解應(yīng)用題勿忘根的取舍

蔡忠平

應(yīng)用一元二次方程解應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)之一，也是歷年中考的熱點(diǎn)題型.解這類問題時(shí)，同學(xué)們一定要注意解得的根要結(jié)合題意和生活實(shí)際注意取舍.下面結(jié)合近年來中考真題對常見錯(cuò)誤進(jìn)行歸納，并加以分析.

類型一：降低率要小于1，大于1的根應(yīng)舍去

例1 （2022·山西·太原）某樓盤準(zhǔn)備以每平方米12 000元的均價(jià)對外銷售，由于有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)，購房者持幣觀望，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對價(jià)格進(jìn)行兩次下調(diào)后，決定以每平方米7680元的均價(jià)開盤銷售.求平均每次下調(diào)的百分率.

錯(cuò)解：因?yàn)槠骄看蜗抡{(diào)的百分率都相同，設(shè)平均百分率為x，則第一次下調(diào)后均價(jià)為每平方米12 000（1 - x）元，第二次下調(diào)后均價(jià)為每平方米12 000（1 - x）2元，則可列方程12 000（1 - x）2 = 7680，解得x1 = 0.2 = 20%，x2 = 1.8 = 180%.

答：平均每次下調(diào)的百分率為20%或180%.

正解：若下調(diào)的百分率為1.8，即180%，則第一次下調(diào)后均價(jià)為12 000（1 - 180%） = - 9600（元），出現(xiàn)負(fù)值，因此x2 = 1.8不符合題意，故應(yīng)舍去.所以每次下調(diào)的百分率是20%.

類型二：利潤問題要根據(jù)題干的“暗示”進(jìn)行取舍

例2 （2021·浙江·臺(tái)州）某商場銷售一批襯衣，平均每天可售出30件，每件襯衣盈利50元，為了擴(kuò)大銷量，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衣降價(jià)10元，商場平均每天可多售出20件.若商場平均每天盈利2000元，則每件襯衣應(yīng)降價(jià)多少錢？

錯(cuò)解：設(shè)每件襯衣應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意，可列方程（50 - x）（30 + 2x） = 2000.整理得x2 - 35x + 250 = 0，解得x1 = 10，x2 = 25.因此每件襯衣應(yīng)降價(jià)10元或25元.

正解：當(dāng)x1 = 10時(shí)，每天可售出50件，當(dāng)x2 = 25時(shí)，每天可售出80件，由于題干中有“盡快減少庫存”的暗示，所以同等利潤下銷量越大時(shí)，庫存減少得越快，故選擇降價(jià)較大的根.因此，每件襯衣應(yīng)降價(jià)80元.

類型三：面積問題要結(jié)合圖形的長度進(jìn)行取舍

例3 （2022·福建·福州）如圖1，在“精準(zhǔn)扶貧”工作中，村委會(huì)建議某貧困戶借助家里長25 m的墻AB建造面積為450 m2的矩形區(qū)域用來養(yǎng)殖綿羊，村委會(huì)準(zhǔn)備修建長為65 m的籬笆提供給該貧困戶.若選取墻AB的一部分作矩形的邊，其他三邊用籬笆圍成，則在墻AB上借用的CF的長度為多少米？

錯(cuò)解：設(shè)CF的長度為x米，則CD = [65-x2]米. 可列方程[x·65-x2=450]，整理得x2 - 65x + 900 = 0，解得x1 = 20，x2 = 45.因此，在墻AB上借用的CF的長度為20 m或45 m.

正解：由“選取墻AB的一部分作矩形的邊”，且“借助家里長25 m的墻AB建造……”可知CF ≤ AB，所以x2 = 45不合題意，要舍去.所以CF的長度為20 m.

類型四：題中條件與根有關(guān)聯(lián)

例4 （2021·山東·青島）某超市銷售一種商品，每件成本為55元，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該商品平均每月的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分對應(yīng)值如下表所示：

超市要想使這種商品平均每月的銷售利潤達(dá)到6300元，同時(shí)要求該商品的月銷售量不低于160件，商品的銷售單價(jià)應(yīng)為多少元？

錯(cuò)解：因?yàn)樵落N售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，故可設(shè)y = kx + b（k ≠ 0），將（60，300），（63，288）代入y = kx + b，得[60k+b=300，63k+b=288，]解得[k=-4，b=540，]所以y = - 4x + 540，可列方程（x - 55）（ - 4x + 540） = 6300，整理得x2 - 190x + 9000 = 0，解得x1 = 90，x2 = 100.因此商品的銷售單價(jià)應(yīng)為90元或100元.

正解：由于題目中要求該商品的月銷售量不低于160件，因此 - 4x + 540 ≥ 160，解得x ≤ 95，即銷售單價(jià)不超過95元，因此x2 = 100不合題意，要舍去.正確答案為商品的銷售單價(jià)應(yīng)為90元.

類型五：數(shù)字問題易丟解

例5 （2021·河南·新鄉(xiāng)）一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是5，把這個(gè)數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對調(diào)后，所得的新的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)的乘積為736，求原來的兩位數(shù).

錯(cuò)解：設(shè)原來的兩位數(shù)的十位數(shù)字是x，則個(gè)位數(shù)字為5 - x.根據(jù)題意，得［10x + （5 - x）］ × ［10（5 - x） + x］ = 736，整理得x2 - 5x + 6 = 0. 解得x1 = 2，x2 = 3. 因此，原來的兩位數(shù)是23.

正解：方程的兩個(gè)解都符合題意，所以原來的兩位數(shù)是23或32.

類型六：注意動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

例6 （2022·廣西·來賓）如圖2，在△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 8 cm，BC = 6 cm.動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)開始移動(dòng)，點(diǎn)P在AB上以1 cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q在BC上以2 cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng).在兩個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)過程中，何時(shí)△PBQ的面積為15 cm2？

錯(cuò)解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，則BP = 8 - t，BQ = 2t，可列方程[12]（8 - t）·2t = 15. 整理得t2 - 8t + 15 = 0，解得t1 = 3，t2 = 5.因此，當(dāng)t = 3 s或5 s時(shí)，△PBQ的面積為15 cm2.

正解：因?yàn)锽C = 6 cm，點(diǎn)Q在BC上以2 cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，所以2t ≤ 6，得t ≤ 3. 故t = 5不合題意，應(yīng)舍去. 所以t = 3 s時(shí)，△PBQ的面積為15 cm2.

類型七：平面和立體圖形轉(zhuǎn)化時(shí)，結(jié)合圖形定取舍

例7 （2021·山東·日照）如圖3，小明同學(xué)用一張長11 cm、寬7 cm的矩形紙板制作一個(gè)底面積為21 cm2的無蓋長方體紙盒，他將紙板的四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，將四周向上折疊（損耗不計(jì)）. 求剪去正方形的邊長為多少.

錯(cuò)解：設(shè)剪去正方形的邊長為x cm，可列方程（11 - 2x）（7 - 2x） = 21，整理得x2 - 9x + 14 = 0.解得x1 = 2，x2 = 7. 因此剪去正方形的邊長為2 cm或7 cm.

正解：當(dāng)剪去正方形的邊長為2 cm時(shí)，長方體紙盒的長為11 - 2 × 2 = 7（cm），寬為7 - 2 × 2 = 3（cm）. 而當(dāng)剪去正方形的邊長為7 cm時(shí)，長方體紙盒的長為11 - 7 × 2 = - 3（cm），寬為7 - 7 × 2 = - 7（cm），不符合實(shí)際，故x = 7應(yīng)舍去.正確答案為剪去正方形的邊長為2 cm.

綜上所述，應(yīng)用一元二次方程解應(yīng)用題時(shí)，要認(rèn)真審題，關(guān)注題中每一個(gè)條件，特別是一些隱性條件，并聯(lián)系生活實(shí)際考慮根的取舍.