解題教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生“善于優(yōu)化”

許曉芳

［摘? 要］ 解題教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要任務(wù). 面對(duì)一些習(xí)題的煩瑣解法，是訓(xùn)練學(xué)生不懼繁雜的運(yùn)算耐心，還是“善于優(yōu)化”，尋找“好的思路”？這就需要教師在進(jìn)行解題教學(xué)備課時(shí)，充分探究不同解法，比較它們的優(yōu)劣，預(yù)設(shè)出“鋪墊問(wèn)題”，結(jié)合學(xué)情相機(jī)追問(wèn)，促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“好的解法”，同時(shí)發(fā)展師生對(duì)解題方法的鑒賞眼光.

［關(guān)鍵詞］ 解題教學(xué)；善于優(yōu)化；鋪墊問(wèn)題；解法鑒賞

最近筆者聽(tīng)了新入職教師的一節(jié)隨堂課——新教師L上了一節(jié)一元一次方程的試卷講評(píng)課. 從一道填空題的講評(píng)中可以看出該教師在解題研究方面還有所欠缺——沒(méi)有通過(guò)恰當(dāng)?shù)闹v評(píng)顯現(xiàn)出這道好題的價(jià)值. 本文先概述教師L講評(píng)這道試題的過(guò)程，并給出筆者的教學(xué)再設(shè)計(jì)，最后圍繞解題教學(xué)提出一些思考.

從一道習(xí)題的講評(píng)記錄說(shuō)起

教師L：這道題是一道復(fù)雜的解一元一次方程題，我們班做對(duì)的同學(xué)不到四分之一，請(qǐng)科代表來(lái)講講他是怎么求解的.

生1（科代表）：我是先把x=2代入方程，然后依次去分母、去分母、移項(xiàng)、移項(xiàng)、去分母、移項(xiàng)，最后解得a=-4.

教師L：好的！你能到黑板上寫(xiě)出詳解給大家看一下嗎？

生1在黑板上寫(xiě)的解答過(guò)程如下：

將x=2代入方程，得

解得a=-4.

教師L：下面我再請(qǐng)一個(gè)做得正確的同學(xué)來(lái)說(shuō)說(shuō)解這道題的注意事項(xiàng).

生2：我覺(jué)得去分母和移項(xiàng)時(shí)容易出錯(cuò)，比如去分母時(shí)，方程兩邊同時(shí)乘各分母的最小公倍數(shù)時(shí)，不能漏乘沒(méi)有分母的項(xiàng)，同時(shí)要把分子（如果是一個(gè)多項(xiàng)式）作為一個(gè)整體加上括號(hào).

教師L：很好！還有些同學(xué)可能看到這樣外貌復(fù)雜的方程會(huì)在解題前產(chǎn)生害怕心理，看來(lái)還要多加訓(xùn)練呀.

簡(jiǎn)評(píng) 以上講評(píng)過(guò)程只是簡(jiǎn)單地核對(duì)解題結(jié)果，并沒(méi)有解讀出這道較難考題的深層立意，可以看出教師L正在課前對(duì)這道考題的解法研究還比較膚淺，所以沒(méi)能進(jìn)一步追問(wèn)學(xué)生是否有不同的解法. 下面圍繞這道考題給出筆者的教學(xué)再設(shè)計(jì).

圍繞考題的教學(xué)再設(shè)計(jì)

出示考題之后，教師先安排解出的學(xué)生交流并展示他們的解法，然后教師預(yù)設(shè)以下問(wèn)題，相機(jī)追問(wèn).

問(wèn)題1：科代表處理復(fù)雜方程的過(guò)程顯示了他較強(qiáng)的運(yùn)算能力和變形能力，但老師覺(jué)得這樣做還是有點(diǎn)煩瑣，同學(xué)們想想還有沒(méi)有其他的解法.

預(yù)設(shè)：如果學(xué)生能看出簡(jiǎn)捷的方法，就讓學(xué)生先交流、分享；如果學(xué)生沒(méi)有簡(jiǎn)捷的方法，教師再給出以下啟發(fā)式問(wèn)題（即問(wèn)題2）.

預(yù)設(shè)：學(xué)生應(yīng)該可以在以上思路的啟發(fā)下，依次得出“中括號(hào)”“小括號(hào)”的整體的值，從而得到答案. 具體解析如下.

所以，x+a=-2，結(jié)合x(chóng)=2，可得a=-4.

講評(píng)之后，教師最好能再給出一道同類習(xí)題，以訓(xùn)練學(xué)生整體處理試題的眼光.

同類再練：已知關(guān)于x的一元一次方程2022x-1=2x+3k的解為x=2023，則關(guān)于y的一元一次方程2022·（y-1）+1=2（y-1）-3k的解為y=_____.

預(yù)設(shè)：如果學(xué)生把x=2023代入原方程，先解出參數(shù)k的值，再回代到后一個(gè)關(guān)于y的方程，解出y，這種解法本身沒(méi)問(wèn)題，但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，不值得提倡. 此時(shí)教師要鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真觀察、對(duì)比兩個(gè)方程，并將關(guān)于y的方程變形為2022（1-y）-1=2（1-y）+3k，然后直接看出1-y=2023，從而得到y(tǒng)=-2022.

關(guān)于解題教學(xué)的幾點(diǎn)思考

1. 教學(xué)之前要探究并對(duì)比不同解法

就筆者的閱讀和參加各類教研活動(dòng)所見(jiàn)，與新授課的教學(xué)設(shè)計(jì)（或備課）相比，解題教學(xué)的課前設(shè)計(jì)（或備課）還沒(méi)有得到教師充分而深入的研究，甚至存在教師課前只把待講評(píng)的一些習(xí)題的參考答案看一遍，想清這些參考答案的主要步驟就直接走上講臺(tái)進(jìn)行習(xí)題講評(píng)的教學(xué)現(xiàn)狀. 筆者認(rèn)為，教師在開(kāi)展解題教學(xué)之前，首先要“獨(dú)立求解”講評(píng)的習(xí)題（不宜先看參考答案），貫通思路之后進(jìn)行多解探究，多解探究之后進(jìn)行解法比較，理清不同解法的關(guān)鍵步驟，知曉不同解法的繁、簡(jiǎn)之別，對(duì)不同解法進(jìn)行優(yōu)、劣對(duì)比，等等. 在此基礎(chǔ)上，教師再進(jìn)行必要的教學(xué)預(yù)設(shè)，以及同類題的收集、選編或拓展. 只有進(jìn)行這樣的教學(xué)準(zhǔn)備，教師才能在解題教學(xué)的過(guò)程中進(jìn)退自如、居高臨下，幫助學(xué)生學(xué)深、悟透. 可以發(fā)現(xiàn)，上文中的教師L顯然沒(méi)有在課前對(duì)“試題”進(jìn)行一題多解的探究和思考，所以在“生1（科代表）”講解了一個(gè)常規(guī)的煩瑣解法之后認(rèn)為“很好”，并讓其他學(xué)生學(xué)習(xí)他的解法. 事實(shí)上，很多有經(jīng)驗(yàn)的教師，即使課前因?yàn)榉N種原因沒(méi)有對(duì)這道題的多種解法進(jìn)行研究，在課堂上面對(duì)一個(gè)煩瑣的解法時(shí)，也可以（或應(yīng)該）向全班學(xué)生提問(wèn)：“大家都聽(tīng)懂了，但你們覺(jué)得他的解法運(yùn)算量是不是有點(diǎn)大？能不能再簡(jiǎn)化一下求解過(guò)程？”很多情況下，特別是面向全班學(xué)生提這樣的“善于優(yōu)化”的解后反思時(shí)，教師往往會(huì)得到一些優(yōu)秀學(xué)生的積極回應(yīng)，從而拋磚引玉出一些好的解法.

2. 預(yù)設(shè)鋪墊問(wèn)題結(jié)合學(xué)情相機(jī)追問(wèn)

如上所述，對(duì)于解題教學(xué)的備課，教師首先要深入研究并對(duì)比不同解法，然后針對(duì)不同解法進(jìn)行鋪墊式問(wèn)題的構(gòu)思和預(yù)設(shè)，以便在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中恰當(dāng)使用這些鋪墊式問(wèn)題來(lái)啟發(fā)學(xué)生獲得思路. 這里所說(shuō)的鋪墊式問(wèn)題，并不是直接告知學(xué)生思路或幾何題的輔助線，而是給學(xué)生提供一種解題念頭（可以是問(wèn)題的原型或簡(jiǎn)化后的等價(jià)問(wèn)題），以便學(xué)生在這種思路的啟發(fā)下自主獲得解題思路，從而增強(qiáng)解題信心，學(xué)會(huì)解題.

上文聽(tīng)課記錄后，我們給出“教學(xué)再設(shè)計(jì)”，其中預(yù)設(shè)了一個(gè)鋪墊式問(wèn)題：“大括號(hào)”這個(gè)“整體的值”是多少？學(xué)生在這樣的啟發(fā)之下可以漸次思考：“中括號(hào)”“小括號(hào)”這兩個(gè)“整體的值”是多少？從而訓(xùn)練學(xué)生“視為整體”的解題眼光或策略，發(fā)展學(xué)生的解題智慧. 在這里，值得一提的是，鋪墊問(wèn)題要結(jié)合學(xué)情相機(jī)出示，而不是機(jī)械教條式地推出這些課前“精心設(shè)計(jì)”的鋪墊式問(wèn)題. 比如，我們?cè)谟^摩一些教學(xué)活動(dòng)時(shí)，常常會(huì)看到有些教師在剛剛出示較難題之后，學(xué)生甚至還沒(méi)有看（讀）完習(xí)題，就急不可耐地啟發(fā)學(xué)生如何解題. 比如“同學(xué)們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖形中有一個(gè)特殊的角”“同學(xué)們有沒(méi)有想到取一個(gè)中點(diǎn)，構(gòu)造三角形的中位線”“同學(xué)們有沒(méi)有注意到這條拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”等，這些啟發(fā)，看似在幫助學(xué)生，其實(shí)是在弱化學(xué)生的思維，使他們產(chǎn)生思路啟發(fā)的依賴，這并不利于學(xué)生獨(dú)立思考能力的發(fā)展.

3. 教師要修煉必要的解法鑒賞眼光

我們知道大學(xué)中文系有不少學(xué)者的治學(xué)方向是文學(xué)鑒賞，類比來(lái)看，推而廣之，筆者以為，數(shù)學(xué)教師也應(yīng)該自覺(jué)修煉解法鑒賞的眼光. 比如對(duì)于一些習(xí)題的不同解法，教師要進(jìn)行鑒別，比較優(yōu)劣. 教師應(yīng)自覺(jué)放棄那些煩瑣的或“殺雞用牛刀”的方法，而選擇一些“初等”解法（即不需要運(yùn)用更多高級(jí)數(shù)學(xué)工具的解法，比如能用全等處理的，就不運(yùn)用相似；能用方程處理的，就不運(yùn)用函數(shù)），或更簡(jiǎn)明、運(yùn)算更簡(jiǎn)便的解法. 我們也常?？吹接行┙忸}研究的自媒體（如微博、個(gè)人網(wǎng)站或微信公眾號(hào)）推送“一題十解”“一題二十解”之類“嘩眾取寵”的解題研究成果，仔細(xì)研究這些多解往往會(huì)發(fā)現(xiàn)，不少解法大同小異. 相對(duì)于這類“一題濫解”的研究，更有價(jià)值的是“多解歸一”“善于比較”. 聯(lián)系當(dāng)下，新課程、新課標(biāo)的培訓(xùn)活動(dòng)“你方唱罷我登場(chǎng)”，新名詞、新概念、新理念、新解讀推陳出新，筆者希望有更多的大學(xué)教授、教研專家精選一些經(jīng)典習(xí)題以幫助一線教師提高解題鑒賞的眼光，畢竟解題教學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中占有相當(dāng)大的比重.