順應(yīng)理解 整體架構(gòu)
——以蘇科版數(shù)學(xué)八（上）“一次函數(shù)”單元教學(xué)設(shè)計(jì)為例

■張萬(wàn)潔

初中課堂教學(xué)模式大多是以教材內(nèi)容分課時(shí)講授為主。以課時(shí)為單位進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)容易讓教學(xué)內(nèi)容碎片化，在解決問(wèn)題過(guò)程中學(xué)生容易產(chǎn)生思維斷裂，不利于對(duì)知識(shí)形成整體認(rèn)知。而單元教學(xué)設(shè)計(jì)嘗試將本質(zhì)相同或有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的內(nèi)容安排在一個(gè)課時(shí)進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，突出知識(shí)體系的邏輯性和整體性，保證了教學(xué)的連續(xù)性，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。本文以蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)“一次函數(shù)”為例，與大家一起探討單元教學(xué)的設(shè)計(jì)。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.探索實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，了解常量、變量和函數(shù)的概念，體會(huì)“變化和對(duì)應(yīng)”的思想；了解函數(shù)的三種表示法（表達(dá)式法、列表法、圖像法）；能結(jié)合圖像分析簡(jiǎn)單的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2.理解一次函數(shù)的概念，能夠畫出一次函數(shù)的圖像，根據(jù)一次函數(shù)的圖像和表達(dá)式理解函數(shù)的性質(zhì)（數(shù)形結(jié)合的思想）。

3.經(jīng)歷“把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)”的過(guò)程，應(yīng)用函數(shù)的概念和性質(zhì)解決具體問(wèn)題，感受函數(shù)模型思想，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)思想，站在新的高度和角度審視和反思問(wèn)題；利用函數(shù)思想認(rèn)識(shí)和刻畫客觀世界中的運(yùn)動(dòng)變化特征，提升數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)過(guò)程

1.揭示本質(zhì)，單值對(duì)應(yīng)

情境1：播放奧運(yùn)會(huì)男子百米飛人決賽的視頻。

師：在百米測(cè)試中，當(dāng)時(shí)間t確定時(shí)，速度V是否確定？唯一確定嗎？

生1：可以唯一確定。比如，當(dāng)t=14s時(shí)，V≈7.1m/s。

情境2：給出百米測(cè)試的得分表。

表1 百米測(cè)試得分表

師：當(dāng)時(shí)間t確定時(shí)，得分d是否確定？唯一確定嗎？

生2：可以唯一確定。比如小明，男，當(dāng)用時(shí)14.0s時(shí)，得8分。

情境3：圖1 是百米測(cè)試那天的氣溫變化圖。

圖1

師：在這個(gè)變化過(guò)程中，當(dāng)時(shí)間t確定時(shí)，溫度T是否確定？唯一確定嗎？

生3：也可以唯一確定。比如，在上午11點(diǎn)時(shí)，溫度為12℃。

師（追問(wèn)）：以上三種情境剛好對(duì)應(yīng)函數(shù)的三種表示形式，它們有什么共同點(diǎn)？

生4：當(dāng)時(shí)間t確定時(shí)，無(wú)論是速度、得分，還是溫度，都唯一確定。

【設(shè)計(jì)意圖】筆者通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生了解函數(shù)的三種表示形式，并通過(guò)設(shè)置問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考變量和因變量的唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示函數(shù)概念的本質(zhì)。筆者認(rèn)為，函數(shù)概念及思想應(yīng)該滲透在函數(shù)學(xué)習(xí)的每一個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生在潛移默化中構(gòu)建函數(shù)思想。

2.畫圖探究，細(xì)化過(guò)程

師：以一次函數(shù)y=2x為例，怎樣畫出它的圖像？你是怎么想的？說(shuō)說(shuō)你的想法。

教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，小組經(jīng)討論，共同得出所經(jīng)歷的步驟：列表、描點(diǎn)、連線。

生5：我們小組首先進(jìn)行取點(diǎn)，在取點(diǎn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)取的點(diǎn)是雜亂無(wú)章的，所以我們通過(guò)列表的方法（如表2），按照從小到大的順序取了5個(gè)點(diǎn)。然后建立直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系中描出這5點(diǎn)，最后順次連接。

表2

師：對(duì)于以上過(guò)程，大家有什么補(bǔ)充建議嗎？

生6：我們小組認(rèn)為圖像是一條直線，兩端應(yīng)該無(wú)限延伸。因?yàn)樽宰兞康娜≈捣秶且磺袑?shí)數(shù)，所以在列表的時(shí)候，表格兩邊都要加“…”（如表3），并且要在圖上寫出函數(shù)表達(dá)式（如圖2）。

圖2

表3

【設(shè)計(jì)意圖】筆者以一次函數(shù)為例，讓學(xué)生體驗(yàn)函數(shù)圖像的繪制過(guò)程。在探索一次函數(shù)圖像的過(guò)程中，讓學(xué)生感受函數(shù)同時(shí)兼有的三種表示形式。列表、描點(diǎn)、連線是研究函數(shù)圖像的一般方法。學(xué)生通過(guò)小組合作的形式，在繪制函數(shù)圖像的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，加深了對(duì)函數(shù)圖像的理解，進(jìn)一步揭示了函數(shù)概念的本質(zhì)。

3.數(shù)形結(jié)合，變換圖像

師：再次嘗試畫出一次函數(shù)y=2x+4 的圖像，你有什么新發(fā)現(xiàn)？

生7：圖像畫出后，我發(fā)現(xiàn)，y=2x+4 的圖像也是一條直線，并且與y=2x的圖像平行。

師：我們?nèi)绾悟?yàn)證呢？

學(xué)生通過(guò)思考、合作探究，對(duì)特殊的一次函數(shù)進(jìn)行證明，證明如下：

如圖3 所示，已知在y=2x+4 上有兩個(gè)特殊點(diǎn)A（0，4）、B（-2，0），在y=2x取點(diǎn)C（2，4），過(guò)點(diǎn)C作垂直于x軸的直線，交x軸于點(diǎn)D（2，0），易證△AOB≌△CDO，從而得到AB//CO，則直線y=2x+4與y=2x平行。

圖3

師：那么，對(duì)于任意的兩條直線y=kx與y=kx+b，當(dāng)b≠0 時(shí)，兩直線是否平行呢？請(qǐng)同學(xué)們給出證明。

生8：同理，在y=kx+b取兩個(gè)特殊點(diǎn)，在y=kx取縱坐標(biāo)為b的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作垂直于x軸的直線，交x軸于點(diǎn)D，易證△AOB≌△CDO，從而得到AB//CO。

【設(shè)計(jì)意圖】筆者讓學(xué)生先從易于證明平行的兩條直線出發(fā)，再到k值相同的任意兩條直線，讓學(xué)生理解k值相同的兩條直線平行的具體原因，體會(huì)由特殊到一般的證明過(guò)程，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力的培養(yǎng)。

4.建構(gòu)模型，滲透素養(yǎng)

師：說(shuō)出圖4中x、y的實(shí)際意義。

圖4

生9：如果x表示時(shí)間，y表示與出發(fā)地的距離，則可以理解為：小明以250m/min的速度勻速騎自行車，8min 后到達(dá)某地，休息6min 后，以200m/min 的速度勻速返回，10min后返回出發(fā)地。

師：如果以上述行程問(wèn)題為例，你還能提出哪些問(wèn)題？

生10：如果2min 后爸爸以100m/min 的速度步行出發(fā)去追小明，幾分鐘后能追上他？

【設(shè)計(jì)意圖】筆者給出函數(shù)圖像，讓學(xué)生自行賦予函數(shù)以實(shí)際意義，以“行程問(wèn)題”讓學(xué)生嘗試提出、解決問(wèn)題，體驗(yàn)函數(shù)建模的完整過(guò)程，有助于學(xué)生形成良好的思維能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

5.明晰路徑，構(gòu)建體系

編題1：已知一次函數(shù)y=-4x+20，至少提出一個(gè)與此函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題。

編題2：一輛汽車從甲地出發(fā)駛向乙地，汽車以60km/h的速度行駛了xh，試根據(jù)上述情境提出問(wèn)題，并用一次函數(shù)相關(guān)知識(shí)求解。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在編題過(guò)程中需要把各種相關(guān)知識(shí)重新組織、整理，能有效鞏固和拓展所學(xué)知識(shí)，提升對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，同時(shí)還能拓展思考問(wèn)題的維度，強(qiáng)化知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而完成一次函數(shù)知識(shí)體系的構(gòu)建。

三、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)單元整體設(shè)計(jì)注重層次性、探究性、開放性和應(yīng)用性等特性，筆者通過(guò)單元整體設(shè)計(jì)教學(xué)，在原有教學(xué)方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化和創(chuàng)新，把握學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平以及可能出現(xiàn)的思維障礙，喚醒學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，以問(wèn)題滲透的方式，啟發(fā)深度思維，開展深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)了學(xué)生抽象思維和整體思維的形成，有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體把握，以及知識(shí)水平的提高。