融合現(xiàn)代信息技術(shù) 發(fā)展學(xué)生空間觀念
——數(shù)學(xué)實驗課“莫比烏斯環(huán)”的教學(xué)與思考

徐 麗

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星瀾學(xué)校 215121)

空間觀念主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認識.[1]它作為發(fā)展空間想象力的基礎(chǔ),在學(xué)生理解現(xiàn)實生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)上舉足輕重,也是數(shù)學(xué)課程標準提及的學(xué)科核心素養(yǎng)之一.對初中學(xué)生而言,教材中涉及空間觀念的內(nèi)容較少,導(dǎo)致核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展缺少必要的載體.莫比烏斯環(huán)是一個嵌在三維空間中的二維曲面,沒有正反之分.通過對莫比烏斯環(huán)幾何本質(zhì)的探索和研究,可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲,開拓視野,在動手實踐、動腦思考的過程中發(fā)展學(xué)生的空間觀念.

1 教學(xué)過程設(shè)計

莫比烏斯環(huán)是只有一個面、一條邊的單側(cè)曲面.初一學(xué)生對平面幾何和立體圖形已有初步了解,那么莫比烏斯環(huán)蘊含了哪些神奇的數(shù)學(xué)性質(zhì)?它在日常生活中有哪些運用?

基于以上思考,設(shè)定本節(jié)課教學(xué)目標:(1)認識莫比烏斯環(huán);(2)利用動手操作、動態(tài)幾何軟件制作莫比烏斯環(huán);(3)探索莫比烏斯環(huán)的特性,感悟類比、歸納的思想,提高動手做數(shù)學(xué)、進行數(shù)學(xué)探究的能力,發(fā)展空間觀念.

1.1 提出問題

一張長方形紙條如何變成只有一個面?

問題1 將紙條首尾相連變成一個環(huán)(圖1),它是一個面嗎?

圖1

問題2 怎樣才能讓紙環(huán)變成只有一個面?

我們知道,長方形紙條有正、反兩面,若將它變?yōu)槭孜蚕嘟有纬傻募埈h(huán),則有內(nèi)、外兩個面,怎樣才能讓紙環(huán)變成只有一個面呢?

設(shè)計意圖該環(huán)節(jié)通過嘗試將紙條變?yōu)橹挥幸粋€面,讓學(xué)生動手操作.基于學(xué)生原有認知,感受普通紙環(huán)有兩個面的特性.拋出問題2:“怎樣讓紙環(huán)變成只有一個面?”引發(fā)學(xué)生思考．

1.2 探索活動

觀看動畫:莫比烏斯環(huán)的發(fā)現(xiàn).介紹1858年德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯發(fā)現(xiàn)的這一神奇結(jié)構(gòu),將其命名為莫比烏斯環(huán).

莫比烏斯環(huán)就是只有一個面的神奇之環(huán).那它的神奇之處在哪里?

實驗1制作莫比烏斯環(huán).

制作方法:將一根紙條扭轉(zhuǎn)180°,兩端粘貼做成紙環(huán).

莫比烏斯環(huán)的制作方法雖然簡單,但打破了學(xué)生原有認知.對于這一新的幾何結(jié)構(gòu),教學(xué)時利用GeoGebra(下稱GGB)軟件演示,呈現(xiàn)莫比烏斯環(huán)的圖形特征,豐富學(xué)生的空間認知,更清晰地認識該圖形(圖2).

圖2

操作 用紙帶制作莫比烏斯環(huán).

思考 (1)它有幾個面、幾條邊?

(2)它特別之處在哪里?

發(fā)現(xiàn) 它只有一個面、一條邊.

結(jié)論 它的神奇之處在于只有一個面、一條邊,是一個單側(cè)曲面．

設(shè)計意圖本環(huán)節(jié)是讓學(xué)生先感受莫比烏斯環(huán)的制作過程,再觀察其特殊之處.學(xué)生用筆在自己制作的莫比烏斯環(huán)上劃線,發(fā)現(xiàn)筆跡走一圈后能夠首尾相連,得到莫比烏斯環(huán)的特殊之處:只有一個面、一條邊,是一個單側(cè)曲面．對于新的幾何結(jié)構(gòu),借助GGB動態(tài)展示,學(xué)生經(jīng)歷制作、觀察、探索三個環(huán)節(jié),發(fā)展空間觀念.

沿普通雙面紙環(huán)中間線剪開,學(xué)生的已有認知是會形成兩個大小相同的雙面紙環(huán).那類比到莫比烏斯環(huán)呢?這樣的現(xiàn)象仍然存在嗎?沿莫比烏斯環(huán)中間線剪開又會產(chǎn)生什么結(jié)果呢?

實驗2沿二分之一線剪開莫比烏斯環(huán).

(1)探索

操作 沿中間線剪開莫比烏斯環(huán).

思考 出現(xiàn)什么結(jié)果?形成的環(huán)是莫比烏斯環(huán)嗎?

發(fā)現(xiàn) 剪開后形成一個大環(huán),長度是原來環(huán)的2倍.

結(jié)論 沿中間線剪開莫比烏斯環(huán)得到一個大環(huán),長度為原來的兩倍,且大環(huán)不是莫比烏斯環(huán).

本環(huán)節(jié)學(xué)生從已有經(jīng)驗出發(fā),猜想沿莫比烏斯環(huán)中間線剪開的結(jié)果,再動手嘗試.雖然實驗結(jié)果明確,但實驗原理是什么?又蘊含了哪些數(shù)學(xué)知識?借助動態(tài)Flash軟件詳細分解展示裁剪過程,再利用GGB演示沿中間線剪開莫比烏斯環(huán),發(fā)現(xiàn)剪開形成的兩個部分能夠連接形成一個整體.教學(xué)過程融合信息技術(shù)支持,化抽象為直觀,豐富數(shù)學(xué)現(xiàn)象的理解,進一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念(圖3).

圖3

繼續(xù)引導(dǎo),如果沿著生成大環(huán)中間線剪開會產(chǎn)生什么結(jié)果?

(2)沿二分之一線剪開生成的大環(huán)

操作 從生成的大環(huán)中間線剪開.

思考 形成什么?再沿生成的環(huán)中間剪開呢?剪n次呢?

發(fā)現(xiàn) 因為大環(huán)是一個雙側(cè)曲面,所以剪開后會形成兩個長度與原來大環(huán)相等的環(huán).再繼續(xù)沿中間線剪開,則會產(chǎn)生出4個、8個、…、2n-1個環(huán)(圖4).

圖4

操作發(fā)現(xiàn),沿普通雙側(cè)曲面大環(huán)的中間線剪開,會產(chǎn)生兩個雙面大環(huán),這一結(jié)論正好匹配學(xué)生的原有認知.引導(dǎo)學(xué)生思考,繼續(xù)沿生成的兩個大環(huán)中間線剪開呢?剪開3次、4次、n次呢?學(xué)生利用空間想象總結(jié)規(guī)律,得出結(jié)論,發(fā)展學(xué)生的空間觀念(表1).

表1

沿中間線剪就是沿二分之一線等分剪開,如果沿著其他等分線剪開會出現(xiàn)什么結(jié)果呢?

實驗3沿等分線剪開莫比烏斯環(huán).

(1)沿三分之一線剪開莫比烏斯環(huán)

操作 沿三分之一線剪開莫比烏斯環(huán).

思考 出現(xiàn)什么情況?形成的環(huán)是莫比烏斯環(huán)嗎?

發(fā)現(xiàn) 剪開后形成一個大環(huán)+一個小環(huán)(莫比烏斯環(huán)),大環(huán)長度是原來環(huán)的2倍(圖5).

圖5

結(jié)論 沿三分之一線剪開莫比烏斯環(huán),剪開后形成一個大環(huán)+一個小環(huán)(莫比烏斯環(huán)),大環(huán)長度是原來環(huán)的2倍(表2).

表2

(2)沿其他等分線剪開莫比烏斯環(huán)

操作 沿四分之一線、五分之一線、六分之一線剪開莫比烏斯環(huán).

思考 剪開后形成的環(huán)之間是什么關(guān)系?

發(fā)現(xiàn) 沿四分之一線剪開形成一個大環(huán)+一個小環(huán)(莫比烏斯環(huán)),大環(huán)長度是原來環(huán)的2倍.沿五分之一線、六分之一線、…、n分之一線剪開,剪開后形成一個大環(huán)+一個小環(huán)(莫比烏斯環(huán)),大環(huán)長度是原來環(huán)的2倍.

結(jié)論 當(dāng)n=2時,僅產(chǎn)生一個大環(huán),其長度是原來環(huán)的2倍,不是莫比烏斯環(huán).當(dāng)n≠2時,僅產(chǎn)生一個大環(huán)和一個小環(huán),大環(huán)的長度是原來莫比烏斯環(huán)的2倍,不是莫比烏斯環(huán);小環(huán)是等長莫比烏斯環(huán).

本環(huán)節(jié)由猜想到動手實驗,學(xué)生在探索中觀察并思考數(shù)學(xué)原理.借助動態(tài)Flash軟件再現(xiàn)裁剪過程,利用GGB演示,沿三分之一線走遍圓環(huán)需兩圈,外側(cè)和內(nèi)側(cè)的剩余部分構(gòu)成一個大環(huán),因為單面循環(huán)的特性,中間留下了一個莫比烏斯環(huán).利用數(shù)學(xué)軟件將抽象的數(shù)學(xué)原理形象地展現(xiàn)在學(xué)生面前,豐富學(xué)生的幾何直觀,發(fā)展學(xué)生的空間觀念(圖6).

引導(dǎo)學(xué)生思考沿其他等分線剪開后的情況,并得到結(jié)論如表3所示.

表3

無論沿三分之一線、四分之一線還是n分之一線,均為不沿中間線剪開一次.這樣的操作能夠得到一個大環(huán)套一個小環(huán).產(chǎn)生原因也是因為單側(cè)曲面無限循環(huán).那么如果不沿莫比烏斯環(huán)中間線剪開多次呢?

(3)不沿中間線剪開莫比烏斯環(huán)n次

觀察 沿非中間線剪開一次生成一個大環(huán)+一個小環(huán)(莫比烏斯環(huán)).

猜想 不沿中間線剪開2次,出現(xiàn)什么情況?

發(fā)現(xiàn) 不沿中間線剪開一次,形成一個大環(huán)和一個小環(huán)(莫比烏斯環(huán)),大環(huán)長度是原來環(huán)的2倍.不沿中間線剪開2次,會形成兩個大環(huán)和一個小環(huán)(莫比烏斯環(huán)).

結(jié)論 不沿莫比烏斯環(huán)中間線剪開n次,會產(chǎn)生n個大環(huán)和一個小環(huán)(莫比烏斯環(huán)),大環(huán)長度是原來環(huán)的2倍,是雙側(cè)曲面;小環(huán)的長度不變,是單側(cè)曲面的莫比烏斯環(huán).

設(shè)計意圖本節(jié)課的研究主題是探索莫比烏斯環(huán)單面循環(huán)的特性．該環(huán)節(jié)是讓學(xué)生類比不同情況下剪開莫比烏斯環(huán),探索規(guī)律.要求初一學(xué)生利用動手操作感受實驗結(jié)果、用數(shù)學(xué)語言表述實驗現(xiàn)象并不難,但如何讓學(xué)生更深刻地理解現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原理、發(fā)展空間觀念才更為關(guān)鍵.本環(huán)節(jié)作為這節(jié)課的重點,充分利用視頻展示,分解實驗過程、運用GGB分類展示不同實驗的分解過程.學(xué)生更細致地觀察并思考,歸納得出規(guī)律,感受莫比烏斯環(huán)的神奇之處,豐富認知,發(fā)展空間觀念,培養(yǎng)幾何直觀．

1.3 感受應(yīng)用

在工業(yè)設(shè)計、生產(chǎn)生活、藝術(shù)創(chuàng)作中,如果你是設(shè)計師,你會將莫比烏斯環(huán)運用到哪些方面?本環(huán)節(jié)采用視頻展示,感受無限循環(huán)的創(chuàng)作靈感在生活中的延伸(圖7).

圖7

設(shè)計意圖學(xué)生感受莫比烏斯環(huán)的神奇之處,在認識新的數(shù)學(xué)知識的過程中感悟數(shù)形結(jié)合思想與歸納類比思想,將數(shù)學(xué)知識運用到日常的生活中,感悟數(shù)學(xué)價值,讓學(xué)生愛上數(shù)學(xué).

根據(jù)學(xué)生的設(shè)計思路,介紹兩個莫比烏斯環(huán)在高維空間中拼湊形成的神奇的克萊因瓶.

1.4 拓展延伸

1882年,克萊因發(fā)現(xiàn)了這個著名的“瓶子”.它僅有一個面,因而一只蒼蠅可以直接從瓶子的內(nèi)部飛到外部而不用穿過瓶身.與莫比烏斯環(huán)一樣,它沒有內(nèi)外之分.雖然克萊因瓶只是一個概念,沒有實物,但運用GGB能實現(xiàn)高維空間中莫比烏斯環(huán)構(gòu)成克萊因瓶的過程,更直觀地豐富學(xué)生的空間認知(圖8).

圖8

我們可以將莫比烏斯環(huán)的側(cè)面變成多邊形,并形成環(huán)面,利用網(wǎng)絡(luò)畫板感受動態(tài)的變化,欣賞美麗的數(shù)學(xué)圖形(圖9).這給學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)立體圖形、繼續(xù)發(fā)展空間觀念,埋下渴望知識的種子,同時引導(dǎo)學(xué)生將思考延伸到數(shù)學(xué)課堂之外.

圖9

最后,請學(xué)生欣賞音樂大師巴赫的音樂,愿他們都有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛,在無限循環(huán)的探索中感受數(shù)學(xué),創(chuàng)造更多的精彩!

設(shè)計意圖帶領(lǐng)學(xué)生感受環(huán)面與莫比烏斯環(huán),從發(fā)散的角度思考數(shù)學(xué),利用網(wǎng)絡(luò)畫板實現(xiàn)多邊形環(huán)面與莫比烏斯環(huán)的結(jié)合,增進學(xué)生的空間感受,為后續(xù)高中研究立體幾何、解析幾何以及拓撲等學(xué)科埋下伏筆;更好地借助信息技術(shù)融合數(shù)學(xué)課堂,將較為抽象的空間圖形直觀展現(xiàn)在學(xué)生的眼前,繼續(xù)發(fā)展學(xué)生的幾何直觀.

2 思考

相對于學(xué)生熟悉的幾何對象,莫比烏斯環(huán)更為抽象.怎樣在三維空間中研究二維平面,特別是如何讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中感知、體驗、明理,是教學(xué)中難以把握的.因此,教師需要在教學(xué)中適時地利用技術(shù)幫助學(xué)生感知原理、理解本質(zhì),從而在技術(shù)支持下實現(xiàn)空間觀念的培養(yǎng).

2.1 視覺體驗,在情境中感受,認識數(shù)學(xué)對象

本節(jié)數(shù)學(xué)實驗課,從如何將一張長方形紙片變成只有一個面的問題引入,讓學(xué)生感受莫比烏斯環(huán)的無限循環(huán)特性.借助GGB、Flash與網(wǎng)絡(luò)畫板等技術(shù)化抽象為形象,展現(xiàn)裁剪過程,正向與逆向結(jié)合,豐富視覺體驗,讓學(xué)生更直觀地感受和參與.在情境中拓展學(xué)習(xí)空間,打開思維的大門,提升數(shù)學(xué)教學(xué)的趣味性.

2.2 動手操作,在實踐中明理,理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

莫比烏斯環(huán)是一種拓撲結(jié)構(gòu),它抽象不直觀,因此鼓勵學(xué)生動手操作,將裁剪、制作、探索、發(fā)現(xiàn)融入學(xué)習(xí)過程,打開學(xué)生的思維,提高學(xué)生處理信息的 能力,在不知不覺中提升空間觀念,發(fā)展幾何直觀素養(yǎng).

學(xué)生經(jīng)歷了動手操作、探索發(fā)現(xiàn),自然更能深刻地領(lǐng)悟到莫比烏斯環(huán)神奇的特征.沿著莫比烏斯環(huán)不同等分線剪開產(chǎn)生的不同結(jié)果與相關(guān)規(guī)律,都與莫比烏斯環(huán)無限循環(huán)的單面特征相關(guān).學(xué)生在實踐中明理,探尋數(shù)學(xué)現(xiàn)象蘊含的數(shù)學(xué)原理,理解數(shù)學(xué)本質(zhì).

2.3 技術(shù)支持,在思考中通融,發(fā)展空間觀念

本節(jié)實驗課利用GGB、動態(tài)Flash軟件、中科院張景中院士研發(fā)的網(wǎng)絡(luò)畫板等軟件,化“不能”為“能”,化“抽象”為“具象”.沿中間線剪開為何形成一個普通大環(huán)?技術(shù)賦能激發(fā)了學(xué)生的興趣,提高了知識的接受程度,在操作和探究中不斷發(fā)展學(xué)生的空間觀念.融合信息技術(shù)的數(shù)學(xué)實驗課,能提高學(xué)生的自信心,促進學(xué)生從數(shù)學(xué)現(xiàn)象思考數(shù)學(xué)本質(zhì),并將數(shù)學(xué)思考延伸到其他問題的解決.