快速二維累積剩余Tsallis 熵閾值分割方法

黃 聰，鄒耀斌*

（1.三峽大學(xué) 水電工程智能視覺監(jiān)測湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 宜昌 443002；2.三峽大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

1 引 言

閾值分割因其高效、易于實(shí)現(xiàn)而被廣泛應(yīng)用于工業(yè)缺陷檢測［1］、SAR 圖像目標(biāo)識(shí)別［2］和目標(biāo)檢測［3］等諸多實(shí)際領(lǐng)域。根據(jù)所使用直方圖的維度，現(xiàn)有閾值分割方法可以分為一維灰度直方圖閾值法［4-6］和二維灰度直方圖閾值法［7-9］。一維灰度直方圖閾值法沒有考慮像素間的空間相關(guān)性，只要圖像的一維灰度直方圖相同，即使圖像的內(nèi)容不同也將產(chǎn)生相同的分割閾值［10］。二維灰度直方圖閾值法由于綜合考慮了像素自身及其空間鄰域信息，總體分割結(jié)果優(yōu)于對應(yīng)的一維灰度直方圖閾值法。然而，受制于空間鄰域信息的構(gòu)造或者閾值選取的目標(biāo)函數(shù)，不少二維灰度直方圖閾值方法僅限于分割直方圖呈現(xiàn)雙峰模式的圖像，并且計(jì)算效率相對較低。

為了克服二維閾值方法的上述局限性，近些年，研究人員提出了一些針對性的改進(jìn)方法。陳琪等提出了改進(jìn)的二維Otsu 法及其快速實(shí)現(xiàn)［11］，吳一全和潘喆則提出二維Tsallis 熵法的快速遞推算法［12］，這兩個(gè)方法將時(shí)間復(fù)雜度降為O(L2)（L為直方圖的最大灰度級）。然而，它們在設(shè)計(jì)快速遞推算法時(shí)僅考慮對角區(qū)域像素而忽略了邊緣像素的影響，所得分割閾值容易偏離理想閾值。趙恒等［13］通過邊緣信息擬合曲線重新對二維直方圖進(jìn)行分區(qū)，提出了雙曲線二維Otsu 法，在分割精度和抗噪方面都有所提升。梁義濤等［14］結(jié)合二維Otsu 折線法和曲線擬合方法提出一種改進(jìn)的二維Otsu 擬合線法，在某些邊緣信息豐富的圖像上取得較精確的分割結(jié)果。然而，二維Otsu 法本身僅局限于分割目標(biāo)和背景呈正態(tài)分布且方差相當(dāng)?shù)膱D像，因此這些基于二維Otsu 法改進(jìn)的方法仍然難以分割具有無峰或單峰直方圖模式的圖像。Yang 等［15］提出基于灰度和局部相對熵的二維閾值分割方法，不僅考慮了非對角區(qū)域的邊緣像素，而且通過最小相對熵進(jìn)一步提高了方法的魯棒性。該方法雖然在無峰、雙峰直方圖模式的灰度圖像上能獲得較好的分割結(jié)果，但其時(shí)間復(fù)雜度高達(dá)O(L4)。

大多數(shù)二維閾值分割方法將二維直方圖視為兩個(gè)或多個(gè)不同區(qū)域之間的一種特征映射，然后在二維直方圖上構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)以計(jì)算分割閾值。直方圖雖然計(jì)算簡單，但存在數(shù)據(jù)離散和形態(tài)多變等缺點(diǎn)，這也是基于直方圖的閾值分割方法無法分割不同直方圖模式的根本原因［11-15］。生存函數(shù)是一種與直方圖截然不同的特征映射新方法，具有良好的平滑性和單調(diào)非遞增性。累積剩余Tsallis 熵（Cumulative Residual Tsallis Entropy，CRTE）是一種基于生存函數(shù)的信息測度［16］，生存函數(shù)所具有的優(yōu)良性質(zhì)使得CRTE 在離散或連續(xù)領(lǐng)域都有一致的定義，為分割具有不同直方圖模式的圖像奠定了理論基礎(chǔ)。為了克服現(xiàn)有二維閾值法在分割精度和計(jì)算效率方面的不足，同時(shí)為了在同一個(gè)框架內(nèi)分割具有不同直方圖模式的圖像，本文提出了一種快速二維累積剩余Tsallis 熵閾值分割方法（Fast 2D-CRTE）。該方法從圖像二維灰度直方圖構(gòu)建二維生存函數(shù)出發(fā)，通過最大化二維生存函數(shù)不同區(qū)域之間的2D-CRTE 計(jì)算分割閾值。同時(shí)，為了降低方法的時(shí)間復(fù)雜度，通過遞推計(jì)算將方法的時(shí)間復(fù)雜度降為O(L2)。

2 Fast 2D-CRTE 方法

本節(jié)首先基于二維直方圖構(gòu)建出二維生存函數(shù)，然后再在二維生存函數(shù)的基礎(chǔ)上定義計(jì)算分割閾值的二維累積剩余Tsallis 熵目標(biāo)函數(shù)。為了將目標(biāo)函數(shù)求解的時(shí)間復(fù)雜度降低到O(L2)，進(jìn)一步給出目標(biāo)函數(shù)的快速遞推計(jì)算方法。

2.1 二維生存函數(shù)

給定一幅大小為M×N的圖像I(x，y)，在圖像I(x，y)上運(yùn)用3×3 的均值濾波得到均值圖像G(x，y)如式（1）所示：

二維直方圖具有數(shù)據(jù)離散和形態(tài)多變的特點(diǎn)，這使得目前大部分基于二維直方圖的閾值方法難以在同一個(gè)閾值選擇目標(biāo)函數(shù)內(nèi)分割不同直方圖模式的圖像。二維生存函數(shù)是一種新的特征映射方法，可以通過二維直方圖推導(dǎo)得到式（3）：

其中：0 ≤s≤L-1，0 ≤t≤L-1。與二維直方圖多樣且復(fù)雜的形態(tài)相比，二維生存函數(shù)擁有更統(tǒng)一的分布形態(tài)。圖1 展示了不同二維直方圖模式所對應(yīng)的二維生存函數(shù)。可以觀察到，不管是無峰、單峰、雙峰或者多峰模式的二維直方圖，其對應(yīng)的二維生存函數(shù)曲面都呈現(xiàn)單調(diào)非遞增的形態(tài)。這為在同一閾值選擇目標(biāo)函數(shù)下分割具有不同直方圖模式的圖像奠定了理論基礎(chǔ)。

圖1 不同模式二維直方圖及其對應(yīng)二維生存函數(shù)曲面Fig.1 Two-dimensional histograms of different modes and their corresponding two-dimensional survival function surfaces

2.2 二維累積剩余Tsallis 熵目標(biāo)函數(shù)

CRTE［16］是一種基于生存函數(shù)Fˉ(x)的信息測度，定義如式（4）所示：

假設(shè)閾值向量(s，t)將圖像對應(yīng)的二維生存函數(shù)劃分為如圖2 所示的4 個(gè)矩形區(qū)域。與二維直方圖區(qū)域劃分類似，二維生存函數(shù)中區(qū)域A 與目標(biāo)對應(yīng)，區(qū)域B 與背景對應(yīng)，區(qū)域C 和D 則表示邊緣和噪聲。

圖2 二維生存函數(shù)區(qū)域劃分Fig.2 Two-dimensional survival function region division

根據(jù)式（5）的2D-CRTE 定義，目標(biāo)和背景對應(yīng)區(qū)域A 和B 的2D-CRTE 可以分別按式（6）和式（7）計(jì)算：

因?yàn)閰^(qū)域C 和D 通常對應(yīng)邊緣和噪聲，對于最終分割閾值的選取影響不大而被忽略，這樣根據(jù)兩個(gè)不同子系統(tǒng)的2D-CRTE 可加性原則，總的2D-CRTE 定義如式（8）所示：

最后，構(gòu)建計(jì)算分割閾值向量(s*，t*)的目標(biāo)函數(shù)：

2.3 目標(biāo)函數(shù)的快速計(jì)算

在二分類的情況下，確定閾值向量(s*，t*)的計(jì)算復(fù)雜度高達(dá)O(L4)。為了提高2D-CRTE 閾值分割方法的計(jì)算效率，提出一種時(shí)間復(fù)雜度為O(L2)的遞推算法。

在公式（8）中，為了計(jì)算閾值向量(s*，t*)，在0～（L-1）的窮舉是不可避免的，其本身的時(shí)間復(fù)雜度已經(jīng)為O(L2)。因此，降低算法總體時(shí)間復(fù)雜度須從公式（6）和公式（7）著手，采取空間換時(shí)間的方法，提前計(jì)算出不同閾值向量(s，t)下目標(biāo)區(qū)域和背景區(qū)域的2D-CRTE。

圖3 展示了Fast 2D-CRTE 方法快速計(jì)算不同閾值向量(s，t)下 總2D-CRTE 的思路，其中R(s，t)和B(s，t)分別表示目標(biāo)區(qū)域和背景區(qū)域?qū)?yīng)的2D-CRTE 的信息量：

圖3 Fast 2D-CRTE 方法計(jì)算不同閾值向量(s，t)下總2D-CRTE 的思路。Fig.3 Fast 2D-CRTE method for calculating total 2D-CRTE with different threshold vectors (s，t).

將式（10）和式（11）分別代入式（6）和式（7），則式（8）可以轉(zhuǎn)換為：

這樣，計(jì)算總的2D-CRTE 就退化為計(jì)算輔助計(jì)算量R(s，t)和B(s，t)。進(jìn)一步，R(s，t)可以通過如式（13）所示的快速遞推公式得出：

R(s，t)初始值可按式（14）初始化：

在二維生存函數(shù)的基礎(chǔ)上，可以在O(L2)的時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)得到R(s，t)。B(s，t)的計(jì)算還需要一個(gè)額外的輔助空間T(s，t)，T(s，t)表示包含坐標(biāo)(s，t)在內(nèi)的左上角區(qū)域信息量的總和（見圖4 長方形內(nèi)最右側(cè)紅色區(qū)域）。T(s，t)的計(jì)算與R(s，t)類似，可以通過如式（15）所示的快速遞推公式得出：

圖4 輔助計(jì)算量B(s，t)計(jì)算思路（B(s，t)等于總的信息量減去在閾值向量(s，t)下對應(yīng)的T(s，t)）。Fig.4 Calculation thought of auxiliary amount B(s，t)（B(s，t) equals the total amount of information minus the corresponding T(s，t) under the threshold vector (s，t)）.

T(s，t)初始值可按式（16）初始化：

在得到輔助計(jì)算量T(s，t)后，B(s，t)可以通過總信息量減去T(s，t)得到，圖4 形象地描述了B(s，t)和T(s，t)的關(guān)系，計(jì)算公式如式（17）所示：

從上述分析推理可知：Fast 2D-CRTE 一共使用了3 個(gè)輔助空間R(s，t)、B(s，t)和T(s，t)，空間使用量為3×(L×L)，然而其時(shí)間復(fù)雜度僅為O(L2)，優(yōu)于原始2D-CRTE 的O(L4)。

3 算法描述

為了更清晰地說明如何利用式（1）～式（3）、式（9）和式（12）～式（17）計(jì)算閾值向量(s*，t*)，給出了快速二維累積剩余Tsallis 熵閾值分割方法（Fast Two-Dimensional Cumulative Residual Tsallis Entropy，F(xiàn)ast 2D-CRTE）的6個(gè)步驟，如圖5和算法1所示。

圖5 提出的Fast 2D-CRTE 方法的流程Fig.5 Flow chart of the proposed fast 2D-CRTE method

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 實(shí)驗(yàn)方案及量化指標(biāo)

實(shí)驗(yàn)所用軟硬件的主要參數(shù)如下：Intel（R）Core（TM）i5-10300H 2.50 GHz CPU，16 GB DDR4內(nèi)存，Windows10 64 位操作系統(tǒng)，Matlab 2021 開發(fā)平臺(tái)。測試圖像集包括26幅合成圖像和76幅真實(shí)世界圖像，它們的灰度直方圖呈現(xiàn)為無峰、單峰、雙峰或者多峰模式。每幅測試圖像的分割參考圖像均利用Adobe Photoshop 軟件手工產(chǎn)生。測試圖像集和分割參考圖像集可以通過訪問https：//pan.baidu.com/s/16HVrqsNSM83uPmai-6idVQ？pwd=7rfx 獲得。

為了評估所提出方法的計(jì)算效率以及針對不同直方圖模式圖像的分割有效性，在測試數(shù)據(jù)集上比較了6 種不同的圖像分割方法，分別是本文提出的Fast 2D-CRTE、快速二維Otsu 閾值分割方法（Fast Two-Dimensional Otsu，F(xiàn)ast 2D-OTSU）［11］、快速二 維Tsallis 閾值分 割方法（Fast Two-Dimensional Tsallis，F(xiàn)ast 2D-Tsallis）［12］、基于超像素的快速模糊C 均值聚類分割方法（Superpixel Based Fast Fuzzy C-Means Clustering，SFFCM）［17］、自動(dòng)模糊聚類分割方法（Automatic Fuzzy Clusering Framework，AFCF）［18］、基于模糊區(qū)域的活動(dòng)輪廓圖像分割方法（Gobal and Local Fuzzy Image Fitting Image Segmentation，GLFIF）［19］。

本文采用常用的量化指標(biāo)，即誤分類率（ME）［15］來定量評估分割方法的分割精度。ME 指標(biāo)反映了分割結(jié)果圖像中背景像素和前景像素誤分類的情況。當(dāng)分割結(jié)果圖像和分割參考圖像相同時(shí)，ME=0；反之，當(dāng)分割結(jié)果圖像和分割參考圖像完全相反時(shí)，ME=1。ME 計(jì)算公式如式（18）所示：

其中：Fg和Bg分別表示分割參考圖像中的前景和背景，而Ft和Bt分別表示分割結(jié)果圖像的前景和背景，符號(hào)∩表示取交集運(yùn)算，符號(hào)|· |表示計(jì)算元素的個(gè)數(shù)。

4.2 合成圖像上的比較實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證Fast 2D-CRTE 方法的分割適應(yīng)性，一方面通過調(diào)整目標(biāo)和背景的大小比例，使得26 幅合成圖像既包括目標(biāo)和背景大小比例相對均衡的情況（圖6（a）、（c）和（d）），也包括大小比例相對失衡的情況（圖6（b））；另一方面在合成圖像上添加諸如均勻噪聲、高斯噪聲、貝塔噪聲和瑞利噪聲，以形成具有無峰、單峰、雙峰或者多峰直方圖模式的合成圖像（圖6（a）～（d））。

圖6 4 張合成測試圖像及其二維直方圖（（a）～（d）分別對應(yīng)編號(hào)為1、4、18 和26 的測試圖像）。Fig.6 4 synthetic test images and their two-dimensional histograms（（a）～（d）corresponding to test images numbered 1，4，18，and 26，respectively）.

圖7 展示了6 種分割方法在4 幅合成圖像上的分割結(jié)果。表1 第1、4、18 和26 行分別給出了6 種分割方法在4 幅合成圖像上的ME 值。結(jié)合二者可以觀察到：（1）AFCF 方法除了在雙峰直方圖模式的圖像上分割效果較好之外，在無峰、單峰或多峰直方圖模式的圖像上都有嚴(yán)重的誤分割，ME 值甚至高達(dá)0.67。（2）Fast 2D-OTSU方 法、Fast 2D-Tsallis 方 法、SFFCM 方法和GLFIF 方法的整體分割效果優(yōu)于AFCF 方法，在無峰和雙峰直方圖模式圖像上的分割效果有很大提升。然而，這些方法對單峰直方圖模式圖像仍然具有較差的分割能力，ME 值達(dá)到0.4（表1 第4 行）。（3）Fast 2D-CRTE 方法的 分割結(jié)果明顯優(yōu)于前5 種方法，不僅成功地將目標(biāo)從圖像中提取出來，而且分割結(jié)果最接近GroundTruth圖像。

表1 6 種分割方法在26 張合成圖像上的ME 值以及Fast 2D-CRTE 方法的熵參數(shù)α 取值和分割閾值Tab.1 ME value of 26 synthetic images by six segment methods and entropy parameter α values and segmentation thresholds of Fast 2D-CRTE method

圖7 6 個(gè)方法在圖6（a）～（d）中4 幅合成圖像上的分割結(jié)果Fig.7 Segmentation results of 6 methods on 4 synthetic images in Fig.6（a）～（d）

表1 給出了6 種分割方法在26 張合成圖像上具體的ME 值以及Fast 2D-CRTE 方法在26 張合成圖像上熵參數(shù)α的取值和分割閾值。表2 給出了6 種分割方法在26 幅合成圖像上的平均CPU運(yùn)行時(shí)間和平均ME 值。結(jié)合表1 和表2 可以得到：（1）Fast 2D-CRTE 方法在無峰、單峰、雙峰或多峰直方圖模式圖像上保持了良好的穩(wěn)定性，平均ME 值 為0.011 9。（2）Fast 2D-CRTE 方法較性能第二的Fast 2D-OTSU 方法，平均ME 值降低6.25%，平均CPU 運(yùn)行時(shí)間降低0.01 s，在ME 值和時(shí)間效率方面具有相對明顯的優(yōu)勢。

表2 6 種分割方法在26 張合成圖像上的平均CPU 運(yùn)行時(shí)間以及平均ME 值Tab.2 Average CPU runtime and mean ME value of 26 synthetic images by six segment methods

4.3 真實(shí)圖像的比較實(shí)驗(yàn)

具有不同灰度直方圖模式的76幅真實(shí)世界圖像被用于進(jìn)一步檢驗(yàn)6 種分割方法的分割適應(yīng)能力，如圖8 所示。這些真實(shí)世界圖像的灰度直方圖可以用一種或多種分布的組合來近似，且直方圖呈現(xiàn)無峰、單峰、雙峰或多峰模式。這76 幅測試圖像被分為4 組，其中編號(hào)1～5、6～26、27～53 和54～76 的測試圖像直方圖分別對應(yīng)無峰、單峰、雙峰和多峰模式。測試圖像采集自不同應(yīng)用領(lǐng)域，包括生物細(xì)胞分析、行人視頻監(jiān)控和艦船目標(biāo)監(jiān)測等，涉及的成像方法包括超聲成像、紅外熱成像、渦流成像、光學(xué)顯微鏡成像和光學(xué)CCD 成像等。

圖9 展示了Fast 2D-CRTE 方法在圖8 的4 幅真實(shí)世界圖像上的仿真過程，圖10展示了6種分割方法在圖8中4幅真實(shí)世界圖像上的分割結(jié)果。結(jié)合二者可以觀察到：（1）AFCF 方法整體的分割適應(yīng)性較低，在灰度直方圖為無峰、單峰、雙峰或多峰模式的圖像上具有嚴(yán)重的誤分割。（2）SFFCM方法和GLFIF 方法針對雙峰直方圖模式的圖像具有較好的分割精度。然而，它們在單峰和多峰直方圖模式圖像上的分割仍然不理想。（3）相比于前3 種方法，F(xiàn)ast 2D-OTSU 方法和Fast 2D-Tsallis方法的分割效果有很大提升，但是它們在無峰、單峰和多峰直方圖模式圖像上仍然存在誤分割。（4）從仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，通過合理地調(diào)整熵參數(shù)，F(xiàn)ast 2D-CRTE 方法能選取恰當(dāng)?shù)姆指铋撝祻膹?fù)雜的場景下將目標(biāo)提取成功，在不同直方圖模式圖像上具有較強(qiáng)的分割適應(yīng)性。

圖9 在圖8 中4 幅真實(shí)世界圖像上的二維生存函數(shù)、R(s，t)、B(s，t)和2D-CRTE 的可視化結(jié)果。Fig.9 Visualization results of two-dimensional survival function，R(s，t)，B(s，t) and 2D-CRTE on 4 real-world images in Fig.8.

圖10 6 種分割方法在圖8 的4 幅二維直方圖模式分別為無峰、單峰、雙峰和多峰圖像上的分割結(jié)果。Fig.10 Segmentation results of 6 methods on 4 histogram patterns of Fig.8 are nonpeak，unimodal，bimodal and multimodal.

圖11 展示了6 種分割方法在76 張真實(shí)世界圖像上的ME 值散點(diǎn)圖，表3 則給出6 種分割方法的平均CPU 運(yùn)行時(shí)間和平均ME 值。結(jié)合二者可得：（1）SFFCM 方法、AFCF 方法和GLFIF方法在無峰、單峰、雙峰或多峰直方圖模式圖像上的ME 值波動(dòng)較大（見圖11 散點(diǎn)圖（d）、（e）和（f）），對應(yīng)平均ME 值分別高達(dá)0.499 4、0.540 7和0.366 8，進(jìn)一步說明這3 種方法的分割穩(wěn)定性較差。（2）Fast 2D-OTSU 方 法和Fast 2D-Tsallis方法相較于前3 種方法，在雙峰直方圖模式圖像上的分割精度較高（見圖11（b）和（c）的實(shí)心圓形標(biāo)識(shí)的數(shù)據(jù)）。但是，F(xiàn)ast 2D-OTSU 方法和Fast 2D-Tsallis 方法在無峰、單峰或多峰直方圖模式的圖像上的分割結(jié)果也不穩(wěn)定。（3）針對無峰、單峰、雙峰或多峰直方圖模式的圖像，F(xiàn)ast 2D-CRTE方法的ME 值波動(dòng)平緩（圖11（a））且平均ME 值穩(wěn)定在0.013 7。這些都表明，F(xiàn)ast 2D-CRTE 方法具有更強(qiáng)的分割適應(yīng)能力。此外，相對于其他5 種方法，F(xiàn)ast 2D-CRTE 方法的平均CPU 運(yùn) 行時(shí)間穩(wěn)定在0.183 2 s，位居第一。

表3 6 種分割方法在76 張真實(shí)世界圖像上的平均CPU 運(yùn)行時(shí)間以及平均ME 值Tab.3 Average CPU runtime and mean ME value of 6 segmentation methods on 76 real-world image

圖11 6 種分割方法在76 張真實(shí)世界圖像上的ME 值散點(diǎn)圖Fig.11 ME value scatter maps of 6 segmentation methods on 76 real-world images

4.4 熵參數(shù)α 選取分析

在本文提出的方法中，存在一個(gè)可變的熵參數(shù)α，該值的改變影響著最佳閾值的選取。式（8）描述了隨著閾值變量(s，t)的變化時(shí)，兩個(gè)子系統(tǒng)（A，B 區(qū)域）總的2D-CRTE 熵值的變化。從中可以看出，2D-CRTE 熵值的大小與閾值向量(s，t)劃分A、B 區(qū)域后的二維生存函數(shù)Fˉ和熵參數(shù)α相關(guān)。在圖像給定的情形下，二維生存函數(shù)Fˉ本身并不發(fā)生改變，導(dǎo)致總的2D-CRTE 熵值改變的原因來自于熵參數(shù)α的變化影響下的式（6）和式（7）的分子項(xiàng)和的改變。

圖12 第一、二行子圖分別給出了在一幅最大灰度為50 的圖像上取熵參數(shù)α為0.001、0.1、0.5、0.99、1.1 和1.5 時(shí)的二 維生存 函數(shù)Fˉα和總的2D-CRTE 熵變化。并且，圖中顏色越接近于黃色代表數(shù)值越接近最大值，圖中顏色越接近藍(lán)色代表數(shù)值越接近于最小值。為了便于描述，稱圖中最大值和最小值之間的區(qū)域?yàn)榫彌_區(qū)。從第一行子圖可以看出，熵參數(shù)α越接近于0，緩沖區(qū)中的所有取值就越趨近于1（顏色趨近于黃色）；熵參數(shù)α越遠(yuǎn)離（大于）0，緩沖區(qū)中其余取值都趨近于0（顏色趨近于藍(lán)色）。該現(xiàn)象表明，可以通過動(dòng)態(tài)調(diào)整熵參數(shù)α改變二維生存函數(shù)緩沖區(qū)內(nèi)部的數(shù)值，進(jìn)而影響最佳閾值的選取。從圖12 的第二行子圖可以看出，當(dāng)熵參數(shù)0<α<1 時(shí)，隨著α的減小，2D-CRTE 熵值的選取會(huì)向二維直方圖的中心點(diǎn)移動(dòng)；當(dāng)熵參數(shù)α>1 時(shí)，隨著熵參數(shù)α的增大，2D-CRTE 熵值可以在中心點(diǎn)右側(cè)多個(gè)局部區(qū)域取得。因此，熵參數(shù)α>1 時(shí)的圖像分割結(jié)果并不唯一。

圖12 熵參數(shù)α 取0.001、0.1、0.5、0.99、1.1 和1.5 時(shí)的生存函數(shù)和總的2D-CRTE 熵變化。Fig.12 Survival function and total 2D-CRTE entropy change for entropy parameter α at 0.001，0.1，0.5，0.99，1.1 and 1.5.

綜上分析，熵參數(shù)可以在分割過程中起到調(diào)解因子的作用。Fast 2D-CRTE 閾值分割方法可以通過調(diào)整熵參數(shù)α改變二維生存函數(shù)以適應(yīng)不同的圖像分割任務(wù)。通過4.2 和4.3 節(jié)中的大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，（0，1.1）是選取熵參數(shù)α的適宜區(qū)間。參數(shù)在選取0.001、0.01、0.1、0.5、0.99 和1.1 等數(shù)值時(shí)，一般會(huì)取得一個(gè)不錯(cuò)的分割結(jié)果。

對于具體的圖像分割任務(wù)，任務(wù)場景與成像條件在一定時(shí)間和空間范圍內(nèi)是可控的。因此，在對圖像進(jìn)行處理時(shí)，可以假定來自相同背景和相同成像設(shè)備的一系列圖像的熵參數(shù)α是一致的。對于相同的應(yīng)用場景，可以通過一些訓(xùn)練樣本圖像從0.001、0.01、0.1、0.5、0.99 和1.1 等6 個(gè)備選熵參數(shù)中為熵參數(shù)α選擇一個(gè)最優(yōu)值，然后將所選的最優(yōu)值設(shè)置為該場景下一系列圖像分割的熵參數(shù)α。為了證實(shí)這一想法的可行性，我們從MSTAR 數(shù)據(jù)庫［20］中選取10 幅同一場景下的雷達(dá)測試圖像展開實(shí)驗(yàn)，雷達(dá)測試圖像及其二維直方圖如圖13 所示。

圖13 10 幅雷達(dá)測試圖像及其二維直方圖（從左到右，從上到下依次編號(hào)為1～10）。Fig.13 10 Radar test images and their two-dimensional histograms（number 1～10 from left to right，top to bottom）.

由于任務(wù)場景與成像條件相似，10 幅雷達(dá)測試圖像的二維直方圖呈現(xiàn)一致的單峰模式（圖13）。圖14 展示了在選定熵參數(shù)α=0.001時(shí)Fast 2D-CRTE 方法針對圖13 中編號(hào)為1 和6的雷達(dá)測試圖像的仿真過程；圖15 給出了在選定熵參數(shù)α=0.001 時(shí)Fast 2D-CRTE 方法在圖13中10 幅雷達(dá)測試圖像上的分割結(jié)果。結(jié)合二者可得：對于這10 幅同一場景下的雷達(dá)測試圖像，當(dāng)熵參數(shù)α取0.001 時(shí)，F(xiàn)ast 2D-CRTE 方法能消除單峰模式下背景像素簇對閾值的權(quán)重偏離影響，進(jìn)而選取合理的閾值成功地將目標(biāo)從圖像中提取出來。該實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了前面的假設(shè)。在本文實(shí)驗(yàn)中，所有2D-CRTE 的熵參數(shù)α都是手動(dòng)從0.001、0.01、0.1、0.5、0.99 和1.1 等6 個(gè)備選熵參數(shù)選取的，如何自適應(yīng)地選取合適的熵參數(shù)α也是后續(xù)研究需要考慮的問題。

圖14 在圖13 中編號(hào)為1 和6 的測試圖像上的二維生存函數(shù)、R(s，t)、B(s，t)和2D-CRTE 的可視化結(jié)果。Fig.14 Visualization results of two-dimensional survival function，R(s，t)，B(s，t) and 2D-CRTE on test images numbered 1 and 6 in Fig.13.

圖15 Fast 2D-CRTE 方法在圖13 的10 幅雷達(dá)測試圖像上的分割結(jié)果Fig.15 Segmentation results of Fast 2D-CRTE method on 10 radar test images

5 結(jié) 論

本文給出的二維累積剩余Tsallis 熵可以表征分割前后圖像之間的差異程度，具備圖像分割測度功能?；诙S生存函數(shù)的快速二維累積剩余Tsallis 熵閾值分割方法通過動(dòng)態(tài)地調(diào)整熵參數(shù)，能有效地區(qū)分無峰、單峰、雙峰或多峰直方圖模式圖像的目標(biāo)和背景。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與快速二維Otsu 法、快速二 維Tsallis 熵法、2 種聚類分割方法和1 種活動(dòng)輪廓分割方法相比，所提出的方法不僅時(shí)間效率以0.183 2 s 位居第一，而且平均誤分類率保持在0.013 7 以下，在不同直方圖模式的圖像上具有較強(qiáng)的分割魯棒性。在未來工作中，將會(huì)考慮構(gòu)建累積剩余Tsallis 熵參數(shù)和不同直方圖模式之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)地解決參數(shù)調(diào)節(jié)問題。