現(xiàn)代阿拉果圓盤實(shí)驗(yàn)在大學(xué)物理中設(shè)計(jì)與應(yīng)用

鄭洽好,黃瑞軒,校 媛,盧榮德

(1. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 少年班學(xué)院,安徽 合肥 230026;2. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230026;3. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 臨床醫(yī)學(xué)院,安徽 合肥 230026;4. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理學(xué)院,安徽 合肥 230026)

阿拉果圓盤實(shí)驗(yàn)是多年來(lái)吸引人們的電磁阻尼與驅(qū)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)之一.該實(shí)驗(yàn)展示了電與磁之間的密切關(guān)系,阿拉果于1825年為此獲得Copley獎(jiǎng),可堪稱為19 世紀(jì)原創(chuàng)性實(shí)驗(yàn)之一:在運(yùn)動(dòng)和變化中產(chǎn)生的電磁感應(yīng)效應(yīng)[1].阿拉果圓盤實(shí)驗(yàn)已在大學(xué)物理中提供有效的教學(xué)價(jià)值.在大學(xué)物理入門課程中,一般是先介紹電,再介紹磁.通過(guò)證明沿著長(zhǎng)導(dǎo)線的電流會(huì)在導(dǎo)線周圍產(chǎn)生磁場(chǎng)即安培定律,從而引入了磁與電密切相關(guān)的觀點(diǎn);法拉第的實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步表明,變化的磁通量產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)[2].大多數(shù)工科專業(yè)的學(xué)生在大學(xué)物理入門課程和后續(xù)專業(yè)基礎(chǔ)課程中了解到電磁阻尼與驅(qū)動(dòng)過(guò)程.稍后,他們還將在后續(xù)專業(yè)基礎(chǔ)課程中學(xué)習(xí)電機(jī)的特性等.

阿拉果圓盤實(shí)驗(yàn)是旋轉(zhuǎn)的磁體在圓盤中感應(yīng)出電流,從而產(chǎn)生了與磁針或磁體相互作用的磁場(chǎng),電磁阻尼與驅(qū)動(dòng)效應(yīng)[1,3]可重復(fù)性強(qiáng).因此,該實(shí)驗(yàn)可在大學(xué)物理教學(xué)中是一個(gè)很好的交叉學(xué)科應(yīng)用案例,它銜接了物理和工科專業(yè)教育[4,5].由于此實(shí)驗(yàn)可使用現(xiàn)代一些電機(jī)、電表輕松構(gòu)建,因此可布置給學(xué)生制作項(xiàng)目或在實(shí)驗(yàn)室中作為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與探究.既可為非工科專業(yè)學(xué)生的大學(xué)物理課程中引入電磁概念[5],也可作為課堂演示和設(shè)計(jì)與制作實(shí)驗(yàn),以激發(fā)大學(xué)生對(duì)科學(xué)的興趣.

阿拉果圓盤實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)描述和模擬結(jié)果是多學(xué)科優(yōu)質(zhì)案例[6,7].本文擬用適合于本科生的水平進(jìn)行定量描述,而相較于其他的阿拉果圓盤實(shí)驗(yàn)的不同或改進(jìn)之處:基于單極電機(jī)結(jié)構(gòu),采用電刷與靈敏電壓表的接腳通過(guò)槽來(lái)限定軌跡,創(chuàng)意設(shè)計(jì)與制作更便于演示實(shí)驗(yàn)并拓展為可定量分析的儀器,以磁針與圓盤轉(zhuǎn)速及其關(guān)系探究實(shí)驗(yàn)作為案例.為了滿足大學(xué)物理教學(xué)目的,我們還為現(xiàn)代模式的阿拉果圓盤實(shí)驗(yàn)選擇了可置換不同金屬材料圓盤或絲網(wǎng)的便捷模式,利于課堂與實(shí)驗(yàn)教學(xué)中使用與推廣.

1 經(jīng)典模式的回顧

首先回顧一下經(jīng)典阿拉果圓盤實(shí)驗(yàn).1825 年,法國(guó)的Francois Arago通過(guò)圖 1 所示實(shí)驗(yàn)裝置發(fā)現(xiàn)了一種神秘的效應(yīng),當(dāng)時(shí)稱之為“自轉(zhuǎn)磁力”.在實(shí)驗(yàn)中,他在圓形銅盤上方借助一根無(wú)扭線懸掛了一根磁針,皮帶轉(zhuǎn)輪可旋轉(zhuǎn)圓盤.他注意到轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤會(huì)影響磁針向同一方向轉(zhuǎn)動(dòng).如果圓盤的旋轉(zhuǎn)速度足夠快,磁針就會(huì)略有滯后且連續(xù)旋轉(zhuǎn)[8].

圖1 經(jīng)典的阿拉果圓盤實(shí)驗(yàn)裝置

在倫敦的查爾斯·巴貝奇 (1792～1871) 和約翰F W 赫歇爾 (1792～1871) 很快注意到了阿拉果的相同現(xiàn)象,他們做了一個(gè)反向?qū)嶒?yàn)[9].他們通過(guò)旋轉(zhuǎn)放置在下方的磁鐵來(lái)旋轉(zhuǎn)一個(gè)保持水平的銅盤,該銅盤繞中心旋轉(zhuǎn).由于附近磁鐵的運(yùn)動(dòng),導(dǎo)電的非磁性材料中產(chǎn)生了某種形式的磁性.勿容置疑,旋轉(zhuǎn)的磁鐵在圓盤中感應(yīng)出電流,從而產(chǎn)生了與磁針或磁鐵相互作用的磁場(chǎng).阿拉果圓盤實(shí)驗(yàn)由Faraday將其升華到“電磁感應(yīng)”理論高度,而羅蘭圓盤實(shí)驗(yàn)則常用于解釋星球自旋的生磁現(xiàn)象,即所謂“發(fā)電機(jī)”的生磁原理.

2 現(xiàn)代模式的模擬與設(shè)計(jì)

隨著現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展,直流電機(jī)、電刷和電表可便捷獲取,因此可對(duì)經(jīng)典阿拉果圓盤實(shí)驗(yàn)進(jìn)行重新設(shè)計(jì)與制作,簡(jiǎn)易搭建現(xiàn)代模式的阿拉果圓盤實(shí)驗(yàn)裝置,便于對(duì)其進(jìn)行深層次探究.

2.1 磁場(chǎng)的模擬

首先模擬外磁場(chǎng)的情況:該實(shí)驗(yàn)中,外界磁場(chǎng)為小磁針?biāo)a(chǎn)生的磁場(chǎng),可近似認(rèn)為是磁偶極子在r處產(chǎn)生磁場(chǎng),而在r′處圓形載流導(dǎo)線回路可近似為如圖2所示的一個(gè)磁偶極子,在線徑可略導(dǎo)線上,載流導(dǎo)線微元dl′線電流I近似為原電流I0.

圖2 等效模型示意圖

該z軸方向面積S磁偶極子的偶磁矩μ為

μ=I0S=I0Sez

(1)

該磁偶極子在r處產(chǎn)生磁矢勢(shì)為A(r),則

(2)

又因?yàn)?/p>

(3)

所以

(4)

半徑R圓盤在柱坐標(biāo)系(r′,φ′,z)下表示為

r′=R(icosφ′+jsinφ′)

(5)

dl′=dr′=(-isinφ′+jcosφ′)dφ′

(6)

于是球坐標(biāo)系(r,θ,φ)下表示為

(7)

所以磁矢勢(shì)為

(8)

式中er、eθ為為基矢.則球坐標(biāo)系(r,θ,φ)下磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(9)

其中μ0為真空磁導(dǎo)率,磁偶極矩μ是沿z軸方向,如圖3所示,利用計(jì)算機(jī)模擬該磁場(chǎng)的三維立體分布情況.

圖3 計(jì)算機(jī)模擬該磁場(chǎng)的三維立體分布散點(diǎn)圖

2.2 感應(yīng)電流的產(chǎn)生

如圖4(a)所示銅圓盤可分割成無(wú)數(shù)個(gè)銅圓環(huán),從而探究其產(chǎn)生感應(yīng)電流[9].由于小磁針磁場(chǎng)是軸對(duì)稱分布,穿過(guò)圓盤磁通量Φ保持不變,感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε為

圖4 構(gòu)建的模型及積分示意圖

(10)

因無(wú)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)出現(xiàn),即

ε=∮E·dl′=0

(11)

說(shuō)明無(wú)渦旋電場(chǎng)E出現(xiàn),與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符合.

可將圓盤近似分解為無(wú)數(shù)個(gè)銅棒,每個(gè)銅棒上都有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生,其中某個(gè)與磁鐵夾角α的銅棒離小磁針r處產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

(12)

其中B(r,α)為小磁針在(r,α)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度,r′為銅棒離轉(zhuǎn)心的位矢.該式表明:某銅棒上有且僅有磁感線穿進(jìn)(穿出), 因此感應(yīng)電流也是一側(cè)流入一側(cè)流出的.可認(rèn)為轉(zhuǎn)速為ωt圓盤變速過(guò)程是準(zhǔn)靜態(tài)的,即每個(gè)階段有一個(gè)固定的角速度ω0,即

ωt≡ω0

(13)

故如圖4(b)所示某銅棒,有

|Δε(r,α)|≠0

(14)

為此可說(shuō)明確有沿著徑向流動(dòng)電流,且徑向電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)在水平方向上的分量都是同向的,從而對(duì)小磁針產(chǎn)生了一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)力矩,使小磁針發(fā)生了旋轉(zhuǎn).根據(jù)巴比奇和赫歇爾發(fā)現(xiàn)的銅盤割裂效果,可推測(cè)圓盤的真實(shí)結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)是上面兩種情況的疊加.半徑R銅圓環(huán)既然不參與感應(yīng)電流的形成,而參與導(dǎo)體回路的形成,在這個(gè)模型中也是至關(guān)重要的.

下面可定量計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)Δε(r,α),計(jì)算過(guò)程中用到的物理量,如圖4(c)所示.

(15)

圖5 (a) 圓盤中某棒上電勢(shì)隨r的分布曲線; (b) 圓盤中某一棒的電動(dòng)勢(shì)隨α變化的模擬曲線

2.3 轉(zhuǎn)動(dòng)力矩及轉(zhuǎn)速

將電動(dòng)勢(shì)近似為均勻分布,可簡(jiǎn)化模型為無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)線,即一段長(zhǎng)為h′銅棒所產(chǎn)生磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度

(16)

其中Re是材料電阻,由磁荷觀點(diǎn),可得到位于rmag轉(zhuǎn)動(dòng)力矩

(17)

這僅是正下方一根銅盤產(chǎn)生的效應(yīng),若要考慮到其他銅盤共同的效應(yīng),μ為磁偶極矩,則應(yīng)計(jì)算一個(gè)復(fù)雜的積分.但是該積分結(jié)果形式與ΔM相同,可以X代替積分因子,總的力矩形式上記為

(18)

由前面對(duì)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算,可知當(dāng)小磁針性質(zhì)、位置不變時(shí),感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)僅與圓盤角速度ω和所處位置α有關(guān).若考慮一側(cè)的電動(dòng)勢(shì)總和,也要涉及到一個(gè)復(fù)雜的角度積分,且形式也不改變,則該力矩表達(dá)式為

M=Zωeθ

(19)

Z是常系數(shù),可得運(yùn)動(dòng)方程:

(20)

這里設(shè)ωt是小磁針的轉(zhuǎn)速,J是小磁針的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.為考慮之后的運(yùn)動(dòng),可用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn),可得適用于全程運(yùn)動(dòng)方程:

(21)

該方程表明,小磁針角速度ωt的變化始終落后于圓盤角速度ω變化(在準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程下),說(shuō)明電磁感應(yīng)理論能正確地說(shuō)明小磁針的滯后效應(yīng).

3 現(xiàn)代模式實(shí)驗(yàn)裝置的制作與應(yīng)用

基于以上模擬分析,有2種簡(jiǎn)捷設(shè)計(jì)與制作.

3.1 單極電機(jī)結(jié)構(gòu)的制作

單極電機(jī)的結(jié)構(gòu)可抽象為如圖6所示的電路.在理想的對(duì)稱情況下,兩側(cè)支路將通過(guò)相等電流I,外界磁場(chǎng)為B(r)是非均勻的,在矢徑r0處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為B(r0),這個(gè)磁場(chǎng)將對(duì)該處電流元產(chǎn)生一個(gè)安培力,其大小為

圖6 (a) 單極電動(dòng)機(jī)的構(gòu)造; (b) 基于Python實(shí)現(xiàn)的磁偶極子磁場(chǎng)平面分布; (c) 單極電機(jī)結(jié)構(gòu)裝置的制作

dF(r0)=Idl′×B(r0)

(22)

由于兩側(cè)電流方向相同,而磁力線對(duì)稱分布,由矢量的運(yùn)算反對(duì)稱性,這個(gè)磁場(chǎng)在兩側(cè)產(chǎn)生的安培力大小相等、方向相反,其表征力為FA.這2個(gè)安培力對(duì)半徑為R線圈產(chǎn)生同方向的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩M=R×FA,因此可驅(qū)動(dòng)線框旋轉(zhuǎn).

在現(xiàn)實(shí)情況下,由于存在摩擦力與阻力矩Mf,這個(gè)力矩與轉(zhuǎn)速相關(guān),當(dāng)2M接近于Mf時(shí),根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律

Jα=2M-Mf

(23)

其中J是線圈的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,可知線圈的轉(zhuǎn)速將趨于穩(wěn)定.該過(guò)程因?yàn)楫a(chǎn)生焦耳熱而消耗電池能量,線圈轉(zhuǎn)速會(huì)逐步減弱,而在穩(wěn)定后較短時(shí)間內(nèi)仍可認(rèn)為線圈做勻速圓周運(yùn)動(dòng).由于搭建單極電機(jī)的材料除磁鐵外都不具有磁性,實(shí)驗(yàn)所用電池,除了兩端電極之外不含金屬導(dǎo)體,因此對(duì)原磁場(chǎng)產(chǎn)生的影響可略.

所用電池參數(shù)顯示,正常短路電流約在6～12 A,由安培環(huán)路定理,該電流I在r處產(chǎn)生磁場(chǎng)為

(24)

這個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度在10-3m內(nèi)將衰減至10-3T.實(shí)驗(yàn)前用精密高斯計(jì)測(cè)得磁鐵在電機(jī)所處空間范圍內(nèi)所產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度約為10-1～10-2T ,因此電流產(chǎn)生磁場(chǎng)對(duì)原磁場(chǎng)的分布影響在建模時(shí)也可略.

不妨把磁鐵看成磁偶極子,可用磁荷的觀點(diǎn),可類推出磁偶極子r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B表達(dá)式為

(25)

用計(jì)算機(jī)模擬可得出這個(gè)磁場(chǎng)分布,如圖6(b)所示.設(shè)線圈半徑為R,線圈離磁體高度為H,其中的電流為I,則在柱坐標(biāo)系中一側(cè)線框受到力矩為

(26)

其中

合力矩為M,由

Jβ=2M-Mf

(27)

其中Mf為摩擦力與阻力產(chǎn)生的力矩,聯(lián)立可給出轉(zhuǎn)動(dòng)加速度β.

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中無(wú)豎直方向安培力存在,由于摩擦力存在.因此可認(rèn)為

(28)

摩擦力矩近似為常量,因此轉(zhuǎn)速ω的線圈將做加速運(yùn)動(dòng).受電磁感應(yīng)等效應(yīng)的影響,B和導(dǎo)線中I要發(fā)生變化.當(dāng)β=0時(shí),開始做勻速轉(zhuǎn)動(dòng).

3.2 實(shí)驗(yàn)裝置的制作與探究

根據(jù)前面的實(shí)驗(yàn),基于單極電機(jī)結(jié)構(gòu)利用阿拉果圓盤可制作電磁感應(yīng)演示儀.如圖7(a)所示,用塑料盒將馬達(dá)、可置換不同材料的圓盤和傳動(dòng)裝置封裝,靈敏電壓表和圓盤用電刷連接.實(shí)驗(yàn)時(shí),電源開啟,此時(shí)磁針與旋轉(zhuǎn)的圓盤相對(duì)運(yùn)動(dòng),圓盤內(nèi)形成徑向電流,可觀察到靈敏電壓表發(fā)生偏轉(zhuǎn),可定量驗(yàn)證電磁感應(yīng)現(xiàn)象.電刷與靈敏電壓表的接腳通過(guò)槽來(lái)限定軌跡,還以轉(zhuǎn)速表、轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器定量驗(yàn)證可置換不同材料的阿拉果圓盤相對(duì)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí),定量檢測(cè)其徑向電流.實(shí)驗(yàn)裝置示意如圖7(b)所示.

圖7 (a) 演示模型圖; (b) 實(shí)際實(shí)驗(yàn)裝置圖

以磁針與圓盤轉(zhuǎn)速及其關(guān)系探究實(shí)驗(yàn)作為案例,如表1數(shù)據(jù).

表1 磁針與圓盤轉(zhuǎn)速的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(圓盤轉(zhuǎn)速為ω0,磁針轉(zhuǎn)速為ωt,單位rad/min)

如圖8所示磁針轉(zhuǎn)速擬合曲線ωt=ω0(1-e-1.03t)說(shuō)明磁針轉(zhuǎn)動(dòng)滯后特點(diǎn),即磁針會(huì)跟隨著圓盤轉(zhuǎn)動(dòng),但稍有落后.考慮到實(shí)際過(guò)程中還存在空氣阻力與電刷的摩擦力及其扭轉(zhuǎn)張力影響,從而圓盤設(shè)定轉(zhuǎn)速也有局部小范圍偏低.從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看,銅盤轉(zhuǎn)速局部抖動(dòng)對(duì)磁針轉(zhuǎn)速幾乎沒(méi)影響,所以設(shè)定轉(zhuǎn)速的銅盤(圖中虛線)可使磁針異步轉(zhuǎn)動(dòng).

圖8 磁針與圓盤轉(zhuǎn)速及其關(guān)系的實(shí)驗(yàn)曲線

在建模時(shí)曾推測(cè),阿拉果圓盤可置換不同模式的絲網(wǎng)模型[9].若要深層次探究,可嘗試制作不同材料絲網(wǎng)模型,用不同材料的絲網(wǎng)模型來(lái)置換阿拉果圓盤,用靈敏電壓表檢測(cè)各種現(xiàn)象是否出現(xiàn),以此來(lái)驗(yàn)證可能出現(xiàn)的非恒定的阻尼與驅(qū)動(dòng)效應(yīng).

4 結(jié)束語(yǔ)

本文回顧了阿拉果圓盤在經(jīng)典模式下的工作原理,將其簡(jiǎn)化為旋轉(zhuǎn)圓盤和磁針的效果.我們描述了徑向感應(yīng)電流驅(qū)動(dòng)過(guò)程,這是大學(xué)物理入門課程中的典型問(wèn)題之一.通過(guò)求解電流的安培定律,我們發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)方程似乎是渦流驅(qū)動(dòng)效應(yīng)[10].根據(jù)所獲得的結(jié)果,置換不同材料的絲網(wǎng)模型進(jìn)行驗(yàn)證,我們可拓展為一種用于定量分析不同材料的絲網(wǎng)中徑向電流分布的實(shí)驗(yàn)儀器.

對(duì)于現(xiàn)代模式的阿拉果的圓盤實(shí)驗(yàn),我們使用了簡(jiǎn)捷的設(shè)計(jì)來(lái)傳遞安培定律、法拉第定律、直流電機(jī)、電刷和轉(zhuǎn)速計(jì)的核心概念.實(shí)踐表明,使用相對(duì)運(yùn)動(dòng)可顯著提高阿拉果圓盤的效果.電機(jī)具有非?？斓捻憫?yīng)時(shí)間[10].在現(xiàn)代模式的阿拉果圓盤實(shí)驗(yàn)中,它們被用作快速直觀的便攜式演示,并且由于電機(jī)是許多工業(yè)設(shè)備的關(guān)鍵部件,為后續(xù)課程可持續(xù)學(xué)習(xí)提供有益的教學(xué)價(jià)值.許多工科學(xué)生在課程中會(huì)遇到工業(yè)設(shè)計(jì)中的電機(jī).因此,現(xiàn)代阿拉果圓盤實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理教學(xué)的一個(gè)交叉學(xué)科案例,因?yàn)樗Y(jié)合了物理學(xué)和電氣工程的概念,適合于大學(xué)物理教學(xué)中推廣應(yīng)用.