基于Wiener過(guò)程的彈用電連接器溫濕應(yīng)力加速建模

姜普濤，韓建立，吳一喬

（1.海軍航空大學(xué)，山東 煙臺(tái) 264001；2.91423部隊(duì)，遼寧 大連 116041）

0 引言

在導(dǎo)彈長(zhǎng)期貯存過(guò)程中，彈用電連接器的性能會(huì)隨著時(shí)間推移而緩慢退化，當(dāng)性能退化累積到規(guī)定閾值時(shí)就會(huì)發(fā)生失效，進(jìn)而影響導(dǎo)彈的可靠性和安全性[1]。為了能夠準(zhǔn)確地對(duì)彈用電連接器可靠性進(jìn)行評(píng)估，通常需要結(jié)合導(dǎo)彈實(shí)際服役環(huán)境和電連接器的失效物理過(guò)程，充分分析確定影響電連接器性能退化的主要因素。傳統(tǒng)的基于單、多應(yīng)力或組合應(yīng)力下失效物理的建模方法，往往只是通過(guò)對(duì)模型參數(shù)賦予修正因子，以消除不確定因素帶來(lái)的影響，沒(méi)有完全體現(xiàn)電連接器在特定環(huán)境下的真實(shí)退化過(guò)程。Wiener 過(guò)程由于充分考慮了隨機(jī)性因素，能夠較好地反映產(chǎn)品的實(shí)際退化狀態(tài)，因此被廣泛應(yīng)用于產(chǎn)品性能退化過(guò)程的建模[2]。

Tsai T R等以發(fā)光二級(jí)管的流明作為產(chǎn)品的性能指標(biāo)，使用線性Wiener過(guò)程描述了發(fā)光二極管的性能退化軌跡[3]；孫旭波等綜合利用Wiener 過(guò)程和Arrhenius 加速模型建立了某電連接器溫度應(yīng)力可靠性模型，為提高模型參數(shù)的估計(jì)精度，采用極大似然法對(duì)所有性能退化數(shù)據(jù)進(jìn)行整體統(tǒng)計(jì)推斷[4]；王璽等基于非線性Wiener過(guò)程，提出了1 種解決航空發(fā)動(dòng)機(jī)性能退化非線性和三源波動(dòng)問(wèn)題的剩余使用壽命（Remaining Useful Life，RUL）評(píng)估方法[5]；南西康等以液壓系統(tǒng)的柱塞泵為研究對(duì)象，使用Wiener過(guò)程模型描述了其剩余壽命的分布規(guī)律[6]；蓋炳良等為確定某引信橡膠圈加速退化試驗(yàn)中性能參數(shù)和溫度應(yīng)力的關(guān)系，基于加速因子不變?cè)瓌t推導(dǎo)了Wiener退化模型中漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)的比例關(guān)系[7]。

目前的導(dǎo)彈延壽工程實(shí)踐中，電連接器可靠性建模大都沒(méi)有在其貯存周期的全部階段對(duì)濕度予以充分考慮。然而，深入分析臨近貯存期的某型導(dǎo)彈的實(shí)際服役環(huán)境后，明確濕度對(duì)該彈用電連接器貯存壽命的影響，尤其在濕度較高時(shí)，是不可忽視的。在對(duì)電連接器失效物理分析的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，電連接器的性能退化存在諸多隨機(jī)性因素。因此，本文基于Wiener過(guò)程建立了某型彈用電連接器接觸電阻溫濕應(yīng)力下的性能退化模型，并通過(guò)相關(guān)實(shí)例的加速退化數(shù)據(jù)對(duì)模型合理性進(jìn)行了比對(duì)驗(yàn)證。

1 Wiener過(guò)程

設(shè)t 時(shí)刻樣品的性能退化量為y( t )，如果y( t )在連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)程中滿(mǎn)足下列條件，則y( t )為Wiener過(guò)程。

1）Δy( t )為時(shí)刻t～(t+Δt )內(nèi)退化量的增量，且服從正態(tài)分布，即：

Wiener過(guò)程增量的分布只與時(shí)間差有關(guān)，所以它是齊次的獨(dú)立增量過(guò)程，服從正態(tài)分布。

2）在任意不相交的時(shí)間段[t1,t2] 、[t3,t4] 內(nèi)，t1＜t2≤t3＜t4，增量y( t2)-y( t1) 與y( t4)-y( t3)相互獨(dú)立。

3）y( 0 )=0，且y( t )在t=0 處連續(xù)。

一元線性Wiener過(guò)程可描述為：

若C( t )為時(shí)間t 的函數(shù)，且C( 0 )=0，文獻(xiàn)[8-9]提出了1種性能退化的非線性Wiener過(guò)程，即：

式（3）中：μ 為漂移系數(shù)；σ 為擴(kuò)散系數(shù)；W( t )為標(biāo)準(zhǔn)的Wiener過(guò)程。

2 基于Wiener 過(guò)程的電連接器接觸電阻溫濕應(yīng)力性能退化建模

2.1 基于Wiener過(guò)程的接觸電阻性能退化模型

電連接器在貯存環(huán)境應(yīng)力的長(zhǎng)期作用下，其接觸電阻性能會(huì)隨時(shí)間的推移而產(chǎn)生退化。設(shè)在t 時(shí)刻電連接器接觸電阻性能退化量為y( t )，在t1時(shí)刻的性能退化量為y( t1)，在t2時(shí)刻的性能退化量為y( t2)。令t1＜t2，則在Δt=t2-t1時(shí)間段內(nèi)的性能退化增量為Δy=y( t2)-y( t1) ，即接觸電阻的增長(zhǎng)量。

在接觸電阻性能退化過(guò)程中，接觸電阻的增長(zhǎng)是由接觸斑點(diǎn)多次氧化腐蝕和微動(dòng)磨損產(chǎn)生的氧化物膜層堆積造成的，這些細(xì)微氧化物造成的接觸電阻損失量的不斷累積，直接成了接觸電阻增長(zhǎng)量的來(lái)源。從微觀層面上看，在Δt 時(shí)間段內(nèi)，接觸電阻的增長(zhǎng)量Δy 是由多個(gè)微小的、相互獨(dú)立的損失量積累而成，即Δy 是大量符合獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和。根據(jù)中心極限定理，在Δt 時(shí)間間隔內(nèi)，當(dāng)這些微小的隨機(jī)變量數(shù)量足夠巨大時(shí)，Δy 服從正態(tài)分布，即：

式（4）中，μΔy和分別是隨機(jī)變量Δy 的均值和方差。

根據(jù)摸底試驗(yàn)，對(duì)于電連接器而言，其接觸電阻性能退化量y( t )的整體趨勢(shì)是遞增的，但在一定的時(shí)間段Δt 內(nèi)，其退化增量Δy 有時(shí)為正、有時(shí)為負(fù)，符合上述正態(tài)分布特點(diǎn)。考慮Wiener過(guò)程的特點(diǎn)，使用非線性Wiener 過(guò)程來(lái)描述電連接器接觸電阻性能退化過(guò)程，令時(shí)間尺度函數(shù)C( t )=tb，則接觸電阻Wiener過(guò)程退化模型可表示為：

式（5）中：r( t )為t 時(shí)刻接觸電阻的阻值；r0為接觸電阻初始值；μSk和σSk分別為環(huán)境應(yīng)力Sk下Wiener 過(guò)程退化模型的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)，且接觸電阻的退化增量Δy～N()；b 為時(shí)間尺度函數(shù)的待估參數(shù)。

2.2 基于Wiener過(guò)程的電連接器壽命分布模型

若給定試驗(yàn)樣品電連接器的失效閾值，用l 來(lái)表示，則電連接器的壽命即接觸電阻性能退化量y( t )首次達(dá)到失效閾值l 的時(shí)間。令隨機(jī)變量ξ 表示電連接器壽命，則有：

對(duì)于基于Wiener過(guò)程的產(chǎn)品性能退化模型，如果漂移系數(shù)隨時(shí)間呈非線性時(shí)，即模型中的時(shí)間尺度函數(shù)為非線性函數(shù)，通常來(lái)說(shuō)，其壽命分布函數(shù)的精確表達(dá)式是難以獲得的。為了解決此類(lèi)問(wèn)題，本文結(jié)合文獻(xiàn)[10]給出的產(chǎn)品首次達(dá)到失效閾值時(shí)間的逆高斯分布和式（5），設(shè)RSk( t )、FSk( t )和fSk( t )分別表示電連接器在應(yīng)力Sk下壽命ξ 的可靠度函數(shù)、累計(jì)失效概率函數(shù)和概率密度函數(shù)，推導(dǎo)得到：

式（7）（8）中：l 為接觸電阻失效閾值；Φ()· 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)。

對(duì)式（8）兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，可得：

若令ξb表示為時(shí)間tb的隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量ξb的平均值可以通過(guò)對(duì)式（9）求期望得到：

則電連接器在應(yīng)力Sk作用下的平均壽命可約等于：

2.3 基于Wiener 過(guò)程的電連接器溫濕應(yīng)力加速退化建模

通過(guò)加速試驗(yàn)對(duì)產(chǎn)品可靠性進(jìn)行評(píng)估時(shí)，為了能夠利用壽命分布模型實(shí)現(xiàn)對(duì)產(chǎn)品評(píng)估預(yù)測(cè)，需要建立反映產(chǎn)品性能表征量與加速應(yīng)力之間關(guān)系的加速方程式[11]。然而，在對(duì)加速試驗(yàn)數(shù)據(jù)開(kāi)展統(tǒng)計(jì)分析階段，往往由于待估參數(shù)較多而增加了計(jì)算的難度，在多應(yīng)力加速試驗(yàn)的情況下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)尤為復(fù)雜。因此，為評(píng)估彈用電連接器的可靠性，本文基于加速因子不變?cè)瓌t，對(duì)經(jīng)典的兩應(yīng)力Peck 加速模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化變換，建立了基于Wiener 過(guò)程模型的電連接器溫濕應(yīng)力加速模型。

1）基于加速因子不變的Wiener 過(guò)程退化模型參數(shù)分析。

在加速試驗(yàn)中，令Sk表示第k 組加速應(yīng)力水平，k=1,2,…,K ，K 為加速試驗(yàn)的應(yīng)力組數(shù)，F(xiàn)Sk( t )表示產(chǎn)品在t 時(shí)刻的累積失效概率，且FSk( 0 )=1。假設(shè)當(dāng)應(yīng)力水平S1和應(yīng)力水平S2下分別作用時(shí)間t1和t2后，產(chǎn)品的累積失效概率仍然一樣，即FS1( t1) =FS2( t2)，則可將S1對(duì)S2的加速因子AFS1,S2定義為：

為了使產(chǎn)品在不同應(yīng)力作用下的失效機(jī)理保持一致，必須保證加速因子保持不變，二者是充要條件，即加速因子AFS1,S2是1個(gè)只由應(yīng)力S1和S2決定，并不隨時(shí)間t1和t2而改變的常數(shù)[12-13]。因此，結(jié)合式（12），應(yīng)力S1和S2下的產(chǎn)品累積失效概率函數(shù)關(guān)系可表示為：

通過(guò)對(duì)式（13）兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，可得概率密度函數(shù)之間關(guān)系為：

將式（9）電連接器接觸電阻在應(yīng)力Sk下的概率密度函數(shù)表達(dá)式代入式（14），并進(jìn)行推導(dǎo)可得：

由于AFS1,S2與時(shí)間無(wú)關(guān)，則式（15）中=1，故b=b2=b1，因此可簡(jiǎn)化為：

為保證AFS1,S2與時(shí)間無(wú)關(guān)，令式（16）中的時(shí)間系數(shù)為0，則有：

繼續(xù)對(duì)式（17）推導(dǎo)求解，最后得到：

基于上述分析可得：電連接器Wiener過(guò)程退化模型中的漂移系數(shù)μSk和擴(kuò)散系數(shù)σSk滿(mǎn)足關(guān)系式而時(shí)間尺度函數(shù)中的待估參數(shù)b 可看作常量。

2）溫濕應(yīng)力下Wiener 過(guò)程退化模型參數(shù)的加速方程。

由于產(chǎn)品退化速率在不同應(yīng)力水平下會(huì)發(fā)生變化，為量化電連接器性能退化表征參數(shù)在不同溫濕應(yīng)力水平下的變化情況，本文采用兩應(yīng)力Peck模型[14]來(lái)描述電連接器Wiener 過(guò)程性能退化模型中漂移系數(shù)μSk和擴(kuò)散系數(shù)σSk與溫度T 、相對(duì)濕度RH 之間的關(guān)系：

式（19）中：A(T,RH)表示反應(yīng)速率；a0、b0和c0為與產(chǎn)品材料等有關(guān)的參數(shù)；T 為熱力學(xué)溫度；RH 為相對(duì)濕度。上式兩邊分別取對(duì)數(shù)可得：

令a1=lna0，b1=-b0，假設(shè)Sk表示第k 組溫濕應(yīng)力組合(Tk,RHk)，對(duì)上式進(jìn)行線性化處理后，可得：

結(jié)合文獻(xiàn)[15]，Wiener 過(guò)程退化模型中的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)可表示為：

式（22）中，a11、b11、c11、a12、b12和c12為中間變換量。

如需滿(mǎn)足式（18）中的比例關(guān)系，對(duì)式（22）推導(dǎo)可得：b11=2b12，c11=2c12。

進(jìn)一步，令γ1=a11、γ2=b11、γ3=c11、γ4=a12，于是可得溫濕應(yīng)力下Sk下電連接器接觸電阻性能退化的加速模型，表達(dá)為：

式（23）中，γ1、γ2、γ3和γ4為待估參數(shù)。

3 基于兩步極大似然法的參數(shù)評(píng)估方法

設(shè)電連接器在第k 組溫濕加速應(yīng)力Sk下第j 個(gè)產(chǎn)品第i 次測(cè)量時(shí)刻為tijk，性能退化量為y( tijk)，時(shí)間增量為 Δtijk=tijk-t(i-1)jk，性能退化增量為Δy( tijk)=y( tijk)-y(t(i-1)jk)。 式 中 ： k=1,2,…,K ；j=1,2,…,Mk；i=1,2,…,N ；K 、Mk和N 分別為加速試驗(yàn)的應(yīng)力組數(shù)、第k 組應(yīng)力下的試驗(yàn)樣品數(shù)和性能退化測(cè)量的總次數(shù)。

結(jié)合式（4）（5）可知Δy( tijk)～N(μSkΔtijk,σSk2Δtijk)。不考慮電連接器個(gè)體之間的差異[16]，令τ=C( t )=tb，經(jīng)時(shí)間尺度模型變換后，電連接器的性能退化數(shù)據(jù)[t,y( t )]可變換為[τ,Δy′( τ )]，因此有：

式（24）中，

上述Δτijk為經(jīng)過(guò)時(shí)間尺度變換后應(yīng)力Sk下第j個(gè)產(chǎn)品第i 次測(cè)量的時(shí)間增量。 y′( τijk)和Δy′( τijk)分別為對(duì)應(yīng)的性能退化量和退化增量；μSk和σSk分別為應(yīng)力Sk下電連接器Wiener 過(guò)程性能退化模型的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)。

綜合式（9）（23）和（25），可建立電連接器概率密度極大似然估計(jì)函數(shù)為：

將Δy′( τijk)=Δy( tijk)代入式（26）中，可得：

式（26）（27）中，Θ={γ1，γ2，γ3，γ4，b}表示式中所有待估參數(shù)的集合，另外 τ=tb，因而有

下面，根據(jù)極大似然法模型參數(shù)估計(jì)步驟，采用鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。令式（27）中關(guān)于γ1、γ2、γ3和γ4的一階偏導(dǎo)都為0，即：

經(jīng)過(guò)系列計(jì)算和簡(jiǎn)化，可以得到γ1、γ2、γ3和γ4的最大似然估計(jì)分別為：

同樣采用鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)未知參數(shù)b 做一階偏導(dǎo)計(jì)算，并令求導(dǎo)結(jié)果為0，即：

式（30）中：

結(jié)合式（30）～（32），可以得到未知參數(shù)b 的最大似然估計(jì)。針對(duì)b 的最大似然估計(jì)的顯式表達(dá)式無(wú)法得出，可以通過(guò)γ1、γ2、γ3和γ4的最大似然估計(jì)并結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)間接得到。

僅從數(shù)學(xué)推導(dǎo)上來(lái)看，將電連接器的加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理代入式（29）中，經(jīng)過(guò)計(jì)算可以求解得到待估參數(shù)γ1、γ2、γ3和γ4的值，但從實(shí)際對(duì)上述方程式進(jìn)行推導(dǎo)的過(guò)程來(lái)看，由于未知數(shù)較多，式（29）的數(shù)學(xué)求解計(jì)算非常復(fù)雜，待估參數(shù)往往難以通過(guò)這種方式直接得到。有鑒于此，本文利用MATLAB 軟件，采用兩步極大似然估計(jì)方法，完成對(duì)電連接器概率密度極大似然估計(jì)函數(shù)中未知參數(shù)的求解[17]。參數(shù)估計(jì)具體過(guò)程如下。

第1步：對(duì)待估參數(shù)γ1、γ2、γ3和γ4進(jìn)行估計(jì)。

變量為γ1、γ2、γ3和γ4，優(yōu)化函數(shù)為lnΘ，目標(biāo)為函數(shù)lnΘ 值最大。

2）根據(jù)式（29），通過(guò)計(jì)算可以得到未知參數(shù)的第

1次迭代結(jié)果Θ(1)=()；

4 實(shí)例驗(yàn)證分析

使用文獻(xiàn)[18]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，失效閾值l=5，采用本文方法，利用MATLAB采用兩步極大似然估計(jì)方法計(jì)算，得到模型參數(shù)估計(jì)值，并根據(jù)加速因子比例關(guān)系式得到正常應(yīng)力水平下Wiener 加速模型的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)的估計(jì)值。全部參數(shù)估計(jì)值如表1所示。

將上述參數(shù)估計(jì)值代入式（7）（9），可得接觸電阻在應(yīng)力S0下壽命分布的可靠度函數(shù)為：

概率密度函數(shù)為：

由式（11）計(jì)算可得，正常應(yīng)力水平下的平均壽命為：

圖1、2 分別描繪了本文利用Peck 加速模型和文獻(xiàn)利用廣義Eyring 加速模型下得到的可靠度和概率密度函數(shù)曲線。

圖1 可靠度曲線比對(duì)圖Fig.1 Comparison of reliability curves

圖2 概率密度函數(shù)曲線比對(duì)圖Fig.2 Comparison of probability density curves

從對(duì)比圖可以看出，2 種方法得到的曲線基本吻合。對(duì)比文獻(xiàn)得到的平均壽命值2.265×104h，本文在參數(shù)估計(jì)時(shí)考慮了Wiener 模型擴(kuò)散系數(shù)及時(shí)間函數(shù)的非線性因素，所得平均壽命更為保守一些，從追求可靠性角度來(lái)看，本文采用的方法更為安全可靠。

5 結(jié)論

本文考慮了某型彈用電連接器服役地域的特殊性和性能退化過(guò)程中的隨機(jī)因素特點(diǎn)，建立了該彈用電連接器基于加速退化數(shù)據(jù)的溫濕應(yīng)力Wiener 性能退化模型，并給出了參數(shù)評(píng)估方法。主要結(jié)論如下：

1）采用兩應(yīng)力Peck 加速模型來(lái)描述溫度和濕度對(duì)電連接器性能變化的影響時(shí)，在考慮其Wiener退化模型擴(kuò)散系數(shù)與應(yīng)力有關(guān)的情況下，能夠得到更為安全可靠的平均壽命值；

2）利用加速因子不變?cè)瓌t很好地簡(jiǎn)化了加速模型中待估參數(shù)的數(shù)量，大大降低了模型參數(shù)估計(jì)的復(fù)雜度；

3）對(duì)于待估參數(shù)顯性表達(dá)式難以通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)直接得到的問(wèn)題，可以利用MATLAB，通過(guò)兩步極大似然估計(jì)方法，采用鏈?zhǔn)椒▌t予以解決。