新型雙層半插入式交替極永磁電機(jī)的解析建模

倪有源, 張亮, 錢(qián)威

(合肥工業(yè)大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

0 引 言

無(wú)刷直流/交流永磁電機(jī)因結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、功率密度高及效率高等優(yōu)點(diǎn),在各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛[1-2]。與傳統(tǒng)的表面插入式永磁電機(jī)相比,交替極永磁電機(jī)在保證較高功率密度的同時(shí),可以節(jié)省永磁材料,降低制造成本,具有廣泛的應(yīng)用前景[3]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)交替極永磁電機(jī)進(jìn)行了廣泛的研究。文獻(xiàn)[4]建立了外轉(zhuǎn)子交替極電機(jī)的通用解析模型,并計(jì)算了其電磁性能。文獻(xiàn)[5]分析了交替極磁通反向永磁電機(jī),與傳統(tǒng)電機(jī)相比,該電機(jī)可減少漏磁,從而提高了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和電磁轉(zhuǎn)矩。文獻(xiàn)[6]分析比較了傳統(tǒng)內(nèi)置式永磁同步電機(jī)與內(nèi)置式交替極永磁同步電機(jī)的電磁性能。文獻(xiàn)[7]建立了開(kāi)口槽交替極電機(jī)空載磁場(chǎng)、負(fù)載磁場(chǎng)和電樞反應(yīng)磁場(chǎng)的解析模型,由于不對(duì)稱(chēng)性,氣隙磁場(chǎng)中的偶次諧波含量較高。由于交替極電機(jī)具有非對(duì)稱(chēng)氣隙磁場(chǎng),文獻(xiàn)[8]研究了不同極槽配合下偶次諧波對(duì)空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)的影響。

對(duì)永磁電機(jī)的精確建模是獲得其電磁性能及進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的前提。文獻(xiàn)[9-10]采用等效磁路法分別研究了內(nèi)置式永磁電機(jī)的電感參數(shù)和磁化特性。文獻(xiàn)[11-12]采用等效磁網(wǎng)絡(luò)法對(duì)直線永磁電機(jī)進(jìn)行了建模分析。文獻(xiàn)[13-14]基于數(shù)值法研究了不同轉(zhuǎn)子磁路結(jié)構(gòu)內(nèi)置式永磁電機(jī)的轉(zhuǎn)矩特性。文獻(xiàn)[15]采用保角變換法建立了開(kāi)槽永磁電機(jī)的解析模型,計(jì)算了氣隙比磁導(dǎo)。相比以上方法,子域模型法不僅計(jì)算精度高,而且計(jì)算時(shí)間少,非常適合分析電機(jī)電磁場(chǎng)。文獻(xiàn)[16-18]建立了表貼式開(kāi)口槽電機(jī)空載磁場(chǎng)解析模型,計(jì)算了氣隙磁密、反電動(dòng)勢(shì)和電磁轉(zhuǎn)矩,但未考慮實(shí)際電機(jī)定子齒尖的影響。半開(kāi)口槽電機(jī)比開(kāi)口槽電機(jī)多了槽口子域,使得方程的求解變得更為復(fù)雜。文獻(xiàn)[19]采用子域模型法研究了表貼式開(kāi)口槽永磁電機(jī)的電磁性能,并與有限元的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。文獻(xiàn)[20-21]建立了表面插入式半開(kāi)口槽電機(jī)的二維子域模型,可以計(jì)算任意極槽比、不同磁化方式的永磁電機(jī)的磁場(chǎng)分布。文獻(xiàn)[22]基于子域模型法研究了一種表面插入式半開(kāi)口槽電機(jī)的磁場(chǎng)分布和運(yùn)行參數(shù)。為降低電磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)和永磁體渦流損耗,文獻(xiàn)[23]提出一種表貼式分段Halbach永磁結(jié)構(gòu),利用二維解析建模,獲得了兩種不同磁極結(jié)構(gòu)的電磁性能。

由于交替極永磁電機(jī)具有不對(duì)稱(chēng)性,導(dǎo)致氣隙磁場(chǎng)和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的波形中諧波含量較高。與表貼式永磁電機(jī)相比,交替極永磁電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)較大。因此,本文在交替極電機(jī)的基礎(chǔ)上,提出了一種新型雙層半插入式交替極永磁結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)的內(nèi)層永磁和外層永磁分別為交替極和表貼式,削弱了交替極永磁電機(jī)不對(duì)稱(chēng)性對(duì)電磁性能的影響。在電機(jī)的分析方法中,子域模型法不僅計(jì)算精度高、計(jì)算速度快,而且每個(gè)變量的物理意義明確,非常適合對(duì)該電機(jī)進(jìn)行解析建模。

本文首先給出雙層半插入式交替極永磁電機(jī)的結(jié)構(gòu)。然后采用二維子域模型法對(duì)其進(jìn)行建模,利用微分方程和邊界條件建立矩陣方程,并求解獲得磁場(chǎng)分布以及電磁性能。計(jì)算結(jié)果表明,與傳統(tǒng)的表面插入式電機(jī)相比,新型電機(jī)具有更高的電磁轉(zhuǎn)矩。最后,利用有限元仿真結(jié)果驗(yàn)證解析模型的有效性。

1 新型電機(jī)結(jié)構(gòu)

傳統(tǒng)表插式轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示。新型雙層半插入式交替極電機(jī)的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示。采用雙層磁極結(jié)構(gòu),內(nèi)層為交替極磁極,外層為表貼式磁極,內(nèi)外層永磁都采用徑向充磁。

圖1 兩種電機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Rotor structures of two machines

新型電機(jī)的定轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。為方便求解,新型雙層半插入式交替極電機(jī)定子槽為理想的帶齒尖的扇形結(jié)構(gòu)。圖中:ξ1為扇形定子槽對(duì)應(yīng)圓心角的弧度;ξ2為扇形定子槽口對(duì)應(yīng)圓心角的弧度;ξ3為轉(zhuǎn)子槽對(duì)應(yīng)圓心角的弧度。為便于計(jì)算,將圖中的定轉(zhuǎn)子位置設(shè)為初始位置。此時(shí)轉(zhuǎn)子槽中心線與扇形槽中心線重合,定義該轉(zhuǎn)子槽和定子槽為第1個(gè)轉(zhuǎn)子槽和第1個(gè)定子槽。轉(zhuǎn)子槽序號(hào)以逆時(shí)針為正方向,依次為第2個(gè)轉(zhuǎn)子槽,…,第s個(gè)轉(zhuǎn)子槽;定子槽序號(hào)以逆時(shí)針為正方向,依次為第2個(gè)定子槽,…,第i個(gè)定子槽;R1為內(nèi)層磁極內(nèi)半徑,R2為內(nèi)層磁極外半徑,R3為外層磁極外半徑,R4為定子內(nèi)半徑,R5為定子齒尖外半徑,R6為定子槽外半徑;θi為第i個(gè)定子槽中心線與第1個(gè)定子槽中心線之間的夾角;θs為第s個(gè)轉(zhuǎn)子槽中心線與第1個(gè)轉(zhuǎn)子槽中心線之間的夾角。θi和θs的表達(dá)式分別為:

圖2 新型電機(jī)定轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Stator and rotor of proposed novel machine

(1)

式中:Nr和Ns分別為電機(jī)轉(zhuǎn)子槽和定子槽的數(shù)量;θ0為轉(zhuǎn)子相對(duì)于初始位置的位置角。

2 解析建模分析

以新型雙層半插入式交替極永磁電機(jī)為對(duì)象,基于子域模型法進(jìn)行磁場(chǎng)分析,需要如下假設(shè):a)定子轉(zhuǎn)子的鐵心磁導(dǎo)率為無(wú)窮大;b)永磁體的相對(duì)磁導(dǎo)率μr=1.05;c)只考慮二維模型;d)定子槽和定子槽口均為理想的徑向扇形。

將新型電機(jī)的求解域分為:定子槽、定子槽口、氣隙、外層永磁和內(nèi)層永磁共5個(gè)子域。采用子域模型法,需對(duì)各子域矢量磁位A的z分量建立偏微分方程。在二維極坐標(biāo)系中,磁密的徑向分量、切向分量與矢量磁位的關(guān)系可以表示為:

(2)

文獻(xiàn)[7]定義了一類(lèi)方程,該方程對(duì)偏微分方程通解的表達(dá)式進(jìn)行了諧波分量系數(shù)的縮放,從而能夠化簡(jiǎn)運(yùn)算。該方程定義為:

(3)

接下來(lái)對(duì)新型電機(jī)各子域的方程進(jìn)行求解。

2.1 槽子域磁場(chǎng)分析

對(duì)于有Ns個(gè)定子槽的新型電機(jī),共有Ns個(gè)槽子域。設(shè)二維極坐標(biāo)下iA1(ρ,θ)為第i個(gè)槽內(nèi)矢量磁位A的z分量,其中i=1,2,3,…,Ns。當(dāng)線圈中電流為0時(shí),第i個(gè)槽子域內(nèi)拉普拉斯方程的通解為

(4)

iA1(ρ,θ)=iW1+iX1lnρ+

(5)

(6)

式中m為定子槽域矢量磁位的諧波階數(shù)。

2.2 槽口子域磁場(chǎng)分析

由新型電機(jī)的結(jié)構(gòu)圖可得,對(duì)于有Ns個(gè)槽的新型電機(jī),其槽口子域共有Ns個(gè)。設(shè)二維極坐標(biāo)下jA2(ρ,θ)為第j個(gè)槽口子域內(nèi)的矢量磁位A的z分量,其中j=1,2,3,…,Ns,那么在線圈中電流為0時(shí),對(duì)第j個(gè)定子槽口子域內(nèi)拉普拉斯方程的通解使用分離變量法求解,同時(shí)對(duì)各系數(shù)進(jìn)行縮放,可得槽口子域矢量磁位的通解為

jA2(ρ,θ)=jW2+jX2lnρ+

(7)

(8)

(9)

2.3 氣隙子域磁場(chǎng)分析

由圖2可得,該求解域是位于R3與R4之間的環(huán)形區(qū)域。設(shè)二維極坐標(biāo)下A3(ρ,θ)為氣隙子域中矢量磁位A的z分量,通過(guò)求解該子域內(nèi)的拉普拉斯方程,可得其通解為

A3(ρ,θ)=a3+b3lnρ+

(10)

與槽子域和槽口子域不同,氣隙子域?yàn)橐贿B通的環(huán)形區(qū)域。根據(jù)安培環(huán)路定律可得,該通解不含有直流分量。于是將式(10)進(jìn)行化簡(jiǎn),其解的最終形式為

(11)

式中:kW3、kX3、kY3和kZ3分別為氣隙子域矢量磁位的直流分量系數(shù)和諧波分量系數(shù);k為氣隙域矢量磁位的諧波階數(shù)。

2.4 外層永磁子域磁場(chǎng)分析

由圖2可得,該求解域是位于R2與R3之間的外層磁極區(qū)域。設(shè)二維極坐標(biāo)下A4(ρ,θ)為外層永磁子域矢量磁位的z分量,其偏微分方程和域范圍為:

(12)

式中Mρ和Mθ分別為永磁體磁化強(qiáng)度的徑向分量與切向分量。

對(duì)于徑向磁化的永磁體,其磁化強(qiáng)度的徑向分量與切向分量為:

(13)

式中:

(14)

利用非齊次偏微分方程解的性質(zhì),由安培環(huán)路定律,采用分離變量法,可得其解為

(15)

對(duì)該解進(jìn)行化簡(jiǎn),可得其解的最終形式為

(16)

式中:uW4、uX4、uY4和uZ4分別為外層磁極子域矢量磁位的直流分量系數(shù)和諧波分量系數(shù);u為外層磁極子域矢量磁位的諧波階數(shù);函數(shù)Fu(ρ)為:

(17)

2.5 內(nèi)層永磁子域磁場(chǎng)分析

由新型電機(jī)的結(jié)構(gòu)圖可得,對(duì)于有Nr個(gè)轉(zhuǎn)子槽的新型電機(jī),其內(nèi)層永磁子域共有Nr個(gè)。設(shè)二維極坐標(biāo)下sA5(ρ,θ)為第s個(gè)內(nèi)層永磁子域內(nèi)的矢量磁位的z分量,其中s=1,2,3,…,Nr。當(dāng)線圈電流為0時(shí),在該子域內(nèi)sA5(ρ,θ)的偏微分方程和域范圍為:

(18)

式中sMρ和sMθ分別為永磁體磁化強(qiáng)度的徑向分量與切向分量。對(duì)于徑向磁化、極弧系數(shù)為1,且置于轉(zhuǎn)子槽內(nèi)的永磁體,sMρ和sMθ為:

(19)

式中:

(20)

(21)

使用分離變量法,考慮非齊次偏微分方程的解的性質(zhì)以及系數(shù)縮放,可得其解的最終形式為

(22)

(23)

(24)

式中v為內(nèi)層永磁子域矢量磁位的諧波階數(shù)。

3 諧波系數(shù)求解

利用在ρ=R1、ρ=R2、ρ=R3、ρ=R4、ρ=R5以及ρ=R6共6個(gè)位置處的邊界條件建立矩陣方程,求解各子域矢量磁位中的各諧波分量系數(shù)?？紤]到在ρ=R1和ρ=R6處,可對(duì)矢量磁位進(jìn)行化簡(jiǎn),因此,首先對(duì)這兩處的邊界條件進(jìn)行求解,然后再求解其他位置。

3.1 在ρ=R1處的邊界條件分析

由圖2可得,ρ=R1為內(nèi)層永磁子域與轉(zhuǎn)子鐵心的交界面,在此處有

(25)

將式(22)代入式(25),可以解得

(26)

(27)

將式(26)代入式(22),得內(nèi)層永磁子域的矢量磁位為

(28)

3.2 在ρ=R6處的邊界條件分析

由圖2可得,ρ=R6為定子槽子域與定子槽底的交界面,此處滿(mǎn)足

(29)

將式(5)代入式(29),可以解得:

iX1=0;

(30)

(31)

將式(30)和式(31)代入式(5),可得槽子域的矢量磁位為

(32)

3.3 在ρ=R5處的邊界條件分析

由圖2可得,ρ=R5為定子槽子域與定子槽口的交界面,根據(jù)徑向氣隙磁密連續(xù)的邊界條件,可得:

(33)

顯然,定子槽口與定子槽為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,因此在計(jì)算過(guò)程中,始終有i=j。根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)和邊界條件式(33),在槽口子域矢量磁位的直流分量系數(shù)和諧波分量系數(shù)分別為:

F1(m);

(34)

(35)

式中:

(36)

F2(m,n)=

(37)

在ρ=R5處的另一邊界條件為切向磁場(chǎng)強(qiáng)度連續(xù),可表示為

(38)

由式(38),根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)的直流分量系數(shù)和諧波分量系數(shù)的性質(zhì),可得:

jX3=0;

(39)

(40)

于是可得,式(34)、式(35)、式(39)以及式(40)為諧波分量系數(shù)。由于后續(xù)各邊界條件的分析求解過(guò)程類(lèi)似,僅給出邊界條件和得到的諧波分量系數(shù)方程,求解過(guò)程將不再贅述。

3.4 在ρ=R4處的邊界條件分析

由圖2可得,ρ=R4為定子槽口與氣隙的交界面,滿(mǎn)足的兩個(gè)邊界條件為:

(41)

同樣對(duì)矢量磁位函數(shù)進(jìn)行傅里葉分解,可得其直流分量系數(shù)和諧波分量系數(shù)分別為:

(42)

(43)

(44)

(45)

式中:

(46)

(47)

F5(n,k,j,ξ2)=

(48)

F6(n,k,j,ξ2)=

(49)

3.5 在ρ=R3處的邊界條件分析

由圖2可得,ρ=R3為氣隙區(qū)域和外層磁極區(qū)域的交界面。由于兩區(qū)域均為環(huán)形區(qū)域,無(wú)需進(jìn)行傅里葉分解,只需將對(duì)應(yīng)的各階諧波分量系數(shù)代入邊界條件運(yùn)算即可。在計(jì)算中,始終有k=u,在此處的邊界條件為:

(50)

將矢量磁位的表達(dá)式代入式(50),可得:

Fu(R3)sin(uθ0);

(51)

Fu(R3)cos(uθ0);

(52)

(53)

(54)

3.6 在ρ=R2處的邊界條件分析

由圖2可得,ρ=R2為外層磁極區(qū)域和轉(zhuǎn)子槽的交界面。其邊界條件為:

(55)

同樣對(duì)矢量磁位函數(shù)進(jìn)行傅里葉分解,可得其直流分量和諧波分量系數(shù)的方程為:

Fu(R2)sin(uθ0)]F3(u,s,ξ3)+

Fu(R2)cos(uθ0)]F4(u,s,ξ3);

(56)

sin(uθ0)]F5(v,u,s,ξ3)+

Fu(R2)cos(uθ0)]F6(v,u,s,ξ3);

(57)

(58)

(59)

聯(lián)立式(26)、式(27)、式(30)、式(31)、式(34)、式(35)、式(39)、式(40)、式(42)～式(45)、式(51)～式(54)以及式(56)～式(59)共計(jì)20組方程,即可求解獲得各區(qū)域中矢量磁位的直流分量系數(shù)和諧波分量系數(shù)。然后將氣隙區(qū)域中的矢量磁位A3(ρ,θ)代入式(2),可求解得出新型電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)。

4 電磁性能比較和有限元驗(yàn)證

新型電機(jī)定子采用集中繞組,即繞組的節(jié)距為1。對(duì)于任意的轉(zhuǎn)子位置,每個(gè)線圈交鏈的磁鏈可以由線圈兩個(gè)有效邊的平均矢量磁位之差計(jì)算,然后由磁鏈的微分可以獲得空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。一個(gè)線圈的磁鏈可以表示為:

ψx=ψx+-ψx-;

(60)

(61)

式中:L為軸向長(zhǎng)度;Nc為線圈匝數(shù);S為每個(gè)槽的面積。

每相繞組有Nλ個(gè)線圈串聯(lián)構(gòu)成,每相串聯(lián)匝數(shù)為N=NcNλ匝,那么該相總磁鏈為

(62)

于是,該相的空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

(63)

式中ω為電機(jī)的角速度。

三相電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式為

(64)

式中:EA,EB,EC是三相感應(yīng)電動(dòng)勢(shì);iA,iB和iC是三相對(duì)稱(chēng)的電樞電流。

以下比較定子結(jié)構(gòu)完全相同、8極9槽兩種電機(jī)的電磁性能。并且這兩種電機(jī)永磁用量、永磁外半徑R3及內(nèi)半徑R1也相等。其中,傳統(tǒng)表面插入式永磁電機(jī)的永磁占比為0.76;新型電機(jī)外層永磁極弧系數(shù)為1、內(nèi)層永磁占比為0.5。表1給出了新型電機(jī)的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)。

表1 新型雙層半插入式交替極永磁電機(jī)的主要參數(shù)

圖3比較了傳統(tǒng)表面插入式永磁電機(jī)和新型雙層半插入交替極永磁電機(jī)的氣隙磁密波形和主要諧波分量。圖4比較了這兩種電機(jī)的空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的波形和主要諧波分量。圖5比較了這兩種電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩波形。

圖4 兩種電機(jī)的空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形Fig.4 No-load back-EMF waveforms of two machines

圖5 兩種電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩波形Fig.5 Electromagnetic torque waveforms of two machines

表2比較了這兩種電機(jī)的電磁性能?？梢钥闯?兩種電機(jī)氣隙磁密和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)所含的偶次諧波幅值較小,奇次諧波幅值較大。新型電機(jī)雖然氣隙磁密和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的諧波含量較高,但氣隙磁密基波幅值和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)基波幅值都較大。由于內(nèi)層交替極磁極具有不對(duì)稱(chēng)性,新型電機(jī)的徑向氣隙磁密波形和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形中都含有較高的3次諧波。在永磁體用量相同的情況下,與傳統(tǒng)表面插入式電機(jī)相比,新型電機(jī)雖然轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)略微增加,但是平均電磁轉(zhuǎn)矩有明顯的提升,提高了10.4%。

表2 兩種電機(jī)的電磁性能比較

利用解析法和有限元法,計(jì)算得到新型電機(jī)的電磁性能,結(jié)果如圖6所示。其中,感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和電磁轉(zhuǎn)矩的解析法結(jié)果略大于有限元結(jié)果,主要原因是計(jì)算各子域矢量磁位的直流分量和諧波系數(shù)時(shí),由于受計(jì)算機(jī)硬件和軟件限制,所取矩陣方程的階數(shù)有限。但兩種方法獲得的波形總體一致性較好,驗(yàn)證了解析模型的正確性。

圖6 氣隙磁密、反電動(dòng)勢(shì)和電磁轉(zhuǎn)矩波形有限元驗(yàn)證Fig.6 Finite element verification of air gap flux density, back-EMF and electromagnetic torque waveforms

5 結(jié) 論

本文提出了一種新型雙層插入式交替極永磁電機(jī)模型,在內(nèi)層為交替極磁極的基礎(chǔ)上,外層增加了表貼式永磁體。使用二維子域模型法,對(duì)其進(jìn)行解析建模,推導(dǎo)獲得了各子域內(nèi)的矢量磁位和諧波系數(shù)。以8極9槽新型電機(jī)為例,計(jì)算得到電機(jī)的氣隙磁密、空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和電磁轉(zhuǎn)矩。結(jié)果表明,在永磁用量相同的前提下,與傳統(tǒng)的表面插入式電機(jī)相比,提出的雙層半插入交替極永磁電機(jī)雖然轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)略微增加,但是平均電磁轉(zhuǎn)矩顯著提高。最后通過(guò)有限元法驗(yàn)證了解析模型的正確性。