應(yīng)用分層遞進(jìn)算法的GEO異面多星序列交會(huì)優(yōu)化方法

梁書立 徐廣德 范黎明

(1 北京跟蹤與通信技術(shù)研究所,北京 100094)(2 北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部,北京 100094)

地球靜止軌道(GEO)上部署了遙感、數(shù)據(jù)中繼等高價(jià)值衛(wèi)星資源,對這些衛(wèi)星開展在軌服務(wù)(在軌巡察、在軌加注和在軌維修等),具有重要的意義和應(yīng)用價(jià)值。其中,在軌巡察是在軌服務(wù)的基礎(chǔ),而GEO衛(wèi)星軌道面差異大,對各顆衛(wèi)星共面交會(huì)巡察需要消耗大量推進(jìn)劑,代價(jià)過高。對于異面多星巡察問題,可采用共面機(jī)動(dòng)、異面交會(huì)的方式進(jìn)行飛越巡察[1-3],因此需要解決多星序列交會(huì)規(guī)劃問題。

國內(nèi)外對于多星序列交會(huì)規(guī)劃問題開展了一些研究。文獻(xiàn)[3]中研究了攜帶多個(gè)子航天器對目標(biāo)進(jìn)行飛越巡察規(guī)劃問題,采用內(nèi)外2層規(guī)劃方法,外層是基于貪婪搜索和多輪規(guī)劃的方法,用于確定任務(wù)分配方案和巡察次序,內(nèi)層規(guī)劃采用類霍曼面內(nèi)多脈沖變軌方法,規(guī)劃單次巡察任務(wù)所需的時(shí)間、變軌策略。由于貪婪搜索算法的局限性,求解過程中可能會(huì)出現(xiàn)局部最優(yōu)的情況。文獻(xiàn)[4]中提出了一種在低地球軌道(LEO)星座衛(wèi)星之間進(jìn)行異面軌道交會(huì)解析近似方法,外層采用多星多約束遍歷交會(huì)的混合整數(shù)規(guī)劃模型,能夠快速獲得多星交會(huì)次序、交會(huì)時(shí)間的最優(yōu)解,內(nèi)層采用一種軌道高度和傾角相同時(shí)基于升交點(diǎn)赤經(jīng)漂移軌道的異面交會(huì)組合機(jī)動(dòng)策略,但是只適用于對多顆異面衛(wèi)星建立共面交會(huì)場景,推進(jìn)劑消耗大。文獻(xiàn)[5]中針對空間碎片多目標(biāo)交會(huì)軌跡設(shè)計(jì)問題的復(fù)雜性,將多目標(biāo)的交會(huì)問題轉(zhuǎn)化為整數(shù)規(guī)劃問題,外層利用分支定界法對總體交會(huì)順序進(jìn)行第1次優(yōu)化。在此基礎(chǔ)上,內(nèi)層以交會(huì)時(shí)間和等待時(shí)間為優(yōu)化參數(shù),利用改進(jìn)梯度粒子群算法對具體的單目標(biāo)交會(huì)軌道問題進(jìn)行第2次優(yōu)化,內(nèi)層變軌策略本質(zhì)上是蘭伯特(Lambert)變軌,速度增量較大。文獻(xiàn)[6]中提出一種基于橢圓軌道的GEO衛(wèi)星接近方式,將服務(wù)衛(wèi)星部署在大橢圓軌道(HEO)上,在近地點(diǎn)施加2次速度脈沖進(jìn)行調(diào)相和調(diào)位,實(shí)現(xiàn)對處于升交點(diǎn)或降交點(diǎn)的目標(biāo)衛(wèi)星的接近。在此基礎(chǔ)上,建立一對多接近觀測任務(wù)規(guī)劃問題的2層優(yōu)化模型,外層問題優(yōu)化目標(biāo)衛(wèi)星的接近次序和接近時(shí)間,內(nèi)層問題優(yōu)化服務(wù)衛(wèi)星的軌跡,并采用遺傳算法和窮舉法對問題進(jìn)行求解,然而窮舉法優(yōu)化效率較低,難以應(yīng)用到工程實(shí)際中。文獻(xiàn)[7]中針對GEO多星近距離接近問題,基于面內(nèi)機(jī)動(dòng)建立GEO多星接近任務(wù)規(guī)劃模型,提出利用混合優(yōu)化算法進(jìn)行求解,外層采用整數(shù)遺傳算法求解巡察序列,內(nèi)層采用面內(nèi)四脈沖近似優(yōu)化算法求解,但是,四脈沖近似優(yōu)化算法在優(yōu)化過程中容易出現(xiàn)奇異解。文獻(xiàn)[8]中考慮地球扁率J2項(xiàng)攝動(dòng)及交會(huì)時(shí)間窗口約束,建立多航天器長時(shí)間交會(huì)服務(wù)任務(wù)編排模型,提出結(jié)合混合整數(shù)編碼遺傳算法與單純形法的分層-混合式優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[9]中針對GEO多星接近觀測任務(wù),研究時(shí)間約束下能量消耗最優(yōu)的多任務(wù)規(guī)劃問題。按照上層面向任務(wù)順序安排,下層面向時(shí)間分配,建立一對多任務(wù)模式下的2層非線性規(guī)劃模型?；陔p脈沖多圈Lambert交會(huì)原理,將下層連續(xù)變量時(shí)間分配問題轉(zhuǎn)化為0-1整數(shù)規(guī)劃模型,并設(shè)計(jì)遺傳-分枝定界算法求解2層規(guī)劃模型。綜上所述,目前將多星交會(huì)序列、交會(huì)時(shí)間及變軌策略同時(shí)考慮在規(guī)劃模型中的研究較少;同時(shí),在規(guī)劃方法研究層面,類似窮舉法及粒子群法在內(nèi)的多種算法并不能在整數(shù)規(guī)劃問題中發(fā)揮較好效果,且因?yàn)槠溆?jì)算量大導(dǎo)致工程實(shí)用性受限的問題。在此背景下,本文應(yīng)用分層遞進(jìn)算法,同時(shí)考慮衛(wèi)星交會(huì)序列、交會(huì)時(shí)間及變軌策略的影響,對雙層規(guī)劃方法進(jìn)行優(yōu)化,使該方法模型更接近工程實(shí)際應(yīng)用情況。

本文首先建立異面多星序列交會(huì)規(guī)劃模型,設(shè)計(jì)優(yōu)化方法進(jìn)行求解,外層采用混合編碼遺傳算法規(guī)劃巡察序列和交會(huì)時(shí)間,內(nèi)層采用序列二次規(guī)劃算法求解三脈沖變軌模型,可有效解決異面多星序列交會(huì)的次序、變軌策略規(guī)劃問題。

1 異面多星序列交會(huì)規(guī)劃模型

1.1 應(yīng)用場景

以分布在GEO上軌道傾角不同的多顆目標(biāo)衛(wèi)星為巡察對象,如圖1所示。為降低服務(wù)衛(wèi)星軌道機(jī)動(dòng)速度增量需求,應(yīng)避免調(diào)整軌道面。以服務(wù)衛(wèi)星的軌道面為基準(zhǔn)面,通過在軌道面內(nèi)變軌瞄準(zhǔn)目標(biāo)衛(wèi)星過軌道面交點(diǎn)時(shí)刻到達(dá)目標(biāo)衛(wèi)星附近。完成巡察后繼續(xù)對下一顆目標(biāo)衛(wèi)星采用相同的策略接近,直至依次巡察完所有目標(biāo)衛(wèi)星。

圖1 GEO異面多星序列巡察示意Fig.1 Sequential inspection for multiple noncoplanar GEO satellites

在2顆目標(biāo)衛(wèi)星之間,服務(wù)衛(wèi)星采用3次面內(nèi)切向變軌策略,完成軌道高度、相位差調(diào)整。本文重點(diǎn)規(guī)劃對多星接近的交會(huì)時(shí)間及變軌策略,實(shí)現(xiàn)速度增量最優(yōu)。

為表示相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系,定義地心慣性坐標(biāo)系OIXIYIZI,原點(diǎn)OI在地球中心,ZI軸垂直于地球赤道平面,指向北極;XI軸指向春分點(diǎn)方向,YI軸由右手定則確定;定義軌道坐標(biāo)系原點(diǎn)Oo在服務(wù)衛(wèi)星質(zhì)心處,面XoOoZo與軌道平面重合,Zo軸指向地球中心(OI)方向;Yo軸垂直于軌道平面,與軌道角速度方向相反;Xo軸滿足右手定則,沿飛行方向指向前方。軌道坐標(biāo)系如圖2所示。

圖2 軌道坐標(biāo)系Fig.2 Orbital coordinate system

1.2 規(guī)劃模型

根據(jù)應(yīng)用場景的描述,建立如下非線性規(guī)劃模型,可描述為尋找優(yōu)化變量,使得在滿足約束條件下的目標(biāo)函數(shù)最小。

1)優(yōu)化變量

優(yōu)化變量包括:交會(huì)次序x1;交會(huì)時(shí)間x2;每顆目標(biāo)衛(wèi)星3次變軌機(jī)動(dòng)速度增量x3,x4,x5;每顆目標(biāo)衛(wèi)星最后1次變軌時(shí)間x6。具體表示見式(1)。

(1)

式中:m為GEO異面目標(biāo)衛(wèi)星數(shù)。

通過求解交會(huì)次序x1和交會(huì)時(shí)間x2,確定服務(wù)衛(wèi)星對m顆GEO異面目標(biāo)衛(wèi)星的交會(huì)序列和時(shí)間安排;通過求解變軌速度增量x3,x4,x5和變軌時(shí)間x6,確定服務(wù)衛(wèi)星在相鄰目標(biāo)衛(wèi)星之間的機(jī)動(dòng)軌跡。至此,應(yīng)用場景表述的針對m顆目標(biāo)衛(wèi)星的序列交會(huì)過程由上述變量唯一確定,因此規(guī)劃模型的變量選取合理。

2)約束條件

服務(wù)衛(wèi)星變軌機(jī)動(dòng)后,交會(huì)巡察目標(biāo)衛(wèi)星時(shí),應(yīng)滿足的觀測距離約束為

|ρi|≤ε

(2)

式中:ρi為服務(wù)衛(wèi)星在第i顆目標(biāo)衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系下的相對位置矢量,i=1,2,…,m;ε為允許的最遠(yuǎn)觀測距離,通常由相機(jī)等觀測設(shè)備的性能確定。

為保證對每顆目標(biāo)衛(wèi)星處于順光觀測條件,要求服務(wù)衛(wèi)星與各顆目標(biāo)衛(wèi)星交會(huì)時(shí)的太陽光照角θi(定義為相對位置矢量與太陽矢量的夾角)小于一定范圍,即

(3)

式中:si為服務(wù)衛(wèi)星與第i顆目標(biāo)衛(wèi)星交會(huì)時(shí)的太陽矢量;θ為允許的最大太陽光照角。

3)目標(biāo)函數(shù)

為盡可能節(jié)省燃料,以燃料最省為優(yōu)化目標(biāo),目標(biāo)函數(shù)f為變軌的速度增量之和,即

(4)

式中:j為相鄰2顆目標(biāo)衛(wèi)星之間進(jìn)行3次變軌的次序;Δvij為第i顆目標(biāo)衛(wèi)星第j次變軌的速度增量。

分析可知:在優(yōu)化變量中,交會(huì)次序?yàn)檎麛?shù),交會(huì)時(shí)間、每顆目標(biāo)衛(wèi)星3次變軌機(jī)動(dòng)速度增量、每顆目標(biāo)衛(wèi)星最后1次變軌時(shí)間為實(shí)數(shù),這是一類復(fù)雜的混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題。針對該問題,本文采用雙層規(guī)劃方法,將復(fù)雜模型解耦成序列規(guī)劃模型和變軌策略優(yōu)化模型。其中,外層用于尋找最優(yōu)的巡察序列和交會(huì)時(shí)間,內(nèi)層用于規(guī)劃相鄰2顆目標(biāo)衛(wèi)星之間的變軌策略,提高求解效率。

2 優(yōu)化方法

與現(xiàn)有方法相比,本文提出的應(yīng)用分層遞進(jìn)算法(混合編碼遺傳算法和序列二次規(guī)劃算法)的優(yōu)化方法,具有較強(qiáng)的針對性和更高的計(jì)算效率,其流程如圖3所示。在外層規(guī)劃中,混合編碼遺傳算法對求解觀測次序這類整數(shù)規(guī)劃問題很適用,因?yàn)檫z傳算法的變量本身及其作用機(jī)理具有離散特性;在內(nèi)層規(guī)劃中,序列二次規(guī)劃算法對求解連續(xù)變量優(yōu)化問題具有很好的效果。因此,設(shè)計(jì)2種有針對性的算法可以提高模型求解效率。

圖3 優(yōu)化方法流程Fig.3 Optimization method flow

2.1 外層規(guī)劃求解

外層優(yōu)化變量包括交會(huì)次序、交會(huì)時(shí)間,即式(1)中的x1和x2。

約束條件為總的時(shí)間小于任務(wù)允許時(shí)長,即

Tm≤tc

(5)

目標(biāo)函數(shù)為變軌的速度增量之和,即

(6)

式中:fout為外層優(yōu)化計(jì)算出的速度增量;fin,i為第i次交會(huì)的總速度增量,由內(nèi)層優(yōu)化計(jì)算得到。

服務(wù)衛(wèi)星與目標(biāo)衛(wèi)星在每個(gè)周期有2次交會(huì)機(jī)會(huì),需要根據(jù)各顆目標(biāo)衛(wèi)星的升交點(diǎn)時(shí)刻合理規(guī)劃出與各顆目標(biāo)衛(wèi)星的交會(huì)時(shí)間。當(dāng)目標(biāo)衛(wèi)星數(shù)少時(shí),可采用枚舉法求解交會(huì)次序和時(shí)間[9]。當(dāng)目標(biāo)衛(wèi)星數(shù)較大時(shí),計(jì)算量急劇增加,需要采用優(yōu)化算法求解。外層規(guī)劃問題屬于混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題,采用混合編碼遺傳算法求解,具體方法參見文獻(xiàn)[8]。

2.2 內(nèi)層規(guī)劃求解

在內(nèi)層規(guī)劃時(shí),各顆目標(biāo)衛(wèi)星的交會(huì)序列和交會(huì)時(shí)間已經(jīng)確定,需要規(guī)劃變軌時(shí)間和機(jī)動(dòng)速度增量,使總的速度增量最小。在對第i顆目標(biāo)衛(wèi)星進(jìn)行內(nèi)層規(guī)劃的過程中,本文采用三脈沖切向變軌策略,進(jìn)行面內(nèi)軌道轉(zhuǎn)移,遠(yuǎn)程交會(huì)變軌方案如表1所示。

表1 遠(yuǎn)程交會(huì)變軌方案Table 1 Remote rendezvous orbit change scheme

針對內(nèi)層規(guī)劃的需求,建立如下非線性規(guī)劃模型,可描述為尋找優(yōu)化變量Xi,使得在滿足約束條件下目標(biāo)函數(shù)最小。

(7)

1)動(dòng)力學(xué)約束

服務(wù)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用δ表示,包括3個(gè)位置和3個(gè)速度?？紤]施加的機(jī)動(dòng)脈沖,服務(wù)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)滿足如下動(dòng)力學(xué)約束。

(8)

在J2000坐標(biāo)系下,遠(yuǎn)程軌道轉(zhuǎn)移問題的精確動(dòng)力學(xué)模型為

(9)

式中:r和v分別為服務(wù)衛(wèi)星的位置和速度矢量;μ為地球引力常數(shù);aJ2為地球扁率J2的攝動(dòng)加速度;asun和amoon分別為日月引力的攝動(dòng)加速度;aF為發(fā)動(dòng)機(jī)推力產(chǎn)生的變軌加速度;asunlight為太陽光壓攝動(dòng)加速度;acs為地球引力場田協(xié)項(xiàng)攝動(dòng);aJ2,asun,amoon,asunlight,acs的具體模型參見文獻(xiàn)[10]。

2)優(yōu)化變量

根據(jù)遠(yuǎn)程變軌模型,需要以3次速度增量和脈沖位置為優(yōu)化變量Xi。

Xi=[Δvi1ui1Δvi2ui2Δvi3ui3]

(10)

式中:uij為第i顆目標(biāo)衛(wèi)星第j次變軌處的緯度幅角,j=1,2,3。

3)速度增量約束

在向第i顆目標(biāo)衛(wèi)星進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)的過程中,本次任務(wù)允許的最大速度增量Δvmax,i與交會(huì)過程中施加的總速度增量Δvtotal,i應(yīng)滿足

Δvtotal,i≤Δvmax,i

(11)

4)變軌終端約束

服務(wù)衛(wèi)星變軌機(jī)動(dòng)后交會(huì)目標(biāo)衛(wèi)星時(shí),應(yīng)滿足對每顆目標(biāo)衛(wèi)星的觀測距離約束和順光觀測條件,即內(nèi)層優(yōu)化過程需要滿足式(2)和式(3)的約束條件。

5)尋優(yōu)目標(biāo)

以燃料最省為優(yōu)化目標(biāo),則對第i顆目標(biāo)衛(wèi)星進(jìn)行變軌尋優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值為3次變軌的速度增量之和,即

(12)

求解非線性規(guī)劃問題的方法包括罰函數(shù)法、近似規(guī)劃法、序列二次規(guī)劃算法等,本文采用序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行仿真求解。序列二次規(guī)劃算法的基本思想是利用泰勒展開將非線性優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)在迭代點(diǎn)處簡化為二次函數(shù),同時(shí)將約束函數(shù)簡化為線性函數(shù),詳見文獻(xiàn)[11]。

3 仿真驗(yàn)證

從Spacetrack網(wǎng)站上選取7顆GEO衛(wèi)星作為目標(biāo)衛(wèi)星,具體軌道根數(shù)見表2。服務(wù)衛(wèi)星初始位于GEO,與目標(biāo)衛(wèi)星均不在同一軌道面內(nèi),初始的協(xié)調(diào)世界時(shí)(UTC)為2023年8月8日4時(shí)0分0秒,軌道根數(shù)見表2。

表2 GEO目標(biāo)衛(wèi)星和服務(wù)衛(wèi)星軌道根數(shù)Table 2 Orbit elements of GEO target satellites and service satellite

規(guī)劃中用到的混合編碼遺傳算法的參數(shù)設(shè)置如表3所示[8]。約束條件設(shè)置為交會(huì)最近距離不小于100km,太陽光照角不大于60°,總?cè)蝿?wù)時(shí)間不大于15天。

表3 混合編碼遺傳算法參數(shù)Table 3 Parameters of hybrid coding genetic algorithm

根據(jù)仿真輸入條件,15天內(nèi)服務(wù)衛(wèi)星與各顆目標(biāo)衛(wèi)星均有30次交會(huì)機(jī)會(huì),典型規(guī)劃結(jié)果對應(yīng)的速度增量如表4所示。利用如表3所示的混合編碼遺傳算法優(yōu)化求解,進(jìn)化歷程如圖4所示,得到目標(biāo)衛(wèi)星的交會(huì)次序?yàn)橐?guī)劃結(jié)果8。

表4 目標(biāo)衛(wèi)星序列規(guī)劃結(jié)果摘選Table 4 Target satellites sequence planning results

圖4 遺傳算法進(jìn)化歷程Fig.4 Evolution process of genetic algorithms

內(nèi)層采用序列二次規(guī)劃算法求解,得到相鄰目標(biāo)衛(wèi)星之間的三脈沖變軌策略如表5所示。以第2顆目標(biāo)衛(wèi)星為例,變軌接近過程中的面內(nèi)相對運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5所示。

表5 變軌策略規(guī)劃結(jié)果Table 5 Planning results of orbit change strategy

圖5 與目標(biāo)衛(wèi)星2的相對運(yùn)動(dòng)軌跡(服務(wù)衛(wèi)星軌道面內(nèi))Fig.5 Relative trajectory with the 2nd target satellite (in plane of service satellite orbit)

服務(wù)衛(wèi)星與各顆目標(biāo)衛(wèi)星交會(huì)過程中的最近相對距離和太陽光照角如表6所示,均滿足約束條件。其中,與目標(biāo)衛(wèi)星2交會(huì)過程相對距離及太陽光照角變化如圖6所示。

表6 觀測窗口規(guī)劃結(jié)果Table 6 Planning results of observation window

圖6 與目標(biāo)衛(wèi)星2交會(huì)過程相對距離及太陽光照角變化Fig.6 Relative distance and sunlight angle during rendezvous with the 2nd target satellite

根據(jù)仿真結(jié)果可知:本文采用的混合編碼遺傳算法能快速收斂,在滿足觀測距離和太陽光照角的約束下求解出了最小速度增量工況下的交會(huì)次序、交會(huì)時(shí)間、每次變軌機(jī)動(dòng)的速度增量,具有針對性強(qiáng)、計(jì)算效率高和工程實(shí)用性好的優(yōu)點(diǎn)。在實(shí)際工程中,地面通過該算法求解交會(huì)序列、交會(huì)時(shí)間和變軌速度脈沖,然后將計(jì)算結(jié)果上注到服務(wù)衛(wèi)星中,即可在燃料消耗最小的情況下實(shí)現(xiàn)對異面多星的序列巡察。

4 結(jié)束語

本文針對GEO異面多星的序列交會(huì)規(guī)劃需求,建立了內(nèi)外雙層規(guī)劃模型。外層采用混合編碼遺傳算法求解交會(huì)序列和交會(huì)時(shí)間。在確定了各顆目標(biāo)衛(wèi)星的交會(huì)時(shí)間后,內(nèi)層采用序列二次規(guī)劃算法求解相鄰2顆目標(biāo)衛(wèi)星之間的三脈沖變軌策略,在滿足總時(shí)間約束條件下使總的軌道機(jī)動(dòng)速度增量最小,實(shí)現(xiàn)對序列目標(biāo)衛(wèi)星的依次順光巡察。