創(chuàng)設真實情境 浸潤數(shù)學文化

吳俊英

摘 要： 在分析2023年高考數(shù)學全國卷中的數(shù)學文化試題后發(fā)現(xiàn)：數(shù)學文化類試題數(shù)量較少，數(shù)學文化類型分布集中在數(shù)學與生活、數(shù)學與科技兩個類型；主題領域分布不均衡，“概率與統(tǒng)計”最多；試題通過創(chuàng)設自然真實情境，合理控制閱讀難度、知識點個數(shù)、運算量等來契合試題要求層次和考生認知水平.高三試題命制應創(chuàng)造性使用教材，注意均衡各數(shù)學文化類型；課堂教學應依托情境化設計，關注閱讀、思考、表達閉環(huán)訓練，培養(yǎng)學生應用能力，浸潤數(shù)學文化.

關鍵詞： 數(shù)學文化；真實情境；高考

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出“數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關的人文活動” ［1］.2023年高考對數(shù)學文化的考查主要體現(xiàn)在創(chuàng)設自然真實情境，從現(xiàn)實生活情境、科學研究情境及勞動生產(chǎn)情境出發(fā)，合理控制閱讀難度、抽象程度、運算量，使情境化試題契合試題要求層次和考生認知水平［2］.為明晰當前高考試題中滲透了哪些數(shù)學文化，以2023年高考數(shù)學全國卷試題為文本對象進行統(tǒng)計分析與討論，以期為高三復習提供啟示與建議.

1 數(shù)學文化試題特征分析

整理、分析2023年高考數(shù)學試題，從試卷、題型與題號、試題背景、考查內容知識點、考查內容主題及文化類型六個方面對全國甲卷（文科、理科）、全國乙卷 （文科、理科）、新課標Ⅰ卷、新課標Ⅱ卷六套試卷中的數(shù)學文化類考題進行統(tǒng)計、歸納，如下表1. 基于已有研究，依據(jù)張維忠等人關于高考數(shù)學試題中數(shù)學文化的分類標準，將數(shù)學文化內容類型分為數(shù)學史、數(shù)學與人文藝術、數(shù)學與科技、數(shù)學與生活四類［3］.

1.1 試題文化類型分析

2023年全國高考統(tǒng)一命題數(shù)學試題中的數(shù)學文化題總數(shù)較少，僅有15道題，數(shù)學文化試題類型分布不均衡但貼近生活，便于學生學習興趣的培養(yǎng).試題以數(shù)學與生活、數(shù)學與科技為主陣地，從現(xiàn)實生活情境（如新課標Ⅱ卷第3題，全國甲卷理科第9題，新課標Ⅰ卷第21題）、科學研究情境（如新課標Ⅰ卷第10題，新課標Ⅱ卷第19題，全國甲卷理科文科數(shù)學第19題）及勞動生產(chǎn)情境（如全國乙卷理科文科第17題）出發(fā)，充分體現(xiàn)了數(shù)學與實際生活息息相關，增加高考數(shù)學試題和社會生活、科技生產(chǎn)等的聯(lián)系，可以使數(shù)學更加貼近現(xiàn)實生活，拉近學生和數(shù)學之間的距離，提高學生學以致用的能力，培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識，更多關注學生綜合解決問題的能力.試題的突出特點有以下兩點：一是以人員安排、體育比賽等為背景的試題較多，以科技創(chuàng)新為背景的試題偏少；二是對數(shù)學史給予的關注度不夠，數(shù)學史、數(shù)學與人文藝術今年沒有直接考查.

1.2 試題知識主題分析

從知識主題的統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)量分布最多的是“概率與統(tǒng)計”主題，試題總數(shù)為14道;其次是“函數(shù)”主題，試題總數(shù)為1道；“幾何與代數(shù)”主題和“數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動”沒有考查.總體來說，除了新課標Ⅰ卷第21題，其他試題綜合難度不高.每個試題知識點含量有所提升，從知識點個數(shù)來看，結合的知識點數(shù)量以2個或3個為主，主要考查學生對基礎知識的理解和基本技能的應用，解答題中3個及以上知識點的考查占比在逐年增高.

1.3 試題題型及閱讀量分析

從試題題型的統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，選擇題有8道，填空題1道，解答題6道.在數(shù)學文化考查方式上，更多地發(fā)揮了選擇、填空題行文簡潔凝練，答案簡短、明確、具體，評分客觀、公正、準確等特點.同時都有一道題以解答題形式考查數(shù)學文化.按照閱讀量分類標準：試題字符數(shù)在100以內為少量，試題字符數(shù)在100—200之間為中等，試題字符數(shù)在200以上為大量.今年試題閱讀量控制題干字數(shù)，表達嚴謹精簡，情境化設計簡潔貼近現(xiàn)實社會.統(tǒng)計得閱讀量少量為7道，中等為2道，大量為6道.在閱讀量上，選填題多以中等為主，需要學生擁有快速閱讀提取信息整合信息的能力.解答題的閱讀量字符數(shù)一般較多，需要學生進行文字語言與數(shù)學語言的相互轉化，試題既提高了數(shù)學知識的關聯(lián)程度，也提升了試題本身的閱讀難度.

2 典型試題欣賞與評析

2023年高考數(shù)學文化的滲透聚焦在數(shù)學與科技、數(shù)學與生活兩個內容上.在數(shù)學與生活試題中背景涉及到體育、選課、社區(qū)服務、文藝匯演、作文比賽等等，能讓學生深切體會到數(shù)學無處不在.既體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值，也具有育人價值，能夠提高學生的社會意識與社會責任感.

例 ??（新課標Ⅰ卷第21題） ：甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1） 求第2次投籃的人是乙的概率；

（2） 求第ⅰ次投籃的人是甲的概率；

（3） 已知：若隨機變量X i服從兩點分布，且P（X i=1）=1-P（X i=0）=q i，i=1，2，…，n，則 E（∑ n i=1 X i）=∑ n i=1 q i. 記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）.

點評： ?本題以考生熟悉的籃球投籃作為情境，設計新穎，將概率問題融入兩人的連續(xù)投籃練習中.前兩個設問考查事件的關系，根據(jù)全概率公式與條件概率，從隨機過程分支中找數(shù)列的遞推關系進而解決問題.考查考生的邏輯思維能力，考查考生對復雜事件的分解和轉化的能力.求解的關鍵是問題背景中前后試驗具有密切的關聯(lián)性，其概率的內在聯(lián)系決定了數(shù)列的遞推關系，而遞推關系的數(shù)學本質是全概率公式［4］. 第3問考查離散型隨機變量的期望，需要在較為復雜的情境中明晰各信息之間的聯(lián)系，用數(shù)學符號、文字語言表達問題，對隨機變量進行分析和轉化，逐步將問題解決.求解關鍵是用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)此題的研究對象，將題目轉化為數(shù)學問題，并借助數(shù)學語言和思維對題目進行表達進而解決問題.

本題是一個“馬爾可夫鏈”問題.馬爾可夫鏈是一個著名的概率模型，它描述隨著時間的推移，各個不同狀態(tài)間的相互轉化，在自然科學和社會科學中有著廣泛的應用.馬爾可夫性可以解釋為：在已知現(xiàn)在的情況下，將來的隨機變化規(guī)律與過去發(fā)生的事件無關，即未來狀態(tài)n只受當前狀態(tài)n的影響，與之前的n無關.在現(xiàn)實生活中，很多隨著時間變化的隨機變量序列都具有馬爾可夫性.一般地，我們稱具有馬爾可夫性的隨機變量序列{X i}為馬爾可夫鏈.在實際應用中，可以通過問題的背景直接判斷隨機變量序列是否具有馬爾可夫性.教材和各地模擬題中也有相關的習題可以供拓展練習使用.

拓展練習1 ??（人教 A 版數(shù)學選擇性必修第三冊第81頁第10題） ：如圖，一個質點在隨機外力的作用下，從原點0出發(fā)，每隔1s等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次.求下列事件的概率.

（1） 質點回到原點；

（2） 質點位于4的位置.

拓展練習2 ??（人教 A 版數(shù)學選擇性必修第三冊第91頁第10題） ：甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，求n次傳球后球在甲手中的概率.

3 啟示與建議

結合楊正朝、曹文杏等人對近些年數(shù)學文化試題的研究［5］ ［6］，聯(lián)系前文對2023年試題總體特征的分析及個別試題的賞析，發(fā)現(xiàn)了一些命題特征，由此為試題的編制和教師課堂教學提出以下幾點建議.

3.1 基于教材進行試題編制，二次加工教材創(chuàng)設情境

高考評價體系強調“無情境，不成題”，強調試題的情境設計和創(chuàng)造.各版數(shù)學教材中提供了很多的情境，不僅在新授課時應重視，在高三復習時也應回歸教材，尤其重視引言、旁白、探究、閱讀與思考等內容，梳理可滲透數(shù)學文化的材料，根據(jù)教學內容，改編教材情境試題.2019年高考理科數(shù)學全國Ⅰ卷第21題，2020年高考理科數(shù)學Ⅰ卷第21題也都是基于馬爾可夫鏈的概率問題.實際上，普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修4 9（ A 版）《風險與決策》中第四講馬爾可夫型決策簡介詳細介紹了馬爾可夫鏈問題，但顯然部分教師對這部分內容缺乏足夠的重視.高考數(shù)學試題的命制來源于教材又高于教材，教師可以多閱讀各個版本的教材并從中積累素材，試題編制時關注文字的精煉，合適控制文字數(shù)量和閱讀理解對問題難度的影響，適當均衡各部分內容，讓學生充分體會到數(shù)學的重要性.在數(shù)學與生活的選材上，除了關注個人生活背景，可以關注結合社會熱點、社會公共生活；在數(shù)學與科技的選材上，注意材料要與時俱進，契合時代背景，關注最新科技研究成果與數(shù)學的聯(lián)系，在數(shù)學史的選材上，除了數(shù)學名家、數(shù)學名題、數(shù)學名著，還可以用我國古代數(shù)學優(yōu)秀成果和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化來凸顯文化自信.此外需要關注數(shù)學文化在人文藝術方面的應用，以更為豐富的數(shù)學文化內容和更多元的數(shù)學文化類型彰顯數(shù)學文化的價值意義.

3.2 課堂教學關注閱讀、思考、表達閉環(huán)訓練，培養(yǎng)學生應用能力

通過對數(shù)學文化類試題的分析發(fā)現(xiàn)，近些年高考試題的情境越來越真實復雜，且解答題字符數(shù)目較多，更加注重考查學生閱讀理解和信息整合能力.教師應該重視高考命題趨勢，調整教學.課堂上要給 學生完整的閱讀、思考、表達等基本活動的體驗，經(jīng)歷從閱讀到理解再到應用的過程，形成課堂教學閉環(huán).教師應重視與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，設置或選擇真實復雜的問題情境，鍛煉學生從情景中抽象出數(shù)學問題、進行數(shù)學閱讀的能力，培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光觀察世界的習慣.接下來圍繞問題的解決，教師引導學生開展學習，教師在教學設計中應注重基本概念的理解與應用，在教學活動中充分展示數(shù)學本質，重視具體知識與技能的生成過程，用數(shù)學的思維思考世界.最后用數(shù)學的語言表達世界，鼓勵學生探索創(chuàng)新，自主創(chuàng)設符合問題的試題情境.

總之，以情境為載體的高考命題，秉承立德樹人的教育理念，滲透數(shù)學文化，堅持以文化人，以文育人.高三試題命制應創(chuàng)造性使用教材，注意均衡各數(shù)學文化類型；課堂教學應依托情境化設計，關注閱讀、思考、表達閉環(huán)訓練，培養(yǎng)學生的應用能力，浸潤數(shù)學文化.

參考文獻：

［1］ 中 華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 教育部教育考試院.深入考查基礎知識和能力，助力人才選拔和“雙減”落地——2023年高考數(shù)學全國卷試題評析［J］.中國考試，2023（7）：15 21.

［3］ 張維忠，金月丹.高考試題中的數(shù)學文化內容類型研究——基于近5年高考試卷的量化分析［J］.中學數(shù)學月刊，2020（6）：26 34.

［4］ 余建國.過程分支類概率問題的數(shù)學本質與求解方法［J］.中小學數(shù)學，2023（6）：11 13.

［5］ 楊正朝，吳京霖，王寬明.高考數(shù)學文化類試題評析——以2020—2022年高考數(shù)學全國卷為例［J］.遼寧師專學報（自然科學版），2022（12）：11 17.

［6］ 曹文杏，胡余旺.高考數(shù)學中數(shù)學文化類試題特征及其評析：以2016—2020年全國Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷為例［J］.教育測量與評價，2021（5）：49 57.