基于小波包變換的自適應(yīng)混沌信號(hào)降噪算法

劉云俠 貝廣霞 蔣忠贇孟 強(qiáng) 時(shí)慧喆

(山東科技大學(xué)工程實(shí)訓(xùn)中心 青島 266590)

1 引言

混沌運(yùn)動(dòng)是一種貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，在非線性系統(tǒng)中普遍存在[1–3]。由于自身和外在因素的 影響，實(shí)際得到的混沌信號(hào)都包含一定的噪聲，噪聲的存在嚴(yán)重破壞了混沌系統(tǒng)的內(nèi)在動(dòng)態(tài)特性，給參數(shù)的計(jì)算和變量的分析預(yù)測(cè)帶來(lái)很大的困難，因此對(duì)實(shí)用可行的混沌信號(hào)降噪算法進(jìn)行研究具有重要的理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值[4–8]。

通常，混沌信號(hào)具有內(nèi)在行為似噪聲性和功率寬帶性，因此傳統(tǒng)頻譜分析方法，比如線性濾波器難以實(shí)現(xiàn)信噪分離[9,10]。近年來(lái)，作為一種有效的時(shí)頻分析和多分辨率分析方法，小波變換可以很好地表征信號(hào)的局部特征。由于只對(duì)近似系數(shù)進(jìn)行再分解，無(wú)法聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)，因此限制了其在混沌信號(hào)降噪領(lǐng)域的應(yīng)用[11–15]。

為了實(shí)現(xiàn)信號(hào)的多尺度細(xì)化分解，本文采用小波包對(duì)混沌信號(hào)進(jìn)行變換，并對(duì)自適應(yīng)降噪算法進(jìn)行了研究[16–21]。首先，根據(jù)不同分解層近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)的相關(guān)性與能量不同，確定了最佳分解層數(shù)和最優(yōu)小波包基。然后，結(jié)合不同的方法對(duì)變換后的最優(yōu)小波包系數(shù)進(jìn)行分析和自適應(yīng)選擇，最大限度地提取混沌信號(hào)的局部特征和細(xì)節(jié)信息，降低系統(tǒng)的重構(gòu)誤差。同時(shí)，本文還從多個(gè)角度對(duì)降噪效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，以驗(yàn)證所提算法對(duì)混沌信號(hào)降噪的有效性。

2 小波包降噪的基本原理

小波包分解算法是小波分解的進(jìn)一步細(xì)化，通過(guò)一系列中心頻率不同但帶寬相同的濾波器，將信號(hào)投影到小波包基函數(shù)張成的空間，能夠?qū)Ψ纸夂蟾鱾€(gè)層次的小波包系數(shù)進(jìn)行局部分析。

假設(shè)實(shí)際觀測(cè)混沌信號(hào)為

其中，x(n)為混沌信號(hào)，η(n)為 高斯白噪聲，n=1,2,···,N。

通過(guò)頻帶的多層次劃分，小波包分解算法能夠?qū)?xì)節(jié)系數(shù)再分解。利用小波包算法對(duì)混沌信號(hào)降噪主要包括4步：分解層數(shù)的確定、小波包基的選擇、小波包系數(shù)的量化和重構(gòu)。降噪效果的好壞主要取決于前3個(gè)環(huán)節(jié)，但是分解層數(shù)、小波包基和閾值的量化選取比較困難，因此限制了其在實(shí)際中的應(yīng)用。

3 基于小波包變換的自適應(yīng)混沌降噪算法

針對(duì)小波包降噪的缺陷，本文提出一種有效的自適應(yīng)混沌信號(hào)降噪算法。本算法對(duì)小波包變換后最佳分解層數(shù)、最優(yōu)小波包基和小波包系數(shù)的選擇及確定進(jìn)行了詳細(xì)的分析與研究，具體算法如下。

3.1 最佳分解層數(shù)的確定

利用小波包對(duì)混沌信號(hào)進(jìn)行變換分析，分解層數(shù)過(guò)大，會(huì)降低系統(tǒng)的內(nèi)在動(dòng)態(tài)特性；反之，系數(shù)中含有的過(guò)多噪聲，會(huì)增大重構(gòu)誤差。因此，最佳分解層數(shù)的確定非常重要。

基于混沌結(jié)構(gòu)的自相似性和噪聲的隨機(jī)性，混沌信號(hào)和噪聲的相關(guān)性不同。本文通過(guò)對(duì)比每一分解層近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)的自相關(guān)系數(shù)來(lái)確定最佳的分解層數(shù)，自相關(guān)系數(shù)的定義為

其中，τ表示延遲，t=1,2。

通常，混沌具有較大的自相關(guān)系數(shù)，而高斯白噪聲的自相關(guān)系數(shù)非常小?；煦缧盘?hào)經(jīng)過(guò)小波包變換后，隨著分解層數(shù)的增加，小波包系數(shù)的自相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值會(huì)先減少再增加。在最佳分解層，不同小波包系數(shù)的自相關(guān)系數(shù)滿足以下條件：

3.2 最優(yōu)小波包基的選擇

由于混沌信號(hào)的能量較大，噪聲的能量較小，本文以對(duì)數(shù)能量熵作為代價(jià)函數(shù)，其定義為

其中，E(0)=0。

熵值反映了狀態(tài)的合乎規(guī)律的程度，值越大，狀態(tài)越有序；值越小，狀態(tài)越不均勻。當(dāng)細(xì)節(jié)高頻部分進(jìn)一步分解時(shí)，保留分解系數(shù)能量大于對(duì)應(yīng)高頻部分能量的系數(shù)，去掉其余系數(shù)。

3.3 小波包系數(shù)的量化

基本小波包降噪算法主要采用閾值量化對(duì)小波包系數(shù)進(jìn)行取舍，但是硬閾值方法的閾值函數(shù)不連續(xù)，軟閾值方法的通用閾值存在恒定偏差。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，本文分別結(jié)合局部投影和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)最優(yōu)小波包系數(shù)進(jìn)行量化。近似系數(shù)一般由低頻信號(hào)組成，但仍然包含一定的噪聲，在局部鄰域內(nèi)對(duì)其進(jìn)行投影分析，能夠減小真實(shí)值和重構(gòu)值之間的偏差，最大限度地降低噪聲的影響；細(xì)節(jié)系數(shù)一般由高頻噪聲組成，但仍然含有一定的有用信息，結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)算法對(duì)其進(jìn)行自適應(yīng)選擇，可以最大限度地保留有用信息，提高系統(tǒng)的信噪比。

3.3.1近似系數(shù)的局部投影分析

其中：D和R分別表示方向矩陣和對(duì)角權(quán)重矩陣，是高階誤差。

在重構(gòu)的相空間中，總是存在一個(gè)超平面，而超平面和相點(diǎn)之間的偏差就代表噪聲，這個(gè)偏差可以表示為

假設(shè)由噪聲構(gòu)成的零子空間的維數(shù)為Q，那么偏差在該零子空間上的投影可以寫為

其中，qk表示歸一化矢量。

在局部鄰域內(nèi)，計(jì)算Z(n)的協(xié)方差矩陣

通過(guò)式(11)求出協(xié)方差矩陣的特征值及特征矢量，去掉較小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量，可以得到分析后的近似信號(hào)，即

3.3.2細(xì)節(jié)系數(shù)的自適應(yīng)選擇

考慮到軟、硬閾值處理方法的不足，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)選取。假設(shè)為第i層第j個(gè)最優(yōu)小波包細(xì)節(jié)系數(shù)，加入Sigmoid閾值濾波單元后，細(xì)節(jié)系數(shù)為

此時(shí)，重構(gòu)信號(hào)可以表示為

為了獲得令人滿意的降噪性能，通常希望最小化式(15)的指標(biāo)

利用梯度下降算法，分別求式(15)對(duì)參數(shù)α和β的導(dǎo)數(shù)，可得

其中，0＜γ ＜1和 0＜δ ＜1表示學(xué)習(xí)速率。

當(dāng)指標(biāo)E(α,β)達(dá)到最小時(shí)，就實(shí)現(xiàn)了細(xì)節(jié)系數(shù)的自適應(yīng)選取。

3.3.3小波包系數(shù)的重構(gòu)

將分析后的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，就得到了降噪后的信號(hào)，即

基于上述的理論分析，本文算法的具體流程如圖1所示。

圖1 基于小波包變換的自適應(yīng)混沌降噪算法流程圖

在圖1中，本文算法首先對(duì)混沌信號(hào)進(jìn)行小波包變換，根據(jù)混沌和噪聲的相關(guān)性與能量差異，確定最佳分解層數(shù)和最優(yōu)小波包基，在簡(jiǎn)化計(jì)算和提高效率的同時(shí)，最大限度地表示信號(hào)的內(nèi)在規(guī)律性。然后，對(duì)近似系數(shù)進(jìn)行相空間重構(gòu)，并在局部鄰域內(nèi)對(duì)其進(jìn)行投影分析，通過(guò)去掉較小的奇異值，有效表征混沌信號(hào)的局部特征。同時(shí)，結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的梯度下降算法，自適應(yīng)提取混沌信號(hào)中的細(xì)節(jié)信息，進(jìn)而克服閾值量化導(dǎo)致的重構(gòu)誤差大的缺點(diǎn)。該降噪算法具有很好的理論基礎(chǔ)，每一步都具有確定的含義，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，因此不僅能夠很好地保持系統(tǒng)的內(nèi)在動(dòng)態(tài)特性，提高系統(tǒng)的信噪比，而且能增強(qiáng)穩(wěn)定性和實(shí)用性。

3.4 降噪效果評(píng)判指標(biāo)

主要從以下3個(gè)方面對(duì)降噪算法降噪效果進(jìn)行評(píng)判。

(1)對(duì)降噪前后信號(hào)的信噪比(Signal-Noise Ratio,SNR)和均方根誤差(Root M ean Square Error,RMSE)進(jìn)行分析，這兩個(gè)指標(biāo)的公式為

SNR和RMSE都能夠反映降噪能力的大小，SNR值越大，RMSE值越小，說(shuō)明降噪的效果越好。

(2)在時(shí)域內(nèi)，分析降噪前后信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)。由于高斯白噪聲自相關(guān)函數(shù)值比較小，混沌自相關(guān)函數(shù)值比較大，因此可以通過(guò)對(duì)比反映降噪效果。

(3)在頻域內(nèi)，分析信號(hào)的功率譜。功率譜是頻域內(nèi)提取有用信息的工具，功率譜的定義為

其中，ω表示角頻率。

由于噪聲具有高頻性，混沌具有低頻性，因此可以通過(guò)比較功率譜評(píng)價(jià)降噪效果。

4 仿真實(shí)例

為驗(yàn)證本文算法的有效實(shí)用性，以加高斯白噪聲的Rossler混沌信號(hào)為研究對(duì)象，其動(dòng)力學(xué)方程如式(21)所示

當(dāng)d=0.2,e=0.2,f=5時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。此時(shí)，分別選取x軸、y軸和z軸方向各2 000個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真分析。

正交小波包能夠?qū)Ω哳l部分精細(xì)分解，重構(gòu)時(shí)無(wú)相位失真，因此能夠?qū)煦缧盘?hào)進(jìn)行更好的時(shí)頻局部化分析。正交小波包函數(shù)db n中的n代表消失矩，決定了逼近光滑信號(hào)的能力，階數(shù)越大，頻帶劃分效果越好。通常，選擇n∈[2,10]。為了提高降噪算法的效率，本文選擇db8小波包進(jìn)行變換分析。

首先，利用db8小波包分別對(duì)加噪5%,10%,20%,35%,60%,90%的x軸方向的時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行6層變換，并計(jì)算每一層的自相關(guān)系數(shù)及差值，得到的曲線如圖2所示。

通過(guò)分析可以看出，在不同噪聲水平下，當(dāng)分解層數(shù)小于等于3時(shí)，的自相關(guān)系數(shù)高度相關(guān)，的自相關(guān)系數(shù)相關(guān)性很小，且兩者自相關(guān)系數(shù)差值都大于0.5，因此最佳分解層數(shù)為3。對(duì)y軸和z軸方向的時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行相同的分析，可以得到最佳分解層數(shù)分別為3和2。

當(dāng)分解層數(shù)為最佳分解層數(shù)時(shí)，對(duì)不同噪聲水平下x軸、y軸和z軸方向的時(shí)間序列數(shù)據(jù)分別進(jìn)行小波包變換，通過(guò)計(jì)算每一層每一個(gè)小波包系數(shù)的對(duì)數(shù)能量絕對(duì)值，可以得到對(duì)應(yīng)軸時(shí)間序列數(shù)據(jù)的最優(yōu)小波包基，如表1所示。

表1 不同噪聲水平下的最優(yōu)小波包基

通過(guò)圖2和表1可以看出，針對(duì)不同的數(shù)據(jù)，隨著噪聲水平的提高和分解層數(shù)的增大，在一定范圍內(nèi)，近似系數(shù)的相關(guān)性會(huì)下降，細(xì)節(jié)系數(shù)的相關(guān)性會(huì)增加。以對(duì)數(shù)能量熵作為代價(jià)函數(shù)，可以得到信號(hào)的最優(yōu)小波包基，從而最大限度地體現(xiàn)信號(hào)的內(nèi)在規(guī)律。

然后，對(duì)近似系數(shù)進(jìn)行局部投影分析，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)梯度下降算法對(duì)細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)選取。在本文中，為了減少誤差曲面平坦區(qū)和極小點(diǎn)對(duì)細(xì)節(jié)系數(shù)收斂的影響，系數(shù)一般初始化為一個(gè)較小的數(shù)值，選擇學(xué)習(xí)速率γ=0.1,δ=0.01。此時(shí)，對(duì)3個(gè)軸方向時(shí)間序列數(shù)據(jù)的細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行分析，當(dāng)?shù)螖?shù)為50時(shí)，各軸誤差平均值的變化曲線如圖3所示。

圖3 誤差平均值變化曲線

通過(guò)圖3可以看出，誤差平均值會(huì)先減小再增大，之后呈下降趨勢(shì)。取誤差平均值到達(dá)最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的值為分析后的細(xì)節(jié)系數(shù)。最后，對(duì)分析后的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，就可以得到降噪后的信號(hào)。

利用本文算法對(duì)加噪Rossler信號(hào)進(jìn)行降噪分析，并與小波閾值降噪算法、小波包閾值降噪算法進(jìn)行比較。對(duì)x軸方向時(shí)間序列數(shù)據(jù)，不同噪聲水平下，降噪前后系統(tǒng)的SNR和RMSE對(duì)比如表2所示。

表2 SNR和RMSE對(duì)比表(x軸)

對(duì)y軸和z軸方向時(shí)間序列數(shù)據(jù)，當(dāng)噪聲水平為20%時(shí)，分別采用小波閾值降噪算法、小波包閾值降噪算法和本文算法對(duì)其進(jìn)行降噪分析，降噪前后系統(tǒng)的SNR和RMSE對(duì)比如表3所示。

通過(guò)表2和表3可以看出，與兩種閾值降噪算法相比，本文降噪算法更能體現(xiàn)降噪的優(yōu)越性，噪聲水平越高，降噪效果就越好。這主要有兩方面原因：一方面，信號(hào)局部特征的有效提取提高了系統(tǒng)的信噪比；另一方面，細(xì)節(jié)系數(shù)的自適應(yīng)選取進(jìn)一步降低了系統(tǒng)的重構(gòu)誤差。

為了更加直觀地展示降噪效果，加噪20%Rossler信號(hào)和采用3種算法降噪后信號(hào)的3維相空間圖分別如圖4(a)—圖4(d)所示。

通過(guò)圖4發(fā)現(xiàn)，本文降噪算法不僅有效地實(shí)現(xiàn)了信噪分離，而且很好地保持了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性、非線性和平滑性。

為了進(jìn)一步衡量降噪算法的優(yōu)劣，下面以x軸方向時(shí)間序列數(shù)據(jù)為例，分別從時(shí)域和頻域分析降噪前后系統(tǒng)的特性。

首先，在時(shí)域，當(dāng)噪聲水平不同，延遲時(shí)間分別為1 s,2 s和5 s時(shí)，降噪前和采用3種降噪算法降噪后信號(hào)的自相關(guān)系數(shù)如表4所示。

表4 信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)值

當(dāng)噪聲水平為20%，延遲時(shí)間為1～10 s時(shí)，降噪前后信號(hào)的自相關(guān)系數(shù)和去除噪聲的自相關(guān)系數(shù)分別如圖5(a)和圖5(b)所示。

圖5 自相關(guān)系數(shù)圖

通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，本文降噪算法降噪后信號(hào)的自相關(guān)系數(shù)值更大，相關(guān)性更強(qiáng)，而去除噪聲的自相關(guān)系數(shù)都非常小。同時(shí)，隨著噪聲水平的增大，降噪后信號(hào)的自相關(guān)系數(shù)相對(duì)穩(wěn)定，都能夠很好地表征信號(hào)的特征。因此，從側(cè)面反映出本文降噪算法對(duì)不同噪聲水平下混沌信號(hào)降噪的優(yōu)越性能。

然后，在頻域，同樣以加噪20%的x軸方向時(shí)間序列數(shù)據(jù)為例，對(duì)降噪前和采用3種降噪算法降噪后的信號(hào)進(jìn)行功率譜分析。原始信號(hào)、高斯白噪聲、加噪信號(hào)和降噪算法降噪后信號(hào)的功率譜分別如圖6(a)—圖6(f)所示。

從中可以看出，本文方法降噪后信號(hào)的功率譜最接近于原始信號(hào)功率譜，不僅保持了信號(hào)的內(nèi)在規(guī)律性，而且更大程度地降低了噪聲的影響，很好地體現(xiàn)了本文提出算法在提取信號(hào)特征方面的有效性能。

經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，本文算法能夠?qū)σ阎Ｐ偷幕煦缧盘?hào)進(jìn)行有效降噪，在提高系統(tǒng)信噪比，降低重構(gòu)誤差的同時(shí)，很好地表征信號(hào)的內(nèi)在動(dòng)態(tài)特性。在自然界，雖然大部分運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的序列都屬于未知模型，比如水文、天文、氣象運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的年徑流量、太陽(yáng)黑子數(shù)、降雨量等，但是通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，這些序列都具有一定的混沌特性，因此也能夠用本文算法進(jìn)行降噪分析，從而為數(shù)據(jù)的進(jìn)一步研究和相應(yīng)參數(shù)的計(jì)算提供理論分析依據(jù)。

5 結(jié)束語(yǔ)

為了更加有效地實(shí)現(xiàn)信噪分離，結(jié)合局部投影和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)梯度下降方法，對(duì)小波包混沌信號(hào)降噪算法進(jìn)行了改進(jìn)。一方面，本文算法從局部對(duì)混沌信號(hào)進(jìn)行細(xì)化和時(shí)頻域分析，降低了重構(gòu)誤差。另一方面，通過(guò)最小化目標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了細(xì)節(jié)系數(shù)的自適應(yīng)選取，克服了小波包降噪閾值量化困難的問(wèn)題。同時(shí)，本文還給出了小波包變換最佳分解層數(shù)和最優(yōu)小波包基的確定方法，為簡(jiǎn)化計(jì)算、提高效率提供了依據(jù)。為了體現(xiàn)降噪效果的優(yōu)劣，采用本文算法對(duì)混沌信號(hào)進(jìn)行降噪，并對(duì)降噪前后信號(hào)的信噪比、均方根誤差、自相關(guān)系數(shù)和功率譜進(jìn)行比較。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，本文算法不僅能對(duì)混沌信號(hào)進(jìn)行有效降噪，而且降噪后系統(tǒng)的性能穩(wěn)定，具有一定的實(shí)用價(jià)值。