基于三次樣條插值法的凸輪型線誤差算法研究

吳云帆，張仕明，吳玉國，時(shí)禮平,3,4*

(1.安徽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，馬鞍山 243032；2.安慶中船柴油機(jī)有限公司，安慶 246005；3.特種服役環(huán)境的智能裝備制造國際科技合作基地，馬鞍山 243032；4.特種重載機(jī)器人安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，馬鞍山 243032)

0 引言

凸輪機(jī)構(gòu)作為發(fā)動(dòng)機(jī)的核心零部件，直接影響發(fā)動(dòng)機(jī)的配氣效率和供油配給[1-2]，但其輪廓曲線的加工卻十分困難[3-4]，導(dǎo)致凸輪加工的誤差難以檢測(cè)[5]。在凸輪的型線檢測(cè)時(shí)，由于三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)內(nèi)置軟件缺乏相對(duì)應(yīng)的凸輪分析模塊，無法對(duì)檢測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的處理和結(jié)果分析。

針對(duì)凸輪型線檢測(cè)手段及檢測(cè)數(shù)據(jù)處理困難的問題，文獻(xiàn)[6]利用光柵位移傳感器做了接觸式測(cè)量，通過三次均勻B樣條擬合和最小二乘法測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，檢測(cè)結(jié)果表明其升程誤差小于1.1%。文獻(xiàn)[7]采用直線光柵及步進(jìn)電機(jī)設(shè)計(jì)內(nèi)燃機(jī)凸輪外輪廓檢測(cè)裝置，由直線光柵測(cè)得到凸輪升程，實(shí)現(xiàn)了凸輪外輪廓的在位檢測(cè)。文獻(xiàn)[8]利用圖像理技術(shù)處理凸輪盤的圖像得到凸輪盤二mnbvcxz值圖像，通過與設(shè)計(jì)值比對(duì)并輸出檢測(cè)結(jié)果，結(jié)果表明該方法可以對(duì)大批量的凸輪完成快速檢測(cè)。文獻(xiàn)[9]在研究葉片加工時(shí)，結(jié)合樣點(diǎn)優(yōu)化(SPO)法和非均勻有理B樣條插值法構(gòu)筑NURBSKI算法，以此完成葉片輪廓的重構(gòu)及誤差測(cè)定，結(jié)果表明NURBS-KI算法能夠精準(zhǔn)有效地完成葉片輪廓檢測(cè)。文獻(xiàn)[10]利用數(shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)技術(shù)研究躍度、應(yīng)力和尺寸優(yōu)化對(duì)凸輪位移誤差進(jìn)行試驗(yàn)研究，結(jié)果表明該法能夠較好的對(duì)凸輪位移誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)。

綜上所述，凸輪型線等的復(fù)雜曲線在精密生產(chǎn)中有著重要應(yīng)用，且對(duì)凸輪型線的檢測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析十分困難，專用凸輪檢測(cè)裝置的成本較高且普適性較差。因此現(xiàn)利用企業(yè)現(xiàn)有的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)得的原始數(shù)據(jù)，對(duì)比最小二乘法和三次樣條插值法的擬合精度，選擇以三次樣條插值法為基礎(chǔ)編寫凸輪輪廓誤差算法程序，實(shí)現(xiàn)凸輪型線數(shù)據(jù)處理，完成凸輪輪廓誤差檢測(cè)。

1 基于三次樣條插值法的凸輪升程數(shù)據(jù)擬合

在完整的凸輪型線的誤差檢測(cè)的過程中，主要由檢測(cè)數(shù)據(jù)的獲取、數(shù)據(jù)的擬合和誤差計(jì)算這三個(gè)部分構(gòu)成。其中，凸輪理論升程數(shù)據(jù)的擬合是誤差檢測(cè)的基礎(chǔ)，直接影響誤差檢測(cè)結(jié)果的可靠性。在數(shù)據(jù)獲取階段，通過測(cè)量設(shè)備得到的數(shù)據(jù)為一系列的坐標(biāo)位點(diǎn)。對(duì)采集到的原始數(shù)據(jù)需要利用插值擬合的方法得出檢測(cè)對(duì)象的曲線或曲面方程。

1.1 三次樣條插值法基本原理

針對(duì)凸輪型線的檢測(cè)數(shù)據(jù)處理問題，提出利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)檢測(cè)凸輪型線數(shù)據(jù)并以三次樣條插值法為基礎(chǔ)構(gòu)建凸輪誤差檢測(cè)系統(tǒng)。首先利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)凸輪輪廓進(jìn)行檢測(cè)，通過測(cè)量機(jī)的掃描功能測(cè)量凸輪型線，得到凸輪輪廓的三坐標(biāo)位點(diǎn)數(shù)據(jù)，最后編寫算法對(duì)凸輪檢測(cè)位點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差計(jì)算，判斷凸輪加工是否達(dá)到理論設(shè)計(jì)要求。三次樣條插值擬合基本原理是基于三次樣條函數(shù)而得出的曲線擬合方法，其基本定義為：

設(shè)在給定區(qū)間[a,b]上給定一個(gè)確定的節(jié)點(diǎn)劃分

當(dāng)存在正整數(shù)k=3使[a,b]上的分段函數(shù)s(x)滿足以下條件：

1）在區(qū)間[a,b]內(nèi)存在k-1階導(dǎo)數(shù)；

2）在每個(gè)區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,2,…xn-2,xn-1)內(nèi)皆為不大于三階的多項(xiàng)式；

則稱s(x)是以[a,b]為節(jié)點(diǎn)集的三次樣條函數(shù)。

設(shè)函數(shù)f(x)在節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值為：

且節(jié)點(diǎn)集的三次樣條函數(shù)s(x)滿足插值條件

則稱此三次樣條函數(shù)s(x)為三次樣條插值函數(shù)。

三次樣條插值函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式求解時(shí)，通常有三轉(zhuǎn)角法、三彎矩法、基樣條法等方法。通過對(duì)比，基樣條法在處理大批量數(shù)據(jù)時(shí)，計(jì)算量及計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比三彎矩法有明顯的上升，三轉(zhuǎn)角法在曲線擬合光滑度上對(duì)比三彎矩法有所不足，同時(shí)為滿足如凸輪型線此類擬合精度要求較高的曲線，采用三彎矩法構(gòu)建系數(shù)矩陣方程。

1.2 三次樣條插值系數(shù)矩陣構(gòu)造及其求解

在求解三次樣條插值函數(shù)s(x)時(shí)，其共有n段三次多項(xiàng)式，因此未知系數(shù)共有4n個(gè)，通過樣條條件和插值條件可以確定4n-2個(gè)方程，對(duì)于系數(shù)方程的求解仍缺乏兩個(gè)條件。根據(jù)應(yīng)用場合的不同，選擇相匹配的邊界條件，確定得到相應(yīng)的系數(shù)矩陣方程。其基本步驟為：

首先利用三彎矩法和邊界條件構(gòu)建系數(shù)矩陣方程，式(4)～式(6)分別為s(x)的函數(shù)表達(dá)式、一階導(dǎo)數(shù)形式和二階導(dǎo)數(shù)形式。

其中：ai,bi,ci,di分別為分段函數(shù)s(x)在第i段曲線上的各項(xiàng)系數(shù)，i=0,1,2～n-1。

插值條件：Si(xi)=yi

連續(xù)性條件：Si(xi+1)=Si+1(xi+1)Si(xi+1)=Si+1(xi+1)

綜上，可得系數(shù)方程組式(7)：

其中：hi=xi+1-xi

由式(14)可得三次樣條插值函數(shù)的一般表達(dá)式式(9)，如下：

式(16)由式(15)化簡得到的更為簡潔的表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)可以確定4n-2個(gè)方程。凸輪型線在擬合時(shí)要保證所有相鄰兩段曲線之間光滑過渡且首尾相接，因此選擇周期條件作為三次樣條插值法的邊界條件，表達(dá)式如式(11)所示：

由周期條件、樣條條件及插值條件可得式(12)的矩陣方程，如下：

在工程計(jì)算中經(jīng)常會(huì)遇到形如式(18)的周期三對(duì)角矩陣，與標(biāo)準(zhǔn)的三對(duì)角方程組相比，在循環(huán)三對(duì)角方程組的系數(shù)矩陣的右上角和左下角各有一個(gè)非零元素，求解時(shí)較標(biāo)準(zhǔn)三對(duì)角方程在復(fù)雜度上有所提升。對(duì)于一般的三對(duì)角方程求解，采用追趕法求解所需計(jì)算量較小。基于LU分解法的思想上，對(duì)循環(huán)三對(duì)角方程采用一種LUD法求解，相較于傳統(tǒng)的追趕法，LUD算法在計(jì)算量上由O(17n)降低到O(14n)，提高了循環(huán)三對(duì)角方程的求解效率[11]。對(duì)一般的循環(huán)周期三對(duì)角線性方程組：

其中：

LUD算法的基本思想是將式(13)中的n階系數(shù)矩陣A分解，得到三個(gè)n階矩陣L、矩陣U和矩陣D的乘積。

其中：

依次求解簡單線性方程組Lu=d，Uv=u和Dx=v，x即為循環(huán)三對(duì)角線性方程組的解。運(yùn)用此算法將系數(shù)矩陣A分解為三個(gè)簡單矩陣，對(duì)比LU分解法，分解后系數(shù)矩陣在數(shù)量上增加了一個(gè)，但在計(jì)算量和計(jì)算難度上比LU分解法低。由此可以降低運(yùn)算次數(shù)，同時(shí)也降低了算法程序編寫的難度，提高計(jì)算結(jié)果的可靠性。

1.3 三次樣條插值法擬合凸輪升程

在凸輪型線誤差檢測(cè)中，對(duì)原始的凸輪理論升程數(shù)據(jù)需要進(jìn)行擬合處理，以達(dá)到檢測(cè)的要求。在擬合凸輪升程數(shù)據(jù)時(shí)，要求擬合曲線首尾平滑相接，遍歷所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，同時(shí)保證擬合曲線光滑無明顯的轉(zhuǎn)折棱角。圖1為最小二乘法擬合的凸輪升程數(shù)據(jù)，圖2是三次樣條插值法擬合得到的一段凸輪升程曲線。

圖1 不同擬合次數(shù)方程擬合曲線結(jié)果

圖2 三次樣條擬合曲線結(jié)果

由圖1可得，在應(yīng)用最小二乘法擬合凸輪升程時(shí)，為保證擬合精度需要使用超過八階及以上的多項(xiàng)式方程，因此易導(dǎo)致龍格現(xiàn)象的產(chǎn)生[12-13]，數(shù)據(jù)的還原度在局部區(qū)域難以達(dá)到誤差檢測(cè)的要求。

由圖2可得，三次樣條插值法擬合出的曲線整體平滑，且沒有偏離擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)的情況存在。因插值擬合法對(duì)數(shù)據(jù)的遍歷，保證了擬合曲線方程通過所有理論數(shù)據(jù)點(diǎn)，對(duì)理論數(shù)據(jù)的擬合誤差極小[14]，便于后期對(duì)誤差的計(jì)算。

綜上所述，處理凸輪升程數(shù)據(jù)時(shí)采用三次樣條插值法，在保證數(shù)據(jù)測(cè)量點(diǎn)皆為有效數(shù)據(jù)點(diǎn)的前提下，對(duì)已有的理論數(shù)據(jù)進(jìn)行最大化全部利用，并且確保在誤差范圍內(nèi)數(shù)據(jù)擬合的準(zhǔn)確性[11]。對(duì)比三次樣條插值法，在擬合凸輪升程曲線時(shí)，為達(dá)到同等精度，最小二乘法的計(jì)算量更大，且擬合曲線方程次數(shù)過高且更復(fù)雜，而三次樣條插值法擬合的曲線更平滑[15]，因此采用三次樣條插值法對(duì)凸輪型線數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

2 凸輪型線檢測(cè)的數(shù)值試驗(yàn)

在實(shí)際檢測(cè)運(yùn)用時(shí)，將三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)檢測(cè)的笛卡爾坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)，同時(shí)由于凸輪滾子的存在，已知凸輪理論輪廓線和滾子半徑，利用平面等距公式計(jì)算得出凸輪的實(shí)際輪廓線。由此計(jì)算出的數(shù)據(jù)則為凸輪型線檢測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)理論數(shù)據(jù)。由安慶中船柴油機(jī)有限公司提供的一組凸輪型線理論升程表1可知，理論凸輪的升程表一般將整個(gè)圓周劃作360份的均勻等分區(qū)間，以凸輪的實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)中心為極坐標(biāo)原點(diǎn)，取坐標(biāo)原點(diǎn)到滾子中心的極半徑作為凸輪升程數(shù)據(jù)。

表1 某凸輪理論輪廓數(shù)據(jù)表

由表1可以得到類似圖2的凸輪升程曲線，在檢測(cè)時(shí)，因三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)輸出的檢測(cè)數(shù)據(jù)為笛卡爾坐標(biāo)系下的位點(diǎn)數(shù)據(jù)，具體數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 凸輪三坐標(biāo)檢測(cè)數(shù)據(jù)

由表2可知，三坐標(biāo)檢測(cè)輸出的數(shù)據(jù)類型與常見的理論凸輪升程表在表達(dá)形式上需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。同時(shí)由于三坐標(biāo)檢測(cè)在檢測(cè)時(shí)存在震動(dòng)，會(huì)增加檢測(cè)數(shù)據(jù)結(jié)果的誤差波動(dòng)，一般會(huì)對(duì)檢測(cè)儀器測(cè)得的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，對(duì)檢測(cè)的有效數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行篩選，提高檢測(cè)數(shù)據(jù)的可靠性，降低三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)檢測(cè)時(shí)因機(jī)器震動(dòng)和操作人員的操作誤差等因素所引起的隨機(jī)誤差，進(jìn)而提高檢測(cè)結(jié)果的精確度和可靠性。

通過對(duì)最小二乘法和三次樣條插值法的研究，在方法的選擇上確定三次樣條插值法作為檢測(cè)計(jì)算的核心算法，以三次樣條插值法為基礎(chǔ)，通過編寫算法檢測(cè)凸輪型線的誤差是否滿足設(shè)計(jì)要求。算法的基本思想流程圍繞三次樣條插值法展開，針對(duì)算法的實(shí)現(xiàn)需要區(qū)分不同的功能模塊，包括數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)換模塊、中點(diǎn)回彈法濾波模塊、三次樣條插值法數(shù)據(jù)擬合模塊、理論與檢測(cè)數(shù)據(jù)的相似度比對(duì)模塊、結(jié)果輸出模塊。其基本實(shí)現(xiàn)流程件圖3算法流程圖。

圖3 算法流程圖

模塊一，通過數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換模塊將三坐標(biāo)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)下的升程表；

模塊二，通過濾波處理模塊，采用中點(diǎn)回彈法降低檢測(cè)數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差；

模塊三，利用三次樣條插值法計(jì)算擬合凸輪理論型線，同時(shí)對(duì)所有的測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行插值計(jì)算。

模塊四，相似度檢測(cè)模塊，凸輪檢測(cè)和誤差計(jì)算時(shí)需要確定相位差，以確定檢測(cè)的起始點(diǎn)，運(yùn)用斯皮爾曼系數(shù)作為相似度的標(biāo)準(zhǔn)值。

模塊五，遍歷計(jì)算出各檢測(cè)點(diǎn)的誤差，結(jié)合其公差帶確定是否合格。計(jì)算結(jié)束后以表格形式對(duì)結(jié)果進(jìn)行輸出。

通過編寫程序?qū)崿F(xiàn)各個(gè)模塊的功能，整合后得到凸輪型線的誤差算法程序。軟件初始界面如圖4凸輪型線誤差檢測(cè)界面。由此，可以根據(jù)被測(cè)凸輪的具體型號(hào)，將標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)和測(cè)量數(shù)據(jù)按要求代入程序中，設(shè)定相對(duì)應(yīng)的誤差參數(shù)，完成誤差計(jì)算及評(píng)判。

圖4 凸輪型線誤差檢測(cè)界面

將原始測(cè)量數(shù)據(jù)帶入算法程序，計(jì)算并輸出凸輪型線的誤差值，最終結(jié)果以表格形式輸出，其部分結(jié)果如表3所示。

表3 凸輪檢測(cè)誤差結(jié)果表

通過表3可以看到凸輪型線加工誤差的準(zhǔn)確值，圖5和圖6分別顯示了進(jìn)氣凸輪的法向誤差和徑向誤差，對(duì)整個(gè)凸輪圓周進(jìn)行了誤差測(cè)定，通過對(duì)檢測(cè)結(jié)果的分析可以看出：以三次樣條插值法為核心的算法對(duì)誤差的數(shù)值計(jì)算精度可以達(dá)到微米級(jí)，檢測(cè)結(jié)果可以得到凸輪軸上凸輪型線的各個(gè)位點(diǎn)的誤差大小，通過分析數(shù)據(jù)可以得到凸輪型線誤差分布的主要集中區(qū)域，對(duì)總體誤差的分析可以得到的凸輪型線的誤差的波動(dòng)范圍，確認(rèn)產(chǎn)生最大誤差的點(diǎn)及最大點(diǎn)附近的誤差波動(dòng)，對(duì)產(chǎn)品的質(zhì)量作出判斷。

圖5 進(jìn)氣凸輪法向誤差

圖6 進(jìn)氣凸輪徑向誤差

4 結(jié)語

在研究了盤型凸輪的型線檢測(cè)過程中數(shù)據(jù)處理及檢測(cè)結(jié)果分析困難等問題后，設(shè)計(jì)了一種盤型凸輪誤差檢測(cè)算法，提出應(yīng)用三次樣條插值法對(duì)凸輪型線進(jìn)行擬合，計(jì)算出被測(cè)凸輪型線的誤差值。通過編寫算法程序?qū)崿F(xiàn)了凸輪型線的誤差檢測(cè)，并利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的檢測(cè)數(shù)據(jù)完成凸輪型線的誤差分析，結(jié)果表明：三次樣條插值在凸輪型線擬合的精度高于最小二乘法，其擬合曲線與柴油機(jī)凸輪型線有著良好的兼容性。雖然在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，因需要計(jì)算檢測(cè)數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)之間存在的相位差而增大了計(jì)算量，但測(cè)量結(jié)果對(duì)凸輪型線的誤差檢測(cè)和零件加工工藝的改進(jìn)有著重要意義，有著良好的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。