高中數(shù)學(xué)橢圓學(xué)習(xí)進(jìn)階研究

劉力韜　黃金瑩

【摘 要】高中數(shù)學(xué)橢圓部分的內(nèi)容是教學(xué)重難點(diǎn)，具有一定的抽象性、復(fù)雜性，學(xué)生在實際學(xué)習(xí)中可能存在障礙。文章以橢圓的學(xué)習(xí)進(jìn)階作為研究對象，通過確定進(jìn)階終點(diǎn)、進(jìn)階維度、成就水平，以及明確各水平的表現(xiàn)期望來構(gòu)建橢圓的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型，進(jìn)而揭示學(xué)生在學(xué)習(xí)橢圓時認(rèn)知發(fā)展的路徑。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 橢圓 學(xué)習(xí)進(jìn)階

【中圖分類號】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1002-3275（2023）13-60-04

高中數(shù)學(xué)的橢圓部分既是教師教學(xué)的重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。在實際的教學(xué)中，一些教師為了提高教學(xué)效率，割裂了知識間的聯(lián)系，講授的知識點(diǎn)偏碎片化，這會使學(xué)生在一定程度上產(chǎn)生學(xué)習(xí)倦怠心理，導(dǎo)致學(xué)習(xí)質(zhì)量下降。為了提高教學(xué)質(zhì)量，教師應(yīng)注重知識間的連貫性，將碎片化的知識點(diǎn)系統(tǒng)梳理形成結(jié)構(gòu)化的知識網(wǎng)絡(luò)，從而有效地幫助學(xué)生理解并掌握知識點(diǎn)。2002年，美國教育界興起了一個新的研究方向——學(xué)習(xí)進(jìn)階。學(xué)習(xí)進(jìn)階關(guān)注的是學(xué)生隨著時間的推移、學(xué)習(xí)的深入，其思維發(fā)展的過程，其內(nèi)涵與注重知識間的連貫性、將碎片化知識點(diǎn)梳理形成知識網(wǎng)絡(luò)這個訴求不謀而合。目前國內(nèi)外關(guān)于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的研究主要集中于生物、化學(xué)、物理等領(lǐng)域，并取得了較為理想的研究成果，但在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域仍處于起步階段。吳穎康等人通過開展學(xué)習(xí)進(jìn)階應(yīng)用于數(shù)學(xué)教育的研究，闡述了數(shù)學(xué)教育中學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究進(jìn)展，并提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的建議。［1］

本研究通過分析學(xué)習(xí)進(jìn)階的相關(guān)概念，將學(xué)習(xí)進(jìn)階理論應(yīng)用于橢圓教學(xué)，構(gòu)建橢圓的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型，揭示學(xué)生在學(xué)習(xí)該知識點(diǎn)時存在的不足，幫助教師明確教學(xué)目標(biāo)并引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)習(xí)并掌握相關(guān)知識點(diǎn)，優(yōu)化課堂教學(xué)過程。

一、學(xué)習(xí)進(jìn)階相關(guān)概念界定

學(xué)習(xí)進(jìn)階理論先在教育測量與評價中得到了廣泛應(yīng)用，隨后被引入課程設(shè)計、概念教學(xué)等方面，應(yīng)用逐漸廣泛，并且備受關(guān)注，不少研究者根據(jù)自身的理解及研究方向?qū)W(xué)習(xí)進(jìn)階進(jìn)行了定義。羅斯曼等人將學(xué)習(xí)進(jìn)階定義為“由小學(xué)延續(xù)到高中的、有邏輯的、符合學(xué)生發(fā)展規(guī)律的‘概念序列”［2］，史密斯等人將學(xué)習(xí)進(jìn)階定義為“學(xué)生在學(xué)習(xí)某一核心概念的過程中，所遵循的一系列逐漸復(fù)雜的思維路徑”［3］。姚建欣等人通過對比研究近幾年有關(guān)學(xué)習(xí)進(jìn)階的論文，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)研究者都引用美國國家研究理事會（NRC）的定義方式［4］，即隨著學(xué)習(xí)時間的不斷增加，學(xué)生對于某一內(nèi)容主題思考和認(rèn)識不斷豐富、精進(jìn)和深入的一種過程。因此本研究對學(xué)習(xí)進(jìn)階的概念界定也采用NRC的定義方式。

韋斯林等人在進(jìn)行大量研究的基礎(chǔ)上，通過明確學(xué)習(xí)進(jìn)階各方面的基本特征來精確把握學(xué)習(xí)進(jìn)階的內(nèi)涵，并提出了學(xué)習(xí)進(jìn)階所應(yīng)包含的要素，告訴人們完整的學(xué)習(xí)進(jìn)階應(yīng)該包括什么。本文在參考韋斯林等人關(guān)于學(xué)習(xí)進(jìn)階要素論述［5］的基礎(chǔ)上，總結(jié)出一個完整的學(xué)習(xí)進(jìn)階主要包含五個要素，分別是進(jìn)階終點(diǎn)、進(jìn)階維度、成就水平、學(xué)業(yè)表現(xiàn)期望和測評工具。

進(jìn)階終點(diǎn)主要指的是學(xué)習(xí)進(jìn)階的頂點(diǎn)（學(xué)習(xí)進(jìn)階要達(dá)到的最高水平），是經(jīng)歷某一階段學(xué)習(xí)后期望學(xué)生能夠達(dá)到的最終水平，一般由社會期望和課程標(biāo)準(zhǔn)決定。進(jìn)階維度通常是指學(xué)科中蘊(yùn)含的核心概念或者核心概念的子概念，研究者可通過追蹤學(xué)生對核心概念的理解運(yùn)用情況和關(guān)鍵能力的發(fā)展來了解學(xué)習(xí)進(jìn)階進(jìn)程。成就水平主要指學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中思維發(fā)展的不同水平，這些水平體現(xiàn)了學(xué)生在認(rèn)知過程中的思維發(fā)展情況。正如通過爬上一級又一級的臺階才能爬上山頂，而這些臺階就是成就水平。學(xué)業(yè)表現(xiàn)期望指的是學(xué)生在達(dá)到各成就水平時可測量的具體表現(xiàn)，這也是評估學(xué)生是否達(dá)到某一成就水平的重要標(biāo)準(zhǔn)。測評工具主要指用于檢查學(xué)生實際的學(xué)習(xí)表現(xiàn)與預(yù)期的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型的達(dá)成程度而開發(fā)的檢測工具，測評結(jié)果如果不太理想，可以依據(jù)測評結(jié)果進(jìn)一步修改學(xué)習(xí)進(jìn)階模型。

學(xué)習(xí)進(jìn)階理論刻畫的是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的思維認(rèn)知路徑，它能厘清知識點(diǎn)概念間所包含的邏輯關(guān)系，指出所學(xué)知識點(diǎn)的先后順序，通過已學(xué)的知識鋪墊后續(xù)的學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)進(jìn)階不僅描述學(xué)生學(xué)習(xí)和思維發(fā)展的路徑，而且能夠確定學(xué)生目前思維所處的層次，通過對學(xué)生思維所處的每一個階段進(jìn)行描述，呈現(xiàn)學(xué)生需要達(dá)到的成就水平，幫助教師確定學(xué)生在該階段學(xué)習(xí)中存在的誤區(qū)，從而制訂合理的教學(xué)方式，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷完善知識架構(gòu)，不斷進(jìn)步。

二、橢圓的學(xué)習(xí)進(jìn)階

常見的學(xué)習(xí)進(jìn)階研究范式一般由模型預(yù)設(shè)和實證檢驗兩大部分組成，其構(gòu)建主要遵循以下步驟：首先確定需要研究的核心概念。其次構(gòu)建學(xué)習(xí)進(jìn)階預(yù)設(shè)的模型，其中包括確定合適的進(jìn)階終點(diǎn)、進(jìn)階維度、成就水平、學(xué)業(yè)表現(xiàn)期望。最后開發(fā)相關(guān)的測評工具，收集數(shù)據(jù)并進(jìn)行測評分析。根據(jù)測評的數(shù)據(jù)結(jié)果完成對假設(shè)的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型的修訂與完善工作。

（一）進(jìn)階終點(diǎn)的確定

1．課程標(biāo)準(zhǔn)分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱課程標(biāo)準(zhǔn)）要求學(xué)生掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，并且強(qiáng)調(diào)了橢圓、拋物線的簡單應(yīng)用。

2．教材分析

本研究以高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第三章圓錐曲線的方程的有關(guān)內(nèi)容為例進(jìn)行研究。教材中對于橢圓部分的知識點(diǎn)層層遞進(jìn)、承上啟下，由橢圓的定義引出標(biāo)準(zhǔn)方程，接著通過標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)一步探索橢圓的幾何性質(zhì)，最終實現(xiàn)橢圓的簡單應(yīng)用。

因此本研究確定橢圓教學(xué)的進(jìn)階終點(diǎn)為：運(yùn)用橢圓的性質(zhì)解決相關(guān)的綜合問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（二）進(jìn)階維度的確定

本研究通過分析課程標(biāo)準(zhǔn)中對于橢圓教學(xué)的要求，整理高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊的內(nèi)容設(shè)置，總結(jié)出教材中橢圓部分以“橢圓的定義—橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程—橢圓的簡單幾何性質(zhì)—橢圓的應(yīng)用”的學(xué)習(xí)順序逐步推進(jìn)，以此來進(jìn)行橢圓縱向維度的研究。因此可將橢圓學(xué)習(xí)進(jìn)階模型的進(jìn)階維度確定為以下四個：

維度1：結(jié)合生活情境，類比圓的概念及定義，認(rèn)知橢圓的定義。

維度2：根據(jù)橢圓的定義，通過建立合適的直角坐標(biāo)系研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表達(dá)式。

維度3：類比研究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出幾何性質(zhì)的方法，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)。

維度4：明晰橢圓與直線的聯(lián)系（求解直線與橢圓聯(lián)立的問題）。

（三）成就水平的確定

成就水平描述的是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中從最初的水平不斷發(fā)展到最終水平時其思維發(fā)展的路徑。最低水平的確定一般基于學(xué)生在進(jìn)行某階段學(xué)習(xí)前的已有經(jīng)驗，包括學(xué)生頭腦中已有的相關(guān)經(jīng)驗以及與某階段學(xué)習(xí)有關(guān)的前概念等。最高水平一般依據(jù)社會期望、課程標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)生的要求等來確定。中間各水平的確定則基于已有的對于學(xué)生情況的研究結(jié)果，包括學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律以及具體某階段學(xué)習(xí)的實際情況。已有研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)進(jìn)階理論與SOLO分類理論之間存在一致性［6］，基于SOLO分類理論可以很好地刻畫學(xué)生在認(rèn)知過程中思維發(fā)展的過程與水平。因此本研究將根據(jù)SOLO分類理論將橢圓學(xué)習(xí)進(jìn)階模型的成就水平劃分為以下五個：

前結(jié)構(gòu)水平：學(xué)生在進(jìn)行本階段學(xué)習(xí)前頭腦已經(jīng)存在的有關(guān)信息，一般是學(xué)生掌握的零碎信息，這些信息可能是正確的，也可能是錯誤的，學(xué)生對概念未形成精確的認(rèn)知。

單一結(jié)構(gòu)水平：了解并掌握部分簡單的信息，未建立信息間的聯(lián)系。

多元結(jié)構(gòu)水平：能說出多個信息的內(nèi)涵，能進(jìn)行完整的解釋與說明。

關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平：從能建立少部分信息間的聯(lián)系到建立所有信息的聯(lián)系，能解決簡單問題。

抽象結(jié)構(gòu)水平：形成系統(tǒng)的信息體系，能靈活運(yùn)用并遷移知識，能解決復(fù)雜問題。

（四）各水平表現(xiàn)期望的確定

各水平表現(xiàn)期望描述的是學(xué)生達(dá)到各水平時可測量的具體表現(xiàn)，是判斷學(xué)生處于何種水平的標(biāo)準(zhǔn)，細(xì)致描述了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中認(rèn)知的發(fā)展，即學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握什么知識，把握什么技能，等等。本研究結(jié)合SOLO分類理論，通過分析橢圓相關(guān)文獻(xiàn)以及教材的內(nèi)容確定了橢圓學(xué)習(xí)四個進(jìn)階維度對應(yīng)各成就水平的表現(xiàn)期望，分別見表1、表2、表3、表4。

從上述的四個維度二十個水平可以看出，學(xué)生的橢圓的學(xué)習(xí)過程是循序漸進(jìn)的，從橢圓的定義出發(fā)逐步深入到橢圓的應(yīng)用，學(xué)生在這個過程中經(jīng)歷了不同的思維層級，是一個逐步提高、不斷進(jìn)階的過程。因此教師在教學(xué)過程中要充分考慮學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律和知識間的脈絡(luò)關(guān)系，針對不同思維水平的學(xué)生，設(shè)計合理的教學(xué)方式和教學(xué)方案，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的不斷提升與發(fā)展。

本研究將學(xué)習(xí)進(jìn)階理論應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)橢圓的教學(xué)中，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求、教材內(nèi)容的安排，以及橢圓內(nèi)容的相關(guān)研究，構(gòu)建了橢圓學(xué)習(xí)進(jìn)階模型，明確了每一個階段的學(xué)習(xí)任務(wù)，揭示了學(xué)生在學(xué)習(xí)中思維和認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律及所經(jīng)歷的過程。能夠使教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生該階段學(xué)習(xí)中可能存在的錯誤認(rèn)知，并為學(xué)生能夠更加深刻地理解各階段的知識點(diǎn)提供幫助。通過構(gòu)建橢圓的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型，也進(jìn)一步為教師在橢圓內(nèi)容的教學(xué)中提供新的教學(xué)思路與方式。

【參考文獻(xiàn)】

［1］吳穎康，鄧少博，楊潔．?dāng)?shù)學(xué)教育中學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究進(jìn)展及啟示［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2017，26（6）：40-46．

［2］劉晟，劉恩山．學(xué)習(xí)進(jìn)階：關(guān)注學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和生活經(jīng)驗［J］．教育學(xué)報，2012，8（2）：82．

［3］同［2］81．

［4］姚建欣，郭玉英．為學(xué)生認(rèn)知發(fā)展建模：學(xué)習(xí)進(jìn)階十年研究回顧及展望［J］．教育學(xué)報，2014，10（5）：35-42．

［5］韋斯林，賈遠(yuǎn)娥．學(xué)習(xí)進(jìn)程：促進(jìn)課程、教學(xué)與評價的一致性［J］．全球教育展望，2010，39（9）：24-31．

［6］羅曉燕，李佳，袁萍，等．SOLO分類理論與學(xué)習(xí)進(jìn)階比較研究［J］．課程教學(xué)研究，2021（1）：12-17．

劉力韜 / 佳木斯大學(xué)理學(xué)院，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究；黃金瑩 / 佳木斯大學(xué)理學(xué)院，教授，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究（佳木斯 154007）；*通訊作者，E-mail：hjyshuxue@163.com