地鐵變形監(jiān)測小波去噪與灰色-時序模型研究

苗長偉

（1.中核勘察設計研究有限公司，河南 鄭州 450000）

城市地鐵隧道的開挖，破壞了原有應力平衡，當隧道上方荷載過大時會引發(fā)地表變形，嚴重時會導致地面坍塌，給國家和社會帶來巨大損失。在地鐵的建設和運營過程中，對地表的監(jiān)測是非常重要的一道工序。在地鐵隧道施工前，沿地鐵方向布設縱橫觀測線。進行多期觀測，通過測量數據求得地表變形值，建立多種預測模型，對比分析選擇最優(yōu)模型，進行地表變形實時預測，實現地表臨界變形預警。國內外許多學者對此進行了大量的研究和分析，其中潘國榮提出了基于AR 而且運用至CAR 對時間序列統(tǒng)一建模的新思路，最終證實了時間序列預測模型預測精度較高，運用范圍比較廣[1-7]。

本文以河南某市市民文化服務區(qū)地鐵8號線縱向線上Q16號觀測點為例，采用小波對原始數據進行降噪處理。隨后建立灰色、時序以及兩者的結合模型，實驗成果顯示組合模型預測精度最高，這對揭示地鐵隧道變形機理，實現地鐵的安全建設和運營具有重大意義。

1 實測數據的小波去噪處理

1.1 小波去噪原理

連續(xù)函數信號f(t)的小波變換公式如下[8-9]：

1.2 小波去噪評價標準

本文以均方根誤差(RMSE)以及信噪比(SNR)為評價模型指標，其表達式如下：

1.3 小波閾值去噪處理

設一含包含誤差的一維信號模型公式：

式中，f(t)為低頻真實信號；e(t)為高頻噪聲；S(t)為含有噪聲的信號；t為等間隔時間；σ為噪聲水平。我們的目標是將真實信息和誤差信息區(qū)分開，從而留取真實信息[10-12]。

本次測量工作高程基準網布設了8個控制點，包括3個已知點。對地鐵隧道監(jiān)測工作使用精度0.6 mm的Trimble DINI03 電子自動水準儀，按照國家規(guī)定的二等水準測量要求進行高程測量工作[13-14]，采用往返測，若兩次測量數據均符合精度要求，則取其平均值作為觀測數據。2018年7月9日開始觀測，2018年9月26日結束觀測工作，期間每天觀測一次，獲取80期數據。以地鐵8號線縱向線上Q16號觀測點為例。建立了多種小波模型進行去噪實驗，發(fā)現db5小波1層分解降噪最佳。分別采用啟發(fā)式閾值（heursure）、固定閾值（sqtwolog）、無偏似然估計閾值（rigrsure）、極大極小閾值（minimaxi）結合db5 小波1 層分解進行降噪處理，實驗結果表明rigrsure均方根誤差RMSE最小，數值為0.009，信噪比（SNR）最高，值為76.962。現用db5小波1層分解對實測數據進行小波降噪處理，分解圖如圖1所示，觀測數據去噪前后對比圖見圖2。

圖1 去噪效果圖

圖2 觀測點Q16沉降曲線

由圖2 可知，通過小波去噪處理能夠減弱原始數據中的噪聲，使沉降數據變得更加平滑，能更好地反映變形情況。

2 灰色-時間序列分析理論

2.1 灰色模型預測

設X(0)為GM（1，1）建模序列：

令Z(1)為X(1)的緊鄰均值(MEAN)生成序列：

GM（1，1）的灰微分方程為：

其中

稱

為灰色微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b的白化方程。

取x(1)(0)=x(0)(1)，求得

2.2 模型檢驗

殘差序列e的表達式為：

灰色模型可以利用較少的數值進行較好的預測，對降噪后的實測數值進行建模實驗發(fā)現20維的建模數據預計效果較好。我們采用51～70 期作為建模數據，對71～80 期數據進行預測。根據地鐵8 號線縱向線上Q16 號觀測點的觀測數值，形成數據矩陣，并利用最小二乘原理估計參數，求出GM（1，1）模型參數為，根據式（14）最終求得GM（1，1）模型為7.35e-0.02k。最后求得后驗方差比值C=0.33，小誤差概率P=1，根據表1 中的檢驗標準，模型通過檢驗且精度為優(yōu)。預測71～80期數據如表2所示。

表1 后驗差檢驗判別參照表

表2 實測數據與預測結果

2.3 時間序列理論

時間序列能夠通過自身運動特點對未來發(fā)展趨勢做出預測，時間序列模型有自回歸（AR）模型、滑動平均（MA）模型以及自回歸滑動平均（ARMA）模型。

平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時間序列{xt}，xt的取值與前n步中xt-1,xt-2,…,xt-n的取值有關，同時與前m步的噪聲at-1,at-2,…,at-n也有關，一般的自回歸滑動平均模型（ARMA）表達式為：

當θi=0 時：

稱為n階自回歸模型，記為AR(n)。

當?i=0 時，

稱為n階滑動平均模型，記為MA(n)。

式（15）中，n為自回歸階數，m為滑動平均階數，θi、?i分別為滑動平均參數、自回歸參數，εt為獨立誤差項。

對地鐵隧道原始數據進行平穩(wěn)檢測，發(fā)現沉降曲線不滿足要求，則進行二次差分，差分處理后數據滿足要求，在此過程實現了序列零均值化處理。本文采用AIC 標準來判斷模型階數，通過計算最終求得n=0，m=4 時，AIC 取得最小值，則預測模型為MA（4）。對模型殘差進行卡方檢驗，得出該殘差為白噪聲。使用該模型對71～80 期數據進行預測，預測結果如表2所示。

3 灰色-時序模型的建立

本文將灰色模型以及時間序列模型有效的結合在一起，運用灰色模型提取時間序列的趨勢項，再用時序模型對灰色模型擬合后的殘差序列進行建模，取兩者之和作為模型的形式，組合模型能夠兼顧數據的波動性和趨勢性。組合方式表示為：

式中，Yt為降噪的觀測數據；xt為灰色模型提取的趨勢項；dt為時間序列模型擬合的隨機項。

為了精確地分析不同模型在地鐵隧道地表變形中的預測效果，本文采用小波去噪后時間序列模型、小波去噪后組合模型以及小波去噪前組合模型分別對71～80期數據進行預計處理。預測結果如表2所示。

由表2 可知4 種預計結果中小波去噪組合模型預計結果精度最高，其最小相對誤差為0.08%，最大相對誤差為1.38%。

由表1、2 可得，小波去噪后組合模型預計值比小波去噪前時間序列預計值以及灰色模型預計值更接近實測值，說明組合模型可以兼顧變形的趨勢性和波動性，可以表現出變形體的變形趨勢。同時小波降噪后組合模型預計精度高于小波去噪前組合模型預計精度，說明經過小波粗差探測和去噪處理，能夠提高模型的預計精度。

4 結語

通過對小波去噪后時間序列模型、小波去噪后灰色模型以及小波去噪前后組合模型的研究，結論如下：

1）對比4 種閾值方法對實測數據進行降噪處理，最后發(fā)現無偏似然估計閾值降噪效果最好。小波去噪后組合模型預測精度高于去噪前組合模型預測精度，說明小波去噪能夠有效提高模型預測精度。

2）灰色模型可以處理非平穩(wěn)時間序列，但是模型是單調變化趨勢，不能同時兼顧數據中的隨機性以及趨勢性。時間序列模型一般處理平穩(wěn)零均值數列，但是現場觀測數據大多都是不平穩(wěn)的，因此其應用范圍會受到限制。兩者結合能夠同時兼顧變形的趨勢性和波動性。對比分析多種預測模型得知，小波處理后灰色-時序組合模型預測精度最高。