低寄生位移柔性平行微夾持器拓撲優(yōu)化設計

汪啟亮 劉 通 李永起 魏健鳴 徐美娟 洪永烽

江西理工大學機電工程學院,贛州,341000

0 引言

與傳統(tǒng)剛性機構(gòu)相比,柔順機構(gòu)具有無摩擦、無運動副間隙、加工工序簡單、免裝配等優(yōu)點[1-2],柔性微夾持器具有高精度、易操作、響應速度快等優(yōu)點,因此廣泛應用于微機電系統(tǒng)、機器人組裝、精密加工、藥物輸送等多個領(lǐng)域[3-4]。微夾持器微裝配和微操作中直接接觸被夾持器物體[5],為使夾持器在夾持過程中不發(fā)生傾斜,需要夾持器能夠平行夾持;為避免夾持器與被夾持物接觸后不發(fā)生滑移現(xiàn)象,需要夾持器在夾持物體時具有較小的寄生位移。此外,柔性微夾持器一般選用壓電陶瓷驅(qū)動器提供輸入位移,壓電陶瓷驅(qū)動器具有輸出力大和精度高的優(yōu)點,但是輸出位移卻很小,一般只有幾十微米,因此,需要設計具有輸入位移放大功能的低寄生位移柔性平行微夾持器。

為實現(xiàn)平行夾持,國內(nèi)外學者基于傳統(tǒng)機構(gòu)設計了各種夾持器,如連桿機構(gòu)[6]、三角放大機構(gòu)[7]、平行四邊形機構(gòu)等[8-10]。楊群[5]基于柔順機構(gòu)方法設計了一種集成力和位移傳感器的壓電驅(qū)動平行微夾持器,能夠?qū)崿F(xiàn)位移放大和平行夾持,但未考慮寄生位移,且設計的機構(gòu)較為復雜。GOLDFARB等[8]和NAH 等[9]基于杠桿機構(gòu)和平行四邊形機構(gòu)設計出了具有位移放大效果的平行微夾持器,該夾持器結(jié)構(gòu)簡單但仍存在較大的寄生位移。XIAO等[11]設計了一種簡單對稱結(jié)構(gòu)的新型夾持器并進行了優(yōu)化設計,但是其同樣只考慮了平行夾持而未考慮寄生位移。CHEN等[7]基于三角位移放大機構(gòu)設計出了一種混合驅(qū)動微夾持器,其寄生位移降低到3.46%。LIANG等[12]將平行四邊形機構(gòu)集成到微夾持器中,設計出了一種三級位移放大的非對稱平行夾持器,寄生位移為3.26%,存在的寄生位移仍會對夾持效果產(chǎn)生影響,以上柔性微夾持器多為研究人員根據(jù)傳統(tǒng)機構(gòu)基于經(jīng)驗進行設計,因此難以使夾持器的平行夾持、位移放大和低寄生位移等性能目標均得到優(yōu)化,所以需要探索新的柔性微夾持器設計方法。

柔順機構(gòu)拓撲優(yōu)化方法無需從一個已知的剛性機構(gòu)出發(fā)[10],只需給定設計域和輸入輸出位置[13-14],通過添加不同目標和約束使機構(gòu)的一種或多種性能得到優(yōu)化,提高了柔順機構(gòu)設計的效率和靈活性,因此拓撲優(yōu)化方法可用于柔性微夾持器設計。CHI等[15]以柔度為目標進行柔性微夾持器拓撲優(yōu)化設計,結(jié)合人工識別使得夾持器具有近似平行夾持功能,拓撲優(yōu)化模型中并未對旋轉(zhuǎn)和寄生位移進行抑制。LIANG等[16]采用兩步非線性多約束拓撲優(yōu)化方法設計了一種單邊平行微夾持器,但是該拓撲優(yōu)化微夾持器仍存在一定的寄生位移。因此,需要進一步研究低寄生位移柔性平行微夾持器拓撲優(yōu)化設計方法以提高其綜合性能。

本文結(jié)合多目標拓撲優(yōu)化方法和分層序列法設計低寄生位移的柔性平行微夾持器,采用改進的固體各向同性材料懲罰(solid isotropic material penalty,SIMP)模型,以輸出位移、機構(gòu)剛度、寄生位移、旋轉(zhuǎn)角度的線性加權(quán)組合作為多目標拓撲優(yōu)化的目標函數(shù),以優(yōu)化準則法對模型進行求解,通過迭代優(yōu)化尋找新型柔性平行微夾持器。

1 優(yōu)化模型的建立

1.1 基于SIMP材料插值模型的拓撲描述

拓撲優(yōu)化是為了在給定設計域內(nèi)尋找材料最優(yōu)分布,最終使結(jié)構(gòu)在滿足一定約束條件下,某項或多項性能指標達到最優(yōu),拓撲優(yōu)化問題的一般表達式為

(1)

式中,w為設計變量;N為設計變量個數(shù);f為目標函數(shù);gj為約束函數(shù);m為約束函數(shù)個數(shù);gv為體積約束;V0為初始設計域總體積;Vf為體積比。

在變密度法中,為了使設計變量wi在0和1之間連續(xù)分布,需要對材料分布函數(shù)進行插值。目前最常用的密度插值模型為改進的SIMP模型,將設計域離散為N個有限單元,每個單元的密度對應一個設計變量,通過在離散模型中引入連續(xù)設計變量w(0≤w≤1)和懲罰因子p(p>1),使得優(yōu)化前和優(yōu)化后的彈性模量有如下關(guān)系式:

(2)

0≤w≤1

式中,E0、Ei分別為優(yōu)化前和優(yōu)化后的彈性模量;Emin(0

設計變量wi=1表示單元充滿材料,設計變量wi=0表示單元沒有材料。式(2)通過引入Emin避免單元密度為0,能有效避免剛度矩陣奇異。

1.2 平行微夾持器設計問題的描述

為得到具有位移放大功能和低寄生位移的平行微夾持器,采用拓撲優(yōu)化方法尋找滿足條件的新型微夾持器。設計的微夾持器為對稱機構(gòu),因此設計域可以取對稱機構(gòu)的一半,設計域如圖1所示。黑色區(qū)域為夾持部位,圖中A點為輸入端,B點和C點為兩個輸出端,B、C兩點y方向的輸出位移可用來評估機構(gòu)旋轉(zhuǎn)程度,C點x方向位移用來評估相對寄生位移大小。Fout1和Fout2為輸出端的虛擬載荷,Uout1和Uout2分別為末端執(zhí)行器輸出端B點和C點沿y方向的輸出位移,Up為輸出端C點沿x方向的位移,Kin用來模擬壓電陶瓷與微夾持器間的輸入剛度。

圖1 微夾持器的設計域

為實現(xiàn)平行夾持,需對旋轉(zhuǎn)角度和寄生位移進行抑制,其中旋轉(zhuǎn)的抑制是通過使B、C兩點y方向位移差值最小化來實現(xiàn),而寄生位移的抑制通過C點x方向的位移實現(xiàn),基于此,可將旋轉(zhuǎn)角度和寄生位移的抑制作為目標引入目標函數(shù)。平行微夾持器選用壓電陶瓷驅(qū)動器作為位移輸入源,由于它能提供的行程有限,因此設計的柔性平行微夾持器應具有位移放大功能;另一方面,拓撲優(yōu)化過程中常因為剛度不足而導致優(yōu)化結(jié)果出現(xiàn)斷裂和虛鉸鏈的現(xiàn)象,通過引入剛度目標函數(shù)可以有效解決這一問題。

綜上,低寄生位移柔性平行微夾持器的拓撲優(yōu)化為多目標優(yōu)化問題,本文通過線性加權(quán)法將多目標拓撲優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標拓撲優(yōu)化問題,并根據(jù)目標重要程度設置權(quán)重因子。對于難以同時達到最優(yōu)的目標,則通過分層序列法將多目標拓撲優(yōu)化分為兩步進行優(yōu)化,每步主要的優(yōu)化目標不同,具有不同的線性加權(quán)因子和不同的目標函數(shù)。

第一步:為了實現(xiàn)位移放大和平行夾持,以輸出端位移和旋轉(zhuǎn)角度作為目標函數(shù)進行優(yōu)化,目標函數(shù)為

minf1(w)=a1M1+a2M2+a3R+a5S1+a6S2

(3)

(4)

(5)

其中,R為抑制旋轉(zhuǎn)角度的目標函數(shù),通過改變迭代方向?qū)崿F(xiàn)抑制效果。微夾持器的位移可由機構(gòu)的互應變能表征,即M1和M2;微夾持器的剛度可由機構(gòu)的應變能表征,即S1和S2;K為全局剛度矩陣,其值與單元彈性模量E(wi)有關(guān);k0為單元剛度矩陣;wi為單元的相對密度,即平行微夾持器的設計變量;Uin為輸入力Fin作用下的全局位移矢量;Uout1和Uout2分別為輸出虛擬載荷力Fout1和Fout2作用下的全局位移矢量;a1,a2,…,a6為權(quán)重因子。

第二步:為降低平行微夾持器夾持時的滑移現(xiàn)象,需要抑制輸出端的寄生位移,因此,在通過第一步優(yōu)化使得微夾持器旋轉(zhuǎn)角度達到足夠小后,對其寄生位移進行抑制,目標函數(shù)表示為

minf2(w)=a1M1+a2M2+a3R+a4Q+a5S1+a6S2

(6)

(7)

其中,Up為水平方向輸出虛擬載荷力Fp作用下的全局位移矢量;Q為抑制寄生位移的目標函數(shù),在迭代優(yōu)化過程中迭代方向隨Up正負號的變化而改變,進而實現(xiàn)寄生位移的抑制。

綜上,第一步通過迭代優(yōu)化增大輸出位移放大比,同時通過抑制微夾持器的旋轉(zhuǎn)角度以實現(xiàn)平行夾持,拓撲優(yōu)化問題可以表示為

(8)

其中,Vi為第i個單元的體積。

第二步通過迭代優(yōu)化使平行微夾持器的寄生位移降低到收斂值,在此階段,機構(gòu)的放大比會進一步增大,拓撲優(yōu)化問題可以表示為

(9)

2 敏度分析

求解連續(xù)體拓撲優(yōu)化問題常用的方法有優(yōu)化準則(OC)法[17]和移動漸進(MMA)法[18]。OC法主要用于求解單約束拓撲優(yōu)化問題,而MMA法可用于求解多約束拓撲優(yōu)化問題。在單約束拓撲優(yōu)化中,OC法具有收斂速度快和求解結(jié)果穩(wěn)定的優(yōu)點[19],故本文選用OC法進行求解,單元密度的更新方案如下:

(10)

其中,m為最大移動步長;μ為阻尼系數(shù),用于保證迭代優(yōu)化過程中數(shù)值計算的穩(wěn)定性,本文中取0.5[20]。

拓撲優(yōu)化的優(yōu)化準則Bi可由下式給出:

(11)

其中,λ為拉格朗日乘子,可以通過二分法求出。

求解優(yōu)化問題時通常需要推導目標函數(shù)f(w)和約束函數(shù)g(w)對設計變量的敏度信息,可以采用伴隨法進行敏度分析。因為拓撲優(yōu)化分兩步進行,存在不同的目標函數(shù),所以分別計算其敏度。

第一步的敏度計算:目標函數(shù)f1(w)關(guān)于設計變量的敏度可以表示為

(12)

(13)

第二步的敏度計算:目標函數(shù)f2(w)關(guān)于設計變量的敏度可以表示為

(14)

(15)

體積約束函數(shù)g(w)的敏度為

(16)

其中,uin為輸入力Fin作用下的單元位移矢量;uout1、uout2分別為虛擬載荷力Fout1和Fout2單獨作用下的單元位移矢量;up為虛擬載荷力Fp作用下的單元位移矢量。

3 數(shù)值算例

圖1所示為柔性平行微夾持器的設計域,將其劃分為100×200的四節(jié)點矩形單元。結(jié)構(gòu)尺寸和材料均采用量綱一的量。因為設計的平行微夾持器結(jié)構(gòu)對稱,上下兩部分受力情況相同,因此,本文以微夾持器的上半部分作為設計域進行拓撲優(yōu)化。左上角為微夾持器的固定端,限制AD線段所在單元的y方向位移。設置左下角A節(jié)點為微夾持器的輸入端,輸入方向為x方向,將設計域右端B、C兩點定義為微夾持器的輸出端,輸出方向垂直于輸入方向。設置輸入端輸入載荷Fin=1,虛擬輸入彈簧剛度大小Kin=1,輸出端虛擬輸出負載Fout1=1,Fout2=1,Fp=1。彈性模量E0=1,彈性模量下限Emin=1×10-6,泊松比υ=0.3,材料懲罰因子p=3,體積約束比為35%。

根據(jù)式(8)中的平行微夾持器理論模型,利用MATLAB編程并求解該拓撲優(yōu)化問題,得到第一步拓撲優(yōu)化優(yōu)化結(jié)果如圖2所示,然后再根據(jù)式(9)中的平行微夾持器理論模型,利用MATLAB進一步優(yōu)化得到平行微夾持器的最終構(gòu)型如圖3所示,其中第一步和第二步的權(quán)重因子如表1所示。

表1 第一、二步迭代的權(quán)重因子

圖2 第一步拓撲優(yōu)化結(jié)果

圖3 第二步拓撲優(yōu)化結(jié)果

在本設計中,末端執(zhí)行器B點和C點沿y方向的位移差值(Uout2-Uout1)可以反映機構(gòu)旋轉(zhuǎn)角度的大小,圖4所示為第一步迭代過程中旋轉(zhuǎn)角度迭代過程。隨著迭代次數(shù)的增加,微夾持器的旋轉(zhuǎn)角度逐漸減小,在迭代次數(shù)k為150時達到收斂條件:

圖4 旋轉(zhuǎn)角度迭代過程

(17)

圖5所示為寄生位移Up迭代過程。在第二步中將寄生位移引入目標函數(shù),機構(gòu)的寄生位移持續(xù)減小,在迭代次數(shù)k為280時滿足收斂條件則迭代結(jié)束:

圖5 寄生位移迭代過程

(18)

其中,ε為相對寄生位移。

圖6所示為柔性平行微夾持器末端輸出位移Uout1、Uout2、旋轉(zhuǎn)角度Uout2-Uout1、寄生位移Up的優(yōu)化迭代過程,圖中Uout1和Uout2分別為A點單位輸入位移作用下B、C兩點y方向的輸出位移。由該圖可以看出,在第一步優(yōu)化迭代中,平行微夾持器的輸出位移隨迭代次數(shù)的增加而不斷增大,而旋轉(zhuǎn)角度不斷減小,且在第一步迭代結(jié)束時滿足收斂條件。在第二步優(yōu)化迭代中,機構(gòu)的輸出位移繼續(xù)增大,在210步左右達到極限值2.224,同時因為引入了寄生位移目標函數(shù),機構(gòu)的寄生位移和旋轉(zhuǎn)角度進一步減小,最終在迭代到280步時達到收斂條件。拓撲優(yōu)化柔性微夾持器理論的單位寄生旋轉(zhuǎn)為9.8×10-9mrad/μm,相對寄生位移為0.44%。

圖6 微夾持器拓撲優(yōu)化迭代過程

在柔性平行微夾持器的拓撲優(yōu)化設計時,不同的剛度權(quán)重因子會對拓撲優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生影響。為了研究剛度權(quán)重因子對拓撲優(yōu)化結(jié)果的影響程度,在其他參數(shù)不變的情況下,選取不同的剛度權(quán)重因子進行拓撲優(yōu)化,得到對應于不同權(quán)重因子的拓撲優(yōu)化微夾持器,相應的放大比、兩端位移差值(Uout2-Uout1)、相對寄生位移如表2所示。由表中數(shù)據(jù)可以看出,平行微夾持器的放大比Ra隨著剛度權(quán)重因子的增大而逐漸減小,這是因為剛度權(quán)重因子影響了拓撲優(yōu)化的迭代方向。由表2可知,剛度權(quán)重因子較小時,機構(gòu)的放大比會更大,但同時機構(gòu)的旋轉(zhuǎn)角度和相對寄生位移也會增大。不同剛度權(quán)重因子對應的最終拓撲圖見圖7,隨著剛度權(quán)重因子的增大,機構(gòu)鉸鏈分布的區(qū)域更加分散,拓撲圖形邊緣輪廓也更易提取。因此需要選擇合適的剛度權(quán)重子來尋求多目標拓撲優(yōu)化的最優(yōu)解。

表2 不同剛度權(quán)重因子下的微夾持器性能

(a)a5,1=0.0001 (b) a5,2=0.0002

4 仿真對比與實驗研究

4.1 微夾持器仿真分析與對比

為了驗證方法的有效性,不考慮旋轉(zhuǎn)角度和寄生位移的抑制,在相同的設計域和相同的輸入輸出條件下拓撲優(yōu)化得到普通微夾持器,拓撲優(yōu)化結(jié)果如圖8所示,采用ANSYS Workbench對兩種微夾持器進行有限元仿真和對比。

圖8 普通微夾持器拓撲優(yōu)化結(jié)果

提取圖3和圖8的拓撲圖邊緣,利用UG軟件進行三維建模。使用ANSYS Workbench進行仿真分析。材料采用7075鋁合金,彈性模量為71 GPa,泊松比為0.3,設置最小單元參數(shù)為0.5 mm進行網(wǎng)格劃分。給定輸入位移為50 μm,兩種微夾持器的仿真結(jié)果如圖9所示,旋轉(zhuǎn)角度、寄生位移、相對寄生位移等性能對比如表3所示。

表3 兩種微夾持器的性能仿真對比

(a)新型平行微夾持器y方向輸出位移

由圖9和表3可知,當輸入位移為50 μm時,未抑制旋轉(zhuǎn)角度和寄生位移的普通微夾持器末端執(zhí)行器兩端x方向的位移差值為71.73 μm,旋轉(zhuǎn)角度可計算為3.132 mrad,單位寄生旋轉(zhuǎn)為0.0238 mrad/μm,寄生位移為65.32 μm,相對寄生位移為49.6%。在拓撲優(yōu)化中添加對寄生位移和旋轉(zhuǎn)角度的抑制后,得到的新型平行微夾持器末端執(zhí)行器兩端x方向位移差值為1.04 μm,旋轉(zhuǎn)角度可計算為0.038 mrad,單位寄生旋轉(zhuǎn)為0.000 373 6 mrad/μm,寄生位移為0.595 91 μm,相對寄生位移為0.58%。對比上述兩種微夾持器的旋轉(zhuǎn)角度和寄生位移可知,通過在算法中抑制旋轉(zhuǎn)角度和寄生位移,微夾持器能實現(xiàn)低寄生位移的平行夾持,進一步驗證了平行微夾持器設計算法的有效性。

4.2 實驗驗證

為了驗證拓撲優(yōu)化柔性微夾持器的低寄生位移和平行夾持性能,采用尼龍材料3D打印出該平行微夾持器,搭建實驗平臺測試其性能,如圖10所示。微夾持器采用壓電陶瓷驅(qū)動器(PSt150/7/80VS12, Core Tomorrow)進行位移輸入,夾持末端的輸出位移由激光位移傳感器(LK-H025,Keyence)測量,微夾持器的寄生位移則由精度更高的激光位移傳感器(LK-H008,Keyence)測量。

圖10 平行微夾持器實驗裝置

在給定0～50 μm的輸入位移下,測量微夾持器末端兩端點y方向的輸出位移和x方向的寄生位移,并計算出微夾持器的旋轉(zhuǎn)角度,測量數(shù)據(jù)如圖11所示。當輸入位移為50 μm時,兩端輸出位移差值為3.9 μm,寄生位移為0.725 μm,相對寄生位移為0.7%,旋轉(zhuǎn)角度為0.142 857 mrad,單位寄生旋轉(zhuǎn)為0.001 384 27 mrad/μm。機構(gòu)的輸出位移與輸入位移、寄生位移與輸入位移、機構(gòu)的旋轉(zhuǎn)角度與輸入位移均呈線性變化。相對寄生位移的仿真值與實驗值相差0.12%,單位寄生旋轉(zhuǎn)的仿真值與實驗值相差0.001 01 mrad/μm。造成以上誤差的原因可能來自于加工誤差、機械振動、測量點漂移等。即使存在一定誤差,相對寄生位移的仿真值與實驗值均小于1%,單位寄生旋轉(zhuǎn)的仿真值與實驗值都小于0.002 mrad/μm。仿真結(jié)果和實驗結(jié)果均表明所設計的新型平行微夾持器不但能夠?qū)崿F(xiàn)平行夾持,而且具有較小的寄生位移,進一步驗證了設計方法的有效性。

(a)B點y方向輸出端位移隨輸入位移的變化

5 結(jié)論

本文提出了低寄生位移柔性平行微夾持器的拓撲優(yōu)化設計方法,以輸出位移與輸入位移比最大、旋轉(zhuǎn)角度最小、寄生位移最小和末端剛度為目標函數(shù),利用線性加權(quán)法將多目標問題轉(zhuǎn)化為單目標問題,建立了平行微夾持器的拓撲優(yōu)化模型,使用分層序列法根據(jù)目標函數(shù)重要程度將優(yōu)化過程分為兩步進行,分別詳細推導了敏度信息。采用優(yōu)化準則法對優(yōu)化問題計算求解,用數(shù)值算例驗證了所提出方法的有效性。探究了剛度權(quán)重因子對最終拓撲優(yōu)化結(jié)果的影響規(guī)律,分別對低寄生位移平行微夾持器和普通微夾持器進行仿真分析和對比,最后加工出平行微夾持器,測得其相對寄生位移低至0.7%,單位寄生旋轉(zhuǎn)為0.001 384 27 mrad/μm。所設計的微夾持器能夠?qū)崿F(xiàn)低寄生位移和平行夾持,驗證了本文方法的有效性。本文為低寄生位移柔性平行微夾持器設計提供了一種新思路。