全站儀加常數(shù)和乘常數(shù)測(cè)量不確定度研究

張子達(dá), 楊維芳, 姬曉曉, 李文輝

(1.蘭州交通大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，甘肅蘭州730070；2.地理國(guó)情監(jiān)測(cè)技術(shù)應(yīng)用國(guó)家地方聯(lián)合工程研究中心，甘肅蘭州730070；3.甘肅省地理國(guó)情監(jiān)測(cè)工程實(shí)驗(yàn)室，甘肅蘭州730070；4.甘肅省測(cè)繪產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)站，甘肅蘭州730070)

1 引 言

全站儀不僅是地理空間數(shù)據(jù)采集、變形監(jiān)測(cè)和建筑物放樣工作不可或缺的精密儀器,還在諸如自行火炮身管指向測(cè)量、大型立式儲(chǔ)罐容量標(biāo)定等領(lǐng)域用于高精度測(cè)量工作。為了保證測(cè)量精度和測(cè)量結(jié)果的可靠性,必須對(duì)全站儀進(jìn)行定期檢定。其中加常數(shù)和乘常數(shù)測(cè)量是全站儀測(cè)距檢定中的重要檢定項(xiàng)目,其檢定采用野外基線法,依據(jù)JJG 703-2003《光電測(cè)距儀檢定規(guī)程》[1]在野外足夠長(zhǎng)的基線上,按照基線分段原理選取多個(gè)固定點(diǎn),形成21段組合距離,并用較高精度的測(cè)距方法(維塞拉干涉儀或因瓦基線尺測(cè)距等)測(cè)量固定點(diǎn)之間的距離值作為標(biāo)準(zhǔn)值,然后使用待檢儀器測(cè)量21段距離,將觀測(cè)值與基線標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行比較,依據(jù)最小二乘原理進(jìn)行平差計(jì)算得到加常數(shù)、乘常數(shù)。

目前測(cè)繪儀器檢定實(shí)驗(yàn)室的檢定流程并未提供加常數(shù)和乘常數(shù)測(cè)量的不確定度評(píng)價(jià)[2,3]。而測(cè)量不確定度是表征測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的量化參數(shù),脫離不確定度將測(cè)量結(jié)果與規(guī)程/標(biāo)準(zhǔn)中的參考量比較,進(jìn)行儀器檢定項(xiàng)目是否合格的判定是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹Ｖ袊?guó)合格評(píng)定國(guó)家認(rèn)可委員會(huì)發(fā)布的規(guī)范CNAS-CL07:2011《測(cè)量不確定度的要求》中明確指出[4]“檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室應(yīng)有能力對(duì)每一項(xiàng)有數(shù)值要求的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行測(cè)量不確定度評(píng)估,當(dāng)不確定度與檢測(cè)成果的有效性或應(yīng)用有關(guān)、或在用戶有要求時(shí)、或當(dāng)不確定度影響到對(duì)規(guī)范限度的符合性時(shí),必須提供測(cè)量結(jié)果的不確定度。”ISO/IEC 17025《檢測(cè)和校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室能力通用要求》中也要求[5]“開(kāi)展檢測(cè)的實(shí)驗(yàn)室應(yīng)評(píng)定測(cè)量不確定度”以及“當(dāng)測(cè)量不確定度與檢測(cè)結(jié)果的有效性相關(guān)時(shí)”,實(shí)驗(yàn)室應(yīng)明確判定規(guī)則,并在報(bào)告中出具相應(yīng)的測(cè)量不確定度。因此測(cè)繪儀器檢定實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行檢定工作時(shí)必須考慮測(cè)量不確定度。

本文以TS06power-2″型號(hào)全站儀的加常數(shù)和乘常數(shù)測(cè)量為例,采用GUM法與MCM法2種方法評(píng)定加常數(shù)、乘常數(shù)測(cè)量結(jié)果的不確定度[6～9],并對(duì)評(píng)定方法及其結(jié)果進(jìn)行比較與分析。

2 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)加常數(shù)與乘常數(shù)測(cè)量方法可得出計(jì)算公式:

Di=Li+K+Di·R

(1)

式中:Di為各段基線的標(biāo)準(zhǔn)值;Li為待檢儀器測(cè)量基線經(jīng)過(guò)氣象、傾斜改正后的觀測(cè)值;K為待檢儀器的加常數(shù);R為待檢儀器的乘常數(shù);i為觀測(cè)次數(shù)(i=1,2,…,n)。

進(jìn)而:

βi=K+Di·R

(2)

式中:βi為基線標(biāo)準(zhǔn)值與觀測(cè)值的差值,即

βi=Di-Li

(3)

共有21段基線標(biāo)準(zhǔn)值與觀測(cè)值,即共進(jìn)行了21次測(cè)量,可得出21個(gè)觀測(cè)方程。按照最小二乘原理進(jìn)行平差計(jì)算可得出加常數(shù)K和乘常數(shù)R的計(jì)算公式[1]:

(4)

(5)

根據(jù)《光電測(cè)距儀檢定規(guī)程》測(cè)距單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式與加常數(shù)和乘常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差公式為[1]:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中:m0為測(cè)距單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差;mK為加常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差;mR為乘常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差;vi為觀測(cè)值的殘差;Q11為加常數(shù)的靈敏度系數(shù);Q22為乘常數(shù)的靈敏度系數(shù)。

由式(3)可表示1次獨(dú)立觀測(cè)的差值,則m0可表示差值βi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度[10,11]。又由式(6)可知m0由觀測(cè)值殘差估計(jì)得來(lái),而測(cè)量不確定度要求包含所有誤差來(lái)源,所以從測(cè)量不確定度角度來(lái)說(shuō),m0的估計(jì)值并不能完整地表示單次測(cè)量的不確定度。單次測(cè)量的不確定度應(yīng)該使用不確定度評(píng)定的方法進(jìn)行評(píng)定[12～14],加常數(shù)和乘常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度同理。本文通過(guò)評(píng)定單次測(cè)量的不確定度u(βi)進(jìn)而得到加常數(shù)的不確定度u(K)和乘常數(shù)的不確定度u(R)。由式(7)和式(8)可得:

(12)

(13)

3 GUM法評(píng)定不確定度

GUM法采用的是1個(gè)輸入輸出模型,即輸出量是輸入量的1個(gè)函數(shù)。將輸入量的估值與標(biāo)準(zhǔn)不確定度按照線性化的模型進(jìn)行傳播,得到輸出量的估值和標(biāo)準(zhǔn)不確定度;再假設(shè)中心極限定理適用,進(jìn)而計(jì)算包含因子與擴(kuò)展不確定度。因此使用GUM法要求[6,7]:

(1) 計(jì)算所有輸入量的估值與不確定度作為不確定度分量;

(2) 數(shù)學(xué)模型的非線性化不顯著;

(3) 中心極限定理適用,即輸出量的概率密度函數(shù)為高斯分布或者t分布。

分析加常數(shù)、乘常數(shù)檢定方法與步驟,不確定度主要來(lái)源[13～16]有待檢儀器測(cè)量重復(fù)性引入的不確定度、待檢儀器分辨力引入的不確定度、氣象改正引入的不確定度、標(biāo)準(zhǔn)基線測(cè)量引入的不確定度、標(biāo)準(zhǔn)基線長(zhǎng)度變化引入的不確定度。

3.1 測(cè)量重復(fù)性引入的測(cè)量不確定度分量

將待檢儀器與反射棱鏡置于室內(nèi)約30 m距離的兩端,操作儀器照準(zhǔn)棱鏡后連續(xù)讀數(shù)30次并記錄,計(jì)算30次讀數(shù)的平均值為29.995 8 m,再計(jì)算每次讀數(shù)與平均值的差值后得到表1數(shù)據(jù)。

表1 測(cè)量重復(fù)性檢定數(shù)據(jù)Tab.1 Measurement repeatability verification data

由貝塞爾公式可得:

(14)

3.2 分辨力引入的測(cè)量不確定度分量

在約30 m的距離兩端分別放置待檢儀器和分辨力檢驗(yàn)臺(tái),然后將儀器照準(zhǔn)反射棱鏡重復(fù)測(cè)距10次,計(jì)算平均值為測(cè)距值。

將棱鏡從檢驗(yàn)臺(tái)零刻度處開(kāi)始每次移動(dòng)1.1 mm,共移動(dòng)10次,將平均觀測(cè)值先與歸零后距離值作差,再和間隔值作差得到差值,計(jì)算后得到表2數(shù)據(jù)。其中歸零后距離值是10組距離平均觀測(cè)值歸零后(減去間隔值)的距離平均值,即將每組平均觀測(cè)值減去間隔值后相加,然后除以10取平均。

表2 分辨力檢定數(shù)據(jù)Tab.2 Resolution verification data

由《光電測(cè)距儀檢定規(guī)程》給出的公式:

(15)

3.3 氣象改正引入的測(cè)量不確定度

全站儀進(jìn)行測(cè)距工作時(shí),氣溫(濕溫、干溫)、氣壓、大氣折射率以及全站儀的載波波長(zhǎng)會(huì)對(duì)距離的測(cè)量值有很大影響,因此必須進(jìn)行氣象改正。而由于氣象改正與全站儀測(cè)距載波波長(zhǎng)有關(guān),所以不同品牌全站儀氣象改正公式有所不同。徠卡TS06系列載波波長(zhǎng)為658 nm,其出廠說(shuō)明書提供的氣象改正公式為:

(16)

3.4 標(biāo)準(zhǔn)基線標(biāo)定引入的測(cè)量不確定度

檢定工作在蘭州比長(zhǎng)基線場(chǎng)進(jìn)行,蘭州比長(zhǎng)基線場(chǎng)最大長(zhǎng)度為954 m,最大誤差為0.4+1×10-6×D(D為測(cè)量距離,m),mm。取其為正態(tài)分布,包含因子k=2,則由標(biāo)準(zhǔn)基線標(biāo)定引入的測(cè)量不確定度分量u4=0.68 mm。

3.5 標(biāo)準(zhǔn)基線長(zhǎng)度變化引入的測(cè)量不確定度

3.6 加常數(shù)、乘常數(shù)及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算

根據(jù)GUM法不確定度分布傳播原理[6]:

則:u(β)=0.91 mm

根據(jù)式(4)、式(5)、式(10)、式(11)分別計(jì)算加常數(shù)、乘常數(shù)及其靈敏度系數(shù):

K=-1.1 mm
R=1.4 mm/km
Q11=0.16
Q22=0.49

則由式(12)、 式(13)有:

4 MCM法評(píng)定不確定度

MCM法在不確定度評(píng)定背景下,是一種抽樣技術(shù)[17～19],以數(shù)值的方式而不是解析的方式進(jìn)行分布與傳播。需要得到數(shù)學(xué)模型輸入量的概率密度函數(shù),根據(jù)描述輸入量的概率密度函數(shù)進(jìn)行重復(fù)抽樣,根據(jù)數(shù)學(xué)模型以及輸入量的概率密度函數(shù)得到輸出量Y的概率密度函數(shù)。由輸出量Y的概率密度函數(shù)可以得到輸出量的所有統(tǒng)計(jì)量。

在加常數(shù)、乘常數(shù)檢定中,以式(3)為數(shù)學(xué)模型,依據(jù)第3節(jié)分析,輸入量L1作為測(cè)量重復(fù)性引入的誤差,取其為半?yún)^(qū)間長(zhǎng)0.4 mm的正態(tài)分布;輸入量L2作為分辨力引入的誤差,取其為半?yún)^(qū)間長(zhǎng)0.17 mm的均勻分布;輸入量L3作為氣象改正引入的誤差,取其為半?yún)^(qū)間長(zhǎng)0.30 mm的均勻分布;輸入量D1為基線長(zhǎng)度測(cè)量引入的誤差,取其為半?yún)^(qū)間長(zhǎng)1.36 mm的正態(tài)分布;輸入量D2作為基線長(zhǎng)度變化引入的誤差,取其為半?yún)^(qū)間長(zhǎng)0.95 mm的均勻分布。各輸入量描述與分布見(jiàn)表3。

表3 蒙特卡洛法輸入量評(píng)定Tab.3 Monte Carlo method input evaluation

使用Matlab編程進(jìn)行蒙特卡羅抽樣實(shí)驗(yàn)[20,21],設(shè)定蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)M=106,輸出量的概率分布圖如圖1。

圖1 蒙特卡羅試驗(yàn)輸出值的概率分布圖Fig.1 Probability distribution of Monte Carlo test output value

由圖1可知,輸出量的概率密度函數(shù)可由正態(tài)分布或t分布表示,即中心極限定理適用,則可說(shuō)明該模型可由GUM法評(píng)定不確定度。

由蒙特卡羅法得到u(β)=0.79 mm,由式(12)、式(13)可計(jì)算加常數(shù)、乘常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

5 兩種評(píng)定方法比較分析

1) 將兩種評(píng)定方法得到的結(jié)果進(jìn)行比較得到表4。

表4 兩種方法評(píng)定不確定度結(jié)果

由表4可知,2種方法評(píng)定的結(jié)果都符合《光電測(cè)距儀檢定規(guī)程》的要求[6]:“加常數(shù)、乘常數(shù)測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差不大于該儀器標(biāo)稱標(biāo)準(zhǔn)差的1/2”,從不確定度角度即標(biāo)準(zhǔn)不確定度不大于儀器標(biāo)稱標(biāo)準(zhǔn)差的1/2,可以判斷本次全站儀加常數(shù)、乘常數(shù)檢定項(xiàng)目結(jié)果合格。且2種方法所得結(jié)果基本吻合,因此2種方法在進(jìn)行加常數(shù)、乘常數(shù)不確定度評(píng)價(jià)時(shí)都是可以采用的。

2) 評(píng)定過(guò)程中發(fā)現(xiàn),GUM法中當(dāng)不確定度分量呈正態(tài)分布時(shí),依靠實(shí)際工作經(jīng)驗(yàn)選擇不同的包含因子與置信概率,對(duì)最后結(jié)果的評(píng)定有較大影響,所以需要根據(jù)不確定度分量的相關(guān)信息選擇合適的置信概率。

3) MCM法是通過(guò)數(shù)值進(jìn)行傳遞,最后結(jié)果是基于輸出量的概率密度函數(shù)的統(tǒng)計(jì)量得出的,因此在計(jì)算重復(fù)性示值產(chǎn)生的不確定度時(shí),理論依據(jù)更為充分,所得結(jié)果更為精確。

4) GUM法有適用條件,需滿足數(shù)學(xué)模型非線性化不顯著,輸出量概率密度函數(shù)為正態(tài)分布或t分布。當(dāng)適用條件不滿足或不知道時(shí),使用GUM法所得結(jié)果是不可靠的;MCM法可以得到輸出量的概率分布與標(biāo)準(zhǔn)不確定度,則可用來(lái)說(shuō)明GUM法的適用性與結(jié)果的可靠性。

6 結(jié) 論

本文采用了不確定度傳遞法和蒙特卡羅法2種方法對(duì)全站儀加常數(shù)、乘常數(shù)的檢定進(jìn)行不確定度分析和評(píng)定。

1) 通過(guò)MCM法的輸出值概率分布驗(yàn)證了GUM法的適用性,說(shuō)明兩種方法在全站儀加常數(shù)、乘常數(shù)檢定項(xiàng)目上都是有效可行的。GUM法與MCM法評(píng)定的加常數(shù)K和乘常數(shù)R的標(biāo)準(zhǔn)不確定度差值分別為0.04 mm和0.09 mm,說(shuō)明了2種評(píng)定方法的評(píng)定結(jié)果都滿足檢定限差要求。

2) 在對(duì)2種評(píng)定方法得出的標(biāo)準(zhǔn)不確定度進(jìn)行比較分析時(shí),得出當(dāng)重復(fù)性示值誤差對(duì)最終結(jié)果影響較大時(shí),采用MCM法評(píng)定不確定度結(jié)果更精確。