考點(diǎn)歸類，“圓”來(lái)如此

文／張小霞

綜觀2023 年各地中考試卷中對(duì)圓這部分內(nèi)容的考查，我們不難察覺(jué)，試題的命制，一方面強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，重視實(shí)用，另一方面將圓中的知識(shí)點(diǎn)與三角形、四邊形、函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合，考查解決綜合問(wèn)題的能力。下面，我們將結(jié)合各地的中考題，對(duì)圓的考點(diǎn)進(jìn)行歸類和分析，一起尋求解決問(wèn)題的方法和路徑。

一、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系

例1（2023·四川宜賓）如圖1，已知點(diǎn)A、B、C在⊙O上，C為弧AB的中點(diǎn)。若∠BAC=35°，則∠AOB等于（ ）。

圖1

A.140° B.120° C.110° D.70°

【解析】本題考點(diǎn)：在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等。由C為弧AB的中點(diǎn)，則連接OC，如圖2，得到∠AOC=∠BOC。再由圓周角定理∠BOC=2∠BAC=70°，所以∠AOB=140°。

圖2

【點(diǎn)評(píng)】靈活利用圓心角、圓周角、弧、弦之間的關(guān)系，進(jìn)行角度的等量轉(zhuǎn)化，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，必要時(shí)也會(huì)用到三角形的內(nèi)角和定理。

二、兩大定理及其推論的綜合運(yùn)用

兩大定理：垂徑定理，主要用于解決圓中有關(guān)線段長(zhǎng)度的問(wèn)題；圓周角定理，主要用于解決圓中有關(guān)弧、圓心角、圓周角的度數(shù)的問(wèn)題。推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。在圓中求解與角度有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，充分利用圓周角定理及其推論，進(jìn)行角度之間的轉(zhuǎn)化，問(wèn)題一般就會(huì)迎刃而解。

例2（2023·湖南長(zhǎng)沙）如圖3，點(diǎn)A、B、C在半徑為2的⊙O上，∠ACB=60°，OD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)D，連接OA，則OE的長(zhǎng)度為_(kāi)____。

圖3

【解析】本題綜合考查了圓周角定理、垂徑定理、圓心角與弧的關(guān)系。如圖4，連接OB，由圓周角定理得∠AOB=2∠ACB=120°，再由垂徑定理得故，則∠OAE=30°。利用直角三角形中“30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”即可求得OE=1。

圖4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與直角三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，將圓中的兩大定理巧妙結(jié)合。大家在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，只有熟練掌握這兩大定理及其推論，才能便捷地解決這類問(wèn)題。

三、與圓有關(guān)的位置關(guān)系

這一考點(diǎn)涉及的知識(shí)點(diǎn)是：點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系。首先，我們要能準(zhǔn)確地判斷出點(diǎn)（直線）與圓的位置關(guān)系，常用的方法是根據(jù)點(diǎn)（直線）到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系進(jìn)行判斷。其次，相切是直線與圓的位置關(guān)系中最特殊的一種，也是中考中重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)，切線的判定與性質(zhì)的考查多次出現(xiàn)在各地的中考卷中。

例3（2023·山東東營(yíng)）如圖5，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為E。

圖5

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若∠C=30°，，求的長(zhǎng)。

【解析】（1）如圖6，連接OD，則OD=OB，所以∠ODB=∠B。由AB=AC，所以∠C=∠B。所以∠ODB=∠C。所以O(shè)D∥AC。所以∠ODE=∠CED=90°，即可證明DE是⊙O的切線。（2）如圖6，連接AD。由AB是⊙O的直徑，得∠ADB=90°，則AD⊥BC。因?yàn)锳B=AC，，所 以根據(jù)勾股定理可求出OD=AD=2。因?yàn)椤螩=30°，易求出∠BOD=120°。所以的長(zhǎng)等于

圖6

【點(diǎn)評(píng)】證切線的常規(guī)方法是：1.連半徑，證垂直（如本題，當(dāng)圓與直線有明確公共點(diǎn)時(shí)）；2.作垂直，證半徑（當(dāng)圓與直線無(wú)明確公共點(diǎn)時(shí)）。當(dāng)題目中已知切線時(shí)，經(jīng)常連半徑，得垂直，再利用直角三角形的性質(zhì)，以及后續(xù)要學(xué)的相似三角形的性質(zhì)解決綜合性問(wèn)題。本題主要用到等腰三角形的“三線合一”。

四、與圓有關(guān)的綜合類問(wèn)題

圓是初中幾何中比較重要的內(nèi)容之一。與圓有關(guān)的綜合題，匯集了初中幾何的各種圖形、概念和性質(zhì)，考查的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，這就需要我們靈活運(yùn)用每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線，尋找解題的突破口，使“天塹”變“通途”。

例4（2023·黑龍江龍東地區(qū)）如圖7，在Rt△ACB中，∠BAC=30°，CB=2，點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)。把Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得Rt△AFD，點(diǎn)C、點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D、點(diǎn)F，連接CF、EF、CE。在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，△CEF面積的最大值是_____。

圖7

【解析】線段CE為定值，當(dāng)點(diǎn)F到CE距離最大時(shí)，△CEF的面積最大，而點(diǎn)F在以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓上，所以AF=AB=4。過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖8。由題意可求得，點(diǎn)F到CE的距離最大值為4+，所以

圖8

【點(diǎn)評(píng)】本題看似與圓無(wú)關(guān)，但當(dāng)我們畫出輔助圓后，即可得知何時(shí)△CEF的面積最大。總之，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，我們需要多思、多練、多總結(jié)。