文/謝潔紅
俗話說:吃一塹,長一智。學(xué)習(xí)的過程也是一個修煉的過程,與難題過招,見招拆招;溯本追源,定能撥云見日?,F(xiàn)對同學(xué)們在本章學(xué)習(xí)過程中常出現(xiàn)的幾種典型錯誤進行分析,希望大家引以為戒。
例1下列結(jié)論:(1)過圓心的線段是直徑;(2)弦是直徑;(3)弧是半圓;(4)長度相等的兩條弧是等弧。其中正確的有( )。
A.0個 B.1個
C.2個 D.3個
【錯解】B。
【錯因分析】沒有準(zhǔn)確理解“直徑”“半圓”“等弧”等相關(guān)概念。
【正解】弦與直徑的聯(lián)系和區(qū)別:弦和直徑都是端點在圓上的線段,但直徑一定經(jīng)過圓心,故(1)(2)錯誤?;】煞譃榘雸A、優(yōu)弧和劣弧,故(3)錯誤。等弧是指能夠完全重合的兩條弧,故(4)錯誤。故選A。
【點評】本題考查了圓的相關(guān)概念,要注意“直徑是圓中最長的弦,但弦不都是直徑”“半圓是一條特殊的弧”。等弧的長度是相等的,但長度相等的弧不一定是等弧,還要看能否重合,所以在等圓或同圓中才有等弧。
例2在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C為圓心、R為半徑所作的⊙C與斜邊只有一個公共點,則R的取值范圍是( )。
A.R=2.4
B.3<R<4
C.R=2.4或3<R≤4
D.R=2.4或3<R<4
【錯解】A。
【錯因分析】沒有審清題意,從“只有一個公共點”僅得出直線與圓相切。
【正解】當(dāng)⊙C與斜邊AB相切時,如圖1,此時,⊙C與斜邊AB只有一個公共點。設(shè)⊙C與斜邊AB相切于點D,則CD⊥AB。根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式,可求出,即R=2.4。當(dāng)R=AC時,如圖2,⊙C與斜邊AB恰有兩個公共點;當(dāng)AC<R≤BC時,如圖3,⊙C與斜邊AB只有一個公共點;當(dāng)R>BC時,如圖4,⊙C與斜邊AB無公共點。綜上所述,R的取值范圍是R=2.4或3<R≤4。另外,當(dāng)R<2.4 時,⊙C與斜邊AB無公共點;當(dāng)2.4<R≤AC時,⊙C與斜邊AB有兩個公共點。故應(yīng)選C。
圖1
圖2
圖3
圖4
【點評】本題不能把“只有一個公共點”等同于“相切”。同時,我們還要注意條件給的是線段、射線還是直線。
例3已知△ABC內(nèi)接于⊙O,∠OCB=33°,則∠A的度數(shù)為________。
【錯解】57°。
【錯因分析】只考慮點A和圓心O在BC的同側(cè),漏了在異側(cè)的情況。
【正解】∵∠OCB=33°,OB=OC,
∴∠COB=114°。
(1)當(dāng)點A1和圓心O在BC同側(cè)時,如圖5。
圖5
(2)當(dāng)點A2和圓心O在BC異側(cè)時,如圖5。
∴∠A2=180°-∠A1=123°。
所以∠A的度數(shù)是57°或123°。
【點評】一弦所對的圓周角有兩個,且它們有互補關(guān)系。