無速度主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)全頻域不平衡控制

羅浩杰, 劉江, 王斌, 張波濤

(1.武漢科技大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,湖北 武漢 430081; 2.武漢工程大學(xué) 電氣信息學(xué)院,湖北 武漢 430205;3.武漢科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,湖北 武漢 430081)

0 引 言

主動(dòng)磁軸承(active magnetic bearings,AMB)因其具有無機(jī)械接觸、免潤(rùn)滑、可在高速下長(zhǎng)期運(yùn)行和軸承剛度可調(diào)等優(yōu)點(diǎn),在高速主軸、離心壓縮機(jī)及飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)等高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械領(lǐng)域受到越來越多的關(guān)注[1-5]。

轉(zhuǎn)子材料特性的不一致以及加工精度和安裝誤差等因素都會(huì)造成轉(zhuǎn)子的質(zhì)量不平衡,而質(zhì)量不平衡產(chǎn)生的不平衡力會(huì)激起與轉(zhuǎn)子同頻的不平衡振動(dòng)。在高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械運(yùn)行時(shí),不平衡振動(dòng)不但會(huì)影響系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)子的控制精度,嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)绊懴到y(tǒng)的安全運(yùn)行。近年來,國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)不平衡振動(dòng)的控制策略主要分為兩種:一種為不平衡補(bǔ)償,迫使轉(zhuǎn)子繞其幾何軸旋轉(zhuǎn),旨在實(shí)現(xiàn)“零轉(zhuǎn)子位移”,但轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的反作用力會(huì)作用于底座上,并且高速運(yùn)行下容易導(dǎo)致功放電路飽和;另一種為自動(dòng)平衡,迫使轉(zhuǎn)子繞其慣性軸旋轉(zhuǎn),旨在實(shí)現(xiàn)“零電流或零振動(dòng)力”,這種方法可以顯著降低不平衡力,并避免功放電路飽和,因此也受到了更多研究人員的關(guān)注,最小均方(least mean square,LMS)算法[6]、同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換[7]、廣義陷波器[8]、重復(fù)控制[9]、自適應(yīng)強(qiáng)制平衡[10]等控制算法被相繼提出。

上述算法均需要轉(zhuǎn)子的角頻率反饋才能實(shí)現(xiàn),在實(shí)際中通常由霍爾傳感器、光電編碼器等獲得,然而,測(cè)速傳感器在許多應(yīng)用中都存在一些限制,包括機(jī)械安裝困難、機(jī)器尺寸有限等問題,且一旦測(cè)速傳感器存在較大誤差或發(fā)生故障時(shí),控制系統(tǒng)將無法獲得準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)速信號(hào)。因此,需要在轉(zhuǎn)子不平衡信號(hào)中估計(jì)轉(zhuǎn)子的實(shí)際轉(zhuǎn)速。針對(duì)磁懸浮轉(zhuǎn)子的角頻率估計(jì)問題,Lee等[11]提出了角位置微分來估計(jì)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速,但該方法很容易引進(jìn)噪聲。張染等[12]將轉(zhuǎn)子位移信號(hào)中的高倍頻分量通過Hilbert變換進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解,從而通過Hilbert譜分析得到轉(zhuǎn)速信號(hào),該方法雖然精度有所提高,但倍頻分量在低速時(shí)不穩(wěn)定,勢(shì)必影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)全頻范圍下的穩(wěn)定運(yùn)行。劉虎等[13]根據(jù)已知的位移信號(hào)和轉(zhuǎn)速信號(hào)構(gòu)建反向傳播(back propagation,BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,并通過參數(shù)調(diào)整達(dá)到良好的測(cè)速精度,但該方法過度依賴轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的初始位移和轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù),且計(jì)算量較大。Chen等[14]利用磁軸承x和y方向位移信號(hào)正交且振幅相等來估計(jì)頻率,但x、y兩方向位移由于安裝誤差等原因并不時(shí)刻滿足相互正交和振幅相等,且該方法無法保證轉(zhuǎn)子低速旋轉(zhuǎn)時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)定性。Liu等[15]針對(duì)文獻(xiàn)[14]方法低速段失穩(wěn)的問題,在原有自適應(yīng)陷波器結(jié)構(gòu)上加上了相移角,但x、y兩方向位移信號(hào)相位和振幅的誤差勢(shì)必會(huì)對(duì)算法的補(bǔ)償效果造成較大的影響。

二階廣義積分-鎖頻環(huán)(second order generalized integrator-frequency locked loop,SOGI-FLL)已廣泛應(yīng)用于頻率估計(jì)和相位鎖定領(lǐng)域中,包括電網(wǎng)同步信號(hào)提取[16-18]和永磁同步電機(jī)的速度估計(jì)[19-20]。本文將SOGI-FLL引入主動(dòng)磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的角頻率估計(jì)應(yīng)用中,構(gòu)建基于改進(jìn)型SOGI-FLL(enhanced SOGI-FLL,ESOGI-FLL)的主動(dòng)磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)同步振動(dòng)力抑制方法,在反饋控制的基礎(chǔ)上增加位移前饋補(bǔ)償環(huán)節(jié),以獲取更好的振動(dòng)抑制效果。然后,利用根軌跡法分析加入SOGI-FLL的主動(dòng)磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并基于此設(shè)計(jì)變?cè)鲆嫦禂?shù),實(shí)現(xiàn)嵌入SOGI-FLL的磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)低速旋轉(zhuǎn)時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)定。最后,通過仿真分析驗(yàn)證該方法的可行性。

1 磁懸浮轉(zhuǎn)子不平衡擾動(dòng)模型

AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型如圖1所示。轉(zhuǎn)子軸向自由度由永磁軸承所約束,徑向的4個(gè)自由度分別由左右的2個(gè)電磁軸承約束。轉(zhuǎn)子的最大轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)小于一階彎曲模態(tài)頻率,因此以下建模分析都只考慮轉(zhuǎn)子的剛性模態(tài)。設(shè)O-xyz坐標(biāo)系為轉(zhuǎn)子中心平面對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系。

圖1 四自由度AMB剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of 4-degree-of-freedom AMB rotor system

設(shè)轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m,la和lb分別是左右兩端徑向磁軸承所在平面到C點(diǎn)的距離,l是左右兩端磁軸承所在平面之間的距離,J為轉(zhuǎn)子繞x、y軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,Jz為轉(zhuǎn)子繞z軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,xa、ya和xb、yb分別是兩端位移傳感器測(cè)得的磁軸承徑向位移,則轉(zhuǎn)子幾何中心處的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)角度為:

(1)

為了便于分析磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程,特做如下假設(shè):1)轉(zhuǎn)子為軸對(duì)稱轉(zhuǎn)子,兩端的AMB結(jié)構(gòu)參數(shù)都相同;2)位移傳感器與AMB在轉(zhuǎn)子軸向位置重合。

根據(jù)牛頓第二定律可得徑向四自由度轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)微分方程為:

(2)

式中:fxa、fya和fxb、fyb分別為左右兩端磁軸承產(chǎn)生的電磁力;fx和fy為干擾力。

為了便于分析不平衡下的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型,取轉(zhuǎn)子截面建立坐標(biāo)系,如圖2所示,轉(zhuǎn)子幾何中心C和質(zhì)心G不重合。設(shè)轉(zhuǎn)子幾何中心C在固定坐標(biāo)系O-xy中的坐標(biāo)為(xc,yc),質(zhì)心G在固定坐標(biāo)系O-xy中的坐標(biāo)為(xg,yg),Ω為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速。

圖2 轉(zhuǎn)子截面示意圖Fig.2 Schematic diagram of rotor section

轉(zhuǎn)子質(zhì)心與幾何中心坐標(biāo)之間的關(guān)系可以表示為:

(3)

式中:e為轉(zhuǎn)子的偏心距;φ為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角度。

將式(3)代入式(2)可得轉(zhuǎn)子不平衡力在x,y軸上的分量為:

(4)

結(jié)合式(2)和式(4)可得含不平衡量的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為:

(5)

式中ez為質(zhì)心G在oz軸上的投影。

2 基于ESOGI-FLL的全頻域自動(dòng)平衡控制

2.1 基于SOGI-FLL的振動(dòng)信號(hào)角頻率辨識(shí)

圖3為SOGI-FLL的結(jié)構(gòu)框圖,其主要由SOGI-正交信號(hào)發(fā)生器(SOGI-quadrature signal generator,SOGI-QSG)和FLL兩部分組成。

圖3 SOGI-FLL結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Structure of SOGI-FLL

由圖3可知,SOGI-QSG的狀態(tài)空間方程可以表示為

(6)

式中:k是一個(gè)常數(shù);u1=Asin(Ωt+δ),A為輸入信號(hào)的幅值,δ為初始相位;Ω為轉(zhuǎn)子角頻率。

由式(6)可知,從輸入信號(hào)u1到輸出信號(hào)x1和x2的傳遞函數(shù)為

(7)

令s=jω,當(dāng)k≠0時(shí),式(7)可以表示為:

(8)

式中ΔΩ是一個(gè)很小的值,且其值遠(yuǎn)小于Ω。

FLL估計(jì)頻率可由反正切函數(shù)得到,其表達(dá)式為

(9)

(10)

將式(10)代入式(9)中,可得

(11)

式中γ是一個(gè)恒為正的收斂因子。

式(11)說明FLL頻率估計(jì)的收斂性與兩相輸出幅值的平方和、輸入信號(hào)頻率和SOGI-QSG的增益都有關(guān),那么圖3中將增益歸一化后,FLL的頻率估計(jì)特性就只與一個(gè)參數(shù)γ有關(guān),簡(jiǎn)化了后續(xù)的參數(shù)設(shè)計(jì)。

結(jié)合式(6)和式(11)可得,SOGI-FLL的狀態(tài)方程可以表示為:

(12)

圖4為加入SOGI-FLL的磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的同步電流控制框圖。

圖4 磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的同步電流控制框圖Fig.4 Block diagram of synchronous current control for AMB-rotor system

2.2 基于ESOGI-FLL的無速度同步不平衡振動(dòng)力控制

AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的同步振動(dòng)力可以表示為

F=Fi+Fx=kii(xa)+kxxa。

(13)

式中:xa表示轉(zhuǎn)子位移;i(xa)表示電磁線圈的電流,是xa的函數(shù)。轉(zhuǎn)子位移xa中存在與轉(zhuǎn)速同頻的不平衡振動(dòng),因此Fi和Fx中都存在與轉(zhuǎn)速同頻的分量。

由于同步電流的抑制只消除了電流剛度力Fi,磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中仍然存在位移剛度力Fx。為了最大程度地抑制不平衡振動(dòng),在圖4的基礎(chǔ)上增加位移剛度力前饋補(bǔ)償模塊,實(shí)現(xiàn)同步振動(dòng)力的抑制,如圖5所示。

圖5 基于ESOGI-FLL的磁懸浮轉(zhuǎn)子同步不平衡振動(dòng)力控制Fig.5 Synchronous unbalance vibration force suppression of AMB-rotor system using ESOGI-FLL

對(duì)式(13)進(jìn)行Laplace變換,可得

kiA(s)C(s)[Gs(s)xa(s)-x1(s)]。

(14)

當(dāng)基于SOGI-FLL的陷波器能正確跟蹤鎖頻時(shí),可得x1=Gs(s)d,那么式(14)可以改寫為

F(s)=[kx+kiA(s)C(s)Gs(s)][xa(s)-d(s)]。

(15)

從式(15)可知,增加位移前饋環(huán)節(jié)后,同步振動(dòng)力抑制為0,實(shí)現(xiàn)了剛性轉(zhuǎn)子的自動(dòng)平衡。基于ESOGI-FLL的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)同步振動(dòng)力控制方法如圖5所示,其等效框圖如圖6所示。圖5中,ε0為增益系數(shù)。

由圖3可知,二階廣義積分器u1到e的傳遞函數(shù)可以表示為

(16)

令s=jω且k≠0時(shí),式(16)可改寫為:

(17)

式中ΔΩ為二階廣義積分器的帶寬,其值只與增益k有關(guān)。

圖7為不同增益k下二階廣義積分器的頻率特性。由圖可知,二階廣義積分器效果實(shí)際上與陷波器類似,且?guī)掚S著增益k的增大而變大。

主動(dòng)磁軸承采用PID控制,其傳遞函數(shù)可以表示為

(18)

式中:kP為比例系數(shù);kD為微分系數(shù);kI為積分系數(shù)。

功率放大器的傳遞函數(shù)可以看作是具有放大系數(shù)的零階系統(tǒng),即A(s)=ka,而位移傳感器則不考慮其動(dòng)態(tài)特性,將其視為比例環(huán)節(jié),即Gs(s)=ks。

由圖3可知,二階廣義積分器中e到x1的傳遞函數(shù)可表示為

(19)

2.3 無速度閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和性能分析

由圖6可知,主動(dòng)磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

(20)

將式(16)、式(18)和式(19)代入式(20),整理可得

ms5+(Ωmε0k+kakskikD)s4+(Ω2m+kakskikP-kx)s3+[kakskikDΩ2-Ω(kkx+kkxε0)+kakskikI]s2+Ω2(kakskikP-kx)s+Ω2kakskikI=0。

(21)

令

(22)

那么式(14)可以表示為

ms5+a1s4+a2s3+a3s2+a4s+a5=0。

(23)

根據(jù)勞斯判據(jù)可知磁懸浮控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為:

(24)

由式(24)可知,系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件與開關(guān)ε0和轉(zhuǎn)速Ω有關(guān)。為了說明AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性,以Ω(rad/s)為變量,分別繪制了ε0=1和ε0=-1時(shí),1～500 Hz(步長(zhǎng)為5 Hz)范圍內(nèi)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡,如圖8所示。

由式(24)和圖8(a)分析可得,當(dāng)ε0=1時(shí),當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速低于86.1 Hz時(shí),系統(tǒng)具有右半平面的極點(diǎn),系統(tǒng)不穩(wěn)定;當(dāng)轉(zhuǎn)速高于86.1 Hz時(shí),系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡通過虛軸進(jìn)入左半平面,系統(tǒng)穩(wěn)定。可見,在基于SOGI-FLL的不平衡控制方法中,轉(zhuǎn)子系統(tǒng)無法在比剛體臨界轉(zhuǎn)速低的速度下穩(wěn)定運(yùn)行。

由圖8(b)分析可得:當(dāng)ε0=-1時(shí),當(dāng)轉(zhuǎn)子角速度低于116.1 Hz時(shí),系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均位于虛軸左半平面,系統(tǒng)穩(wěn)定,但高于116.1 Hz時(shí),閉環(huán)根軌跡進(jìn)入虛軸右半平面,導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。磁懸浮剛性轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速區(qū)域?yàn)?6.1～116.1 Hz。

由式(16)可知,增益系數(shù)ε0的大小沒有改變基于SOGI-FLL的陷波器傳遞函數(shù)的零點(diǎn),因此算法對(duì)同步電流仍有抑制作用。

基于以上的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析,本文提出變?cè)鲆嫦禂?shù)的方法來實(shí)現(xiàn)全轉(zhuǎn)速范圍下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)自動(dòng)平衡控制,即分別在轉(zhuǎn)子亞臨界轉(zhuǎn)速以下和超臨界轉(zhuǎn)速以上取ε0=1和ε0=-1,利用變?cè)鲆嫦禂?shù)方法后,閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡如圖9所示。由圖可知,系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)都位于虛軸的左半平面,從而能夠在全頻范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定運(yùn)行。

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證該方法的可行性和有效性,在MATLAB/Simulink中搭建了主動(dòng)磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng),并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的各項(xiàng)物理參數(shù)見表1。

3.1 恒定轉(zhuǎn)速仿真

基于上述的穩(wěn)定性分析,分別在轉(zhuǎn)子的亞臨界轉(zhuǎn)速以下和超臨界轉(zhuǎn)速以上進(jìn)行仿真。在0.3 s時(shí)加入本文提出的算法,轉(zhuǎn)子A端的估計(jì)頻率、位移和同步振動(dòng)力的仿真結(jié)果如圖10所示。

結(jié)果表明,圖10(a)中,在0.3 s啟動(dòng)算法后,估計(jì)頻率在0.31 s后收斂到給定的頻率值,且在給定頻率處上下震蕩,誤差在0.21 Hz以內(nèi),轉(zhuǎn)子的位移也能快速被抑制,轉(zhuǎn)子的同步振動(dòng)力幾乎收斂到0;圖10(b)中,頻率估計(jì)的時(shí)間為0.228 s,且誤差在0.12 Hz以內(nèi),轉(zhuǎn)子的位移和同步振動(dòng)力均能被快速抑制。因此,本文算法在頻率的估計(jì)、轉(zhuǎn)子位移和同步振動(dòng)力的抑制都有較好的效果。

在實(shí)際的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工況下,自身設(shè)備噪聲會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子的位移信號(hào)中含有一定的噪聲,噪聲通常會(huì)影響系統(tǒng)的運(yùn)行。為了研究噪聲對(duì)算法補(bǔ)償效果和頻率估計(jì)的影響,在轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)頻率150 Hz的條件下,加入信噪比SNR為20、10的高斯白噪聲。啟動(dòng)自動(dòng)平衡控制前后,不同噪聲下轉(zhuǎn)子A端的仿真結(jié)果如圖11所示。

圖11 不同噪聲下轉(zhuǎn)子A端的仿真結(jié)果Fig.11 Simulation results at A side with different SNRs

仿真結(jié)果表明,加入一定的噪聲干擾后,算法的補(bǔ)償效果受到了較大的影響。由于同頻振動(dòng)力抑制算法只對(duì)同頻的振動(dòng)信號(hào)起作用,噪聲信號(hào)并沒有受到影響,因此信噪比越低補(bǔ)償效果也變得越差。但是,噪聲干擾并沒有對(duì)系統(tǒng)的收斂性能產(chǎn)生影響,轉(zhuǎn)子的同步振動(dòng)力和同步位移依然能夠快速被抑制。頻率的估計(jì)軌跡隨信噪比的降低而變得曲折波動(dòng),但在信噪比10 dB下,頻率估計(jì)誤差也在0.79 Hz以內(nèi),并且能逐漸收斂至目標(biāo)值,這也證明了該算法具有一定的自適應(yīng)能力和抗干擾能力。

3.2 變轉(zhuǎn)速仿真

前述已經(jīng)驗(yàn)證了本文算法在恒定轉(zhuǎn)速下的頻率估計(jì)特性和不平衡補(bǔ)償效果,為了研究該算法在轉(zhuǎn)子變轉(zhuǎn)速下的補(bǔ)償效果和頻率跟蹤的有效性,在轉(zhuǎn)子加速度α=30π rad/s2的條件下進(jìn)行了仿真。圖12表示在變轉(zhuǎn)速條件下算法的頻率跟蹤曲線,其中虛線和實(shí)線分別表示算法的估計(jì)頻率值和實(shí)際的參考頻率值。

圖12 變轉(zhuǎn)速條件下算法的頻率跟蹤曲線Fig.12 Frequency tracking curve of the algorithm under variable speed conditions

由圖12可知,估計(jì)頻率在大約0.9 s時(shí)收斂到參考頻率,且誤差在0.3 Hz內(nèi)。因此,本文算法在變轉(zhuǎn)速條件下仍然具有良好的頻率估計(jì)性能。

圖13分別給出了算法前后轉(zhuǎn)子A端同步振動(dòng)力和同步位移的響應(yīng)結(jié)果。仿真結(jié)果表明,相比于沒有加入振動(dòng)抑制算法的轉(zhuǎn)子同步振動(dòng)力和同步位移,施加振動(dòng)控制后,轉(zhuǎn)子的振動(dòng)力和位移的幅值都大幅減小。在加入振動(dòng)控制前,轉(zhuǎn)子的振動(dòng)位移和振動(dòng)力都很大,其峰值分別達(dá)到了0.185 mm和147 N,而在加入算法后,轉(zhuǎn)子位移峰值和振動(dòng)力峰值降低至0.002 56 mm和2.3 N,不平衡響應(yīng)的抑制效果明顯。

4 結(jié) 論

本文提出了一種改進(jìn)的帶增益系數(shù)自適應(yīng)頻率估計(jì)濾波算法來抑制不平衡同步振動(dòng)力,解決了加入SOGI-FLL后導(dǎo)致磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)低速段失穩(wěn)的問題。該方法僅通過一路轉(zhuǎn)子徑向位移信號(hào)實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)頻率的估計(jì),在線跟蹤同頻率信號(hào),自適應(yīng)補(bǔ)償不平衡,最后引入增益系數(shù)實(shí)現(xiàn)了全頻域范圍內(nèi)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。該方法可以同時(shí)估計(jì)轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)頻率和抑制同步振動(dòng)力,且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)。最后,仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出算法在全頻域范圍內(nèi)同步振動(dòng)力抑制的有效性和自適應(yīng)特性。