考慮輪胎非線性的橫擺角速度計(jì)算與車輛穩(wěn)定性控制

閔德壘 童汝亭 危銀濤

清華大學(xué)汽車安全與節(jié)能國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京,100084

0 引言

目前,為提高車輛的行駛穩(wěn)定性,車輛安裝了諸多的車輛穩(wěn)定控制系統(tǒng),包括直接橫擺力矩控制(direct yaw-moment control,DYC)系統(tǒng)、主動前輪轉(zhuǎn)向(active front steering,AFS)系統(tǒng),以及更為先進(jìn)和復(fù)雜的底盤集成控制(integrated chassis control,ICC)系統(tǒng)[1-3]。車輛穩(wěn)定性控制系統(tǒng)根據(jù)車輛實(shí)際狀態(tài)及目標(biāo)參量,計(jì)算出達(dá)到期望車輛行駛狀態(tài)所需的附加橫擺力矩[4-5]。期望橫擺角速度是一個重要的目標(biāo)參量,目前普遍通過線性輪胎模型,將計(jì)算出的車輛進(jìn)行穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向時的橫擺角速度作為期望橫擺角速度[6-7]。隨著輪胎側(cè)偏角的增大,輪胎的力學(xué)特性逐漸顯示出較強(qiáng)的非線性,尤其是在在較大的側(cè)向加速度下。

文獻(xiàn)[8-10]在線性輪胎模型的基礎(chǔ)上,為期望橫擺角速度設(shè)定了一個由附著系數(shù)和車速定義的上限,考慮了路面附著作用的影響。文獻(xiàn)[11-12]將期望橫擺角速度表示為非線性圖,并采用最優(yōu)化方法進(jìn)行求解。LENZO等[13]將期望橫擺角速度的修正系數(shù)表示為車輛質(zhì)心側(cè)偏角的函數(shù),車輛發(fā)生過度轉(zhuǎn)向,使得質(zhì)心側(cè)偏角較大時,該方法可以實(shí)現(xiàn)對橫擺角速度的調(diào)整,以及對質(zhì)心側(cè)偏角的限制。ZHANG等[14]在計(jì)算期望橫擺角速度時引入一階環(huán)節(jié),以反映車輛系統(tǒng)在轉(zhuǎn)向輸入下的動態(tài)響應(yīng)。CHATRATH等[15]通過單軌車輛模型的二階傳遞函數(shù)得到期望橫擺角速度。徐凌凡[16]利用車輛的動力學(xué)方程,將期望橫擺角速度表示為輪胎力的積分形式。安部正人[17]將側(cè)向力表示為輪胎側(cè)偏角的二次函數(shù),并利用等效穩(wěn)定性因數(shù)考察輪胎非線性對車輛穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)[18-19]利用等效側(cè)偏剛度研究了輪胎非線性對車輛穩(wěn)定性的影響。上述文獻(xiàn)研究輪胎非線性對車輛穩(wěn)定性的影響,但都沒有給出期望橫擺角速度的解析表達(dá)式。

魔術(shù)公式、Dugoff模型、刷子模型都可以表述輪胎的非線性[20-21]。刷子模型具有高精度且便于解析求解等優(yōu)點(diǎn),本文將其用來表征輪胎的非線性,通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到考慮輪胎非線性的穩(wěn)態(tài)橫擺角速度計(jì)算方程,并對解的存在性進(jìn)行了詳細(xì)分析。利用實(shí)車試驗(yàn)及CarSim車輛模型仿真驗(yàn)證了所提方法的計(jì)算精度及其對車輛穩(wěn)定性控制效果的影響。

1 基于刷子模型的等效穩(wěn)定性因數(shù)

1.1 等效側(cè)偏剛度

車輛穩(wěn)定性分析常將二自由度單軌車輛模型的動力學(xué)微分方程表示為[22]

(1)

式中,m為車輛的質(zhì)量;ay為車輛的側(cè)向加速度;Fy1、Fy2分別為前后輪胎的側(cè)向力;Iz為車輛繞過質(zhì)心的z軸轉(zhuǎn)動慣量;ωr為橫擺角速度;a、b分別為質(zhì)心到前后軸的距離。

設(shè)前后輪胎的側(cè)偏角為α1、α2,側(cè)偏剛度為k1、k2,采用線性輪胎模型時,Fy1=k1α1,Fy2=k2α2。基于線性輪胎模型和二自由度單軌車輛模型可得車輛進(jìn)行穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向時的橫擺角速度[6-10,22]

(2)

式中,K為穩(wěn)定性因數(shù);u為縱向車速;L為輪距;δ為前輪轉(zhuǎn)角。

式(2)形式簡單且計(jì)算方便,但車輛側(cè)向加速度較大時,輪胎的非線性變得明顯,此時利用線性輪胎模型得到的結(jié)果不再準(zhǔn)確。

刷子模型可表征輪胎的非線性,圖1所示為不同垂向載荷下,利用刷子模型獲得的輪胎側(cè)向力-輪胎側(cè)偏角的試驗(yàn)結(jié)果與擬合結(jié)果。兩種結(jié)果十分接近,表明刷子模型既可以很好地表征輪胎側(cè)偏角α較小時的側(cè)向力Fy近似線性的變化,又可以很好地表征輪胎側(cè)偏角較大時側(cè)向力的非線性變化及飽和現(xiàn)象。

圖1 刷子模型的試驗(yàn)驗(yàn)證

本文利用刷子模型表示輪胎的非線性,研究采用刷子模型和單軌二自由度車輛模型時穩(wěn)態(tài)橫擺角速度的計(jì)算方法。假設(shè)α1,α2>0,縱向滑移率為0且側(cè)向力未發(fā)生飽和,利用刷子模型計(jì)算前后輪胎的側(cè)向力[21]

(3)

式中,Fz1、Fz2分別為作用在前后輪胎上的垂向載荷;μ為輪胎-路面附著系數(shù)。

刷子模型將側(cè)向力表示為輪胎側(cè)偏角的三次多項(xiàng)式,因此可以認(rèn)為是對線性輪胎模型的拓展。

定義量綱一變量

(4)

由式(3)、式(4)可得2個重要的關(guān)系式:

(5)

(6)

(7)

式中,g為重力加速度。

由式(5)、式(7)可以得到

(8)

由于ωr的符號始終與α1和α2相反,并且在側(cè)向力發(fā)生附著飽和之前有|ay|<μg,因此車輛穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向時,始終有x∈(0,1),并且x隨ay的增大逐漸減小。

1.2 等效穩(wěn)定性因數(shù)

車輛在前輪轉(zhuǎn)角δ輸入下轉(zhuǎn)向行駛的過程中,對車輛施加一個附加的微小轉(zhuǎn)角增量Δδ時,單軌車輛模型的動力學(xué)微分方程變?yōu)閇17,23]

(9)

式中,Δay、Δωr、Δα1、Δα2為由Δδ引起的物理量增量。

將Fy1|α1+Δα1、Fy2|α2+Δα2進(jìn)行一階Taylor展開,并與式(1)相減,可得

(10)

定義等效穩(wěn)定性因數(shù)K*[17]為

(11)

由式(8)、式(11)可知,α1,α2>0時,等效穩(wěn)定性因數(shù)K*與穩(wěn)定性因數(shù)K的關(guān)系為

(12)

同理可得α1,α2<0時K*的表達(dá)式。定義λ=|uωrd|/(μg),則輪胎側(cè)偏角α1,α2>0及α1,α2<0兩種情形下的K*可以統(tǒng)一寫為

K*=K(1-λ)-2/3

(13)

圖2為K*/K隨λ的變化曲線。λ表征側(cè)向加速度的大小,λ>0.4時,輪胎非線性對等效穩(wěn)定性因數(shù)即對車輛穩(wěn)定性的影響已無法忽略。車輛側(cè)向加速度較大時,K*明顯大于K,這意味著基于線性輪胎模型方法計(jì)算得到的穩(wěn)態(tài)橫擺角速度比采用非線性輪胎模型時的大,這會使車輛的橫擺角速度在車輛穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的作用下向更大的值趨近。

圖2 K*/K隨λ變化曲線

2 基于刷子模型的穩(wěn)態(tài)橫擺角速度

2.1 穩(wěn)態(tài)橫擺角速度的計(jì)算方程

由式(10)、式(11)可知轉(zhuǎn)角增量Δδ引起的橫擺角速度的變化

(14)

α1,α2>0時,由式(7)、式(12)和式(14)可得

(15)

由式(15)可以得到

(16)

t=0時,x=1,δ=0,因此有

C0=1+3Ku2

(17)

從而得到x的一元三次方程

(18)

該方程有效解的區(qū)間是(0,1)。

α1,α2<0時,可進(jìn)行類似的推導(dǎo)。在α1,α2>0及α1,α2<0兩種情況下,x的一元三次方程可以寫成統(tǒng)一的形式:

(19)

式(19)即為考慮輪胎非線性的穩(wěn)態(tài)橫擺角速度計(jì)算方程。

2.2 對穩(wěn)態(tài)橫擺角速度計(jì)算方程解的存在性的分析

穩(wěn)態(tài)橫擺角速度計(jì)算方程(式(19))的有效解區(qū)間是x∈(0,1),因此有必要對解的存在性進(jìn)行分析。

定義函數(shù)

(20)

由式(19)可知,要保證車輛在給定的車速u和前輪轉(zhuǎn)角δ的激勵下最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向,就要求h(x)=0在x∈(0,1)區(qū)間內(nèi)存在實(shí)根。由于

(21)

(22)

且K≥0時,存在

(23)

因此,h(x)=0在x∈(0,1)區(qū)間內(nèi)存在實(shí)根的充要條件是h(0)<0,即

(24)

0≤K<|δ|/(3Lμg)時,為使車輛能穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向,車速u應(yīng)滿足

(25)

這意味著即使車輛具有不足轉(zhuǎn)向或中性轉(zhuǎn)向特性,若K<|δ|/(3Lμg),則仍存在一個由式(25)確定的速度上限uw。車速超過uw時將無法穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向。

圖3為K=0.0016 s2/m2時,由式(25)計(jì)算得到的穩(wěn)態(tài)車速上限uw隨前輪轉(zhuǎn)角|δ|的變化曲線。|δ|≈0.114 rad時,開始出現(xiàn)車速上限;|δ|=0.15 rad時,車速上限低于100 km/h,進(jìn)入常用車速范圍。

圖3 穩(wěn)態(tài)車速上限曲線(K=0.0016 s2/m2)

K<0時,式(23)不再成立,此時有

(26)

(27)

因此K<0時,要保證h(x)=0在x∈(0,1)區(qū)間內(nèi)有解,需要使x0<1且h(x0)≤0。h(x0)是車速u的函數(shù),因此定義f(u)=h(x0),則有

(28)

(29)

另一方面,由于f(ucr)=-|δ|/(LμgK)>0 且f(0)=-1<0,因此f(u)=0在u∈(0,ucr)區(qū)間內(nèi)存在的唯一實(shí)數(shù)根即為K<0時實(shí)際的車速上限um,因此um的計(jì)算方程為

(30)

圖4顯示了K=-0.0021 s2/m2時由式(30)計(jì)算得到的穩(wěn)態(tài)車速上限um隨前輪轉(zhuǎn)角|δ|的變化曲線以及臨界車速ucr,可以發(fā)現(xiàn),穩(wěn)態(tài)車速上限um明顯低于臨界車速ucr。

圖4 穩(wěn)態(tài)車速上限曲線(K=-0.0021 s2/m2)

為評價K<0時um與ucr的差別,定義σ=(ucr-um)/ucr。圖5顯示了σ隨|δ|的變化曲線,隨著|δ|的增大,um與ucr之間的差別逐漸增大,|δ|=0.2 rad時,σ已達(dá)60%左右。

圖5 σ隨|δ|變化曲線(K=-0.0021 s2/m2)

由以上分析可知,考慮輪胎非線性時,即使車輛具有不足轉(zhuǎn)向或中性轉(zhuǎn)向特性即K≥0,在一定的轉(zhuǎn)角輸入下,仍然可能存在一個車速上限。車速超過上限時,車輛將無法穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向。車輛具有過度轉(zhuǎn)向特性即K<0時,實(shí)際發(fā)生失穩(wěn)的車速將明顯低于臨界車速。本文對于兩種情況均給出了穩(wěn)態(tài)車速上限的計(jì)算方法。

3 車輛穩(wěn)定性控制器的設(shè)計(jì)

進(jìn)行車輛穩(wěn)定性控制時可采用PID控制、滑?？刂啤⒛Ｐ皖A(yù)測控制等控制算法計(jì)算附加橫擺力矩[24-26],其中,滑?？刂凭哂许憫?yīng)快速、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)[27]。由于研究主題不是控制算法,因此采用滑?？刂扑惴ㄓ?jì)算附加橫擺力矩,以比較不同計(jì)算方法得到的穩(wěn)態(tài)橫擺角速度對車輛穩(wěn)定性控制效果的影響。

定義目標(biāo)參量為期望橫擺角速度ωrd和期望質(zhì)心側(cè)偏角βd,其中,ωrd可基于線性輪胎模型,由式(2)計(jì)算得到,也可利用本文提出的基于非線性輪胎模型的方法,由式(19)計(jì)算得到。為提高車輛的側(cè)向穩(wěn)定性,βd可設(shè)定為0。引入正的系數(shù)ε和ρ,將滑模面s定義為橫擺角速度與質(zhì)心側(cè)偏角誤差的加權(quán)組合:

s=ε(ωr-ωrd)+ρ(β-βd)

(31)

由式(31)可得

(32)

(33)

定義趨近律為

(34)

由式(32)～(34)可以得到

(35)

由式(31)、式(35)可知,期望橫擺角速度ωrd會影響附加橫擺力矩ΔMz。在同樣的行駛工況下,當(dāng)期望橫擺角速度不同時,滑?？刂破魇┘拥母郊訖M擺力矩會發(fā)生變化,進(jìn)而產(chǎn)生不同的穩(wěn)定性控制效果。

4 穩(wěn)態(tài)橫擺角速度的試驗(yàn)驗(yàn)證

為對基于非線性輪胎模型的期望橫擺角速度計(jì)算方法進(jìn)行驗(yàn)證,利用實(shí)車在80 km/h車速下進(jìn)行了不同側(cè)向加速度(0.3g、0.4g、0.5g)的階躍轉(zhuǎn)向試驗(yàn),試驗(yàn)車輛與路面參數(shù)如表1所示。圖6所示為試驗(yàn)車輛及測試駕駛機(jī)器人。圖7顯示了總體的試驗(yàn)驗(yàn)證流程圖。

表1 試驗(yàn)車輛與路面參數(shù)

(a)試驗(yàn)車輛 (b)測試駕駛機(jī)器人

圖8所示為橫擺角速度的測量值與計(jì)算值。側(cè)向加速度較小(ay=0.3g)時,兩種輪胎模型得到的穩(wěn)態(tài)橫擺角速度差別不大,皆與測量值較為接近。隨著側(cè)向加速度的增大(ay=0.4g,0.5g),兩種方法計(jì)算結(jié)果的差距逐漸增大。線性輪胎模型不再能準(zhǔn)確預(yù)測穩(wěn)態(tài)橫擺角速度,而非線性輪胎模型得到的結(jié)果仍與測量值十分接近。

(a)ay=0.3g

定義計(jì)算誤差

(36)

圖9顯示了不同側(cè)向加速度下輪胎模型的計(jì)算誤差。ay=0.5g時,線性輪胎模型的計(jì)算誤差已達(dá)11.08%,非線性輪胎模型在3個側(cè)向加速度下的最大計(jì)算誤差為3.12%,比線性輪胎模型小7.96%。

圖9 不同側(cè)向加速度下的計(jì)算誤差

5 車輛穩(wěn)定性控制的仿真驗(yàn)證

5.1 車輛模型的建立與驗(yàn)證

為比較不同方法計(jì)算的穩(wěn)態(tài)橫擺角速度對車輛穩(wěn)定性控制效果的影響,利用實(shí)車參數(shù)搭建了CarSim車輛模型。如圖10所示,利用實(shí)車在試驗(yàn)場進(jìn)行試驗(yàn),將采集的轉(zhuǎn)向角信號及車速信號作為CarSim車輛模型的輸入,并將試驗(yàn)過程中車載傳感器的橫擺角速度測量信號與CarSim模型的仿真結(jié)果進(jìn)行對比。

圖10 CarSim車輛模型的驗(yàn)證

圖11所示為兩種工況(階躍轉(zhuǎn)向及雙移線)下的橫擺角速度的測量值與仿真值。CarSim車輛模型可以很好地反映試驗(yàn)車輛的側(cè)向動力學(xué)特性,因此可用于評價車輛穩(wěn)定性控制算法的開發(fā)和控制效果。

(a)階躍轉(zhuǎn)向工況

圖12顯示了控制算法的具體流程?；？刂破饕訡arSim車輛模型輸出的狀態(tài)參量、不同輪胎模型得到的穩(wěn)態(tài)橫擺角速度為輸入,將計(jì)算得到的附加橫擺力矩作輸出給車輛模型,從而實(shí)現(xiàn)對車輛穩(wěn)定性的控制。

圖12 控制效果驗(yàn)證示意圖

5.2 階躍轉(zhuǎn)向

圖13所示為車速100 km/h、轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角1 rad的階躍轉(zhuǎn)向仿真結(jié)果。圖13中,“無控制”表示不施加控制,“線性+控制”表示采用線性輪胎模型計(jì)算期望橫擺角速度并對車輛施加滑?？刂?“非線性+控制”表示采用非線性輪胎模型計(jì)算期望橫擺角速度并對車輛施加滑?？刂啤o控制時,橫擺角速度的穩(wěn)態(tài)值即為期望橫擺角速度。

圖13 階躍轉(zhuǎn)向工況橫擺角速度曲線

表2列出了3種控制方法的橫擺角速度及相對期望值的誤差率。采用“線性+控制”方法時,車輛橫擺角速度的誤差率達(dá)到28.32%,采用“非線性+控制”方法時,車輛橫擺角速度的誤差率僅為2.14%。

表2 橫擺角速度的穩(wěn)態(tài)值和誤差率

由圖14可知,在階躍轉(zhuǎn)向的過程中,車輛的側(cè)向加速度已達(dá)0.6g,輪胎的力學(xué)特性進(jìn)入非線性區(qū)域。

圖14 側(cè)向加速度曲線

圖15顯示了不同控制方法下,橫擺角速度的計(jì)算值與CarSim仿真值。滑?？刂破骺梢愿鶕?jù)車輛實(shí)際狀態(tài)與目標(biāo)參量之間的差別,調(diào)整附加橫擺力矩,使車輛的橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角向目標(biāo)參量趨近。

圖15 階躍轉(zhuǎn)向工況橫擺角速度對比

向目標(biāo)參量趨近的過程中,ΔMz(式(35))的第一項(xiàng)的符號在正負(fù)間的切換使得ΔMz的數(shù)值存在一定的抖振。圖16顯示了ΔMz的第二項(xiàng)ΔMzs=-aFy1+bFy2的變化曲線。ΔMzs可視為ΔMz的直流分量?？梢?在采用“線性+控制”方法時,滑?？刂破鲿仨槙r針方向?qū)囕v施加一個很大的附加橫擺力矩。

圖16 ΔMzs曲線

由圖17可知,施加附加橫擺力矩使得采用“線性+控制”方法時,側(cè)向力Fy1和Fy2相對于無控制工況平均變化了2024 N,側(cè)向力發(fā)生的較大變化使得車輛無法像無控制工況那樣以期望橫擺角速度進(jìn)行穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向行駛;采用“非線性+控制”時,Fy1和Fy2僅平均變化了182 N,車輛依然能以接近期望橫擺角速度的狀態(tài)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向。

(a)前輪

采用“線性+控制”方法時,側(cè)向力變化會使得前輪側(cè)偏角|α1|減小,后輪側(cè)偏角|α2|增大。由轉(zhuǎn)向半徑的表達(dá)式R=L/[δ-(|α1|-|α2|)][17]可知,此時的車輛轉(zhuǎn)向半徑會變小。

圖18所示為車輛的行駛軌跡,可以看到,采用“線性+控制”方法會使轉(zhuǎn)向半徑在達(dá)到穩(wěn)態(tài)前會逐漸減小,表現(xiàn)為過度轉(zhuǎn)向;采用“非線性+控制”則可有效保證車輛按接近期望的軌跡行駛。

圖18 階躍轉(zhuǎn)向工況車輛行進(jìn)軌跡曲線

無控制時的轉(zhuǎn)向半徑為129.1 m,采用“非線性+控制”方法時的轉(zhuǎn)向半徑為132.5 m,相對于無控制時僅變化了2.63%;采用“線性+控制”方法時,轉(zhuǎn)向半徑逐漸減小至76.6 m,相對于無控制時的轉(zhuǎn)向半徑減少了40.67%。

圖19為質(zhì)心側(cè)偏角曲線。采用“非線性+控制”方法時,質(zhì)心側(cè)偏角的穩(wěn)態(tài)值約為-4.6°;采用“線性+控制”方法時,車輛的質(zhì)心側(cè)偏角達(dá)到了-10.18°。采用“非線性+控制”方法后,車輛的質(zhì)心側(cè)偏角減小了5.58°。

圖19 階躍轉(zhuǎn)向工況質(zhì)心側(cè)偏角曲線

5.3 雙移線工況

期望橫擺角速度與不施加控制進(jìn)行階躍轉(zhuǎn)向時的穩(wěn)態(tài)值對應(yīng),而車輛在復(fù)雜行駛工況下需要施加控制才能提高穩(wěn)定性。圖20、圖21所示為車速120 km/h下的雙移線工況仿真結(jié)果,可見,施加控制可以有效減小車輛快速轉(zhuǎn)向時的橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角。

圖20 雙移線工況的橫擺角速度曲線

圖21 雙移線工況質(zhì)心側(cè)偏角曲線

如圖22所示,車輛快速轉(zhuǎn)向時,采用“線性+控制”方法與采用“非線性+控制”方法施加的瞬時附加橫擺力矩的差距約為4500 N·m。由圖23可知,相較于“線性+控制”,“非線性+控制”方法使得車輛在快速轉(zhuǎn)向時以更小的橫擺角速度行駛。由圖21可以看到車輛此時的質(zhì)心側(cè)偏角更小。因此采用“非線性+控制”方法有利于提高車輛的行駛穩(wěn)定性。

圖22 附加橫擺力矩曲線

圖23 雙移線工況橫擺角速度對比

6 結(jié)論

(1)由于輪胎非線性的影響,即使車輛具有不足轉(zhuǎn)向或中性轉(zhuǎn)向特性,在一定轉(zhuǎn)角和車速下行駛時仍可能無法實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向;車輛具有過度轉(zhuǎn)向特性時,在較大的轉(zhuǎn)角輸入下發(fā)生失穩(wěn)的車速會比臨界車速低60%以上。

(2)在側(cè)向加速度分別為0.3g、0.4g和0.5g的階躍轉(zhuǎn)向工況下,基于非線性輪胎模型得到的橫擺角速度與測量值的最大計(jì)算誤差僅為3.12%,明顯小于線性輪胎模型的計(jì)算誤差。

(3)將基于非線性輪胎模型得到的穩(wěn)態(tài)橫擺角速度作為車輛穩(wěn)定性控制的目標(biāo)參量,可使階躍轉(zhuǎn)向時的穩(wěn)態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角減小5.58°,在雙移線工況下也有利于減小質(zhì)心側(cè)偏角,可提高車輛的行駛穩(wěn)定性。

本文在穩(wěn)定性控制仿真的過程中沒有考慮垂向載荷轉(zhuǎn)移對輪胎側(cè)偏剛度的影響,并且輪胎非線性對于穩(wěn)定性控制的影響還需要進(jìn)行深入分析。這些不足之處可在后續(xù)研究工作中進(jìn)一步完善。