對(duì)一道解析幾何最值問題的深入探究

安徽省合肥市肥東縣城關(guān)中學(xué)(231600)王東海

高中新課標(biāo)突出對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查,而圓錐曲線成為考查邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要載體.其中關(guān)于代數(shù)式最值的問題在高考和模考中頻繁出現(xiàn).此類問題的處理手段主要有幾何法與代數(shù)法兩種,圓錐曲線壓軸題通常以代數(shù)手段為主,但在構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往思維量和運(yùn)算量較大,學(xué)生不太容易掌握.本文以一道開學(xué)考試題的探究為例,談?wù)勂鋬?nèi)涵與外延:

1 考題呈現(xiàn)

題目(2024 屆高三江蘇省南京市開學(xué)考) 已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為焦距為2,過E的左焦點(diǎn)F的直線l與E相交于A,B兩點(diǎn),與直線x=-2 相交于點(diǎn)M.

(1)若M(-2,-1),求證:|MA|·|BF|=|MB|·|AF|;

(2)過點(diǎn)F作直線l的垂線m與E相交于C,D兩點(diǎn),與直線x=-2 相交于點(diǎn)N.求的最大值.

利用弦長(zhǎng)公式易證得第(1)問等式成立.第(2)問可以設(shè)線用直曲聯(lián)立、直線參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程等手段解決該題.可得所求的最大值為試題簡(jiǎn)潔但內(nèi)容豐富,具有較大的探究空間.

2 背景探究

近年來,命題者開始挖掘高等幾何中一些素材來命制高考和?？贾械膱A錐曲線試題.本文探討的模考題的命題背景是高等幾何中的極點(diǎn)和極線模塊的內(nèi)容.為了能夠闡述清楚,先來探討一下本題涉及到的概念和性質(zhì).

定義1給出線段AB的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D,若則稱C,D調(diào)和分割線段AB(或線段AB被C,D調(diào)和分割),也稱點(diǎn)列A,B,C,D為調(diào)和點(diǎn)列.

定義2設(shè)兩點(diǎn)C,D的連線與圓錐曲線Γ 相交于A,B,若線段AB被C,D調(diào)和分割,則稱C,D是關(guān)于圓錐曲線Γ的一對(duì)調(diào)和共軛點(diǎn).

定義3一點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線Γ 的所有調(diào)和共軛點(diǎn)的軌跡為一條直線p,此時(shí)稱直線p為點(diǎn)P(關(guān)于Γ)的極線,點(diǎn)P稱為直線p(關(guān)于Γ)的極點(diǎn).簡(jiǎn)稱極點(diǎn).

如圖1,由極點(diǎn)極線定義知,以點(diǎn)F(-1,0) 為極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極線的方程為從而M(-2,-1) 是其上一點(diǎn),故由定義2 知,線段AB被F,M調(diào)和分割,也即A,B,F,M四點(diǎn)成調(diào)和點(diǎn)列,即故而|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.

圖1

3 拓展探究

教師在講解典型試題時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行深層次的探究及引申,充分挖掘題目的內(nèi)涵和外延.反思此題,第(2)小題的結(jié)論能否推廣到一般的橢圓? 經(jīng)推理得下面一般性結(jié)論:

結(jié)論1已知橢圓C:過左焦點(diǎn)F的直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作直線l的垂線m與橢圓相交于C,D兩點(diǎn),且與準(zhǔn)線x=相交于點(diǎn)N,則的最大值為

證明以點(diǎn)F點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸正方向?yàn)闃O軸的方向建立極坐標(biāo)系,則橢圓C的方程為所以從而

若將左焦點(diǎn)F拓展到一般的x軸上的定點(diǎn),則上式是否仍具有最值?

結(jié)論2已知橢圓C:過定點(diǎn)S(s,0)(s∈(-a,0)) 的直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),與其極線相交于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作直線l的垂線m與橢圓相交于C,D兩點(diǎn),且與相交于點(diǎn)N,則的最大值為

證明設(shè)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).將其代入=1 并整理得:

4 類比推理

我們還可嘗試將結(jié)論進(jìn)一步類比到雙曲線和拋物線中:

結(jié)論3已知雙曲線= 1(a＞0,b＞0),過左焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線相交于A,B兩點(diǎn),與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作直線l的垂線m與雙曲線相交于C,D兩點(diǎn),且與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,則的最大值為

結(jié)論4已知雙曲線C:=1(a＞0,b＞0),過定點(diǎn)S(s,0)(s∈(-∞,-a))的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),與其極線x=交于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作直線l的垂線m與雙曲線C相交于C,D兩點(diǎn),且與x=相交于點(diǎn)N,則的最大值為

結(jié)論5已知拋物線y2=2px(x＞0),過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作直線l的垂線m與拋物線相交于C,D兩點(diǎn),且與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,則的最大值為

證明以點(diǎn)F點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸正方向?yàn)闃O軸的方向建立極坐標(biāo)系,則拋物線的方程為

|MF|=,故

結(jié)論6已知拋物線C:y2=2px(p＞0),過定點(diǎn)S(s,0)(s∈(0,+∞))的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),與其準(zhǔn)線x=-s相交于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作直線l的垂線m與拋物線相交于C,D兩點(diǎn),且與x=-s相交于點(diǎn)N,則的最大值為

結(jié)論3、4、6 證明方法類似于結(jié)論1、2,從略.

5 拓展探究

針對(duì)此題,還可以進(jìn)行進(jìn)一步拓展:

結(jié)論7已知橢圓Γ:=1(a＞b＞0),過左焦點(diǎn)F的直線l與Γ 相交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)F作l的垂線m與橢圓相交于C,D兩點(diǎn),則為定值

證明以點(diǎn)F點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸正方向?yàn)闃O軸的方向建立極坐標(biāo)系,則橢圓C方程為設(shè)B(ρ,θ),C(ρ,π+θ),所以

對(duì)于雙曲線與拋物線,亦有同樣的結(jié)果.

結(jié)論8已知橢圓Γ:=1(a＞b＞0),過左焦點(diǎn)F的直線l與Γ 相交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)F作l的垂線m與橢圓相交于C,D兩點(diǎn),則為定值

證明以點(diǎn)F點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸正方向?yàn)闃O軸的方向建立極坐標(biāo)系,則橢圓C方程為設(shè)B(ρ,θ),C(ρ,π+θ),所以

從而得:|AB|=|AF|+|BF|=同理設(shè)所以|CD|=|CF|+|DF|=

對(duì)于雙曲線與拋物線,亦有同樣的結(jié)果.