探析“生活”背景下的數(shù)感培養(yǎng)措施

仲述玲

［摘? 要］ 數(shù)感是生活實際與數(shù)量關(guān)系聯(lián)系的橋梁，是發(fā)展學生運算素養(yǎng)的關(guān)鍵。文章從“數(shù)感”這一術(shù)語的理論基礎與培養(yǎng)的必要性出發(fā)，以“數(shù)的認識與運算”的教學為例，從三個方面展開闡述：借助生活實際，抽象數(shù)與運算的關(guān)系；聯(lián)系生活實際，理解數(shù)與運算的關(guān)系；回歸生活實際，應用數(shù)與運算的關(guān)系。

［關(guān)鍵詞］ 生活；數(shù)感；教學

數(shù)感是指學生對數(shù)學問題的直覺、靈感、語感，并據(jù)此產(chǎn)生解題思路與方法，一般是指解題過程中靈感乍現(xiàn)的直覺體驗。教學中，筆者常聽到學生在考試后說：這次考試狀態(tài)不好，會做的題都做錯了；這次考試感覺蠻好，每道題都很順手。其實，這些都是學生對“數(shù)感”的描述。為此，筆者對數(shù)感進行了大量研究。

一、數(shù)感的理論基礎

1954年，托拜厄斯·丹齊克首次提出數(shù)感，他認為數(shù)感是指在個體沒有察覺的情況下，在一堆物體中增加或減少一個小物體，能發(fā)現(xiàn)這堆物體發(fā)生了變化的一種直覺能力。1992年，麥金托等人通過實踐，對數(shù)感的概念進行了提煉：數(shù)感是指個體對數(shù)與運算的理解和應用的一種能力傾向，并能據(jù)此做出理性判斷，開發(fā)運算法則與應用數(shù)學的策略。顯然，提煉后的數(shù)感已經(jīng)突破了原本對事物數(shù)量的直觀感知的范疇，拓展到數(shù)與數(shù)的運算行列。

1999年，格斯騰和查理為數(shù)感設定了五個等級：①兒童未發(fā)展時，超出他們意識的數(shù)感；②兒童通過學習初步感知數(shù)感；③建立數(shù)感，理解“大于”“小于”的意思；④理解數(shù)字實質(zhì)，能用“加”“減”替代原本需要全部數(shù)出來的情況；⑤擁有解決問題的決策能力。

二、數(shù)感研究的必要性

隨著“數(shù)感”這一數(shù)學術(shù)語的推廣，我國不少數(shù)學專家對此進行了一系列的研究，對數(shù)感的理解經(jīng)歷了“直覺—意識—規(guī)律”的過程，從感覺階段上升到了思維階層。《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在上一版本的基礎上，再次強調(diào)了數(shù)感對兒童青少年思維發(fā)展的重要性，強調(diào)小學階段是發(fā)展學生數(shù)感的關(guān)鍵時期。

皮亞杰的認知發(fā)展理論認為：小學低年級的學生需要結(jié)合直觀可視的實際物體來理解數(shù)和運算，然而課堂教學常常是間接地建構(gòu)知識的過程。實踐證明，間接學習需要建立在一定的知識與生活經(jīng)驗基礎上進行，基于小學生的知識與生活經(jīng)驗不足，不論從學生的實際認知水平還是生活經(jīng)驗出發(fā)，此階段的學生需要依賴豐富的生活情境開展學習活動。

隨著科技的發(fā)展，信息技術(shù)的普遍應用，學生自主運算與思考的機會大打折扣，無形中阻礙了數(shù)感的形成。為此，在數(shù)學課堂中有意識地培養(yǎng)學生的數(shù)感勢在必行。

三、數(shù)感培養(yǎng)的具體措施

1. 教學分析

教材中“數(shù)的認識與運算”的知識分布遵循了由淺入深的原則，從知識體系的角度來觀察，教學內(nèi)容并非呈直線分布，而是將知識安排成螺旋形式。比如對數(shù)的認識，并非要求學生在一個階段認識完10000以內(nèi)的數(shù)，而是結(jié)合學生認知發(fā)展規(guī)律，引導學生從逼真的生活情境中循序漸進地抽象出簡單的數(shù)。在此基礎上穿插一些實際問題讓學生思考，幫助學生從生活實際出發(fā)，充分理解“數(shù)”和“運算”的關(guān)系，并利用這種關(guān)系來解決實際問題。

縱橫交錯的教學安排，不僅能幫助學生更好地掌握“數(shù)與運算”的關(guān)系，還能讓學生在真實情境中啟發(fā)思維、挖掘潛能，逐步形成良好的數(shù)感，為后續(xù)研究更復雜的數(shù)學問題奠定基礎。同時，學生的思維隨著認知的發(fā)展拾級而上，為數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定了堅實的基礎。

2. 實施措施

史寧中教授提出：數(shù)學直觀是數(shù)學教學的根本，真正的數(shù)學是“看”出來的，而非“證”出來的，這一切都依賴于數(shù)學直觀的幫助。對低年級學生而言，“數(shù)的認識與運算”確實比較抽象，因此教師在設計教學活動時要結(jié)合學情創(chuàng)設豐富的生活情境，啟發(fā)學生的思維，讓學生在直觀感知中形成良好的數(shù)感。

（1）借助生活實際，抽象數(shù)與運算的關(guān)系

在各個版本的小學數(shù)學教材中，數(shù)學教學內(nèi)容都是由生活抽象概括而來，具有形象性特征，與該階段學生的思維水平和認知特點相匹配。從認知發(fā)展理論出發(fā)，小學階段學生的思維模式以直觀形象思維為主，通過一段時間的學習后學生的思維模式會向抽象邏輯思維發(fā)展。尤其是小學低年級的學生，直觀形象思維的表現(xiàn)尤為突出。

低年級的數(shù)學教材中的學習內(nèi)容以直觀形象的內(nèi)容為主，學生在具體的生活情境中學習，可直觀感知知識的來龍去脈，對知識形成理性認識。

案例1? “簡單的數(shù)”的教學

對于1、2、3之類比較小的數(shù)的教學，基本都是借助現(xiàn)實情境中的事物的量來增強學生對這些數(shù)的認識。雖說學生的思維依賴于具體的生活事物，但他們對數(shù)的認識不僅經(jīng)歷了“具體—抽象”的過程，還經(jīng)歷了從感性的直觀形象思維向理性的抽象邏輯思維過渡?？此坪唵蔚倪^渡，雖然處于抽象素養(yǎng)的初始培養(yǎng)階段，但是為學生思維與核心素養(yǎng)的發(fā)展夯實了基礎。

案例2? “1～5加減法”的教學

由于學生對抽象的數(shù)沒有直觀的概念，因此在教學時，教師需要借助實際情境或真實存在的事物對其數(shù)量特征進行抽象與概括。比如，1根筷子加上2根筷子，共有3根筷子；1個橙子加上2個橙子，共有3個橙子；1斤水果加上2斤水果，共有3斤水果等。這些源自生活的真實情境，讓學生明確了“1+2=3”的實際意義，從而抽象出加法運算規(guī)律。

以上兩個事例說明學生的思維正在由直觀形象向抽象邏輯轉(zhuǎn)化，但此時其仍以直觀形象思維為主。只有學生能自主對生活實際事物的外部數(shù)量特征進行抽象與概括，并揭示其本質(zhì)屬性或內(nèi)涵，才能從真正意義上說明學生建立了抽象邏輯思維。經(jīng)過大量生活實際的抽象，學生逐步認識到數(shù)與運算的關(guān)系，數(shù)感在學生的一次次的抽象思維中生成。

（2）聯(lián)系生活實際，理解數(shù)與運算的關(guān)系

小學低年級的學生習慣于通過直觀形象思維的輔助來認識生活事物。因此，教師應在教學中創(chuàng)設學生感興趣的生活情境，讓學生通過理論與實際的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)生活中實際存在的數(shù)學。教師要引導學生將生活經(jīng)驗搬到課堂中來，深化學生對課堂教學內(nèi)容的認識，幫助學生在生活實際中初步建立數(shù)感，為更好地解決生活實際問題奠定基礎。

學生在入學前對生活中的一些簡單的數(shù)量已經(jīng)有了初步的認識，比如1只雞、1條狗、3個人、4塊蛋糕等。這些生活經(jīng)驗所帶來的數(shù)量關(guān)系是學生認知的基礎，在實際教學時，教師可將這些數(shù)量關(guān)系遷移到課堂中來，讓學生從中感知相應的數(shù)。

案例3? “數(shù)字5的認識”的教學

聯(lián)系學生的生活實際，教師可創(chuàng)設5支筆、5個皮球、5幢樓、5棵樹等情境，讓學生感知數(shù)字“5”存在的現(xiàn)實意義；或者以“一一對應”的教學法，引導學生對“5”這個數(shù)字產(chǎn)生直觀的理解，為學生形成數(shù)感奠定基礎。

這里提到的“一一對應”是以學生熟悉或感興趣的內(nèi)容為素材，比如對于數(shù)字“2”與“3”的大小問題，可以創(chuàng)設學生感興趣的童話小故事來吸引學生的注意力，讓學生感知“同樣大、同樣多、誰更大、誰更多”的關(guān)系。

筆者在教學中結(jié)合學情，創(chuàng)設了學生喜聞樂見的小豬和小熊搬運木材建房子的情境。比如，每1只小豬搬運1根木材，剩下1根木材沒有相應的搬運者與它對應，由此不難判斷出木材的數(shù)量大于小豬的數(shù)量。

課堂中，教師除了針對低年級學生的認知特征創(chuàng)設豐富的故事情境，還可以就地取材引導學生通過比一比、數(shù)一數(shù)來交流。比如，讓學生通過數(shù)一數(shù)鉛筆、本子等的數(shù)量，感知鉛筆和本子的數(shù)量。無須教師過多引導，學生在自主探索與比較中很快就能發(fā)現(xiàn)鉛筆和本子的數(shù)量，鉛筆比本子多還是少、多多少、少多少等。長此以往，學生便能自主判斷3和2誰更大一些，大多少；誰更小一些，小多少。

創(chuàng)設豐富的生活情境不僅讓低年級學生對數(shù)與數(shù)量關(guān)系有了初步認識，還幫助學生銜接學前階段到小學階段的知識，讓學生更好地理解數(shù)字與生活事物的關(guān)系，充分感知到數(shù)學學習的樂趣，在促進思維成長的同時有效地發(fā)展數(shù)感。

案例4? “2﹢3”的教學

為了讓學生充分體會“2+3”這個式子具有怎樣的現(xiàn)實意義，筆者創(chuàng)設了如下生活情境：

情境一：讓5名學生模擬在公園售票處排隊購買游船票的情境，讓學生從直觀中感知“第幾”的現(xiàn)實意義。比如排在第一個的學生序號為1，排在中間的學生序號為3，排在最后一個的學生序號為5。

情境二：將4根玉米分給2個小朋友，有哪些分法？要求學生拿4支筆作為玉米，自主分成2堆。

關(guān)于分玉米的情境，學生通過自主探索，很快發(fā)現(xiàn)可以將手中的筆分成1和3、2和2、3和1。教師在學生實踐與探索中，順勢將“數(shù)的加法”概念拋出，引發(fā)學生的思考，讓學生從根本上掌握其本質(zhì)。當學生從多種情境中提煉出“數(shù)的加法”后，教師可以提出新的情境。

情境三：小紅和小明是同桌，桌上放著小紅的1支自動鉛筆、小明的2支自動鉛筆，桌上一共有3支自動鉛筆。如果小明拿走其中的1支，那么桌上就剩下2支自動鉛筆。

情境四：小軍一共有4顆棒棒糖，分給小朋友2顆后，剩下2顆棒棒糖。

通過4個與學生生活實際相關(guān)聯(lián)的情境教學，讓學生對“數(shù)的減法”產(chǎn)生了深刻、形象的認識，學生從情境中充分感知量的減少過程。

實踐證明，小學生在最初接觸數(shù)學時，都是從具體情境中抽象數(shù)與運算。通過大量實踐，學生能深刻體會到“數(shù)可以表示量的多少，也能表示順序”。由此可以看出數(shù)學知識源于生活實際，數(shù)感的形成能幫助學生更好地理解生活。

（3）回歸生活實際，應用數(shù)與運算的關(guān)系

數(shù)學知識由生活實際抽象而來，最終會應用于生活實際中去。因此，當學生掌握了某個知識點后，教師應帶領(lǐng)學生將所學知識應用到生活實際中，引導學生利用所學知識來解決生活實際問題。

對小學低年級學生而言，不論是其認知水平，還是其思維水平都處于比較低的階段。想要培養(yǎng)學生的數(shù)感，教師就應帶領(lǐng)學生從生動形象的具體事物中感知知識的形成與發(fā)展，自主抽象出相應的知識。鑒于數(shù)學學科本就具備顯著的概括性、抽象性特征，結(jié)合學生的思維特點，因此教材在內(nèi)容編排上著重突出了運用數(shù)來解決實際應用問題，以此發(fā)展學生的數(shù)學邏輯推理能力。

借助生活情境引出數(shù)學知識，再將抽象而來的數(shù)學知識回歸到生活實際應用中去，這從真正意義上強化了學生對知識本質(zhì)的理解，讓學生在應用中增強數(shù)感。

案例5? 解決實際問題的教學

情境創(chuàng)設：已知育才小學有1000名小學生，如果六年級的200個學生畢業(yè)了，一年級的新生還沒有報到，那么學校還有多少名學生呢？

這個情境涉及的幾個數(shù)字比較大，待求學生的數(shù)量比較多，如果一個一個地去數(shù)，會非常煩瑣。這就需要學生將之前抽象而來的數(shù)的加減運算反過來思考，將這些知識應用到解決實際問題中來，從而感知生活實際與數(shù)學之間的關(guān)聯(lián)。

案例6? “十進制”的教學

本章節(jié)需要學生深入理解數(shù)位上的數(shù)具有的代表意義，這個內(nèi)容對學生而言相當抽象。比如“36”這個數(shù)中的3表示有“3個十”，6表示有“6個一”。學生想要完全掌握這部分知識，需要借助抽象邏輯思維，這要求學生在原有認知基礎上進行分析，才能從真正意義上理解十進制的內(nèi)涵。學生自主分析的過程，便是數(shù)感形成與發(fā)展的過程。

綜上所述，數(shù)學學習與數(shù)感形成是互相依賴、互相促進的關(guān)系。數(shù)感不僅是學生學習數(shù)學的基礎，還是學生增強生活實際與數(shù)量關(guān)系聯(lián)系的根本。教師應在教學中充分利用各種教學手段培養(yǎng)學生的數(shù)感，為提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)夯實基礎。