溯本追“圓”見(jiàn)真章 撥云見(jiàn)日得正解

文／謝潔紅

俗話說(shuō)：吃一塹，長(zhǎng)一智。學(xué)習(xí)的過(guò)程也是一個(gè)修煉的過(guò)程，與難題過(guò)招，見(jiàn)招拆招；溯本追源，定能撥云見(jiàn)日?，F(xiàn)對(duì)同學(xué)們?cè)诒菊聦W(xué)習(xí)過(guò)程中常出現(xiàn)的幾種典型錯(cuò)誤進(jìn)行分析，希望大家引以為戒。

一、忽視圓的相關(guān)概念

例1下列結(jié)論：（1）過(guò)圓心的線段是直徑；（2）弦是直徑；（3）弧是半圓；（4）長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧。其中正確的有（ ）。

A.0個(gè) B.1個(gè)

C.2個(gè) D.3個(gè)

【錯(cuò)解】B。

【錯(cuò)因分析】沒(méi)有準(zhǔn)確理解“直徑”“半圓”“等弧”等相關(guān)概念。

【正解】弦與直徑的聯(lián)系和區(qū)別：弦和直徑都是端點(diǎn)在圓上的線段，但直徑一定經(jīng)過(guò)圓心，故（1）（2）錯(cuò)誤?；】煞譃榘雸A、優(yōu)弧和劣弧，故（3）錯(cuò)誤。等弧是指能夠完全重合的兩條弧，故（4）錯(cuò)誤。故選A。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的相關(guān)概念，要注意“直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，但弦不都是直徑”“半圓是一條特殊的弧”。等弧的長(zhǎng)度是相等的，但長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧，還要看能否重合，所以在等圓或同圓中才有等弧。

例2在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C為圓心、R為半徑所作的⊙C與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，則R的取值范圍是（ ）。

A.R=2.4

B.3＜R＜4

C.R=2.4或3＜R≤4

D.R=2.4或3＜R＜4

【錯(cuò)解】A。

【錯(cuò)因分析】沒(méi)有審清題意，從“只有一個(gè)公共點(diǎn)”僅得出直線與圓相切。

【正解】當(dāng)⊙C與斜邊AB相切時(shí)，如圖1，此時(shí)，⊙C與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)。設(shè)⊙C與斜邊AB相切于點(diǎn)D，則CD⊥AB。根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式，可求出，即R=2.4。當(dāng)R=AC時(shí)，如圖2，⊙C與斜邊AB恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)AC＜R≤BC時(shí)，如圖3，⊙C與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)R＞BC時(shí)，如圖4，⊙C與斜邊AB無(wú)公共點(diǎn)。綜上所述，R的取值范圍是R=2.4或3＜R≤4。另外，當(dāng)R＜2.4 時(shí)，⊙C與斜邊AB無(wú)公共點(diǎn)；當(dāng)2.4＜R≤AC時(shí)，⊙C與斜邊AB有兩個(gè)公共點(diǎn)。故應(yīng)選C。

圖1

圖2

圖3

圖4

【點(diǎn)評(píng)】本題不能把“只有一個(gè)公共點(diǎn)”等同于“相切”。同時(shí)，我們還要注意條件給的是線段、射線還是直線。

二、忘記分類討論，導(dǎo)致漏解

例3已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠OCB=33°，則∠A的度數(shù)為_(kāi)_______。

【錯(cuò)解】57°。

【錯(cuò)因分析】只考慮點(diǎn)A和圓心O在BC的同側(cè)，漏了在異側(cè)的情況。

【正解】∵∠OCB=33°，OB=OC，

∴∠COB=114°。

（1）當(dāng)點(diǎn)A1和圓心O在BC同側(cè)時(shí)，如圖5。

圖5

（2）當(dāng)點(diǎn)A2和圓心O在BC異側(cè)時(shí)，如圖5。

∴∠A2=180°-∠A1=123°。

所以∠A的度數(shù)是57°或123°。

【點(diǎn)評(píng)】一弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)，且它們有互補(bǔ)關(guān)系。