巧方法證明，妙函數(shù)應(yīng)用

燕海軍

摘 要： 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題是高考中一個重要的解答題類型.結(jié)合一道高考真題的分析，從不同視角切入，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)思維來證明對應(yīng)的不等式成立，歸納解題技巧與策略，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞： 函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；不等式；最值

涉及函數(shù)的不等式恒成立問題，是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用的體現(xiàn)，是高中數(shù)學(xué)此類模擬知識的重要內(nèi)容之一，也是歷年高考中的一大熱點之一.常常需要利用導(dǎo)數(shù)法來轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等來處理，能夠很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基本知識，數(shù)學(xué)基本思想方法和數(shù)學(xué)基本能力，以及數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，倍受各方關(guān)注.

1 真題呈現(xiàn)

【高考真題】 ??（2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷·19） 已知函數(shù)f（x）=a（ e x+a）-x.

（1） 討論f（x）的單調(diào)性；

（2） 證明：當(dāng)a＞0時，f（x）＞2 ln ?a+ 3 2 .

2 真題剖析

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，是歷年高考試卷中解答題不變的考點之一，形式多樣，變化多端，創(chuàng)新新穎.

而在2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題放在解答題第三個的位置上，難度在一定程度上有所降低，屬于中等難度程度，也是近幾個新高考數(shù)學(xué)試卷中此類問題位置變化最明顯的一次，也是位置最靠前的一次.

這樣回避了前幾年新高考數(shù)學(xué)試卷中此類問題位于解答題的最后兩題的位置，在一定程度上也給以后的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)提供一個明確的方向.導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)及其應(yīng)用問題的一種重要工具，重在基礎(chǔ)，重在根本，重在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的本質(zhì)屬性，而不在于繁雜的邏輯推理與復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算.

因而，把握函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題的根本技巧策略是解決此類問題的關(guān)鍵，也是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中的重點所在.

3 真題破解

解析： ?（1） 依題知函數(shù)f（x）的定義域為 R ，且f ′（x）=a e x-1，

當(dāng)a≤0時，f ′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在 R 上單調(diào)遞減；

當(dāng)a＞0時，由f ′（x）=a e x-1=0，解得x=- ln ?a，

則當(dāng)x∈（-∞，- ln ?a）時，f ′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（- ln ?a，+∞）時，f ′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；

綜上分析，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）在 R 上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）在（-∞，- ln ?a）上單調(diào)遞減，在（- ln ?a，+∞）上單調(diào)遞增.

解后反思： ?根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)處理，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況來判斷函數(shù)的單調(diào)性，是解決問題的基本思維方法.要注意的是，涉及函數(shù)含參，必須對參數(shù)的取值情況進(jìn)行合理的分類討論，這也方便對導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況的判斷.分類討論時，要注意不重復(fù)不遺漏，全面細(xì)致.

（2） ??方法1 ?（函數(shù)最值法）

由（1）知，當(dāng)a＞0時，f（x） ?min =f（- ln ?a）=a（e- ln ?a+a）+ ln ?a=1+a2+ ln ?a，

令函數(shù)g（a）=1+a2+ ln ?a- 2 ln ?a+ 3 2 ?=a2- ln ?a- 1 2 ，a＞0，

則有g(shù)′（a）=2a- 1 a = 2a2-1 a ，由g′（a）=0，解得a= ?2 ?2 ，

則當(dāng)x∈ 0， ?2 ?2 ?時，g′（a）＜0，函數(shù)g（a）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈ ??2 ?2 ，+∞ 時，g′（a）＞0，函數(shù)g（a）單調(diào)遞增，

所以g（a）≥g ??2 ?2 ?= ??2 ?2 ?2- ln ???2 ?2 - 1 2 =- ln ???2 ?2 ＝ ln ??2 ＞0，所以f（x）＞2 ln ?a+ 3 2 ，證畢.

解后反思： ?延續(xù)第一小問的結(jié)果，直接利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性來確定其最小值問題，通過作差比較法構(gòu)建新的函數(shù)，進(jìn)一步通過求導(dǎo)與運算，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷與最值的確定可證明新構(gòu)建的函數(shù)恒為正，進(jìn)而得以證明對應(yīng)的不等式.函數(shù)最值法比較直接地延續(xù)了前面問題中解題思路與結(jié)果，解法方法自然，水到渠成.

方法2 ?（切線放縮法）

當(dāng)a＞0時，利用重要的切線不等式，可得f（x）=a（ e x+a）-x= e x+ ln ?a+a2-x≥x+ ln ?a+1+a2-x=a2+ ln ?a+1，當(dāng)且僅當(dāng)x+ ln ?a=0時等號成立，

以下部分同方法1，所以f（x）＞2 ln ?a+ 3 2 ，證畢.

解后反思：借助重要的切線不等式 e x≥x+1，對原函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行放縮處理，確定函數(shù)的最小值，并在此基礎(chǔ)上同方法1構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用來分析與證明.利用重要的切線不等式來放縮處理，在解決指數(shù)型、對數(shù)型的函數(shù)不等式問題中經(jīng)常用到，熟悉掌握重要的切線不等式是基礎(chǔ)，也是破解問題的關(guān)鍵所在.

方法3 ?（逆推分析法）

由（1）知，當(dāng)a＞0時，f（x） ?min =f（- ln ?a）=a（ e - ln ?a+a）+ ln ?a=1+a2+ ln ?a，

要證不等式f（x）＞2 ln ?a+ 3 2 成立，只需證1+a2+ ln ?a＞2 ln ?a+ 3 2 成立，等價于a2- 1 2 ＞ ln ?a，

結(jié)合重要的切線不等式 ln ?a≤a-1，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時等號成立，

即證不等式a2- 1 2 ＞a-1成立，等價于a2-a+ 1 2 ＞0，

因為a2-a+ 1 2 = a- 1 2 ?2+ 1 4 ＞0成立，所以f（x）＞2 ln ?a+ 3 2 ，證畢.

解后反思： ?分析法是推理證明中非常常用的一種基本方法，比較契合思維過程，從結(jié)論入手，合理通過等價變形以及相關(guān)公式、定理等的應(yīng)用，逆向思維，反向操作.特別在證明此類不等式成立問題中，也是比較常用的方法.在逆推分析過程中，要保證不等式成立的等價性，并會加以合理變形與轉(zhuǎn)化，以及巧妙的過渡應(yīng)用.

方法4 ?（同構(gòu)法）

當(dāng)a＞0時，要證不等式f（x）＞2 ln ?a+ 3 2 成立，只需證a（ e x+a）-x＞2 ln ?a+ 3 2 成立，

等價于 e x+ ln ?a-（x+ ln ?a+1）+ 1 2 （a2- ln ?a2-1）+ 1 2 a2＞0，

借助重要的切線不等式 e x≥x+1，可得 e x+ ln ?a-（x+ ln ?a+1）≥0，

又由于重要的切線不等式 ln ?a≤a-1，可得 1 2 （a2- ln ?a2-1）≥0，

而 1 2 a2＞0，故不等式 e x+ ln ?a-（x+ ln ?a+1）+ 1 2 （a2- ln ?a2-1）+ 1 2 a2＞0顯然成立，

所以f（x）＞2 ln ?a+ 3 2 ，證畢.

解后反思： ?結(jié)合所要證明的不等式成立加以分析法處理，并對所要證明的不等式應(yīng)用同構(gòu)法，合理分拆并重組，利用重要的切線不等式進(jìn)行放縮處理，這是同構(gòu)法的難度與重點所在.同構(gòu)法的目的是通過結(jié)合共同點等結(jié)構(gòu)特征來合理變形與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而方便利用指數(shù)型、對數(shù)型的重要切線不等式進(jìn)行綜合與應(yīng)用.

4 教學(xué)啟示

4.1 方向明確，按部就班

此類涉及函數(shù)不等式恒成立的問題，解題思路與方向相對比較明確，關(guān)鍵就是構(gòu)造與之相吻合、比較恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，把不等式恒成立問題合理轉(zhuǎn)化，借助導(dǎo)數(shù)法對函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值問題進(jìn)行分析與處理.

在具體證明不等式或解決相關(guān)的不等式恒成立問題時，合理按照既定的方向，按部就班，逐步推進(jìn)，只是處理過程中的函數(shù)的構(gòu)建不同，以及邏輯推理與數(shù)學(xué)運算量的大小不一而已，基本上都可以突破.

數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中要注重對考生這方面自信心的養(yǎng)成.

4.2 把握根本，掌握技巧

解決此類函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題時，切入點眾多，技巧性和方向性強(qiáng)，思維方法多樣，具有一定的綜合性與交匯性.

在具體解題過程中，隨著問題的深入分析與解決，巧妙形成完整的數(shù)學(xué)知識體系，清晰數(shù)學(xué)解題思路，綜合應(yīng)用相應(yīng)的推理方法，從而提升學(xué)生的理解問題、分析問題與解決問題的能力，提升數(shù)學(xué)能力，拓展數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).