運動鏈基本環(huán)路集新的定義及其生成方法

孫亮波　洪熙熙　劉小翠　劉新

摘要：環(huán)路是運動鏈結(jié)構(gòu)的固有特征，已有研究和應(yīng)用多集中在基于環(huán)路的構(gòu)型綜合、同構(gòu)判定、剛性子鏈消除等方面。給出了基本環(huán)路集的新定義，提出了運動鏈的樹狀結(jié)構(gòu)表達及相關(guān)理論，以及基于此的基本環(huán)路集提取原則，方便快捷地獲得各種運動鏈的基本環(huán)路集。案例分析證明，所提方法規(guī)則簡單，便于計算機程序化實現(xiàn)，可快速地獲得結(jié)構(gòu)復(fù)雜、對稱性高的運動鏈的基本環(huán)路集。通過實例證明了上述理論的正確性和有效性。

關(guān)鍵詞：基本環(huán)路集；樹狀結(jié)構(gòu)；最短環(huán)路；環(huán)路特性

中圖分類號：TH112

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.09.006

New Definition of Basic Loop Set of Kinematic Chain and Its Generation Method

SUN Liangbo HONG Xixi LIU Xiaocui LIU Xin

Abstract： Loops were an inherent feature of kinematic chain structures， and most of the existing researches and applications were focused on configuration synthesis， isomorphism determination and rigid sub-chain elimination based on loops. A new definition of basic loop set was proposed， and the dendrogram expression of kinematic chain and related theories were proposed， as well as the basic loop set extraction principles based on the holographic matrix expression of inter-component connection relations and complex hinge determination. The proposed method is simple in rules， easy to implement by computer programmatically， and may obtain the basic loop sets of kinematic chains with complex structures quickly， and the correctness and validity of the above theory were proved by examples.

Key words： basic loop set; dendrogram; shortest loop; loop characteristics

0 引言

運動鏈型綜合是機械產(chǎn)品和機構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計的基礎(chǔ)，1964年，F(xiàn)REUDENSTEIN等［1］首次將圖論引入機構(gòu)學(xué)，用于表示運動鏈的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。借助圖論［2］這一工具，學(xué)者們綜合了大量的各種構(gòu)件數(shù)和運動副數(shù)的運動鏈［3-4］。描述運動鏈的結(jié)構(gòu)參數(shù)不僅有桿件數(shù)和運動副數(shù)等基本信息，還包括桿件類型、多元構(gòu)件數(shù)量和類型、獨立環(huán)路集、最長環(huán)路、運動副類型等信息，不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)組成大量不同的機構(gòu)，這極大地豐富了機構(gòu)的結(jié)構(gòu)類型。Symbol`@@其中，運動鏈中獨立環(huán)路數(shù)、最長環(huán)路及其包含的構(gòu)件個數(shù)、最長環(huán)路中多元構(gòu)件的排列、各個環(huán)路間的耦合關(guān)系等體現(xiàn)了運動鏈的結(jié)構(gòu)特征。學(xué)者們提出基本環(huán)路集的定義［5］，采用基本環(huán)和輔助結(jié)構(gòu)法用于運動鏈生成［6］，后續(xù)基于環(huán)路提出同構(gòu)判定方法［7-8］，采用基本環(huán)路集解決剛性子鏈判定問題和拓?fù)鋱D的自動繪制問題［5，8］。RAO等［9］對運動鏈的環(huán)路進行分析，得到了一些概念和定義，以及環(huán)路與鉸鏈、構(gòu)件間的不變關(guān)系式。楊廷力等［10］也提出了相關(guān)的環(huán)路特性理論?？傮w來說，如同構(gòu)判定［11-12］、剛性子鏈判定［13］、最長環(huán)路［5］、拓?fù)鋱D自動生成［7，14-16］等都采用環(huán)路或基本環(huán)路集進行，因此對于基本環(huán)路集，應(yīng)有更嚴(yán)謹(jǐn)和可操作性的定義和生成方法，這將有助于對大量的運動鏈構(gòu)型綜合進行相應(yīng)的處理。

對于結(jié)構(gòu)具有一定對稱性的運動鏈，其基本環(huán)路集的選取有多種可能。目前，關(guān)于基本環(huán)路集的自動生成，研究成果較少。DING等［7］給出了基本環(huán)路集的數(shù)學(xué)定義，通過環(huán)路的“+，-，×”操作獲得運動鏈的其他環(huán)路和最長環(huán)路，但是對環(huán)路的獲取方法并沒有詳細(xì)說明。LIU等［17］提出廣度優(yōu)先生成樹求得圖的基本回路，該方法生成的基本環(huán)路集只是眾多環(huán)路集組合中的一種，并且不包含復(fù)鉸。

對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的多構(gòu)件運動鏈，基于目測的網(wǎng)孔狀環(huán)路的選取是非常困難的。同時，選擇網(wǎng)孔狀的環(huán)路作為基本環(huán)路集的環(huán)路，不適用于計算機自動化程序設(shè)計。本文給出了基本環(huán)路集的新定義，并與文獻［5］進行了對比分析，提出樹狀結(jié)構(gòu)、含復(fù)鉸的運動鏈基本環(huán)路集提取方法，對3個實例進行分析，以此來論證所提方法的正確性和可行性。

1 基本環(huán)路集的新定義

在研究基本環(huán)路集之前，給出2個與環(huán)路有關(guān)的特性。

（1）環(huán)路特性。獨立的環(huán)路是運動鏈中某些構(gòu)件首尾依次相連構(gòu)成的封閉鏈，因此，獨立環(huán)路中不允許出現(xiàn)重復(fù)的運動副或構(gòu)件。對于通過簡單鉸鏈連接的構(gòu)件，運動副的重復(fù)必然伴隨構(gòu)件的重復(fù)；而對于復(fù)鉸連接的構(gòu)件，復(fù)鉸處對應(yīng)不同構(gòu)件間的連接運動副，因此將復(fù)鉸點置于環(huán)路中，以甄別和滿足環(huán)路特性。

（2）運動鏈結(jié)構(gòu)特性。對于閉式的可分離或不可分離運動鏈，任意一組基本環(huán)路集都可以唯一確定運動鏈的環(huán)路結(jié)構(gòu)。

文獻［5］給出了基本環(huán)路集的定義1：①環(huán)路集的環(huán)路數(shù)剛好等于其獨立環(huán)路數(shù)；②運動鏈的所有其他環(huán)路都能通過基本環(huán)路集里面的環(huán)路經(jīng)過“+”運算得到。

本文給出基本環(huán)路集新的定義2：①環(huán)路集的環(huán)路數(shù)等于獨立環(huán)路數(shù)；②每個環(huán)路為包含其中的某個或多個構(gòu)件的所有環(huán)路中的最短環(huán)路；③環(huán)路集應(yīng)包含運動鏈中的所有構(gòu)件。

上述兩種定義如果不加以嚴(yán)格甄別是難以區(qū)別的。定義1給出了一個廣泛的定義，并且其獲取方式是模糊的；定義2則給出了更嚴(yán)格的定義，規(guī)定了基本環(huán)路集中的每個環(huán)路必須是環(huán)路中一個或多個構(gòu)件的最短環(huán)路，并且給出了基本環(huán)路集的可行的獲取方式。

下例很好地解釋了2種定義的區(qū)別。圖1所示兩個同構(gòu)的8桿10副1自由度運動鏈拓?fù)鋱D，根據(jù)歐拉定理的獨立環(huán)路數(shù)計算公式為

L=p-n+1=10-8+1=3

其中，p為運動副個數(shù)，n為桿件數(shù)。其基本環(huán)路集包含3個獨立環(huán)路。

該拓?fù)鋱D為網(wǎng)狀和非交叉，往往可以直接觀測得到一組基本環(huán)路集。如果直接從網(wǎng)狀環(huán)路判斷，圖1a得到的基本環(huán)路集如下。L1：1-2-3-8-6-7，L2：1-4-5-6-7，L3：3-4-5-6-8， 該環(huán)路集分別是2個5構(gòu)件的環(huán)路和1個6構(gòu)件的環(huán)路。由圖1b得到的基本環(huán)路集如下（分別對應(yīng)包含括號中構(gòu)件的最短環(huán)路）。L1：1-2-3-4（構(gòu)件1，2，3，4），L2：1-4-5-6-7（構(gòu)件5，6，7），L3：3-4-5-6-8（構(gòu)件5，6，8），上述3個環(huán)路分別是1個4構(gòu)件環(huán)路和2個5構(gòu)件環(huán)路。圖1a中的環(huán)路1-2-3-8-6-7可以通過對圖1b中的三個最短環(huán)路進行“+”運算得到。

對于結(jié)構(gòu)具有一定對稱性的運動鏈，某個構(gòu)件i對應(yīng)的最短環(huán)路個數(shù)Li是一個確定的數(shù)。根據(jù)歐拉定理，獨立環(huán)路數(shù)L是一個較小的數(shù)值，這就意味著根據(jù)本文給出的基本環(huán)路集定義2，基本環(huán)路集的選取是從所有構(gòu)件的最短環(huán)路中隨機選取L個環(huán)路的操作。

2 基于樹狀結(jié)構(gòu)的基本環(huán)路集相關(guān)理論和生成方法

在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，各元素間的從屬關(guān)系用樹狀結(jié)構(gòu)表示［18］。本文用改進的樹狀結(jié)構(gòu)來描述機構(gòu)運動鏈中各構(gòu)件的連接關(guān)系，通過檢索描述運動鏈獲得各構(gòu)件間的連接關(guān)系。當(dāng)以任一構(gòu)件作為樹狀結(jié)構(gòu)的根節(jié)點時，均可獲得該根節(jié)點的連接關(guān)系和環(huán)路信息。制定一定的規(guī)則，可獲得以運動鏈中所有構(gòu)件作為根結(jié)點的最短環(huán)路。

2.1 樹狀結(jié)構(gòu)及其環(huán)路相關(guān)理論

對應(yīng)圖2a所示運動鏈，圖2b為以構(gòu)件1作為根節(jié)點所對應(yīng)的樹狀分叉結(jié)構(gòu)關(guān)系圖，用線條表示構(gòu)件間的連接關(guān)系?？梢钥闯觯瑯錉罱Y(jié)構(gòu)圖能很好地表達運動鏈中各個構(gòu)件間的連接關(guān)系，但要想編制一定的規(guī)則，通過計算機自動獲得所有的環(huán)路信息或基本環(huán)路集，尤其是在含有復(fù)鉸的情況下，是非常困難的。若要獲得包含某個構(gòu)件的最短回路，即樹狀結(jié)構(gòu)圖中包含根節(jié)點的最短回路，則相對容易得多。

由于多元構(gòu)件和多元復(fù)鉸的存在，用樹狀分叉結(jié)構(gòu)表達運動鏈，不同于圖形結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，各個節(jié)點可以與上層節(jié)點、下層節(jié)點、同層節(jié)點有連接關(guān)系。根據(jù)構(gòu)件間的連接關(guān)系和樹狀分叉圖，給出以下定義和理論。

根節(jié)點：第一層節(jié)點為根節(jié)點。根節(jié)點只有1個。

父節(jié)點、子節(jié)點和兄弟節(jié)點：兩個不在同一層且有直接連接關(guān)系的節(jié)點，上一層節(jié)點為下一層節(jié)點的父節(jié)點，反之為子節(jié)點。同層節(jié)點之間有連接關(guān)系的，稱為兄弟節(jié)點。運動鏈中由于多元構(gòu)件和多元復(fù)鉸的存在，故一個父節(jié)點可能有多個子節(jié)點，一個子節(jié)點也可能有多個父節(jié)點，同時一個節(jié)點可能有多個同層的兄弟節(jié)點。

主鏈：根節(jié)點引出的與其子節(jié)點間的連接關(guān)系或支鏈稱為主鏈。如圖2b所示，樹狀分叉圖的4條主鏈為1-2、1-12、1-13、1-14。

支鏈：根節(jié)點與2層及以上子節(jié)點構(gòu)成的連接稱為支鏈。例如圖2b的樹狀分叉圖的兩條支鏈為1-2-5-3-6、1-14-11-10-6。

最短環(huán)路：衍生自不同主鏈的支鏈，到達同一個子節(jié)點，則構(gòu)成了環(huán)路，其中包含該節(jié)點的最少構(gòu)件數(shù)的環(huán)路為該根節(jié)點的最短環(huán)路。

n個長度相等的最短環(huán)路（n≥2），可能是不同主鏈經(jīng)由不同的支鏈構(gòu)成之間構(gòu)成的，也可能是相同2個主鏈經(jīng)由不同的支鏈構(gòu)成的，上述最短環(huán)路全部記錄為該根節(jié)點的最短環(huán)路。構(gòu)件2作為根節(jié)點，

例如不同主鏈、不同支鏈構(gòu)成的最短環(huán)路有：2-7-4-12-1-2，2-5-3-8-7-2。

構(gòu)件14作為根節(jié)點，相同主鏈、不同支鏈構(gòu)成的最短環(huán)路有：14-11-9-4-13-1-14，14-11-9-4-12-1-14，14-11-9-7-2-1-14。

2.2 基于樹狀結(jié)構(gòu)圖的基本環(huán)路集提取規(guī)則

采用樹狀結(jié)構(gòu)表達運動鏈間構(gòu)件的連接關(guān)系，樹的深度即節(jié)點的層數(shù)，對于一個構(gòu)件數(shù)的耦合運動鏈，其樹狀結(jié)構(gòu)的深度約為3-4，因此檢索得到樹狀結(jié)構(gòu)的計算量相對較小。

以每一個構(gòu)件作為根節(jié)點，檢索到有基本環(huán)路生成，即退出檢索，后續(xù)進行重復(fù)環(huán)路剔除、環(huán)路分析和選擇。該方法計算和分析量較少，規(guī)則和判定條件較為簡單和清晰，可快速獲得運動鏈的基本環(huán)路集。以圖1所示運動鏈為例，構(gòu)件11檢索出的樹狀分叉圖見圖3。

基于圖3的樹狀分叉結(jié)構(gòu)，提取基本環(huán)路集的規(guī)則和步驟如下。

（1）首先檢索運動鏈中的復(fù)鉸以及構(gòu)成復(fù)鉸的構(gòu)件，若有多個復(fù)鉸，則對其進行編號，如J1，J2，…，并標(biāo)記其連接的構(gòu)件編號。

在圖3的樹狀分叉圖中，有復(fù)鉸J1（4，7，8，9）和復(fù)鉸J2（9，10，11）。

（2）根據(jù)構(gòu)件編號，從1開始逐一將每個構(gòu)件作為樹狀結(jié)構(gòu)的根節(jié)點，檢索每個根節(jié)點的最短環(huán)路。

①檢索獲得與根節(jié)點有連接關(guān)系的構(gòu)件，作為第2層子節(jié)點，獲得該根節(jié)點下的多個主鏈。

檢索第二層子節(jié)點為9、10和14，獲得3個主鏈：11-9，11-10，11-14。

②由i-1層子節(jié)點i≥3檢索得到與其有連接關(guān)系的i層子節(jié)點，獲得并記錄這些子節(jié)點到根節(jié)點的連接關(guān)系（即支鏈），比較不同支鏈間i層子節(jié)點是否相同，若相同，則獲得最短環(huán)路。

若i層無相同子節(jié)點，則判斷這些子節(jié)點之間有無直接連接關(guān)系，否則獲得最短環(huán)路。

注意：對于結(jié)構(gòu)具有對稱性的運動鏈，上述兩種情況下均可能有多條等長的最短環(huán)路，所以每一種情況均應(yīng)檢索所有的子節(jié)點情況。

檢索圖3第3層子節(jié)點1、4、6、7、8，分別對應(yīng)的支鏈為：11-9-4、11-9-7、11-9-8、11-10-6、11-14-1。各支鏈之間無相同的子節(jié)點，子節(jié)點4、7、8之間有連接，但是在第3層獲得的支鏈沒有相同的節(jié)點，沒有形成閉合環(huán)路，因此不予考慮。檢索第4層子節(jié)點2、3、12、13，分別對應(yīng)的支鏈為：11-9-4-12、11-9-4-13、11-9-7-2、11-9-8-3、11-10-6-3、11-14-1-2、11-14-1-12、11-14-1-13。各支鏈間有相同的子節(jié)點，根據(jù)最短環(huán)路定義，不同的主鏈引出的支鏈可以構(gòu)成最短環(huán)路，將構(gòu)件按編號從小到大排列，獲得對應(yīng)的4個長度為6的最短環(huán)路：1-2-7-9-11-14，1-12-4-9-11-14，1-13-4-9-11-14，3-6-10-11-9-8。

③上述最短環(huán)路的最終確定必須滿足環(huán)路特性和最短環(huán)路特性，否則該最短環(huán)路無效。

要滿足最短環(huán)路特性，只需要對比每條支鏈的第2個元素（即第2層子節(jié)點）是否相同，若不相同，則滿足最短環(huán)路特性，即不同主鏈對應(yīng)的支鏈能構(gòu)成最短環(huán)路。

要滿足環(huán)路特性，將兩條支鏈組成環(huán)路后，根據(jù)之前的檢索信息，將復(fù)鉸插入相應(yīng)的構(gòu)件之間，檢索復(fù)鉸在環(huán)路中有無重復(fù)出現(xiàn)，若沒有重復(fù)出現(xiàn)，則滿足環(huán)路特性。

根據(jù)環(huán)路特性，將復(fù)鉸插入上述最短環(huán)路中，獲得相應(yīng)的包含復(fù)鉸的環(huán)路，即L1：1-2-7-J1-9-J2-11-14，L2：1-12-4-J1-9-J2-11-14，L3：1-13-4-J1-9-J2-11-14，L4：3-6-10-J2-11-J2-9-8。判別復(fù)鉸在環(huán)路中的重復(fù)性，環(huán)路L4中具有重復(fù)的復(fù)鉸，因此根因點11對應(yīng)有3個最短環(huán)路L1、L2、L3。

④若步驟②中i層檢索不到對應(yīng)最短環(huán)路，則繼續(xù)檢索下一層，執(zhí)行步驟②和③，直至最終獲得最短環(huán)路。

（3）獲得每個構(gòu)件作為根節(jié)點的最短環(huán)路后，將每一個環(huán)路按照連接關(guān)系和構(gòu)件編號從小到大排列，并比較這些環(huán)路，去掉重復(fù)的環(huán)路，得到最短環(huán)路集合L′。

圖3所示運動鏈中構(gòu)件1-14的最短環(huán)路檢索不再贅述，各最短環(huán)路及對應(yīng)的構(gòu)件見表1。

由表1可以看出，構(gòu)件11、14對應(yīng)有3個最短環(huán)路，構(gòu)件3、7、8對應(yīng)有2個最短環(huán)路，其他構(gòu)件按對應(yīng)1個最短環(huán)路。除構(gòu)件7對應(yīng)的最短環(huán)路1-2-7-4-12沒有重復(fù)外，其他6個環(huán)路均有重復(fù)，而該運動鏈的獨立環(huán)路數(shù)為5。因此，優(yōu)先選擇重復(fù)度大的環(huán)路2-5-3-8-7、3-6-10-9-8、1-12-4-13，然后從11、14對應(yīng)的3個最短環(huán)路中隨機選擇2個，如1-2-7-9-11-14、1-12-4-9-11-14，滿足運動鏈結(jié)構(gòu)特性，即所有環(huán)路中的構(gòu)件都出現(xiàn)在上述環(huán)路組合中。最終得到包含所有構(gòu)件的基本環(huán)路集為，L1：1-12-4-13， L2：2-5-3-8-7，L3：1-2-7-9-11-14，L4：1-12-4-9-11-14，L5：3-6-10-9-8。

（4）若L′=L，則獲得的所有環(huán)路構(gòu)成基本環(huán)路集。若L′>L，則在最短環(huán)路集合L′中隨機抽取數(shù)量等于獨立環(huán)路數(shù)L的最短環(huán)路，根據(jù)本文給出的基本環(huán)路集新的定義2中的第3條，基本環(huán)路集應(yīng)包含運動鏈所有環(huán)路中的所有構(gòu)件。

若L′

圖4a中到步驟（3）獲得了3個最短環(huán)路：1-2-3-4-5，6-7-8-9，10-11-12-13，檢索到2個最短環(huán)路1-2-3-4-5與10-11-12-13，構(gòu)件1與11有連接關(guān)系，因此，1-11作為檢索的第一層節(jié)點，按照上述規(guī)則，可最終檢索出包含1-11的最短環(huán)路1-5-4-6-9-10-11，獲得上述5個最短環(huán)路集。同理，圖4b中到步驟（3）獲得4個最短環(huán)路：1-2-3-4，5-6-7-8-9，10-11-12-13，14-15-16-17-18，檢索到構(gòu)件4和17有連接關(guān)系，以4-17作為第一層節(jié)點，可檢索到3-4-17-18-9-5。繼續(xù)檢索，以8-10為第一層節(jié)點，可檢索到8-9-18-14-13-10，最終可獲得上述6個環(huán)路的最短環(huán)路集。

以上基本環(huán)路集的獲取規(guī)則，對于構(gòu)件數(shù)較少或結(jié)構(gòu)不對稱的運動鏈，一般不需要進行步驟（3）操作即可得到與基本環(huán)路數(shù)對應(yīng)的基本環(huán)路集；而對于構(gòu)件數(shù)較多且結(jié)構(gòu)對稱性高的運動鏈，可能會出現(xiàn)最短環(huán)路數(shù)多于基本環(huán)路數(shù)的情況，依據(jù)上述優(yōu)化選擇方法，可大大減少分析對比計算量，快速獲得基本環(huán)路集。

3 最短環(huán)路集分析實例

3.1 可分離運動鏈的基本環(huán)路集

可分離運動鏈大量應(yīng)用于機械手和機器人，對于可分離運動鏈的基本環(huán)路集，獲得復(fù)鉸信息，再根據(jù)環(huán)路特性判定最短環(huán)路。

圖6所示的運動鏈，若不考慮復(fù)鉸J1，檢索構(gòu)件1的最短環(huán)路會得到1-2-3-4-5的最短環(huán)路，注意到復(fù)鉸J1連接構(gòu)件1、2、5、10，因此，將復(fù)鉸插入相應(yīng)的位置后得到的環(huán)路為1-J1-2-3-4-5-J1，該環(huán)路有復(fù)鉸重復(fù)出現(xiàn)，不應(yīng)作為構(gòu)件1的最短環(huán)路。

該可分離運動鏈的最短環(huán)路集為：1-6-7-8-9-10，2-3-4-5，分別對應(yīng)環(huán)內(nèi)所有構(gòu)件的最短環(huán)路。

3.2 具有較大對稱性的運動鏈的環(huán)路集

圖7為28構(gòu)件、具有較大對稱性的運動鏈拓?fù)鋱D［19］，根據(jù)歐拉公式計算其獨立環(huán)路數(shù)L=p－n+1=13。如以三元構(gòu)件1作為根節(jié)點，檢索獲得的最短8構(gòu)件環(huán)路有19個，而以二元構(gòu)件3作為根節(jié)點，檢索獲得的最短8構(gòu)件環(huán)路有8個。根據(jù)本文的定義和操作規(guī)則，限于篇幅，僅直接給出該運動鏈的一組基本環(huán)路集：1-2-3-4-5-6-13-14， 1-2-9-8-7-27-25-26，1-14-13-6-5-18-19-26，1-14-13-12-11-24-25-26，1-14-15-22-21-20-19-26，2-3-4-5-18-17-10-9，2-3-4-23-22-21-8-9，4-5-6-13-14-15-22-23，4-5-18-17-10-11-24-23，4-5-18-19-20-21-22-23，7-8-9-10-11-24-25-27，10-11-24-23-22-15-16-17，11-12-28-20-19-26-25-24。

4 討論

（1）基本環(huán)路集是運動鏈的重要結(jié)構(gòu)特性，由一組基本環(huán)路集可以反向推導(dǎo)出運動鏈的確定結(jié)構(gòu)，運動鏈型綜合過程中的其他關(guān)鍵問題（如剛性子鏈消除、拓?fù)鋱D和結(jié)構(gòu)圖的自動繪制等），也可在本文的研究基礎(chǔ)上進一步深入或優(yōu)化研究。

（2）本文提出的基本環(huán)路集定義嚴(yán)謹(jǐn)，獲取方法簡單，獲取過程中只需要檢索構(gòu)件之間的連接關(guān)系以及環(huán)路之間的重復(fù)性對比等，易于程序化設(shè)計實現(xiàn)，且計算分析量較小。

5 結(jié)論

（1）本文提出了基本環(huán)路集新的嚴(yán)密、生成便利的定義。

（2）提出了表達運動鏈構(gòu)件間連接關(guān)系的樹狀結(jié)構(gòu)圖和相關(guān)理論，基于樹狀結(jié)構(gòu)圖和全息矩陣，闡述了基本環(huán)路集的生成規(guī)則和步驟，進一步提出了具有較多構(gòu)件或較高對稱性的運動鏈的基本環(huán)路集的優(yōu)化選擇方法。

（3）分析了幾個運動鏈的基本環(huán)路集提取方法，通過這些實例證明了本文所提方法具有規(guī)則簡單、可靠性好、計算量小，可快速地獲得運動鏈的基本環(huán)路集等優(yōu)點。

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（編輯 陳 勇）

作者簡介：

孫亮波，男，1979 年生，教授、博士。研究方向為機械設(shè)計及理論。E-mail：sunlb1979@163.com。

收稿日期：2022-06-01

基金項目：國家自然科學(xué)基金（51875418）