基于點(diǎn)云曲面的定角度自動(dòng)鋪絲路徑規(guī)劃

姜世闊 王小平 汪 凱 金 將

南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院,南京,210016

0 引言

相比于傳統(tǒng)材料,碳纖維復(fù)合材料具有小質(zhì)量、高強(qiáng)度、高模量、設(shè)計(jì)制造一體化等優(yōu)點(diǎn),已成為航空航天制造工程的基礎(chǔ)材料[1]。自動(dòng)纖維鋪絲(automatic fiber placement,AFP)是一種高效的復(fù)合材料自動(dòng)化制造技術(shù),具有曲面適應(yīng)性強(qiáng)、鋪放自由度大、成品率高等優(yōu)點(diǎn),因此,自動(dòng)鋪絲技術(shù)已成為復(fù)合材料自動(dòng)制造技術(shù)的研究熱點(diǎn)。自動(dòng)鋪絲路徑規(guī)劃作為自動(dòng)鋪絲技術(shù)的研究重點(diǎn),已取得一系列成果。

PARNAS等[2]以雙三次Bezier曲面表示芯模曲面,將Bezier曲線的控制點(diǎn)作為設(shè)計(jì)變量來(lái)生成鋪絲路徑。SCHUELER等[3]以樣條線拼接技術(shù)構(gòu)造初始路徑。SHIRINZADEH等[4]提出了以平面與芯模曲面相交來(lái)構(gòu)造初始路徑的截平面法。BLOM等[5]以參數(shù)曲面的形式提出了定曲率、定角度曲線和測(cè)地線3種圓錐類(lèi)構(gòu)件的鋪絲路徑算法。WANG等[6]引入微分幾何的原理,使用數(shù)學(xué)方程表示初始路徑和偏移路徑,將纖維路徑規(guī)劃問(wèn)題改變?yōu)榍蠼庖浑A常微分方程的初始值問(wèn)題,該方法計(jì)算簡(jiǎn)單且精度較高。盧敏等[7]提出一種基于投影法的鋪絲路徑規(guī)劃方法,即將鋪絲路徑主應(yīng)力分布關(guān)鍵點(diǎn)偏移到曲面一端擬合成曲線后,再將擬合曲線投影到原曲面作為初始路徑。孟書(shū)云等[8]提出一種可自動(dòng)生成鋪絲路徑的經(jīng)線包絡(luò)法,根據(jù)曲面幾何特征、自動(dòng)鋪絲纖維數(shù)量等相關(guān)工藝參數(shù),自適應(yīng)生成定角度的鋪絲路徑。年春波[9]使用Hermite曲線描述纖維的鋪放路徑,并使用開(kāi)邊柱面模型驗(yàn)證了算法的有效性。LONG等[10]提出一種基于微分幾何的精確滾子路徑規(guī)劃方法,以減少兩條絲束之間的間隙和重疊,提高鋪絲質(zhì)量。XU等[11]采用映射法在網(wǎng)格曲面規(guī)劃鋪絲路徑,即先將多面體表面展平為平面網(wǎng)格,然后在平面網(wǎng)格規(guī)劃路徑,最后將規(guī)劃的路徑映射回初始網(wǎng)格。該方法誤差過(guò)大,僅適用于可展曲面等簡(jiǎn)單曲面。李俊斐等[12]將傳統(tǒng)參數(shù)曲面路徑規(guī)劃中的定角度法引入網(wǎng)格曲面,但沒(méi)有給出一套完整的鋪放方法。朱延娟等[13]研究了在三角網(wǎng)格曲面上生成測(cè)地線的算法,并以此為基礎(chǔ)提出一套自動(dòng)鋪帶軌跡路徑的規(guī)劃方法。PEI等[14]提出基于模型幾何信息與承載信息局部?jī)?yōu)化的鋪絲路徑規(guī)劃方法,某后機(jī)身模具的實(shí)際鋪放證明了該算法的有效性。王小平等[15]提出的改進(jìn)網(wǎng)格定角度初始路徑規(guī)劃算法避免了傳統(tǒng)參數(shù)化求解過(guò)程的無(wú)解和多解。冉慶波等[16]提出針對(duì)含孔網(wǎng)格曲面的自動(dòng)鋪絲路徑規(guī)劃算法。周宇[17]提出了一套完整的三角網(wǎng)格曲面自動(dòng)鋪絲路徑規(guī)劃算法,該方法適用于曲率變化較大的復(fù)雜曲面或拼接曲面。

目前,鋪絲路徑規(guī)劃的研究主要集中在參數(shù)曲面與網(wǎng)格曲面。在參數(shù)曲面上進(jìn)行路徑規(guī)劃需借助曲面的參數(shù)表達(dá)式,但以參數(shù)方程表達(dá)復(fù)雜曲面是十分困難的。雖然網(wǎng)格模型可以表達(dá)復(fù)雜的曲面,但對(duì)于某些無(wú)法獲得數(shù)字模型的產(chǎn)品(如競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的產(chǎn)品),產(chǎn)品開(kāi)發(fā)人員往往面對(duì)的是實(shí)物。伴隨著三維掃描設(shè)備的發(fā)展,以點(diǎn)表示的點(diǎn)云模型應(yīng)運(yùn)而生。點(diǎn)云模型簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以靈活表示復(fù)雜的實(shí)物模型,已成為逆向工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[18]。工程上,掃描得到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)通常先轉(zhuǎn)化為三角網(wǎng)格或曲面,再進(jìn)行后續(xù)的加工。重建曲面過(guò)程繁瑣,重構(gòu)的曲面與原曲面之間存在一定誤差,且產(chǎn)品制造過(guò)程中往往需要反復(fù)修改點(diǎn)云數(shù)據(jù),不利于產(chǎn)品的后續(xù)開(kāi)發(fā)。因此,研究直接在點(diǎn)云曲面上生成鋪絲路徑的規(guī)劃算法,不僅縮短了產(chǎn)品制造的時(shí)間,為鋪絲產(chǎn)品的設(shè)計(jì)與優(yōu)化提供技術(shù)支持,而且對(duì)促進(jìn)我國(guó)復(fù)合材料自動(dòng)鋪絲技術(shù)的發(fā)展具有重大意義。

目前,針對(duì)點(diǎn)云曲面的鋪絲路徑規(guī)劃算法還鮮有報(bào)導(dǎo),因此本文以點(diǎn)云曲面為研究對(duì)象,提出基于點(diǎn)云模型的鋪絲路徑規(guī)劃算法。根據(jù)截平面法原理和點(diǎn)云曲面的離散特征,提出將初始路徑離散成一組點(diǎn)并投影到點(diǎn)云曲面的直接投影法。針對(duì)自動(dòng)鋪絲工藝的特點(diǎn),以點(diǎn)云投影算法改進(jìn)點(diǎn)云切片法,提出點(diǎn)云投影切片法。使用三次B樣條插值法對(duì)得到的投影點(diǎn)進(jìn)行插值,生成初始路徑,并使用具體算例驗(yàn)證了該方法的有效性。在點(diǎn)云曲面上以弦長(zhǎng)代替弧長(zhǎng),實(shí)現(xiàn)了初始路徑的平行等距偏移,并針對(duì)該方法的不足提出弦長(zhǎng)細(xì)化投影法。通過(guò)CATIA逆向工程模塊實(shí)現(xiàn)了算法的可視化驗(yàn)證,建立了三維建模軟件與所提路徑規(guī)劃算法之間的聯(lián)系。

1 初始路徑

采用自動(dòng)鋪絲制造的飛機(jī)零件一般以準(zhǔn)各向同性為鋪放目標(biāo),大多采用0°、±45°、90°等定角度軌跡循環(huán)鋪放成形。初始鋪放路徑是在綜合考慮構(gòu)件的曲面特征、加工工藝等條件下,預(yù)先規(guī)劃和生成的,其余路徑以初始路徑為基準(zhǔn)進(jìn)行的等距偏移[19]。將參考傳統(tǒng)參數(shù)曲面[2-8]和網(wǎng)格曲面[8-16]常見(jiàn)的路徑生成方法——截平面法引入點(diǎn)云曲面。

1.1 法向量

點(diǎn)云模型一般僅包含數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置信息,不包含法向量等信息,而法向量對(duì)后續(xù)工作的進(jìn)行至關(guān)重要,因此,先計(jì)算各點(diǎn)的法向量。假設(shè)點(diǎn)云曲面S={P1,P2,…,PN},點(diǎn)云中的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi=(xi,yi,zi)∈R3,i=1,2,…,N。三維點(diǎn)云中任意點(diǎn)的法向量一般采用主元分析法(principal component analysis,PCA)[20]計(jì)算。對(duì)點(diǎn)云中的任一點(diǎn)P,獲取與其最相近的k個(gè)相鄰點(diǎn),構(gòu)造協(xié)方差矩陣

(1)

對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解,將最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量作為P點(diǎn)的法向量。PCA算法的魯棒性較差,因此使用高斯加權(quán)的PCA算法來(lái)獲得更精確的法向量:

(2)

式中,σ為常數(shù)。

1.2 直接投影法

截平面法是自動(dòng)鋪絲路徑規(guī)劃中生成初始路徑的經(jīng)典算法,其原理是創(chuàng)建平面與曲面相交,以交線為鋪絲路徑軌跡。根據(jù)截平面法的原理,可以將其視為平面上的一條直線或曲線沿給定方向投影到構(gòu)件表面生成初始路徑,如圖1所示。投影可以看成計(jì)算投影線與曲面的交點(diǎn),文獻(xiàn)[7-8,11]詳細(xì)闡述了直線或曲線投影到參數(shù)曲面或網(wǎng)格曲面的方法。點(diǎn)云曲面沒(méi)有固定的表達(dá)式或拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),只有離散位置信息。將直線或曲線投影到曲面重建點(diǎn)云表面不僅耗時(shí),而且重建的精度也不高。一種行之有效的方法就是先將直線離散成一系列點(diǎn),再將離散點(diǎn)投影到點(diǎn)云表面,最后對(duì)投影點(diǎn)進(jìn)行插值處理,生成實(shí)際的初始路徑。

圖1 截平面原理示意圖

移動(dòng)最小二乘(moving least squares,MLS)是點(diǎn)云模型中曲面擬合的重要方法[21],包括生成局部參考平面和曲面多項(xiàng)式擬合兩個(gè)步驟。設(shè)p為待投影點(diǎn),n為投影向量構(gòu)造投影線。查找點(diǎn)云中與投影線距離小于規(guī)定搜索半徑r的所有點(diǎn),并將其組成投影點(diǎn)集S1={Pj|Pj∈S,j=1,2,…,m},如果m<3,則適量擴(kuò)大搜索半徑。點(diǎn)Pi與投影射線的距離

(3)

設(shè)p在局部參考平面上的投影點(diǎn)為x。該點(diǎn)法向量nx由S1各點(diǎn)法向量加權(quán)組合近似得到:

(4)

(5)

式中,θ(x,Pj)為權(quán)函數(shù),本文取高斯函數(shù);d(x,Pj)為點(diǎn)Pj到投影射線的距離;h為投影域的大小。

設(shè)過(guò)x點(diǎn)以nx為法向量的參考平面為H,其表達(dá)式為

(6)

(7)

式中,w(Pj,x)為在點(diǎn)k鄰域內(nèi)光滑、單調(diào)遞減的正值函數(shù),本文取為高斯函數(shù)。

式(6)衡量測(cè)量參考平面與點(diǎn)云的擬合質(zhì)量,取得最小值時(shí),可以獲得最佳局部參考平面。通過(guò)上述計(jì)算得到局部參考平面H之后,定義平面H為XY面,以x為原點(diǎn),以垂直局部參考平面的方向?yàn)閆向,構(gòu)建局部坐標(biāo)系。局部坐標(biāo)系下,設(shè)qj為點(diǎn)Pj在XY面上的投影點(diǎn),fj為點(diǎn)Pj與面XY的距離,即fj=nx·(Pj-x),如圖2所示。然后構(gòu)造如下目標(biāo)函數(shù):

圖2 點(diǎn)云投影示意圖

(8)

式中,(xi,yi)是點(diǎn)Pj∈S1在XY面上的坐標(biāo);g(xi,yi)表示移動(dòng)最小二乘意義下局部擬合曲面的雙變量多項(xiàng)式。

通過(guò)最小化式(8)即可得到移動(dòng)最小二乘意義下局部擬合曲面的雙變量多項(xiàng)式。p在局部擬合曲面上的投影點(diǎn)p*可以通過(guò)雙變量多項(xiàng)式在局部直角坐標(biāo)系原點(diǎn)處的坐標(biāo)求得[22],即

p*=x+g(0,0)n

(9)

為保證算法的計(jì)算精度,參考XU等[23]提出的方法對(duì)上述算法加以改進(jìn)。引入權(quán)重的閾值:

(10)

式中,wmean、wmax分別權(quán)重的平均值和最大值;l為迭代次數(shù)。

如果S1中某點(diǎn)的權(quán)重大于wlim,則保留;否則,將其從S1中去除。將獲得的點(diǎn)集作為新的投影點(diǎn)集,將當(dāng)前得到的投影點(diǎn)作為新的待投影點(diǎn),再次進(jìn)行投影,直到前后兩次投影點(diǎn)的距離小于給定的閾值ε(本文取ε=0.01),或最大投影迭代次數(shù)lmax(本文取lmax=10)終止迭代。

在選擇投影點(diǎn)集S1時(shí),本文以距離投影線較近的點(diǎn)作為投影點(diǎn)集,但這樣可能將一些距投影點(diǎn)位置較遠(yuǎn)的點(diǎn)選擇進(jìn)來(lái)。例如,將點(diǎn)以法向投影到圓柱面上半面時(shí),根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)到投影線距離選擇投影點(diǎn)集會(huì)將圓柱面下半面的點(diǎn)也選擇進(jìn)來(lái)。為解決這個(gè)問(wèn)題,參考文獻(xiàn)[22]對(duì)S1的選取方法加以改進(jìn):

(1)計(jì)算S1的中心,通過(guò)中心點(diǎn)創(chuàng)建一個(gè)垂直于投影光線的平面。該平面將S1點(diǎn)集分為點(diǎn)集S11和S12。

(2)計(jì)算S11和S12的中心點(diǎn)與待投影點(diǎn)p的距離,將中心點(diǎn)與待投影點(diǎn)距離較短的點(diǎn)集選為候選點(diǎn)集。

(3)重復(fù)步驟(2),直到輸出的點(diǎn)集變?yōu)檫B續(xù)的點(diǎn)集。此時(shí)輸出最終的投影點(diǎn)集。

1.3 投影切片法

使用直接投影法生成初始路徑的方法需要提前設(shè)計(jì)一條初始路徑,然后,將該路徑離散化,并投影到點(diǎn)云曲面上。為實(shí)現(xiàn)鋪絲路徑規(guī)劃的自動(dòng)化,在參考點(diǎn)云數(shù)控加工[24-26]的相關(guān)工作后,本文提出點(diǎn)云投影切片法來(lái)生成初始路徑。

點(diǎn)云切片法是一種基于點(diǎn)云模型特點(diǎn)的“截平面法”,先通過(guò)一組平行平面分割點(diǎn)云模型來(lái)確定截平面上的數(shù)據(jù)點(diǎn),再利用這些數(shù)據(jù)點(diǎn)組成截面線,具體原理如圖3所示。圖3中,E為截平面,為求取平面與點(diǎn)云曲面的交線,在E的兩側(cè)以δ/2的距離生成平面E1、E2,其中,δ為切片厚度,與點(diǎn)云密度相關(guān),一般選為密度大小的1～4倍[25]。

圖3 點(diǎn)云切片法原理示意圖

使用點(diǎn)云切片法求取交線的方法通常是投影法和求交法。投影法先將切片區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)云投影到截平面,再通過(guò)擬合投影點(diǎn)生成交線。該方法計(jì)算簡(jiǎn)單,但易產(chǎn)生冗余數(shù)據(jù),誤差較大。求交法先搜尋平面兩側(cè)的最近點(diǎn),再以最近點(diǎn)連線與平面的交點(diǎn)來(lái)近似表達(dá)交線。該方法不受模型表面形狀的限制,但計(jì)算過(guò)程復(fù)雜、繁瑣,且截面線的精度受點(diǎn)云密度影響較大。定方向鋪絲路徑一般涉及多個(gè)角度,傳統(tǒng)的切片法難以保證截面線的精度,因此,本文提出一種改進(jìn)的點(diǎn)云投影切片法,具體步驟如下:

(1)計(jì)算點(diǎn)云質(zhì)心

(11)

并以點(diǎn)云質(zhì)心為原點(diǎn)構(gòu)建空間坐標(biāo)系。

(2)以垂直初始路徑方向?yàn)榻仄矫娣ǚ较?過(guò)點(diǎn)云質(zhì)心創(chuàng)建截平面E。以平行于截平面且與截平面距離δ/2生成平面E1、E2,得到位于切片區(qū)域內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)。

(3)先將步驟(2)得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)繞Z軸旋轉(zhuǎn),使截平面與OXZ平面重合,再將旋轉(zhuǎn)后的切片數(shù)據(jù)點(diǎn)向截平面E投影,并將投影點(diǎn)集記為T(mén)。

(4)計(jì)算T中每一個(gè)點(diǎn)與X軸正向夾角。將夾角極小點(diǎn)和極大點(diǎn)記為始末點(diǎn),并加入點(diǎn)集I。根據(jù)與X軸正向夾角,以固定步長(zhǎng)將投影點(diǎn)集T劃分為多個(gè)扇形區(qū)域,計(jì)算各扇形區(qū)域中的數(shù)據(jù)點(diǎn)與質(zhì)心O的距離,并將距離最大者加入點(diǎn)集I。

(5)將點(diǎn)集I中的數(shù)據(jù)點(diǎn)以指向質(zhì)心方向?yàn)橥队胺较?按照1.2節(jié)的方法投影到點(diǎn)云曲面,并記錄投影點(diǎn)坐標(biāo)。將投影點(diǎn)以步驟(2)的反方向繞Z軸旋轉(zhuǎn)回點(diǎn)云原坐標(biāo)系。最后將投影點(diǎn)依次連接,得到截平面與點(diǎn)云模型的交線。

1.4 B樣條插值

以上算法得到的均是初始路徑的投影點(diǎn),將這些投影點(diǎn)依次連接就得到了初始路徑。航空航天領(lǐng)域的產(chǎn)品往往要滿足空氣動(dòng)力學(xué)或工藝的要求。因此本文引進(jìn)三次B樣條插值對(duì)投影點(diǎn)進(jìn)行插值處理,將插值后的曲線作為初始路徑。將上文得到的投影點(diǎn)稱(chēng)為待插值點(diǎn)qi(i=1,2,…,n)。k次B樣條曲線的定義如下:

(12)

式中,di為控制頂點(diǎn);Ni,k(u)為B樣條的基函數(shù)。

三次B樣條曲線的基函數(shù)為

(13)

則第i段三次B樣條曲線的表達(dá)式為

(14)

工程實(shí)踐中,三次均勻B樣條插值可以滿足自動(dòng)鋪絲的要求。使用三次B樣條曲線對(duì)插值點(diǎn)進(jìn)行插值處理,需要先從已知點(diǎn)反求出相應(yīng)的控制點(diǎn),再對(duì)控制點(diǎn)進(jìn)行擬合。由每段B樣條曲線端點(diǎn)處的性質(zhì),建立插值點(diǎn)與控制點(diǎn)之間的關(guān)系:

di+4di+1+di+2=6qi

(15)

式(15)為反求控制點(diǎn)的方程組。根據(jù)式(15)可知,方程組中有n個(gè)方程,而未知控制點(diǎn)為n+2個(gè),因此需要補(bǔ)充2個(gè)條件。為保證整條曲線經(jīng)過(guò)首末兩點(diǎn),補(bǔ)充邊界條件:d0=d1,dn+1=dn,最終將式(16)寫(xiě)成矩陣形式:

(16)

使用追趕法求解式(16),得到三次B樣條插值曲線上的控制點(diǎn),進(jìn)而得到插值曲線。

初始路徑的數(shù)據(jù)點(diǎn)分布不均勻時(shí),采用均勻參數(shù)化B樣條插值將導(dǎo)致插值曲線打圈自交。因此,在使用直接投影法生成初始路徑時(shí),需將投影直線或投影曲線以合適的步長(zhǎng)均勻離散化為待投影點(diǎn),待投影點(diǎn)在曲面上的投影點(diǎn)也將在一定程度上保持均勻分布。對(duì)投影切片法而言,待投影點(diǎn)是在固定步長(zhǎng)均勻劃分的區(qū)間內(nèi)獲得的,投影后的投影點(diǎn)近似均勻分布。

1.5 算法驗(yàn)證

(a)拋物面 (b)可展曲面

(2)驗(yàn)證投影切片法。圖5a、圖5b所示為投影切片法在圓柱面點(diǎn)云曲面上生成的45°初始路徑,其中,紅線為插值后的初始路徑,藍(lán)線為參數(shù)曲面求解得到的初始路徑。圖5c、圖5d所示為切片投影。

(a)均勻圓柱面點(diǎn)云 (b)散亂圓柱面點(diǎn)云

由圖4、圖5可以看出,直接投影法與投影切片法均可生成一條與實(shí)際路線相近且較為平滑的初始路徑,投影切片法對(duì)非均勻點(diǎn)云曲面仍然有效。

2 路徑密化與邊界處理

生成初始路徑后,其余的路徑以之為參考進(jìn)行密化。為避免鋪絲時(shí)的路徑發(fā)生干涉,以及絲束間產(chǎn)生間隙和重疊,一般采用在曲面上平行等距偏移的方法對(duì)初始路徑進(jìn)行密化,實(shí)現(xiàn)路徑的完整覆蓋[28]。文獻(xiàn)[6]提出一種將初始路徑的等距密化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解參數(shù)域中一階常微分方程初值問(wèn)題的方法。ZHANG等[29]將初始路徑上的點(diǎn)視為光源,通過(guò)控制光的傳播時(shí)間間隔進(jìn)行初始路徑的平行等距傳播,實(shí)現(xiàn)在網(wǎng)格曲面上鋪絲路徑的密化,但這兩種方法不適用于點(diǎn)云曲面。對(duì)于表面平坦的構(gòu)件,曲面相鄰兩點(diǎn)之間的距離與直線連線后的弧長(zhǎng)非常接近,因此求解偏移路徑時(shí)可以采用弦長(zhǎng)代替弧長(zhǎng)的方法。

2.1 偏移算法

為求取偏移方向,首先采用1.1節(jié)的方法計(jì)算投影點(diǎn)各點(diǎn)處的法向量,使用第1.4節(jié)的三次B樣條插值方法生成初始路徑。對(duì)B樣條函數(shù)求取一階導(dǎo)來(lái)獲得各投影點(diǎn)的切向量。三次B樣條的表達(dá)式求導(dǎo)之后的矩陣表達(dá)式為

(17)

使用1.3節(jié)方法得到控制點(diǎn)列,重新擬合B樣條基函數(shù)求導(dǎo)后的表達(dá)式即可得到每個(gè)投影點(diǎn)處的切向量。

2.2 路徑偏移

對(duì)于表面平坦、光滑的構(gòu)件,曲面上相鄰兩點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)與直接連線后的弦長(zhǎng)非常接近,因此可以采用弦長(zhǎng)代替弧長(zhǎng)的方法近似求取等距偏移點(diǎn)。近似偏移點(diǎn)與實(shí)際偏移點(diǎn)的誤差在允許的范圍之內(nèi)即滿足鋪放工藝的要求。

圖6 路徑偏移原理圖

(18)

根據(jù)微分幾何的相關(guān)知識(shí)可以得知,向量D′與初始路徑垂直,與曲面相切,模長(zhǎng)與D相等,符合平行等距的計(jì)算要求。在求得D′之后,采用1.2節(jié)的方法將D′沿法向投影至曲面,求得偏移點(diǎn)在曲面上的投影點(diǎn)Q。設(shè)q點(diǎn)至Q點(diǎn)處的局部曲率半徑或平均曲率半徑為R,弧長(zhǎng)、轉(zhuǎn)角分別為L(zhǎng)和θ,如圖7所示。

圖7 弦長(zhǎng)代替弧長(zhǎng)的誤差分析圖

根據(jù)圖7得tanθ=|D′|/R,而L=Rθ,則誤差

e=L-|D′|=Rarctan(|D′|/R)-|D′|

(19)

由式(19)可以看出,該方法僅適合曲率較小的構(gòu)件生成的偏移路徑。對(duì)于曲率較大的構(gòu)件,使用該方法偏移后的路徑會(huì)產(chǎn)生較大的偏差。因此,改進(jìn)該方法,提出弦長(zhǎng)投影細(xì)分法,具體步驟如下:

(1)采用弦長(zhǎng)替代弧長(zhǎng)的方法生成投影弦,按照固定步長(zhǎng)在弦上取n個(gè)點(diǎn),以這些點(diǎn)的法向?yàn)橥队胺较?按照1.2節(jié)的方法將這些點(diǎn)投影到點(diǎn)云上。

(2)計(jì)算相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間的弦長(zhǎng),并按照順序累加弦長(zhǎng),直到長(zhǎng)度恰好超過(guò)規(guī)定的弧長(zhǎng),記錄此時(shí)的區(qū)間。

(3)采用二分法細(xì)分步驟(2)所得區(qū)間,直到累計(jì)弦長(zhǎng)與弧長(zhǎng)之間的誤差收斂到規(guī)定的誤差閾值(本文取0.01)。

求得偏移點(diǎn)之后,采用1.4節(jié)的三次B樣條插值法插值得到偏移曲線。其余的偏移曲線以上一次求得的偏移曲線為基準(zhǔn),使用2.2節(jié)的方法求得,直到偏移曲線到達(dá)曲面邊界。

2.3 邊界延伸

路徑偏移密化的過(guò)程中,構(gòu)件的幾何特征會(huì)導(dǎo)致一些不可避免的問(wèn)題:①生成的路徑超出曲面的邊界。這個(gè)問(wèn)題的解決方法通常是舍去超出邊界的部分,如圖8a所示。②生成的路徑不與曲面邊界相交,如圖8b所示,左上角的一些曲線無(wú)法到達(dá)曲面的邊界。針對(duì)這種情況,本文采取的方式是選取未達(dá)到曲面邊界路徑的末端點(diǎn),求取路徑末端點(diǎn)處的切方向,并以該點(diǎn)切方向?yàn)檠由旆较蜃鲆粭l射線。采用1.2節(jié)的方法將射線離散后投影到點(diǎn)云曲面上,直到投影點(diǎn)超出邊界或與邊界相交。最后將投影點(diǎn)使用B樣條插值的方法進(jìn)行擬合,得到滿鋪路徑。

(a)舍去多余邊界 (b)邊界延伸

3 仿真結(jié)果

3.1 直接投影法的算法驗(yàn)證

在開(kāi)曲面構(gòu)件中對(duì)基于直接投影法的鋪絲路徑規(guī)劃進(jìn)行可視化驗(yàn)證,結(jié)果如圖9所示,其中,藍(lán)色曲線為直接投影法生成的初始路徑,紅色曲線為以初始路徑為基準(zhǔn)等距偏移的滿鋪路徑。直接投影算法在開(kāi)曲面構(gòu)件上可以生成與曲面貼合良好的鋪絲路徑。

(a)0°鋪放路徑 (b)90°鋪放路徑

3.2 投影切片法的算法驗(yàn)證

雷達(dá)罩、機(jī)身尾段等飛機(jī)零部件都是典型的錐形閉曲面構(gòu)件,也是由自動(dòng)鋪絲成型工藝制造的典型構(gòu)件。A380飛機(jī)的尾段蒙皮是采用自動(dòng)鋪絲技術(shù)制造的[30]。為驗(yàn)證本文算法的工程應(yīng)用價(jià)值,基采用CATIA對(duì)某機(jī)型后機(jī)身段錐殼構(gòu)件進(jìn)行數(shù)字化建模,并將其轉(zhuǎn)換成點(diǎn)云模型。采用本文算法對(duì)模型進(jìn)行路徑規(guī)劃,最后通過(guò)逆向工程模塊對(duì)本文算法規(guī)劃的路徑進(jìn)行可視化驗(yàn)證。圖10所示為后機(jī)身CATIA三維模型及其點(diǎn)云模型。圖11所示為本文算法生成的0°、90°、±45°的鋪絲路徑,其中,0°鋪絲路徑以芯模軸線為參考線生成投影;將由投影切片法生成的路徑點(diǎn)數(shù)據(jù)批量導(dǎo)入CATIA,在CATIA中擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)來(lái)對(duì)路徑進(jìn)行可視化,最終效果如圖12所示。

(a)三維模型 (b)點(diǎn)云模型

(a)0°鋪放路徑 (b)90°鋪放路徑

(a)0°鋪放路徑 (b)90°鋪放路徑

4 結(jié)論

(1)基于移動(dòng)最小二乘定向投影的直接投影法方法將直線離散后投影到點(diǎn)云曲面,并用三次B樣條插值投影點(diǎn)生成初始路徑,將鋪絲路徑規(guī)劃中常用的截平面法延伸到點(diǎn)云曲面,避免了逆向工程中復(fù)雜的曲面重建,方法簡(jiǎn)單且具有良好的穩(wěn)定性。

(2)采用投影切片法生成初始路徑。針對(duì)傳統(tǒng)點(diǎn)云切片法無(wú)法適應(yīng)鋪絲路徑中需要在不同方向生成初始路徑的問(wèn)題,以點(diǎn)云投影的方法加以改進(jìn),增強(qiáng)了算法的魯棒性和適應(yīng)性。實(shí)例驗(yàn)證證明了該算法的有效性。

(3)在弦長(zhǎng)代替弧長(zhǎng)的路徑偏移方法基礎(chǔ)上提出弦長(zhǎng)細(xì)分投影法,解決了弦長(zhǎng)替代弧長(zhǎng)法無(wú)法用于大曲率構(gòu)件路徑偏移的問(wèn)題。

(4)通過(guò)延伸樣條曲線解決了部分路徑無(wú)法到達(dá)曲面邊界的問(wèn)題。