數(shù)運算一致性的內(nèi)涵理解與教學(xué)實踐

潘香君

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》多次強(qiáng)調(diào)感悟運算的一致性。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)主要從明晰數(shù)運算的意義、聚焦數(shù)運算的本質(zhì)、建立數(shù)運算的聯(lián)系、滲透數(shù)運算的思想幾個方面理解數(shù)運算一致性的內(nèi)涵，通過縱向聯(lián)結(jié)、橫向建構(gòu)、縱橫交叉進(jìn)行單元整體設(shè)計，形成融入數(shù)學(xué)文化、聚焦思維進(jìn)階、創(chuàng)意層次練習(xí)的實踐流程，推進(jìn)數(shù)運算一致性的落實。

關(guān)鍵詞：數(shù)運算；運算的一致性；內(nèi)涵理解；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2023）19-0083-05

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)”）從學(xué)段目標(biāo)到課程內(nèi)容、內(nèi)容要求、教學(xué)提示、學(xué)業(yè)質(zhì)量評價等，多次強(qiáng)調(diào)感悟運算的一致性。同時指出要讓學(xué)生“經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法”，“感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性”[1]18，“通過小數(shù)加減法運算、同分母分?jǐn)?shù)加減法運算，與整數(shù)運算進(jìn)行比較，引導(dǎo)學(xué)生初步了解運算的一致性”[1]23。因此，在教學(xué)中要理解數(shù)運算一致性的內(nèi)涵，厘清知識之間的內(nèi)在邏輯，在教學(xué)設(shè)計與實施中體現(xiàn)一致性。本文以蘇教版數(shù)學(xué)教材三年級上冊“簡單的分?jǐn)?shù)加減法”為例進(jìn)行分析。

一、數(shù)運算一致性的內(nèi)涵理解

“數(shù)運算”包含了四種運算，即整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的加減乘除，“運算的一致性”是2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)的一個重要理念。作為一線教師首先應(yīng)該理解數(shù)運算一致性的內(nèi)涵，在此基礎(chǔ)上充分思考教學(xué)設(shè)計與實施。

（一）明晰數(shù)運算的意義

運算意義是運算教學(xué)的核心內(nèi)容，教學(xué)中明晰運算的意義，可以更好地把握運算的一致性。

教材中都是創(chuàng)設(shè)具體的情境助力學(xué)生理解加減乘除的意義，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的是從情境走向數(shù)學(xué)化，抽象理解知識。不管是在整數(shù)領(lǐng)域還是在分?jǐn)?shù)領(lǐng)域，兩者或多者合并為加法模型之一，求部分量或兩者之間的相差數(shù)則為減法模型之一。乘法模型就是求幾個相同加數(shù)的和；把一個整體平均分成若干部分，這個活動過程就可以用除法來表示。同時明晰加法是所有運算的基礎(chǔ)與核心，減法是加法的逆運算，乘法是加法的簡便運算，除法是減法的簡便運算，這樣就從數(shù)學(xué)化的角度理解了四則運算，理解了運算的意義[2]47。

（二）聚焦數(shù)運算的本質(zhì)

在小學(xué)階段，隨著學(xué)生對整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的深入認(rèn)識，相對應(yīng)的運算也會從簡單的加減乘除變得越加復(fù)雜；但無論是簡單還是復(fù)雜，它們都是聚焦“計數(shù)單位”的運算，即計數(shù)單位累加或累減的過程，這是數(shù)運算的本質(zhì)。如加法運算：整數(shù)、小數(shù)加法運算都是將“相同數(shù)位上的數(shù)相加”，分?jǐn)?shù)加法運算是將“相同的分?jǐn)?shù)單位相加”，它們都可以理解為“相同計數(shù)單位的個數(shù)相加”[3]。由于學(xué)段不同，學(xué)生對此理解由初步感悟到逐步理解，由具體形象到抽象概括，“計數(shù)單位、分?jǐn)?shù)單位”是到第二、第三學(xué)段才揭示的。

（三）建立數(shù)運算的聯(lián)系

第一學(xué)段只涉及整數(shù)的加減乘除運算，而到第二、第三學(xué)段將涉及分?jǐn)?shù)、小數(shù)的四則運算。數(shù)域發(fā)生變化，但是運算的意義是一致的，因此需要打通間隔建立聯(lián)系。

在學(xué)完簡單的分?jǐn)?shù)加減運算后，引導(dǎo)學(xué)生思考分?jǐn)?shù)加減運算與整數(shù)加減運算的方法有何相同之處；在學(xué)完異分母分?jǐn)?shù)加減法后可以將其與同分母分?jǐn)?shù)加減法聯(lián)系思考，再與整數(shù)、小數(shù)加減法的運算建立聯(lián)系，從而打通運算的關(guān)聯(lián)，感受理法相融，呈現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)知識與方法的整體性與一致性。

（四）滲透數(shù)運算的思想

數(shù)運算的一致性，不僅是意義、算理算法的一致性，還有探究方法的一致性。在探究過程中，幫助學(xué)生體會運算算理和算法的一致性，有利于學(xué)生體會知識之間的本質(zhì)聯(lián)系，并促進(jìn)有效遷移，探索新的運算方法，從而能夠整體把握運算，發(fā)展運算能力、推理意識及模型意識。

二、數(shù)運算一致性教學(xué)的整體思考

“數(shù)運算”內(nèi)容在學(xué)段之間是相互關(guān)聯(lián)的，由淺入深，層層遞進(jìn)，螺旋上升，構(gòu)成相對系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)。由此，在教學(xué)數(shù)運算時要進(jìn)行縱橫分析，打通內(nèi)在關(guān)聯(lián)，關(guān)注學(xué)生運算能力和推理意識的形成與發(fā)展。

（一）縱向聯(lián)接成脈絡(luò)

數(shù)的運算是一個統(tǒng)一體，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)加減法運算的一致性體現(xiàn)在“相同計數(shù)單位的數(shù)字相加減，計數(shù)單位不變”；整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)乘法運算的一致性體現(xiàn)在“計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘”；整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)除法的一致性體現(xiàn)在“計數(shù)單位與計數(shù)單位相除，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相除”[2]50。因此，在教學(xué)中需要瞻前顧后，系統(tǒng)建構(gòu)教材相關(guān)內(nèi)容的脈絡(luò)體系。

以加減法運算為例（見表1），梳理教材厘清脈絡(luò)，有助于教學(xué)設(shè)計時更好地思考一致性的體現(xiàn)。

表1清晰地顯示每一個學(xué)段所對應(yīng)的要求是逐步提升的，從具體到逐步抽象成計數(shù)單位，從感悟到理解，體現(xiàn)了數(shù)運算的階段性；在縱向聯(lián)結(jié)比較中又能感受到運算的整體性與一致性。

（二）橫向建構(gòu)有整體

2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)提倡單元整體教學(xué)，也就是要立足于整個單元設(shè)計課時教學(xué)，將知識、方法、數(shù)學(xué)思想等相關(guān)的內(nèi)容整體思考設(shè)計，以大概念、大問題、大任務(wù)推進(jìn)課堂教學(xué)活動，真正發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。

對于運算的重點應(yīng)著眼于理解算理、掌握算法，算理的理解最終都要追溯到數(shù)的意義上。因此，在設(shè)計“簡單的分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)時，是將其置身于單元內(nèi)整體解讀與思考的。在本單元中，學(xué)生新接觸“分?jǐn)?shù)”，圍繞“認(rèn)識幾分之一”“認(rèn)識幾分之幾”“簡單的分?jǐn)?shù)加減法”“練習(xí)十一”展開學(xué)習(xí)，“簡單的分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)需要學(xué)生在充分理解分?jǐn)?shù)意義的基礎(chǔ)上開展探究。由于是初始學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，可以借助直觀舉例初步感悟“分?jǐn)?shù)單位”，如? ?中有3個? ?，逐步抽象理解“幾分之幾里就有幾個幾分之一”，即

中有b個? ?。在前兩課時的滲透感知中學(xué)習(xí)第三課時，學(xué)生可以借助已有經(jīng)驗遷移感悟簡單的分?jǐn)?shù)加減法是“用相同的計數(shù)單位的個數(shù)相加減的”。

（三）縱橫交叉顯素養(yǎng)

2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)重視學(xué)科核心素養(yǎng)的落實，在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為數(shù)感、量感、運算能力、推理意識、模型意識等11個方面[1]7。在運算教學(xué)中，需要重視運算能力、推理意識以及模型意識的培育。在探究算理算法的過程中，通過舉例歸納推理出法則，引導(dǎo)學(xué)生掌握探究的方法，促進(jìn)遷移運用到新的類似的運算中，從而發(fā)展推理意識、模型意識，通過運算練習(xí)不斷提升運算能力。

例如，在“簡單的分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)設(shè)計中，通過縱向、橫向梳理分析，先帶著學(xué)生探究同分母分?jǐn)?shù)的加法，學(xué)生通過動手“做一做”用不同方法得到? ? +? ? 的結(jié)果，在“比一比”幾組同分母分?jǐn)?shù)加法中發(fā)現(xiàn)共同點，再“聯(lián)一聯(lián)”整數(shù)加法計算，不僅知道怎樣計算，還知道了為什么要這樣計算，感悟整數(shù)加法與同分母分?jǐn)?shù)加法計算的一致性。接著，學(xué)生用“做一做、比一比、聯(lián)一聯(lián)”的模型自主探究同分母分?jǐn)?shù)減法，體驗過程，獲得素養(yǎng)的生長。

三、數(shù)運算一致性的教學(xué)實踐

對于數(shù)運算一致性內(nèi)涵的清晰解讀與整體剖析，有助于教師在具體設(shè)計單元課時教學(xué)時進(jìn)行整體思考。在設(shè)計數(shù)運算教學(xué)活動時，我們不妨從數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)思維、練習(xí)設(shè)計這幾方面入手，體現(xiàn)運算的一致性。以下主要以“簡單的分?jǐn)?shù)加減法”為例，基于以上的理念和思考，設(shè)計教學(xué)流程（如圖1）。

（一）融入數(shù)學(xué)文化，前后貫通感悟運算一致性

數(shù)學(xué)承載著思想和文化，數(shù)學(xué)文化擁有豐富的內(nèi)涵，引領(lǐng)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)知識的源泉，重建數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實的聯(lián)系，能夠激發(fā)學(xué)生主動探尋數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。在本節(jié)課的設(shè)計中，始終在思考如何體現(xiàn)運算的意義以及從整數(shù)加減法運算的算理算法遷移到同分母分?jǐn)?shù)加減法的運算。在思考與討論中，最終確定教學(xué)旨向為“數(shù)學(xué)文化”的滲透，喚醒學(xué)生對于整數(shù)加減法的記憶。

課前通過創(chuàng)設(shè)情境設(shè)置“古人計數(shù)的發(fā)展歷史”小視頻，以“求總數(shù)”和“求還剩下多少”喚醒學(xué)生對整數(shù)加減法的記憶，既是滲透數(shù)學(xué)文化又是連接整數(shù)加減法的橋梁，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與探究欲望。通過問題“為什么有的題目用加法計算？有的題目是用減法呢？”引發(fā)學(xué)生對于加減法意義的思考，這是促進(jìn)學(xué)生基于前兩年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗思考與抽象表達(dá)，為接下來理解分?jǐn)?shù)加減法的意義做好鋪墊。通過在計數(shù)器上撥算珠喚醒學(xué)生對于整數(shù)加減法算理的理解，是“幾個一加幾個一”“幾個十加幾個十”“幾個百減幾個百”這樣計算的。學(xué)生不僅知其然，更知其所以然，同時也在接下來的學(xué)習(xí)中形成這樣的探究思想。

在新授環(huán)節(jié)，當(dāng)引出解決問題的算式時，及時追問“為什么這個（他們一共吃了這塊巧克力的幾分之幾？）用加法，而另一個（大雄比哆啦A夢多吃了這塊巧克力的幾分之幾？）用減法呢？學(xué)生立刻想到剛才的整數(shù)加減法意義，脫口而出“把兩個數(shù)合成一個數(shù)，用加法；求還剩多少或兩個數(shù)相差多少用減法”，在遷移運用中已經(jīng)感悟到整數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法意義的一致性。

在此，數(shù)學(xué)文化的滲透巧妙地連接了學(xué)生對于整數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法運算意義的理解，同時也傳遞了數(shù)學(xué)文化應(yīng)有的功能。

（二）聚焦思維進(jìn)階，促進(jìn)對算理算法本質(zhì)的理解

數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為：運算能力、推理意識或推理能力。因此，數(shù)運算教學(xué)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效載體。

1.“多元表征”促進(jìn)“由表及里”的理解

本節(jié)課中首先是引導(dǎo)學(xué)生解決同分母分?jǐn)?shù)加法的計算問題，進(jìn)而建立探究的模型再解決同分母分?jǐn)?shù)減法計算問題。首先是準(zhǔn)確定位目標(biāo)，定位于雖不用抽象和揭示算法，但需要借助直觀操作理解和感悟同分母分?jǐn)?shù)的運算法則“分母不變，分子相加、減”的道理。其次就是思考合理搭好支架，讓學(xué)生對“計算的道理”有了立體性的認(rèn)識。

在第一個大任務(wù)中，教師通過問題“? ? 和

的和是多少呢？”引發(fā)學(xué)生思考，同時鼓勵他們：能把你的想法在學(xué)習(xí)單上表示出來嗎？可以借助圖形畫一畫、寫一寫。學(xué)生通過獨立思考、小組交流，以多元表征的形式呈現(xiàn)自己的想法（圖2）。

從可視化的表征方式中，可以看到學(xué)生的思維在不斷進(jìn)階，前面三幅雖然都是圖形表征，但是思維層次在螺旋遞進(jìn)，從與巧克力形狀相似的長方形表征到圓形表征再到線段圖表征，經(jīng)歷了逐步抽象的過程。最后的文字表征是最抽象的，既是對前面幾種不同圖形表示的概括，也揭示了的計算道理。因此，表達(dá)形式多樣的解釋途徑是“由表及里”逐步抵達(dá)計算的本質(zhì)，對算理的追尋應(yīng)從結(jié)果式思維轉(zhuǎn)向過程式思維。

2.“數(shù)學(xué)化”推進(jìn)“直觀到抽象”的感悟

學(xué)生在具體情境與操作中初步感悟同分母分?jǐn)?shù)加法的計算，尚不能歸納計算方法，而且數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)最終是要去情境走向“數(shù)學(xué)化”，用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實世界、分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以組織發(fā)現(xiàn)規(guī)律。因此，在本節(jié)課中還需要充分運用“數(shù)學(xué)化”的方法引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)同分母分?jǐn)?shù)計算的共通點、相似點、可遷移點，感悟分?jǐn)?shù)加減法與整數(shù)加減法的實質(zhì)相同，運算內(nèi)在邏輯道理的一致性，從而理解整數(shù)和分?jǐn)?shù)的加減法本質(zhì)上是單位的累加或減少。

教學(xué)活動中采用數(shù)學(xué)中最常用的“比較”的方法推進(jìn)“數(shù)學(xué)化”，通過三次比較逐步體驗運算的一致性。一是通過三個同分母分?jǐn)?shù)加法的比較，找到了其相同之處；二是通過同分母分?jǐn)?shù)加法和整數(shù)加法之間的比較，找到其相通之處；三是通過同分母分?jǐn)?shù)加減法之間的比較，找到其相似之處。把“相同之處”“相似之處”“相通之處”進(jìn)行比較和溝通，通過解決分?jǐn)?shù)加減法運算與整數(shù)加減法運算問題，將新舊知識有機(jī)地融合，目的是達(dá)成分?jǐn)?shù)加減法的算理算法與整數(shù)加減法的一致性，培養(yǎng)學(xué)生對知識的類推遷移能力，形成大觀念的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)。

（三）創(chuàng)意層次練習(xí)，拓展延續(xù)中走向深度學(xué)習(xí)

好的練習(xí)設(shè)計能夠起到“畫龍點睛”的作用，尤其是運算練習(xí)更要設(shè)計有新意、有蘊意的分層次練習(xí)，讓學(xué)生能夠在拓展延續(xù)中繼續(xù)走向深度學(xué)習(xí)。

本節(jié)課的練習(xí)設(shè)計，主要是通過“情境中題組練習(xí)、生活中解決問題、游戲中拓展模型”三組對比練習(xí)，鞏固同分母分?jǐn)?shù)加減法的算理與算法，并感知分?jǐn)?shù)減法是分?jǐn)?shù)加法的逆運算，再次體悟運算意義在整數(shù)與分?jǐn)?shù)領(lǐng)域的一致性。其次是應(yīng)用性練習(xí)，通過已知條件自問自答，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用所學(xué)計算解決問題的過程，感受數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用。再次是綜合性練習(xí)，讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)條組成不同的加法算式，從2個加數(shù)到4個加數(shù)，加深對同分母分?jǐn)?shù)加法算理和算法的理解。學(xué)生由此感悟到“無論有幾個這樣的同分母分?jǐn)?shù)相加，都可以看成幾個幾分之一相加，也就是‘分母不變，分子相加”。最后在總結(jié)中拓展延伸呈現(xiàn)一道異分母分?jǐn)?shù)加法“?+?”，再一次打破學(xué)生的認(rèn)知平衡，有效激發(fā)他們的好奇心與求知欲，同時也彰顯過程結(jié)構(gòu)的遷移價值。學(xué)生自覺將學(xué)習(xí)和探索活動由課內(nèi)向課外延伸，體現(xiàn)了“讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同發(fā)展”的理念。讓學(xué)生帶著問題走進(jìn)教室，帶著更深的思考走出教室，為后續(xù)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

在小學(xué)階段“數(shù)運算”的教學(xué)實踐中，教師必須立足于對數(shù)運算內(nèi)涵的深刻理解，縱向梳理，橫向思考，基于單元整體設(shè)計教學(xué)，在學(xué)生已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，激活新舊知識的聯(lián)系；讓學(xué)生充分理解運算的意義以及算理算法，感悟數(shù)運算的一致性，提升運算能力，發(fā)展推理意識，建構(gòu)模型思想，促進(jìn)學(xué)生的主動參與和深度學(xué)習(xí)，推動學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展。

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責(zé)任編輯：石萍