大跨度弦支穹頂結(jié)構(gòu)多維多點(diǎn)隨機(jī)地震響應(yīng)分析

呂迎新,王 宇

(沈陽(yáng)建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110168)

0 引言

弦支穹頂結(jié)構(gòu)是一種新型剛?cè)峤Y(jié)合的空間結(jié)構(gòu)體系,由上部單層網(wǎng)殼與下部索桿體系組成。由于預(yù)應(yīng)力拉索的布置提高了結(jié)構(gòu)的剛度與整體穩(wěn)定性,弦支穹頂結(jié)構(gòu)擁有較強(qiáng)的跨越能力,廣泛應(yīng)用于體育館和展覽館等大跨度公共建筑。有關(guān)弦支穹頂結(jié)構(gòu)抗震性能的研究,文獻(xiàn)[1]考慮結(jié)構(gòu)靜力初始狀態(tài),對(duì)一大跨度橢球形弦支穹頂結(jié)構(gòu)進(jìn)行了模態(tài)分析;并采用時(shí)程分析法對(duì)其進(jìn)行了地震響應(yīng)分析,得到了弦支穹頂結(jié)構(gòu)具有較高的整體剛度,考慮桿件的初始彎曲對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響較小的結(jié)論。文獻(xiàn)[2]以某弦支穹頂屋蓋為研究對(duì)象,對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了考慮行波效應(yīng)的地震時(shí)程響應(yīng)分析,研究結(jié)果表明:當(dāng)相位差較大時(shí),結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與位移均相較一致輸入有顯著的增大。

文獻(xiàn)研究表明:地震動(dòng)多點(diǎn)激勵(lì)對(duì)大跨度建筑結(jié)構(gòu)有著不可忽視的影響,是抗震研究的重要內(nèi)容之一,造成地震動(dòng)空間變化的原因主要有行波效應(yīng)、部分相干效應(yīng)與場(chǎng)地效應(yīng)。對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行多點(diǎn)輸入響應(yīng)分析方法主要有時(shí)程分析法、多點(diǎn)反應(yīng)譜法與隨機(jī)振動(dòng)法,其中時(shí)程分析法應(yīng)用最為成熟廣泛,但其所得到的結(jié)果極其依賴于所采用地震動(dòng)時(shí)程的特性;多點(diǎn)輸入反應(yīng)譜法由于計(jì)算量較大,無(wú)法保持傳統(tǒng)反應(yīng)譜法簡(jiǎn)化計(jì)算的特點(diǎn),因此基于地震動(dòng)概率統(tǒng)計(jì)特性的隨機(jī)振動(dòng)法被視為最為合理的方法。由林家浩等[3]提出的虛擬激勵(lì)法,在保證足夠計(jì)算精度的前提下,極大的降低了計(jì)算量;目前已有很多學(xué)者基于該方法進(jìn)行了各類大跨度空間結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵(lì)影響效應(yīng)分析[4-6]。

基于以上研究背景,本文以一大跨度弦支穹頂結(jié)構(gòu)—濟(jì)南奧體中心體育館為研究對(duì)象,考慮結(jié)構(gòu)靜力初始狀態(tài),采用虛擬激勵(lì)算法,分析了行波效應(yīng)、部分相干效應(yīng)和二者耦合效應(yīng)以及考慮多維地震輸入對(duì)結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)的影響,旨在為該類結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)提供一定參考。

1 結(jié)構(gòu)多點(diǎn)輸入下隨機(jī)地震反應(yīng)的虛擬激勵(lì)法

地震動(dòng)多點(diǎn)激勵(lì)的運(yùn)動(dòng)方程為:

(1)

式中:M、C和K分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣,下標(biāo)ss、bb、sb和bs分別代表非支座節(jié)點(diǎn)自由度和支座節(jié)點(diǎn)自由度及二者間的耦合,Xb表示地震作用下支座處的地面強(qiáng)迫位移向量,Xs表示結(jié)構(gòu)非約束自由度的絕對(duì)位移向量,Pb為支座所受的反力向量。

為求解式(1),將式中絕對(duì)位移項(xiàng)Xs分解為擬靜力位移Ys和動(dòng)態(tài)位移Yr之和,即:

(2)

同時(shí)考慮行波效應(yīng)、部分相干效應(yīng)與場(chǎng)地效應(yīng),n個(gè)支座處地震動(dòng)加速度功率譜矩陣可以表示為:

S(ω)≡[B]*[J][R][J][B]

(3)

式中:

B=diag[exp(-iωT1),exp(-iωT2),…exp(-iωTn)]

(4)

(5)

(6)

式中:Sii(ω)(i=1,2,…,n)為各點(diǎn)的自功率譜密度,B為行波效應(yīng)矩陣,J為相干矩陣;Ti為第i個(gè)支座節(jié)點(diǎn)相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間差。

由于R為一非負(fù)定實(shí)對(duì)稱矩陣,對(duì)其進(jìn)行復(fù)特征值分解為m個(gè)非零實(shí)特征值aj及實(shí)特征值向量{φj},(m=rank(R))構(gòu)造m個(gè)虛擬簡(jiǎn)諧加速度:

何牦將信紙舉過(guò)頭頂，擺動(dòng)干樹(shù)枝般的手臂，信紙如一面小紅旗在舞動(dòng)。橘紅回信了，橘紅回信了！何牦的聲音仿佛在整條竹溪街回響。曾有鄰居勸他，這是大海撈針，死了心吧，用這份心思找個(gè)女人好好過(guò)日子。他想幸虧沒(méi)接受別人的好意，這不橘紅回信了？

(7)

將式(7)與式(2)代入式(1),并假定采用集中質(zhì)量矩陣且阻尼項(xiàng)與相對(duì)速度成正比可得結(jié)構(gòu)的位移穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為:

(8)

式中:H(ω)為頻響函數(shù)矩陣,Φ為模態(tài)矩陣,式F=-[Kss]-1[Ksb]為影響矩陣,其力學(xué)意義為由支座節(jié)點(diǎn)發(fā)生單位位移所引起結(jié)構(gòu)非支座節(jié)點(diǎn)的擬靜力位移。

因此,結(jié)構(gòu)的位移功率譜可以表達(dá)為:

(9)

根據(jù)結(jié)構(gòu)虛擬位移響應(yīng)通過(guò)有限元方法得到任意單元節(jié)點(diǎn)的虛擬內(nèi)力,然后可求得對(duì)應(yīng)的內(nèi)力功率譜密度,根據(jù)功率譜密度可求得響應(yīng)的各階譜矩,進(jìn)而根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論計(jì)算響應(yīng)的極值期望值[7-8]。

2 工程背景及有限元模型

表1 索桿結(jié)構(gòu)截面規(guī)格Table 1 Section specification of cables and poles

圖1 弦支穹頂結(jié)構(gòu)平面圖與剖面圖 圖2 索桿部分示意圖Fig. 1 Structural sketch of suspen-dome structure Fig. 2 Diagram of cables and poles

利用通用有限元軟件ANSYS建立結(jié)構(gòu)模型,上部網(wǎng)殼桿件采用Beam188單元模擬,拉索采用設(shè)置只拉選項(xiàng)的Link10單元模擬,豎向撐桿采用Link8單元模擬,附加恒載采用Mass21單元模擬;假定上部網(wǎng)殼各桿件為剛接,拉索、撐桿與網(wǎng)殼間為鉸接,結(jié)構(gòu)周邊節(jié)點(diǎn)為鉸接,施加三向位移約束;阻尼采用Rayleigh阻尼模擬,阻尼比取0.02;環(huán)索的預(yù)應(yīng)力通過(guò)設(shè)置單元初始應(yīng)變模擬。

大跨度弦支穹頂結(jié)構(gòu)具有較強(qiáng)的幾何非線性,為考慮幾何剛度效應(yīng)的影響,應(yīng)先進(jìn)行結(jié)構(gòu)在自重、恒載作用以及預(yù)應(yīng)力共同作用下的非線性靜力分析以獲取結(jié)構(gòu)的初始平衡態(tài),存儲(chǔ)剛度矩陣,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)計(jì)算以及虛擬激勵(lì)求解的復(fù)諧響應(yīng)分析與靜力分析。

根據(jù)以上總體思路,基于ANSYS平臺(tái)的分析流程主要包括:結(jié)構(gòu)建模及獲取初始平衡態(tài)、結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣與剛度矩陣提取及合成多點(diǎn)虛擬激勵(lì)、進(jìn)行各頻率點(diǎn)包括Harmonic分析與Static分析的虛擬激勵(lì)求解、對(duì)虛擬響應(yīng)量進(jìn)行后處理以計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜矩陣及相關(guān)量。

三維有限元模型建立后,利用子空間迭代法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行自振模態(tài)計(jì)算,如圖3所示,結(jié)構(gòu)前40階自振頻率分布在1.63 Hz至2.6 Hz之間,各階頻率變化不大,可見(jiàn)該大跨度弦支穹頂結(jié)構(gòu)自振頻率分布密集特征極為顯著。

圖3 自振頻率分布Fig. 3 Distribution of natural frequencies

3 隨機(jī)地震響應(yīng)

3.1 功率譜模型

(10)

式中:ω為角頻率,S0為譜強(qiáng)度因子,ωg與ζg為覆蓋土層卓越頻率與阻尼比,ωf與ζf為與濾波特性相關(guān)的參數(shù)。

該工程按設(shè)防烈度8度,Ⅲ類場(chǎng)地,設(shè)計(jì)地震分組為第一組進(jìn)行分析,參數(shù)S0、ωg、ωf、ζg、ζf為參考文獻(xiàn)[6]建議進(jìn)行取值,考慮地震動(dòng)多維輸入,水平X向、水平Y(jié)向與豎向的譜強(qiáng)度因子S0按1:0.85:0.65進(jìn)行調(diào)整,各激勵(lì)分量間相關(guān)性按地震主軸理論處理[10],積分區(qū)間為[0,200]rad/s,步長(zhǎng)取0.1 rad/s。

3.2 行波效應(yīng)

本節(jié)主要研究行波效應(yīng)的影響,假定地震動(dòng)傳播方向如圖4所示,結(jié)構(gòu)支座最大間距為122 m,最小間距為0.93 m,地震波視波速實(shí)際是與頻率有關(guān)的函數(shù),但由于影響因素很多,在確定分析中的視波速時(shí)通常將其取為常數(shù)[11-12]。本文選取兩種視波速分別為1000 m/s、2000 m/s以及視波速為無(wú)窮即一致激勵(lì),分別獲各個(gè)激勵(lì)點(diǎn)處的相位差,采用虛擬激勵(lì)法,對(duì)上述三種情況下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算。由于弦支穹頂結(jié)構(gòu)構(gòu)件以承受軸向力為主,因此本文主要分析軸向地震內(nèi)力響應(yīng)情況,圖5-6給出了結(jié)構(gòu)第594號(hào)和339號(hào)單元在不同視波速下的軸力功率譜密度曲線對(duì)比,可見(jiàn)考慮行波效應(yīng),構(gòu)件隨機(jī)響應(yīng)的功率譜密度在波峰處出現(xiàn)明顯增大,且提升程度隨著視波速的減小而增大,其中594號(hào)單元功率譜在低頻范圍內(nèi)提升較大,由于擬靜力響應(yīng)具有主要影響結(jié)構(gòu)低頻響應(yīng)的特點(diǎn),因此該構(gòu)件受擬靜力影響程度較大。

圖4 地震傳播方向Fig. 4 Direction of earthquake propagation

圖5 594號(hào)單元軸力功率譜密度Fig. 5 Power spectral density of axial force in element 594

圖6 339號(hào)單元軸力功率譜密度Fig. 6 Power spectral density of axial force in element 339

圖7給出了在不同視波速作用下,各環(huán)徑向桿、環(huán)向桿、拉索與豎向撐桿的軸力響應(yīng)情況,所選單元編號(hào)如圖2所示,本文軸力響應(yīng)指的是在隨機(jī)地震作用下軸力極值的數(shù)學(xué)期望。可見(jiàn)對(duì)于弦支穹頂上部網(wǎng)殼結(jié)構(gòu),在地震作用下,網(wǎng)殼徑向桿件內(nèi)力在靠近結(jié)構(gòu)跨中位置處最大,向外環(huán)逐漸減小,在距離支座四分之一跨度處至支座位置逐漸增加;環(huán)向桿內(nèi)力在第2環(huán)、第6環(huán)與第7環(huán)較大,除邊緣特殊桿件,環(huán)向桿地震內(nèi)力一般大于徑向桿;同時(shí)可見(jiàn)相較普通單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu),弦支穹頂結(jié)構(gòu)各環(huán)地震內(nèi)力響應(yīng)分布比較均勻,這是由于下部拉索的布置使結(jié)構(gòu)受力更為合理。所選徑向桿在波速為2000 m/s和1000 m/s時(shí)最大軸力響應(yīng)分別為277.09 kN和366.31 kN,分別相較相應(yīng)桿件一致輸入時(shí)增大了23%和62%;環(huán)向桿在波速為2000 m/s和1000 m/s時(shí)最大軸力響應(yīng)分別為330.57 kN和419.63 kN,分別相較相應(yīng)桿件一致輸入時(shí)增大了16%和47%;豎向撐桿在波速為2000 m/s和1000 m/s時(shí)最大軸力響應(yīng)分別為6.39 kN和8.57 kN,分別相較相應(yīng)桿件一致輸入時(shí)增大了19%和59%。同時(shí)可見(jiàn)最外環(huán)環(huán)向桿在一致輸入下引起的內(nèi)力接近于0,但在行波輸入下,其內(nèi)力由于支座非一致運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的擬靜力響應(yīng)直接作用而遠(yuǎn)大于一致輸入下的地震內(nèi)力。環(huán)索地震內(nèi)力從內(nèi)之外依次增大,一致輸入下分別為77.25 kN、167.42 kN和216.89 kN,但考慮兩種視波速其內(nèi)力相比一致激勵(lì)基本持平。

圖7 不同視波速下構(gòu)件軸力響應(yīng)Fig. 7 Axial force of members due to different wave velocities

圖8給出了兩種不同視波速下上部網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)與下部索桿體系的俯視軸力云圖。從以上結(jié)果可以看出:大跨度弦支穹頂結(jié)構(gòu)受行波效應(yīng)影響顯著,結(jié)構(gòu)重要構(gòu)件內(nèi)力出現(xiàn)明顯提升且提升的程度隨著視波速的減小而增大;同時(shí)可見(jiàn):由于弦支穹頂結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性,在一致激勵(lì)下,其內(nèi)力分布也是對(duì)稱的,但考慮行波效應(yīng)后結(jié)構(gòu)內(nèi)力響應(yīng)分布不再對(duì)稱,產(chǎn)生這種情況的原因是在非一致輸入下由于地震荷載空間分布的變化激起結(jié)構(gòu)中反對(duì)稱振型的振動(dòng)。

圖8 不同視波速下結(jié)構(gòu)軸力響應(yīng)云圖(kN)Fig. 8 Contour of axial force response of the structure due to different wave velocities(kN)

3.3 多點(diǎn)隨機(jī)激勵(lì)

地震波在傳播過(guò)程中經(jīng)過(guò)多次反射、折射及散射,會(huì)引起各激勵(lì)點(diǎn)處的頻散損失即部分相干效應(yīng),本節(jié)將研究部分相干效應(yīng)、同時(shí)考慮行波效應(yīng)與部分相干效應(yīng)以及考慮地震動(dòng)單維輸入與多維輸入對(duì)大跨度弦支穹頂隨機(jī)地震響應(yīng)的影響。目前的研究中相干函數(shù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵话阋耘_(tái)陣記錄的地震通過(guò)相干性分析得到,本文相干函數(shù)模型采用屈鐵軍-王君杰模型[13]:

|γ(ω,d)|=e-a(ω)db(ω)

(11)

式中:a(ω)=a1ω2+a2,b(ω)=b1ω+b2,d為兩點(diǎn)間沿地震波傳播方向的水平距離,參數(shù):a1=0.00001678,a2=0.001219,b1=-0.0055,b2=0.7674。

為了使研究結(jié)果更好的對(duì)比,共選取五種工況進(jìn)行對(duì)比分析:工況1為一致輸入即相干性為完全相干和視波速為無(wú)窮;工況2為僅考慮部分相干效應(yīng);工況3為僅考慮行波效應(yīng)輸入(視波速2000 m/s);工況4為同時(shí)考慮行波效應(yīng)與部分相干效應(yīng)(視波速2000 m/s);工況5為多點(diǎn)輸入下僅考慮單維(水平X向)地震激勵(lì),為將非一致輸入與一致輸入下計(jì)算所得結(jié)果進(jìn)行比較,定義影響系數(shù)γ如下:

(12)

結(jié)構(gòu)在不同工況作用下各類型地震內(nèi)力最大桿件即控制桿件響應(yīng)值及γ>1.2單元所占比例見(jiàn)表2,圖9給出了工況2與工況4下上部網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)與下部索桿體系軸力俯視云圖。

表2 不同工況下桿件統(tǒng)計(jì)分析表Table 2 Statistical table of rods under different seismic excitations

圖9 不同工況下結(jié)構(gòu)軸力響應(yīng)云圖(kN)Fig. 9 Contour of axial force response of the structure due to differentseismic excitations(kN)

僅考慮部分相干效應(yīng)時(shí),徑向桿、環(huán)向桿、環(huán)索與豎向撐桿控制桿件地震內(nèi)力增幅分別達(dá)到了29%、12%、22%及126%,可見(jiàn)考慮部分相干效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)影響顯著,在視波速2000 m/s時(shí),對(duì)于下部索桿體系,相干效應(yīng)相比于行波效應(yīng)對(duì)其內(nèi)力放大作用更為明顯。由于行波效應(yīng)和部分相干效應(yīng)均對(duì)弦支穹頂結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不利影響,各類構(gòu)件控制桿件內(nèi)力以及γ>1.2所占比例大多在工況4下出現(xiàn)最大值,即同時(shí)考慮行波效應(yīng)和部分相干效應(yīng)最為不利,徑向桿、環(huán)向桿、環(huán)索與豎向撐桿控制桿件地震內(nèi)力增幅分別達(dá)到了50%、39%、27%與150%,相比一致輸入提升幅度大于20%的桿件占比達(dá)到96%、74%、76%與46%,因此為了對(duì)大跨度弦支穹頂結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的抗震分析,應(yīng)當(dāng)根據(jù)場(chǎng)地條件選取多種可能的地震波視波速,同時(shí)考慮部分相干效應(yīng)進(jìn)行計(jì)算,否則會(huì)低估結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng),以至造成設(shè)計(jì)錯(cuò)誤;多點(diǎn)輸入下上部網(wǎng)殼增大最為明顯的構(gòu)件主要集中在支座附近及1/4跨度處,徑向桿的提升程度相比環(huán)向桿更為明顯,下部索桿體系增大最為明顯的構(gòu)件主要位于最外環(huán),設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)注意多點(diǎn)輸入對(duì)這部分桿件內(nèi)力的影響,可采取適當(dāng)增大這部分桿件截面以確保安全。對(duì)比工況4與工況5的結(jié)果可見(jiàn):考慮地震動(dòng)多維輸入結(jié)構(gòu)控制桿件內(nèi)力相比僅考慮單維輸入增幅達(dá)到了30%,對(duì)該類結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震分析應(yīng)充分考慮地震動(dòng)的多維性?？紤]多維多點(diǎn)輸入下各類構(gòu)件最大應(yīng)力均小于抗拉強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值,滿足設(shè)計(jì)要求。

4 結(jié)論

本文基于虛擬激勵(lì)法,以一大跨度弦支穹頂結(jié)構(gòu)—濟(jì)南奧體中心體育館為工程背景,分析了行波效應(yīng)、部分相干效應(yīng)和二者耦合效應(yīng)以及考慮多維地震輸入對(duì)結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)的影響,研究結(jié)果表明:

1) 大跨度弦支穹頂結(jié)構(gòu)受行波效應(yīng)影響顯著,考慮行波效應(yīng)后,重要構(gòu)件內(nèi)力響應(yīng)出現(xiàn)較大幅度提升,提升的程度隨著視波速的降低而增大,因此準(zhǔn)確的評(píng)估視波速尤為重要;且考慮行波效應(yīng)由于地震荷載空間分布的變化,結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布與一致激勵(lì)出現(xiàn)明顯區(qū)別。

2) 考慮部分相干效應(yīng)明顯增大了結(jié)構(gòu)內(nèi)力響應(yīng),徑向桿、環(huán)向桿、環(huán)索與豎向撐桿控制桿件內(nèi)力相較一致激勵(lì)分別增大29%、12%、22%及126%,部分相干效應(yīng)對(duì)下部索桿結(jié)構(gòu)內(nèi)力影響相較行波效應(yīng)更為明顯。

3) 多點(diǎn)輸入下,徑向桿、環(huán)向桿、環(huán)索與豎向撐桿控制桿件地震內(nèi)力增幅分別達(dá)到了50%、39%、27%及150%,單獨(dú)考慮行波效應(yīng)或部分相干效應(yīng)不能得到結(jié)構(gòu)的最不利響應(yīng);考慮地震動(dòng)空間變化效應(yīng)后,弦支穹頂結(jié)構(gòu)不同類型,不同位置構(gòu)件內(nèi)力的變化程度存在較大差異,需對(duì)具體響應(yīng)具體分析,其中上部網(wǎng)殼增大最為明顯的構(gòu)件主要集中在支座附近及1/4跨度處,徑向桿的提升程度相比環(huán)向桿更為明顯,下部索桿體系增大最為明顯的構(gòu)件主要位于最外環(huán),設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)注意多點(diǎn)輸入對(duì)這部分桿件內(nèi)力的影響;考慮地震動(dòng)多維輸入內(nèi)力增幅達(dá)到30%。

本文對(duì)一大跨度弦支穹頂結(jié)構(gòu)進(jìn)行的多維多點(diǎn)地震響應(yīng)分析對(duì)該類結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)具有一定參考意義,但地震多點(diǎn)激勵(lì)分析具有一定特殊性,在實(shí)際抗震設(shè)計(jì)中定量結(jié)果還需針對(duì)具體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。