(xiàn)率

表5 給出了4 個(gè)主成分的特征向量和相應(yīng)的載荷值。第一主成分對(duì)應(yīng)的特征向量和載荷值均為正值，數(shù)值上也相差較小，即第一主成分可以反映學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)成績。第一主成分在園林植物造景、園林樹木學(xué)2、花卉學(xué)1 和園林樹木學(xué)栽培學(xué)這4門專業(yè)課程上的載荷值較大，通過分析可知這4門課程在第一主成分中起作用較大，因此在專業(yè)學(xué)習(xí)中這幾門課程學(xué)的怎樣就直接影響學(xué)生的綜合專業(yè)素質(zhì)。第二、三、四主成分的方差貢獻(xiàn)率分別是12.084%、9.442%和5.356%，且在各門課程上的荷載值存在負(fù)值，在學(xué)生綜合成績?cè)u(píng)價(jià)上容易產(chǎn)生偏差，因此直接采用第一主成分對(duì)學(xué)生綜合成績進(jìn)行評(píng)價(jià)更合理。

表5 4個(gè)主成分的特征向量和相應(yīng)的載荷值

由表5中成分得分系數(shù)矩陣可以得到主成分表達(dá)式。

第一主成分：

以此類推，還可以寫出其余3 個(gè)主成分的得分表達(dá)式。

第二主成分：

第三主成分：

第四主成分：

對(duì)于學(xué)習(xí)綜合成績的優(yōu)劣也可以通過綜合評(píng)價(jià)得分體現(xiàn)，以4個(gè)主成分所對(duì)應(yīng)的特征值（見表4）占所提取主成分總的特征值之和的比例作為權(quán)重，計(jì)算主成分綜合模型，根據(jù)主成分綜合模型即可算出綜合主成分值。其表達(dá)式為：

其中λ1=7.680；λ2=2.417；λ3=1.888；λ4=1.071；

本研究中最終可以得到表達(dá)式為：

將學(xué)生的成績標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)代入Y1、Y2、Y3、Y4和Y的表達(dá)式中，就可以得到每個(gè)學(xué)生的主成分得分和綜合得分，再對(duì)隨機(jī)抽取的20名學(xué)生的課程成績進(jìn)行綜合排名。從表6 中可以看出，第一主成分得分給出的排名與4個(gè)主成分的綜合成績得分提供的排名十分接近，平均分與主成分排名差距較小。從表5 中每個(gè)學(xué)生的綜合成績得分、總成績平均分以及4 個(gè)主成分方面的得分情況，可以進(jìn)一步判斷學(xué)生在綜合素質(zhì)和學(xué)科上的優(yōu)劣。

表6 綜合排名（部分）

3 結(jié) 論

學(xué)生成績可以反映學(xué)生對(duì)課程的掌握情況以及教學(xué)中需要教師注意的部分，但是單純通過20門課程來評(píng)價(jià)學(xué)生課程掌握情況又是一個(gè)復(fù)雜的問題。研究采用主成分分析的思想與實(shí)際教學(xué)情況相結(jié)合，從枯燥的各科目成績中挖掘出很多信息，如各門課程成績之間具有較強(qiáng)的相關(guān)性，學(xué)好基礎(chǔ)課程對(duì)后期專業(yè)課程學(xué)習(xí)有很大的影響；園林植物造景、園林樹木學(xué)2、花卉學(xué)1、和園林樹木栽培學(xué)這幾門課程的掌握很大程度上影響學(xué)生對(duì)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)以及綜合素質(zhì)的提高等。研究只是選擇基礎(chǔ)課和專業(yè)課進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，沒有考慮公共課和選修課對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)成績的影響，可能在分析綜合成績方面存在偏差。但是通過以上的數(shù)據(jù)分析，還是能發(fā)現(xiàn)教學(xué)的一些規(guī)律，旨在為園林專業(yè)教育教學(xué)改革提供科學(xué)的方法和理論依據(jù)。