基于粗糙集理論的混凝土拱橋加固或拆除方案綜合判定

張勝林,周水興,耿川雁,葉 航,劉 彬

(1. 貴州省公路工程集團(tuán)有限公司,貴州 貴陽 550003;2. 重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院, 重慶 400074;3. 貴州橋梁建設(shè)集團(tuán)有限責(zé)任公司,貴州 貴陽 550015)

20世紀(jì)60年代至90年代,國(guó)內(nèi)建造了數(shù)量眾多的雙曲拱橋和桁式組合拱橋,但在多年使用中出現(xiàn)病害嚴(yán)重、技術(shù)狀況差、技術(shù)等級(jí)偏低等系列問題,不少拱橋進(jìn)行了加固改造或拆除重建。當(dāng)前,針對(duì)混凝土拱橋加固或拆除決策主要基于橋梁技術(shù)狀況和專家評(píng)定,決策因素相對(duì)單一。層次分析法和模糊理論在資源分配、生產(chǎn)決策、信息系統(tǒng)、環(huán)境評(píng)價(jià)等方面得到廣泛應(yīng)用,但存在指標(biāo)權(quán)重求解過程繁瑣,無法對(duì)指標(biāo)體系中的各指標(biāo)進(jìn)行定權(quán)和變權(quán)的問題[1-3]。粗糙集理論在信息獲取、人工智能、安全評(píng)價(jià)、決策分析等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛,是解決模糊關(guān)系和不確定性問題的數(shù)學(xué)工具,將粗糙集理論應(yīng)用于混凝土拱橋加固或拆除決策中[4-6],具有以下優(yōu)點(diǎn):充分利用專家理論和經(jīng)驗(yàn)知識(shí),指導(dǎo)決策實(shí)踐;有效處理信息以及信息間的不確定性,提高決策水平;有效改善數(shù)據(jù)間的冗余關(guān)系、依賴關(guān)系,簡(jiǎn)化指標(biāo)體系;合理確定指標(biāo)權(quán)重,克服主觀性問題;提高對(duì)決策問題的處理能力和計(jì)算方法。

筆者基于粗糙集理論,建立混凝土拱橋加固或拆除方案綜合判定模型,將其應(yīng)用于貴州省花魚洞大橋的加固或拆除方案評(píng)定中,驗(yàn)證了綜合判定模型的可行性。

1 綜合評(píng)判指標(biāo)體系建立

混凝土拱橋加固或拆除判定,涉及到技術(shù)狀況、社會(huì)發(fā)展、國(guó)家方針、政府行為、社會(huì)資源、壽命成本等諸多方面,遵循“科學(xué)性、綜合性、穩(wěn)定性、可比性、可行性、系統(tǒng)性”的評(píng)判原則,將混凝土拱橋加固或拆除綜合評(píng)判指標(biāo)歸結(jié)“技術(shù)類”、“社會(huì)類”、“經(jīng)濟(jì)類”3類中間層指標(biāo),22個(gè)底層評(píng)判指標(biāo),如圖1。

圖1 混凝土拱橋加固/拆除評(píng)判指標(biāo)體系Fig. 1 Reinforcement / demolition evaluation index system of concrete arch bridge

技術(shù)類指標(biāo)即C1～C17,其中C1～C6(下部結(jié)構(gòu))為:基礎(chǔ)位移、沖刷程度、材料老化、墩臺(tái)裂縫、墩臺(tái)位移、墩臺(tái)承載力;C7～C14(上部結(jié)構(gòu))為:拱圈線形、主拱圈承載力狀況、主拱圈裂縫情況、材料老化、橫系梁(橫隔板)開裂、橋道梁(腹孔)承載力、橋道梁裂縫、其它構(gòu)件缺損程度;C15～C17為(橋面系):橋面鋪裝損傷程度、伸縮縫與支座損傷程度、欄桿與照明受損狀況。

社會(huì)類指標(biāo)即C18～C21:橋面通行能力、橋下通航能力、社會(huì)影響、碳排放量。

經(jīng)濟(jì)類指標(biāo)即C22:加固與重建壽命周期內(nèi)費(fèi)用效益模型。

圖1中因技術(shù)類指標(biāo)、社會(huì)類指標(biāo)、經(jīng)濟(jì)類指標(biāo)是從結(jié)構(gòu)自身狀態(tài)、結(jié)構(gòu)對(duì)當(dāng)?shù)厣鐣?huì)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響、結(jié)構(gòu)加固和重建費(fèi)用效益比選3個(gè)不同方面來綜合反映拱橋的加固或拆除,三者相輔相成,但技術(shù)類指標(biāo)對(duì)社會(huì)類指標(biāo)和經(jīng)濟(jì)類指標(biāo)均有導(dǎo)向性作用,故確定中間層指標(biāo)的權(quán)重為:

技術(shù)類∶社會(huì)類∶經(jīng)濟(jì)類=2∶1∶1。

2 決策方案的綜合判定

2.1 基于粗糙集理論的綜合評(píng)判方法

采用粗糙集理論進(jìn)行混凝土拱橋加固或拆除綜合評(píng)判的主要步驟如下:

1)從“技術(shù)、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)”3個(gè)維度,構(gòu)建混凝土拱橋加固或拆除綜合評(píng)判指標(biāo)體系。

2)建立評(píng)判指標(biāo)表,確定混凝土拱橋加固或拆除綜合評(píng)判各底層指標(biāo)評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。

3)結(jié)合專家評(píng)價(jià)法,應(yīng)用粗糙集理論中基于差別矩陣的屬性約簡(jiǎn)算法對(duì)指標(biāo)體系進(jìn)行屬性約簡(jiǎn),根據(jù)知識(shí)的依賴性計(jì)算約簡(jiǎn)后的指標(biāo)重要度并賦權(quán),對(duì)約簡(jiǎn)后的指標(biāo)體系進(jìn)行綜合判定計(jì)算,據(jù)此得出混凝土拱橋是加固或拆除重建的判定結(jié)果。

2.2 建立評(píng)判指標(biāo)表

針對(duì)拱橋的加固與拆除決策進(jìn)行研究,橋梁結(jié)構(gòu)狀態(tài)相對(duì)較差,依據(jù)拱橋病害程度,基于粗糙集理論的離散處理方法,使用“1、2、3”分別代表指標(biāo)等級(jí),對(duì)應(yīng)于“良(加固)、中(部分拆除改造)、差(拆除重建)”3個(gè)等級(jí),得到直接明了的判定結(jié)果。專家僅需按照3個(gè)等級(jí)對(duì)拱橋的各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行打分評(píng)判,形成表1的混凝土拱橋加固或拆除綜合判定評(píng)判指標(biāo)。

表1 混凝土拱橋加固或拆除綜合判定評(píng)判指標(biāo)

表1中,U={x1,x2,x3,…,xm-1,xm}為論域,表示有m位專家參與了評(píng)判;cij表示第i位專家對(duì)第j個(gè)條件屬性的判定值,cij={1,2,3}={良,中,差};由于專家對(duì)單項(xiàng)指標(biāo)的評(píng)判不能代表其對(duì)整體方案的評(píng)判結(jié)果,因此還需給出第i位專家基于各項(xiàng)條件屬性判定結(jié)果給出的指標(biāo)體系總體決策結(jié)果di,di={1,2,3}={良,中,差}。

2.3 建立判定模型

2.3.1 基于差別矩陣的屬性約簡(jiǎn)算法

由于指標(biāo)體系涵蓋的指標(biāo)較多,不同建設(shè)方案所對(duì)應(yīng)的代表性指標(biāo)也不相同,然而代表性指標(biāo)又影響判定結(jié)果,因此需要根據(jù)表1中的方案判定指標(biāo),利用粗糙集理論中的差別矩陣約簡(jiǎn)算法進(jìn)行約簡(jiǎn)[7-11],具體步驟如下:

1)統(tǒng)計(jì)表1中判定結(jié)果不同項(xiàng)所組成的集合lij(i,j=1,2,…,m),建立基礎(chǔ)差別矩陣L;從中找出最簡(jiǎn)集合項(xiàng),即為核指標(biāo)B。

2)利用核指標(biāo)對(duì)基礎(chǔ)差別矩陣進(jìn)行約簡(jiǎn),求解新的差別矩陣。若B∩lij≠?,需將lij置為?,即去除基礎(chǔ)差別矩陣中含有核指標(biāo)的集合。

3)將新差別矩陣中出現(xiàn)的高頻指標(biāo)與核指標(biāo)共同組成約簡(jiǎn)后的最終指標(biāo)體系[5]。

2.3.2 判定指標(biāo)權(quán)重的分析及確定

基于屬性依賴度,計(jì)算各指標(biāo)的重要度Pi:

Pi=γC(D)-γC-{Ci}(D)

(1)

式中:γC(D)為決策屬性D對(duì)條件屬性C的依賴度;γC-{Ci}(D)為決策屬性D對(duì)去除Ci屬性后的條件屬性C-{Ci}的依賴度。

2.3.3 建立綜合判定體系

開展混凝土拱橋加固或拆除綜合判定時(shí),將評(píng)價(jià)集E分為3個(gè)等級(jí):

E={e1,e2,e3}={良,中,差}

(2)

對(duì)應(yīng)于評(píng)價(jià)等級(jí),需將最終約簡(jiǎn)指標(biāo)體系中的指標(biāo)進(jìn)行分類,以構(gòu)成模糊判定矩陣V:

(3)

其中,vni=K/m表示在約簡(jiǎn)指標(biāo)體系中第n個(gè)指標(biāo)評(píng)分為ei(良、中、差)的人數(shù)K占專家總?cè)藬?shù)m之比。

將最終約簡(jiǎn)指標(biāo)體系中的指標(biāo)權(quán)重與判定模糊矩陣相乘,得到評(píng)價(jià)向量Y,如式(4):

(4)

評(píng)價(jià)向量Y中包含y1、y2、y3共3個(gè)元素,其含義分別代表判定結(jié)果為“良”、“中”、“差”的概率。按照最大隸屬度原則,三者中的最大者即為最終判定結(jié)果。

3 工程實(shí)例

3.1 工程概況

花魚洞大橋位于貴州省國(guó)道G320清鎮(zhèn)境內(nèi),橋梁全長(zhǎng)290 m,主跨為150 m預(yù)應(yīng)力混凝土桁式組合拱橋,1993年建成通車。運(yùn)營(yíng)13年后,因嚴(yán)重病害進(jìn)行維修加固,加固后運(yùn)營(yíng)至2016年拆除重建。

3.2 加固或拆除判定指標(biāo)體系建立

從行業(yè)主管部門、設(shè)計(jì)、施工、管養(yǎng)、科研等單位,邀請(qǐng)10位專家對(duì)花魚洞大橋進(jìn)行指標(biāo)等級(jí)判定,得到表2的評(píng)判指標(biāo)結(jié)果。

表2 花魚洞大橋加固或拆除評(píng)判指標(biāo)

基于差別矩陣的屬性約簡(jiǎn)算法,將表2中任意2位專家判定結(jié)果不同的指標(biāo)項(xiàng)進(jìn)行集合,作為基礎(chǔ)差別矩陣L的一個(gè)元素,填入基礎(chǔ)差別矩陣的對(duì)應(yīng)位置。以專家x1和x2的評(píng)價(jià)結(jié)果為例,C1列中2位專家的判定結(jié)果均為1,故該項(xiàng)不予計(jì)入,C5列中的判定結(jié)果分別為1和2,需要計(jì)入。同理可得到其他列的判定結(jié)果,最終得到C5、C6、C7、C8、C9、C10、C13、C14、C16、C18、C19、C20、C21、C22等14個(gè)指標(biāo)項(xiàng),所構(gòu)成的集合l21填入表3中x2行/x1列。類似地可得到其他元素。由于專家自身的意見不會(huì)相悖,因此差別矩陣為下三角矩陣。限于篇幅,文中僅給出了部分元素。

表3 加固或拆除基礎(chǔ)差別矩陣L

由表3可以看出{C10,C13}和{C14,C20}構(gòu)成了最簡(jiǎn)集合項(xiàng),根據(jù)粗糙集理論中核的定義,該組合項(xiàng)即為核指標(biāo)B。得到核指標(biāo)后,在基礎(chǔ)差別矩陣中去除包含有核指標(biāo)的元素后,構(gòu)成了新的差別矩陣,同時(shí)將新差別矩陣中的高頻指標(biāo)C3、C7、C8、C9、C16、C18、C19、C22,再與核指標(biāo)C10、C13、C14、C20共同組成最終的約簡(jiǎn)指標(biāo)體系C′:

C′={C3,C7,C8,C9,C10,C13,C14,C16,C18,

C19,C20,C22}

(5)

3.3 指標(biāo)體系權(quán)重計(jì)算

筆者在技術(shù)類和社會(huì)類指標(biāo)中采用約簡(jiǎn)算法,經(jīng)濟(jì)類指標(biāo)中采用公式?jīng)Q策法[12],因此,按照中間層分類進(jìn)行分項(xiàng)決策。

以技術(shù)類指標(biāo)為例,該中間層中C1、C2、C4、C5、C6、C11、C12、C15、C17項(xiàng)被約簡(jiǎn)掉,剩余指標(biāo)項(xiàng)與決策屬性共同組成表4的決策表。

表4 技術(shù)層指標(biāo)決策

計(jì)算決策屬性集(下部結(jié)構(gòu)D1x,上部結(jié)構(gòu)D1s,橋面系D1m)的判定結(jié)果對(duì)條件屬性集CH判定結(jié)果的依賴度γCH(D1x)、γCH(D1s)、γCH(D1m)的步驟如下:

I(D1x)={(x1,x2,x5,x7,x8,x10),(x3,x4,x6,x9)}

I(CHx)={(x1,x2,x5,x7,x8,x10),(x3,x4,x6,x9)}

I(D1s)={(x1,x4,x7,x10),(x2,x3,x5,x6,x8,x9)}

I(CHs)={(x1,x4),(x2,x9),x3,x5,x6,x7,x8,x10}

I(D1m)={(x1,x4,x6,x8),(x2,x3,x5,x7,x9,x10)}

I(CHm)={(x1,x4,x6,x8),(x2,x3,x5,x7,x9,x10)}

PCHx(D1x)={x1,x2,x3,x4,x5,x6x7,x8,x9,x10}

PCHs(D1s)={x3,x5,x6,x7,x8,x10}

PCHm(D1m)={x1,x2,x3,x4,x5,x6x7,x8,x9,x10}

式中:I(CHx)、I(CHs)、I(CHm)分別表示條件屬性集CHx(下部結(jié)構(gòu))、CHs(上部結(jié)構(gòu))、CHm(橋面系)按判定結(jié)果得到的分類集合;I(D1x)、I(D1s)、I(D1m)分別表示決策屬性D1x、D1s、D1m按照判定結(jié)果得到的分類集合;PCHx(D1x)、PCHs(D1s)、PCHm(D1m)分別對(duì)應(yīng)屬性集CHx、CHs、CHm的分類結(jié)果按決策屬性集D1x、D1s、D1m得到的分類集合。

同理,可得到?jīng)Q策屬性D1x、D1s、D1m的判定結(jié)果對(duì)去除Ci指標(biāo)后的指標(biāo)體系CHx-{Ci}、CHs-{Ci}、CHm-{Ci}的依賴度CHx-{Ci}、CHs-{Ci}、CHm-{Ci},(i=3,7,8,9,10,13,14,16),結(jié)果如表5。

表5 技術(shù)層各指標(biāo)的γCHj-{Ci}(D1j)(j=x,s,m)

利用表5就可計(jì)算技術(shù)準(zhǔn)則層各指標(biāo)重要度,以C3指標(biāo)重要度αCHD1(C3)為例:

αCHD1(C3)=γCHx(D1x)-γCHx-{C3}(D1x)=1-0=1

類似地可計(jì)算表4中其余項(xiàng)的指標(biāo)重要度。

參照技術(shù)準(zhǔn)則層,可得到社會(huì)層各項(xiàng)指標(biāo)的重要度αCHD2(Ci)(i=18,19,20)。

以分項(xiàng)指標(biāo)約簡(jiǎn)后的技術(shù)類各指標(biāo)數(shù)量占技術(shù)類總指標(biāo)數(shù)之比為系數(shù)ε1,同理社會(huì)類系數(shù)ε2,按式(6)、式(7)將重要度非零的指標(biāo)權(quán)重進(jìn)行歸一化處理:

PCai=λaεaαCHDa(Ci)

(6)

式中:Ci為各層重要度非零指標(biāo),i=3,14,16,18,19,20;λa為中間層常權(quán)系數(shù),a=1時(shí)為技術(shù)類指標(biāo)常權(quán)系數(shù)λ1=2,a=2時(shí)為社會(huì)類指標(biāo)常權(quán)系數(shù)λ2=1;εa為各層系數(shù)(a=1,2)。

歸一化各指標(biāo)權(quán)重為:

(7)

式中:wi為歸一化后各指標(biāo)權(quán)重,a=1,2,i=3,14,16,18,19,20。

由此得到表6所示的各指標(biāo)權(quán)重。

表6 加固或拆除指標(biāo)體系權(quán)重

根據(jù)表2分別計(jì)算表6中各指標(biāo)項(xiàng)判定結(jié)果為“1”、“2”、“3”等級(jí)的人數(shù)與專家總?cè)藬?shù)的比值vne,構(gòu)成模糊判定矩陣V:

結(jié)合表6,根據(jù)式(4),判定結(jié)果Y為:

Y1=(0 0.125 13 0.191 46)

Y2=(0.009 61 0.108 92 0.137 75)

式中:Y1為技術(shù)層判定結(jié)果;Y2為社會(huì)層判定結(jié)果。

根據(jù)最大隸屬度原則,技術(shù)類指標(biāo)與社會(huì)類指標(biāo)判定等級(jí)均為y3,即判定結(jié)果為差,花魚洞大橋從技術(shù)類角度和社會(huì)類角度出發(fā)建議拆除重建。

經(jīng)濟(jì)類指標(biāo)采用公式?jīng)Q策法。現(xiàn)有3個(gè)方案,方案1為全橋加固方案,方案2為結(jié)構(gòu)部分拆除加固方案,方案3為拆除重建方案。按2019年價(jià)格估算,數(shù)據(jù)如表7,已知基準(zhǔn)收益率i0為10%,凈現(xiàn)值N≥0,內(nèi)部收益率R≥i0。

表7 三種方案費(fèi)用、效益估算

如果將上述3個(gè)方案考慮成具有等額年效益,運(yùn)用費(fèi)用效益模型進(jìn)行方案經(jīng)濟(jì)比選,ΔQ12為方案1與方案2的等額年效益差:

ΔQ12={743.2[P/A,10%,50]/[7 496.1+247(P/A,10%,50)+630.3+0.4(P/G,10%,50)]}-{540.1[P/A,10%,25]/[1 653.4+641(P/A,10%,25)+0.7(P/G,10%,25)]}<0

方案1較方案2的費(fèi)用效益更優(yōu),故將方案3與方案1進(jìn)行比選,ΔQ13為方案1與方案3的等額年效益差:

ΔQ13={1 021.4[P/A,10%,100]/[8 518.6+50(P/A,10%,100)+865.2+0.1(P/G,10%,100)]}-{540.1[P/A,10%,25]/[1 653.4+641(P/A,10%,25)+0.7(P/G,10%,25)]}>0

式中:P/A為年金現(xiàn)值系數(shù);P/G為等差年金換算系數(shù)。

方案3較方案1的費(fèi)用效益更優(yōu),即從經(jīng)濟(jì)類角度建議花魚洞大橋拆除重建。

綜合技術(shù)類、社會(huì)類、經(jīng)濟(jì)類3個(gè)評(píng)判結(jié)果,根據(jù)最大隸屬度原則,建議花魚洞大橋拆除重建。

4 結(jié) 語

筆者建立了混凝土拱橋加固或拆除方案綜合判定模型,從技術(shù)、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)3個(gè)方面給出了22個(gè)評(píng)判指標(biāo)值,建立了評(píng)判指標(biāo)體系,運(yùn)用差別矩陣約簡(jiǎn)算法,得到了評(píng)價(jià)向量,將其應(yīng)用于花魚洞大橋加固或拆除方案綜合判定中,最終判定為拆除重建,為建設(shè)單位科學(xué)決策提供了依據(jù)。

此外,建立的判定方法不僅適用于混凝土拱橋,還適用于早期的石拱橋或其他橋型,對(duì)此僅需根據(jù)橋型特點(diǎn)修改評(píng)判指標(biāo)體系中與之相關(guān)的指標(biāo),然后按文中給出的評(píng)判模型、指標(biāo)體系權(quán)重計(jì)算方法進(jìn)行綜合判定。