高中數(shù)學(xué)教科書“正、余弦定理”內(nèi)容的比較研究

姜夢潔 王盼 華子艷 劉冰楠

摘 要： 正、余弦定理是平面三角學(xué)中刻畫三角形邊角關(guān)系的基本定理，有豐富的教育價值.而教科書是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)的重要教學(xué)資源，在新課程“一綱多本”教育背景下，我國教科書百花齊放、各具特色.故選取現(xiàn)行六版高中數(shù)學(xué)教科書，比較其“正、余弦定理”內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，整合教學(xué)資源，博采眾長，提出教學(xué)建議；聯(lián)系現(xiàn)實(shí)融合史料，豐富問題情境創(chuàng)設(shè)；促進(jìn)關(guān)鍵知識生長，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)；聚焦探究啟發(fā)思考，落實(shí)核心素養(yǎng)導(dǎo)向.

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué)；正弦定理；余弦定理；教科書比較

教科書承載著課程內(nèi)容文本與教學(xué)活動文本的雙重屬性，是教與學(xué)的主要依據(jù).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標(biāo)》）明確指出，數(shù)學(xué)教材是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源，要積極探索教材的多樣化［1］.隨著新一輪基礎(chǔ)教育改革方案與新課標(biāo)的頒布，教科書也同步更新并陸續(xù)投入使用.教科書的編寫實(shí)質(zhì)上是編寫者依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行再創(chuàng)造的過程，它關(guān)系著教科書的水平和質(zhì)量，決定著教科書的風(fēng)格特色，影響著師生對教科書的評價與使用［2］.

正、余弦定理是平面三角學(xué)中刻畫三角形邊角關(guān)系的基本定理.它們與平面幾何中的勾股定理、射影定理、海倫公式等水乳交融，又與解析幾何中的向量運(yùn)算、兩點(diǎn)間距離公式等息息相關(guān)，可以重點(diǎn)提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).比較各版本教科書，整合教學(xué)資源，博采眾長，這對教科書的編寫和教學(xué)質(zhì)量的提升有一定促進(jìn)作用.選取現(xiàn)行六版高中數(shù)學(xué)教科書（人教 A 版、人教 B 版、北師大版、蘇教版、湘教版、鄂教版），以“正、余弦定理”內(nèi)容為載體，從章節(jié)設(shè)置、知識編排、例習(xí)題設(shè)置三個方面比較其呈現(xiàn)方式，透視各版本教科書的編寫特色，以期為教科書編寫與教師教學(xué)提供參考.

1 ?正、余弦定理內(nèi)容的呈現(xiàn)方式比較

1.1 章節(jié)設(shè)置

章節(jié)設(shè)置體現(xiàn)編者對知識所屬領(lǐng)域的劃分，前后知識在一定程度上影響著當(dāng)下內(nèi)容的學(xué)習(xí).《課標(biāo)》中正、余弦定理屬于幾何與代數(shù)主題，呈現(xiàn)在“平面向量及其應(yīng)用”的“向量應(yīng)用與解三角形”中.人教 A 版、北師大版、湘教版及鄂教版都將其設(shè)置于“平面向量及其應(yīng)用”章節(jié)，與平面向量在幾何、 物理中的應(yīng)用并列，從知識體系上看從屬于平面向量，強(qiáng)調(diào)平面向量學(xué)習(xí)的連貫性.人教 B 版和蘇教版均將“解三角形”設(shè)置為獨(dú)立章節(jié)，重視三角學(xué)知識體系的獨(dú)立性.不同于其他四版按照“余弦定理——正弦定理”的順序編排，人教 B 版與鄂教版先介紹正弦定理.此外，人教 B 版結(jié)合數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動主題，以課題研究形式設(shè)計(jì)與正、余弦定理相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動相結(jié)合，重視數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

1.2 知識編排

六版教科書正、余弦定理的知識編排如表1所示.

1.2.1 欄目設(shè)置

欄目是教科書的基本功能單位，欄目的設(shè)置與 編排關(guān)系著教科書內(nèi)容的選擇與呈現(xiàn)，并進(jìn)一步影響課程目標(biāo)的達(dá)成.各版教科書在正、余弦定理的編排中均設(shè)置探究欄目，學(xué)生在數(shù)學(xué)探究活動中完成對正、余弦定理的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，凸顯以學(xué)生為本的價值取向.其中北師大版最具特色，兩個定理均依照“問題提出——分析理解——抽象概括”的欄目框架進(jìn)行編寫，得出正、余弦定理的過程正是從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程，有助于發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力.

1.2.2 引入方式

引入是新課學(xué)習(xí)的開端，對激發(fā)興趣、啟發(fā)思考有重要作用.除人教 B 版及鄂教版外，其余四版教科書均先設(shè)置余弦定理的內(nèi)容，且都從數(shù)學(xué)問題出發(fā).其中，人教 A 版、北師大版、湘教版提出“如何用兩邊及其夾角表示第三邊”，以解三角形為目標(biāo)展開探究.引入正弦定理時，人教 A 版沿用了類似“用兩角和一邊解三角形”的問題；北師大版和湘教版則直接切入課題，聚焦 “三角形各邊和所對角正弦之間的關(guān)系”；蘇教版關(guān)注余弦與正弦定理的內(nèi)在聯(lián)系，從同一個問題“將△ABC中的向量等式BC =BA +AC 數(shù)量化”的兩種不同解法分別引出余弦定理與正弦定理；人教 B 版及鄂教版利用測量距離的問題情境導(dǎo)入，生活實(shí)例有助于引起學(xué)生興趣，同時體現(xiàn)正、余弦定理在其他領(lǐng)域的應(yīng)用價值.

1.2.3 證明方法

余弦定理與正弦定理都有多種證明方法.《課標(biāo)》要求“借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理”，且借助向量證余弦定理過程十分簡潔，因此六版教科書均選擇在正文中以向量法證明余弦定理.而借助向量證明正弦定理難度稍高，人教 A 版設(shè)置思考欄目啟發(fā)學(xué)生添加輔助向量；蘇教版延續(xù)余弦定理探究中的“將 △ABC中的向量等式BC =BA +AC 數(shù)量化”，并作進(jìn)一步研究； 鄂教版直接給出思路；人教 B 版、湘教版則選擇面積法證明正弦定理；北師大版選擇作高法.此外，蘇教版在思考欄目和習(xí)題欄目又提供勾股定理和坐標(biāo)法證明余弦定理、作高法和面積法證明正弦定理的思路，從多個視角建構(gòu)和解決問題，培養(yǎng)高階思維.

1.2.4 拓展素材

為適應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)的個性化需求，以及為教師開發(fā)課程內(nèi)容資源提供可能，六版教科書均加入了各具特色的拓展素材，主要包括相關(guān)公式及性質(zhì)定理和數(shù)學(xué)史料兩類.

在相關(guān)公式及性質(zhì)定理方面，作為平面三角學(xué)中刻畫三角形邊角關(guān)系的基本定理，正、余弦定理與許多平面幾何性質(zhì)有著密切聯(lián)系，六版教科書都補(bǔ)充介紹了三角形的面積公式 S△ABC= 1 2 ab sin ?C= 1 2 ac sin ?B= 1 2 bc sin ?A. 除鄂教版外，其余五版都對正弦定理進(jìn)行擴(kuò)充，關(guān)注其幾何意義（三角形各邊與它所對角正弦的比值等于該三角形外接圓的直徑）.此外，正、余弦定理與三角形全等和勾股定理的關(guān)系、射影定理、三斜求積術(shù)和海倫公式、三角形中線定理、平行四邊形四邊對角線平方和定理也以正文或習(xí)題的形式被引入多個版本的教材.

在數(shù)學(xué)史料方面，人教 A 版、人教 B 版、鄂教版均介紹了三斜求積術(shù)和海倫公式.人教 A 版還引用了法國天文學(xué)家用數(shù)學(xué)方法測量地月距離的歷史事件（如圖1）.北師大版設(shè)置了古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯構(gòu)造無理數(shù)的圖形中解三角形的例題（如圖2）.湘教版簡要介紹了正弦定理的發(fā)展歷史.總的來說，數(shù)學(xué)史料均以附加式或復(fù)制式融入教科書［3］.

1.3 例習(xí)題設(shè)置

習(xí)題作為數(shù)學(xué)教科書的一個重要組成部分，有鞏固和深化新知、補(bǔ)充與延伸新知、綜合運(yùn)用新知、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、診斷反饋補(bǔ)救與育人等功能［4］.六版教科書的例習(xí)題設(shè)置情況如圖3所示.

從例習(xí)題數(shù)量上看，蘇教版總數(shù)高達(dá)72題，是其余五版的二至三倍；而北師大版習(xí)題最少，為24題.習(xí)題類型上，各版本都重視解三角形的訓(xùn)練，除蘇教版外，其余五版該類題型均占比最大.而蘇教版設(shè)置最多的是與三角形有關(guān)的實(shí)際問題，即運(yùn)用正、余弦定理解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題，這類問題往往涉及測量、航海等跨學(xué)科知識，具有較強(qiáng)的綜合性，能夠很好地培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).此外，正、余弦定理還可應(yīng)用于判斷三角形的形狀、計(jì)算平面圖形面積、證明平面幾何性質(zhì)，在各版本習(xí)題中均有涉獵，但側(cè)重點(diǎn)不同.如人教 A 版約四分之一的習(xí)題是圍繞平面幾何的性質(zhì)證明，其更注重對于邏輯推理素養(yǎng)的考查.

2 ?教學(xué)建議

2.1 聯(lián)系現(xiàn)實(shí)融合史料，豐富問題情境創(chuàng)設(shè)

問題是數(shù)學(xué)的心臟.問題情境既為知識的掌握與運(yùn)用提供了活動的背景，同時也是知識的習(xí)得和運(yùn)用得以發(fā)生的活動場景和資源條件［5］.因此在學(xué)習(xí)過程中為學(xué)生創(chuàng)設(shè)具有思考性的問題情境至關(guān)重要.正、余弦定理具有豐富的情境素材可供教師選擇. 一方面，正、余弦定理在測量學(xué)、力學(xué)、運(yùn)動學(xué)、電學(xué)等方面有廣泛的運(yùn)用，以這些生活實(shí)際為情境保證了學(xué)生有相關(guān)的觀念來理解問題［6］，讓學(xué)生明白通過學(xué)習(xí)能夠解決什么問題，更積極主動地把新知與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系.同時，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值指向現(xiàn)實(shí)世界，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，符合《課標(biāo)》中“能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實(shí)際問題”的要求.

另一方面，正、余弦定理有著源遠(yuǎn)流長的歷史.正弦定理早在公元150年左右就被古希臘科學(xué)家托勒密所知曉，而到10世紀(jì)才被阿布·瓦法證明；余弦定理最早在《幾何原本》中作為勾股定理的推廣而誕生，當(dāng)下每版教科書都在使用的向量法證明卻于20世紀(jì)60年代才出現(xiàn).從應(yīng)用上看，秦九韶的三斜求積術(shù)與海倫公式彰顯著東西方學(xué)者對于數(shù)學(xué)孜孜不倦的探求，法國天文學(xué)家測量地月距離的史實(shí)印證著數(shù)學(xué)是科學(xué)研究中不可或缺的有力工具.這些飽含人文氣息的史料素材均可化用為引入新課或拓展練習(xí)的問題情境，不僅能提升學(xué)習(xí)興趣、活躍課堂氛圍，還蘊(yùn)含著豐富的德育價值，有助于立德樹人根本任務(wù)的達(dá)成［6］.

2.2 促進(jìn)關(guān)鍵知識生長，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)

正、余弦定理作為平面三角形中的重要定理，其證明和應(yīng)用與前后知識點(diǎn)有著千絲萬縷的聯(lián)系.余弦定理可由勾股定理、圓冪定理、托勒密定理等推出，也可借助向量或坐標(biāo)進(jìn)行證明；正弦定理可借助三角形的高線、面積、外接圓，或引入向量、復(fù)數(shù)等進(jìn)行證明.此外，余弦定理、正弦定理、射影定理之間也能夠相互推導(dǎo)，并與三角形全等和勾股定理都密不可分.此外，運(yùn)用正、余弦定理能夠求三角形面積，推導(dǎo)出三斜求積術(shù)與海倫公式、三角形中線定理、平行四邊形四邊對角線平方和定理等.

以正、余弦定理為生長點(diǎn)構(gòu)建出的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，溝通數(shù)形，應(yīng)用廣泛.而數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)體系是以數(shù)學(xué)問題為載體建立起來并不斷充實(shí)、鞏固、深化、擴(kuò)張的知識網(wǎng)絡(luò)［7］.在教學(xué)中可將這些相關(guān)性質(zhì)以證明題的形式留給學(xué)生思考交流，再進(jìn)行總結(jié)歸納，既能鞏固正、余弦定理的掌握與運(yùn)用，又能促進(jìn)知識的遷移，強(qiáng)化前后知識的聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò).

2.3 聚焦探究啟發(fā)思考，落實(shí)核心素養(yǎng)導(dǎo)向

數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程，承載著發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要使命［8］.六版教科書在正、余弦定理編排中均設(shè)置探究欄目，通過參與探究，學(xué)生能在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上完成對定理的自主建構(gòu)，深化對定理的理解.正、余弦定理的探究過程蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般等多種數(shù)學(xué)思想方法，對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)的提升大有裨益.

編者、學(xué)者、教師是教科書使用共同體［9］，因此教師在課堂教學(xué)之中對于數(shù)學(xué)探究的處理對達(dá)成教學(xué)目標(biāo)、提升核心素養(yǎng)有舉足輕重的作用.其一，應(yīng)注重對學(xué)生的引導(dǎo)，讓學(xué)習(xí)者主動參與“做數(shù)學(xué)”“學(xué)數(shù)學(xué)”的全程［10］.如：在教學(xué)中分析用向量研究三角形邊角關(guān)系的背后邏輯（三角形的邊與角涉及長度與方向兩個要素，向量作為研究工具能夠充分描述這兩個要素）， 而并非因章節(jié)設(shè)置上屬于“平面向量的應(yīng)用”就理所當(dāng)然將向量作為研究工具.其二，在探究活動中應(yīng)強(qiáng)化“發(fā)現(xiàn)問題——提出問題——分析問題——解決問題”的基本過程，重視基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累，為數(shù)學(xué)真正應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界作出鋪墊.

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