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    挖掘“軸對(duì)稱”本質(zhì),建構(gòu)知識(shí)體系

    2023-11-11 01:37:40陳明子
    初中生世界·八年級(jí) 2023年10期
    關(guān)鍵詞:深入研究對(duì)稱點(diǎn)平分

    陳明子

    在學(xué)習(xí)“軸對(duì)稱圖形”的過(guò)程中,有一道題目的解法引起了我的興趣。

    原題呈現(xiàn) 如圖1,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ABC+∠ADC=180°。求證:BC=DC。

    這個(gè)題目是在學(xué)習(xí)了“角平分線的性質(zhì)”之后的練習(xí)中出現(xiàn)的,我想到利用“角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等”這一性質(zhì)添加輔助線,作CE⊥AB,CF⊥AD,得到CE=CF,進(jìn)而可證△CEB[≌]△CFD,所以BC=DC。

    但是,在老師評(píng)講這道題目的時(shí)候,我發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)都和我的方法相同。因此,老師進(jìn)一步啟發(fā)我們,讓我們?cè)俅斡^察角的特征。我忽然想起來(lái)角也是軸對(duì)稱圖形,角的兩條邊關(guān)于角平分線對(duì)稱。我們過(guò)于關(guān)注“角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等”,反而忽視了角的一般性,從這個(gè)角度想,我的思路就開(kāi)闊多了。

    證法二:如圖3,在AB上取AG=AD,可證△ADC[≌]△AGC,得到CD=CG,再由角的關(guān)系得到CG=CB,所以BC=DC。

    有了上述題目的啟發(fā),我在看幾何圖形時(shí),就不會(huì)局限于定理的應(yīng)用,而是會(huì)看到圖形的本質(zhì)。我們不妨一起來(lái)試一試。

    變式 在△ABC中,∠C=2∠B。

    (1)如圖4,若AD平分∠BAC,求證:AB=AC+DC。

    (2)如圖5,若AD是底邊上的高,求證:BC=AC+2DC。

    (3)如圖6,若BC=2AC,求證:∠BAC=90°。

    第(1)問(wèn)中出現(xiàn)角平分線,如圖7,我們可以利用軸對(duì)稱性在AB上截取AE=AC,并連接DE(即作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn))或延長(zhǎng)AC到點(diǎn)F,使得AF=AB,并連接DF(即作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn))。

    第(2)問(wèn)中出現(xiàn)了底邊上的高,如圖8,我們可以利用垂直平分線的性質(zhì),在BC上截取DE=CD,并連接AE(即作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn))或延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使得DF=BD,并連接AF(即作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn))。

    第(3)問(wèn)中出現(xiàn)了BC=2AC,要證明∠BAC=90°,即要證明∠B=30°,因此要采取的方法是利用等腰三角形的軸對(duì)稱性進(jìn)行等角的轉(zhuǎn)換。如圖9,作射線AD交BC于點(diǎn)D,使得∠BAD=∠B。

    通過(guò)對(duì)一道題的深入研究,我們才能透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì),從而解鎖這一類題。在以后的學(xué)習(xí)中,我還會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的軸對(duì)稱圖形,想到這兒,我越發(fā)興奮,我要把我的“軸對(duì)稱”體系不斷地?cái)U(kuò)大!

    教師點(diǎn)評(píng):

    軸對(duì)稱變換是非常重要的一種幾何變換,正如文中所提到的,很多同學(xué)往往只關(guān)注定理的應(yīng)用,而忽略了“軸對(duì)稱”的本質(zhì)。小作者借助一個(gè)題目,抓住“軸對(duì)稱”的本質(zhì)進(jìn)行深入研究,觸類旁通,收獲一類題,并體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣,感悟數(shù)學(xué)之美!

    (指導(dǎo)教師:張萬(wàn)潔)

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