基于改進灰色預測的變論域模糊PID溫控方法

閆 丹,蘇淑靖,吳夢香,郭楊盛,亢葉飛,宗意凱

(中北大學,省部共建動態(tài)測試技術國家重點實驗室,山西太原 030051)

0 引言

離子色譜儀由泵、進樣器、色譜分離柱、抑制器和電導檢測器等組成,其中色譜分離柱中包含有離子交換樹脂。在測定樣品時,淋洗液將樣品溶液引入色譜分離柱,由于離子對樹脂的親和力具有差異,試樣會被分散成不連續(xù)的譜帶,隨后離子被洗脫,由電導檢測器檢測,進一步確定樣品的組成成分。其中色譜分離柱是離子色譜儀核心部分,實驗表明即便微小的色譜柱溫度變化也會造成不可忽視的基線漂移,進而導致色譜圖峰面積波動,最終影響樣品濃度測定誤差,因此需要對色譜柱溫度進行精準控制。

國內(nèi)針對溫度控制的研究主要采用PID控制技術,傳統(tǒng)PID控制技術結構簡單、魯棒性強,但是由于柱溫箱非線性、時變和時滯大,傳統(tǒng)PID調(diào)參難度較大且精度不高。文獻[1]采用粒子群算法實現(xiàn)PID參數(shù)自適應,提高了控制精度,文獻[2]基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡對PID控制參數(shù)進行優(yōu)化,提升了控制效果,但是上述算法均存在建模難度大的問題,文獻[3]結合模糊控制策略和PID控制技術設計了輸液溫度控制系統(tǒng),文獻[4]提出基于變論域的模糊溫度控制方法,有效解決了控制系統(tǒng)非線性、時變帶來的問題,然而以上基于模糊PID的控制方法無法自適應調(diào)整模糊規(guī)則,且仍存在時滯問題。針對以上問題,本文基于PID良好的魯棒性,結合模糊控制對非線性系統(tǒng)的優(yōu)化處理,引入一種自適應函數(shù)伸縮因子,建立新型變論域模糊PID控制器。同時利用改進離散灰色預測的超前控制特點,有效改善柱溫箱溫控系統(tǒng)的時滯問題,提高了溫度控制精度和動態(tài)響應性能。

1 柱溫箱溫度控制系統(tǒng)

1.1 柱溫箱模型建立

色譜柱柱溫箱及加熱裝置如圖1、圖2所示,色譜柱加載室的上方裝有風扇和電阻絲,在加熱裝置中,通過在電阻絲兩端施加電壓,驅(qū)動電阻絲發(fā)熱,電阻絲將熱量傳遞給空氣,并通過風扇將熱量送至色譜柱加載室的色譜柱位置,保證色譜柱處于恒溫狀態(tài)。

圖1 柱溫箱示意圖

在不考慮室內(nèi)環(huán)境對柱溫箱影響的情況下,根據(jù)熱學有關理論知識,利用二階慣性純滯后模型構建色譜柱柱溫箱的傳遞函數(shù):

(1)

式中:K為增益常數(shù);τ為滯后時間;T1和T2為控制系統(tǒng)的時間常數(shù)。

1.2 色譜柱溫度控制原理

本文提出的柱溫箱溫度控制算法原理如圖3所示,在模糊PID控制器的基礎上,引入函數(shù)伸縮因子實現(xiàn)論域范圍的自適應伸縮;同時為解決溫度控制的時滯問題[5],在Pt100溫度傳感器獲取柱溫箱溫度數(shù)據(jù)后,利用改進灰色預測模型超前預測的特點對控制器進一步優(yōu)化,減少時滯影響,提高溫控精度。

圖3 柱溫箱溫度控制原理圖

2 變論域模糊PID控制器設計

2.1 變論域模糊PID溫度控制器

傳統(tǒng)控制方法常采用PID控制器,在此基礎上結合模糊控制原理構成模糊PID控制器。模糊控制器采用傳統(tǒng)的雙輸入三輸出結構,將實際溫度與設定溫度的誤差e(t)和誤差變化ec(t)作為輸入量,經(jīng)模糊化、模糊推理和模糊決策,輸出PID控制器的3個參數(shù)修正量ΔKP、ΔKI、ΔKD,可實時修正PID控制參數(shù)[6],控制器輸出表示為

(2)

式中KP、KI和KD為PID控制器的比例調(diào)節(jié)系數(shù)、積分調(diào)節(jié)系數(shù)和微分調(diào)節(jié)系數(shù)。

根據(jù)柱溫箱溫度控制的實際需求結合專家經(jīng)驗,定義e(t)和ec(t)的模糊語言為NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB[7],e(t)的初始論域為[-E1,E1],ec(t)的初始論域為[-E2,E2],輸出變量的初始論域為[-U,U],根據(jù)e(t)和ec(t)建立三角形隸屬度函數(shù)。以柱溫箱溫度值變化規(guī)律為依據(jù),結合溫控系統(tǒng)的響應速度、超調(diào)量等因素,制定模糊控制規(guī)則[8],見表1。

表1 ΔKP、ΔKI、ΔKD模糊規(guī)則表

引入變論域思想后,變量的論域可表示為

(3)

式中:α、β為伸縮因子。

伸縮因子根據(jù)溫度誤差進行合理調(diào)整:溫度誤差較大時,模糊控制規(guī)則無需進行細致劃分,論域不伸縮不膨脹;溫度誤差中等時,粗糙的模糊規(guī)則控制效果不佳,論域通過適當收縮將控制規(guī)則細化;溫度誤差向0逼近,論域快速收縮,控制規(guī)則劃分更為精細,實現(xiàn)了對微小溫差更加精確的控制[9]。

2.2 新型伸縮因子設計

伸縮因子是決定變論域控制器性能的關鍵因素,基于函數(shù)模型的論域伸縮因子直接選用某些特殊函數(shù),避免了基于模糊規(guī)則的方法因缺乏完善模糊規(guī)則導致的控制性能降低的問題。本文基于以下函數(shù)模型設計伸縮因子:

(4)

式中ρ1、ρ2、ρ3、ρ4為 伸縮因子參數(shù);θ為因子常量,θ∈[0,1]。

然而,伸縮因子并無具體物理意義,許多學者對這一參數(shù)進行了大量研究,到目前為止尚無普遍意義的選值方法,一般根據(jù)實際工程需要設定為固定值,這也使得伸縮因子不具備自適應性。針對這一問題,綜合考慮多次實驗結果對比和伸縮因子選取原則,根據(jù)溫度誤差e(t)和溫度誤差變化率ec(t)實時調(diào)整因子設計參數(shù):

(5)

式中v為充分小的正數(shù),v∈[0,1]。

為保證輸入輸出變量的協(xié)調(diào)性,取ρ1=ρ2=ρ3=ρ4,代入式(4)可得新型函數(shù)型伸縮因子[10]:

(6)

該新型函數(shù)型伸縮因子滿足伸縮因子選取的單調(diào)性、對偶性、趨零性、協(xié)調(diào)性以及正規(guī)性要求,且穩(wěn)定有效。此新型伸縮因子構建的NVUFP控制器可應用于恒溫箱溫控系統(tǒng),快速調(diào)整溫度誤差和偏差變化率[11]。

3 改進灰色預測模型的變論域模糊溫度控制

上述變論域模糊PID控制器可有效改進傳統(tǒng)PID控制器在溫度控制過程中的非線性、時變問題,但溫度控制的時滯問題依然存在,本文將DGM(1,1)(離散灰色預測模型)較好的超前性與變論域模糊PID控制器相結合,改善了溫度控制的滯后性,同時提高溫度控制精度。

3.1 DGM(1,1)模型

通過分析柱溫箱溫控系統(tǒng)特點和溫度控制策略,結合灰色預測模型超前預測的特點,建立了DGM(1,1)模型,預測過程如下:

步驟1:X(0)為柱溫箱歷史溫度數(shù)據(jù),對X(0)溫度序列進行疊加,得到新的溫度數(shù)據(jù)序列X(1)[12]。

X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))

(7)

(8)

步驟2:構造背景值。對X(1)做相鄰均值得到灰色預測模型背景值,得到灰色預測模型的微分方程:

(9)

x(0)(k)+a·z(1)(k)=b,k=2,3,…,n

(10)

式中a、b為待求參數(shù)值。

步驟3:建立灰色預測模型。針對上述生成序列構建一階微分方程,擬合得到白化微分方程:

(11)

(12)

(13)

式中:B為構造的數(shù)據(jù)矩陣;Y為構造的數(shù)據(jù)向量。

計算得方程的解:

(14)

步驟4:相減還原溫度數(shù)據(jù)。對上式進行累減即可得到預測后的溫度數(shù)據(jù)。

(15)

3.2 IDGM(1,1)模型

傳統(tǒng)DGM(1,1)模型中背景值系數(shù)權值固定不變,忽略了背景值參數(shù)對溫度預測結果的影響,導致溫控系統(tǒng)預測精度較低、誤差較大,影響模糊控制器溫控效果。對此,本文提出基于矩形法和黃金分割法對傳統(tǒng)DGM(1,1)預測模型進行改進,進一步優(yōu)化背景值參數(shù),提高模型預測精度。圖4、圖5分別為傳統(tǒng)灰色預測背景值參數(shù)和改進灰色預測背景值參數(shù)圖。

圖4 傳統(tǒng)灰色預測背景值參數(shù)

圖5 改進灰色預測背景值參數(shù)

圖4中曲邊梯形ABCD的面積可表示為

(16)

傳統(tǒng)灰色預測模型對上述公式進行簡化后,將背景值等效為直角梯形ABCD的面積。

z(1)(k)=(x(1)(k)+x(1)(k-1))/2

(17)

上述2種梯形選取方法存在陰影面積誤差ΔS,降低了傳統(tǒng)DGM(1,1)溫度預測精度,進一步影響溫度控制精度。針對上述誤差,本文將直角梯形劃分為P個小矩形[13],由P個小矩形面積和代替曲邊梯形的面積。

z2(k)=1/(2P)[(P+1)x(1)(k-1)+(P-1)x(1)(k)]

(18)

令β=(P+1)/(2P),則1-β=(P-1)/2P,則有

z2(k)=βx(1)(k-1)+(1-β)x(1)(k)

(19)

β也被稱為背景值參數(shù),β過小或者過大都會存在面積誤差,從理論上講,應存在一個最佳的β值,使得曲邊梯形面積與n個矩形面積之和相等。設改進后的矩形與曲邊梯形面積平均誤差為E,由上述分析可得,長度為n的溫度序列,誤差E便可表示為背景值的函數(shù):

(20)

尋找到最優(yōu)的背景值數(shù)值,可減小面積誤差,進一步降低模型預測精度。

3.3 背景值尋優(yōu)

由分析可知,面積誤差隨背景值參數(shù)先減小后增大,構成單谷函數(shù)關系[14]。為尋找到最優(yōu)的背景值參數(shù),采用黃金分割法對單峰函數(shù)進行搜索,黃金分割法是在搜索區(qū)間[a,b]內(nèi),適當插入x1和x22個點,其中x1=a+0.382(b-a),x2=a+0.618(b-a),且處于區(qū)間內(nèi)對稱位置,計算其函數(shù)值y1=f(x1),y2=f(x2)。若y1y2,則極小點在區(qū)間[x1,b]內(nèi),新區(qū)間為[x1,b]。得到新的搜索區(qū)間后,根據(jù)黃金比例原則重新插入新的搜索點并迭代下去,直至搜索精度小于設定的收斂精度便可以求得函數(shù)最小值。

本文建立隨背景值參數(shù)變化的誤差函數(shù)E=f(β)。

步驟1:確定搜索區(qū)間。背景值參數(shù)范圍為[a,b],初始值a=0,b=1,精度設定為ε=0.1,記迭代次數(shù)k=1。

步驟2:若b-a<ε,則求得最優(yōu)背景值參數(shù)β=(a+b)/2,否則執(zhí)行步驟3。

步驟3:根據(jù)黃金比例分割法插入點β1和β2,β1=a+0.382(b-a),β2=a+0.618(b-a),計算對應的誤差E1=f(β1)和E2=f(β2)。

步驟4:若E1

步驟5:令k=k+1,執(zhí)行步驟2。

圖6為誤差隨迭代次數(shù)的變化圖,圖7為預測前后對比圖。由圖6及圖7看出,采用改進DGM(1,1)模型對長度為40的溫度序列進行預測,迭代20次后,面積誤差不斷減小。與傳統(tǒng)灰色預測模型相比,提高了模型預測精度,進一步改善了控制效果。

圖6 誤差迭代變化圖

圖7 預測對比圖

4 仿真結果及分析

為了驗證柱溫箱在離子色譜儀工作過程中的溫度控制性能,搭建了柱溫箱溫控系統(tǒng)并進行仿真實驗[15],仿真結果如圖8～圖11所示。

圖8 伸縮因子變化曲線

4.1 模型仿真

從仿真結果圖8看出,指數(shù)型函數(shù)伸縮因子參數(shù)隨溫度誤差和誤差變化率實時調(diào)整。其中ρ1變化最大發(fā)生在大約150 s處,原因是在此時溫度變化最大,根據(jù)伸縮因子的模糊調(diào)節(jié)規(guī)則,此時需要較大調(diào)整伸縮因子值才能對溫度實施更有效的控制。150 s后,溫度振蕩幅度逐漸減小,伸縮因子數(shù)值越來越小,將溫度誤差調(diào)整至更小論域范圍內(nèi)精確控制。伸縮因子的引入使得變論域控制算法不再依賴于專家知識和工程經(jīng)驗,可實現(xiàn)參數(shù)的自適應調(diào)整,使溫控過程變得更加靈活。

從仿真結果圖9～圖11看出,相比模糊PID和變論域模糊PID,本文的溫度控制算法在響應速度、超調(diào)量以及穩(wěn)態(tài)精度方面性能更好。

圖9 模糊PID溫控仿真圖

圖10 變論域模糊PID溫控仿真圖

4.2 平臺實驗

圖12、圖13分別為柱溫箱溫度測控平臺以及柱溫箱溫控電路。

圖12 色譜柱溫度測控平臺

圖13 溫控電路

梯度升溫是液相色譜儀最常用的升溫方式,將溫度升至不同梯度可加強樣品溶液各成分的分離度,順利分離溶液組分。本文首先將柱溫箱溫度設置為42.00 ℃,在1 100 s和1 400 s分別再將溫度設置為38.00 ℃和40.00 ℃,系統(tǒng)間隔2 s采集溫度數(shù)據(jù),并記錄3種溫控算法下的溫度變化曲線。梯度升溫曲線見圖14～圖16,圖16的溫度局部放大圖如圖17～圖19所示。

圖14 模糊PID溫控圖

圖15 變論域模糊PID溫控圖

圖16 本文算法溫控圖

圖17 第一階段溫度局部放大圖

圖18 第二階段溫度局部放大圖

圖19 第三階段溫度局部放大圖

從圖14～圖16溫度變化曲線可以看出,柱溫箱溫度實際控制情況與模型仿真結果基本一致,本文提出的溫控算法上升時間更短,超調(diào)量更小,且穩(wěn)態(tài)精度更高。將圖16中3段溫度數(shù)據(jù)曲線放大后可看出,采用本文溫控算法,溫控精度可達到±0.03 ℃。

5 結論

本文提出了一種基于改進灰色預測的自適應模糊PID溫控方法,用于色譜柱溫度控制中,提出新型函數(shù)型伸縮因子實現(xiàn)伸縮因子的自適應調(diào)整,同時結合改進灰色預測模型,改善了溫控系統(tǒng)的時滯,提高了溫控精度。從仿真結果及實驗結果看出,與模糊PID、變論域模糊PID相比,本文提出的控制算法溫控精度最高,效果最好。