一種改進(jìn)窗函數(shù)非線性組合法的旁瓣抑制性能研究

韋 旺，汪 潔，朱 琪，繆文杰，葛俊祥

（1.南京信息工程大學(xué)電子信息工程學(xué)院，江蘇南京 210044；2.南京信息工程大學(xué)雷達(dá)技術(shù)研究所，江蘇南京 210044）

0 引言

脈沖壓縮是現(xiàn)代雷達(dá)的一種重要體制，它既能克服雷達(dá)作用距離與分辨率的矛盾，也是雷達(dá)反隱身抗電子干擾以及對(duì)抗ARM 的有力手段［1］。脈沖壓縮是通過(guò)發(fā)射較大時(shí)寬的脈沖信號(hào)，加大發(fā)射的平均功率，從而提高雷達(dá)作用距離；在雷達(dá)接收端通過(guò)接收經(jīng)過(guò)脈沖壓縮后的窄脈沖信號(hào)，從而獲得較高的雷達(dá)距離分辨率［2］。依據(jù)調(diào)制信號(hào)波形，雷達(dá)脈沖壓縮采用的信號(hào)可分為線性調(diào)頻（LFM）信號(hào)、非線性調(diào)頻信號(hào)和相位編碼信號(hào)。由于LFM 信號(hào)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，多普勒性能良好，并且不會(huì)引起信噪比損失，因此是目前應(yīng)用最為廣泛的脈沖壓縮信號(hào)。該信號(hào)的缺點(diǎn)是在脈沖壓縮后常會(huì)產(chǎn)生較高的距離旁瓣，影響雷達(dá)的小目標(biāo)檢測(cè)能力。

針對(duì)LFM 信號(hào)脈沖壓縮后距離旁瓣較高的問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外對(duì)此已有相關(guān)研究成果。文獻(xiàn)［3］提出一種基于最小二乘迭代的旁瓣抑制方法，獲得了較小的主瓣展寬比和峰值旁瓣比，但缺點(diǎn)是迭代系數(shù)不易控制，且計(jì)算量較大；文獻(xiàn)［4-5］通過(guò)頻譜修正方法抑制脈壓后的旁瓣，但抑制效果不明顯，且導(dǎo)致主瓣展寬和信噪比損失增加；文獻(xiàn)［6］提出了一種窗函數(shù)雙向加權(quán)法，獲得了較低的峰值旁瓣，不過(guò)卻嚴(yán)重地展寬了主瓣；文獻(xiàn)［7］通過(guò)在時(shí)域中設(shè)計(jì)了一種新的窗函數(shù)，但該窗函數(shù)旁瓣抑制比不高，且?guī)?lái)了信噪比損失的增加；文獻(xiàn)［8］應(yīng)用加權(quán)網(wǎng)絡(luò)方法降低旁瓣，通過(guò)先計(jì)算出輸出信號(hào)的能量譜密度，然后計(jì)算脈沖壓縮的傳遞函數(shù)，該方法計(jì)算量較小但旁瓣抑制比不高；文獻(xiàn)［9］提出了應(yīng)用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法，通過(guò)控制雷達(dá)接收波形與輸出波形之間的映射關(guān)系來(lái)抑制旁瓣，但該方法計(jì)算量較大，且魯棒性較低。就工程設(shè)計(jì)而言，窗函數(shù)加權(quán)脈沖壓縮是最容易和最常見(jiàn)的旁瓣抑制方法。窗函數(shù)加權(quán)技術(shù)引入具有海明窗、凱塞窗、布萊克曼窗以及泰勒窗等傳輸函數(shù)的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行旁瓣抑制［10］。

常用脈沖壓縮的窗函數(shù)加權(quán)法分為單向加權(quán)法和雙向加權(quán)法，傳統(tǒng)的窗函數(shù)單向加權(quán)法通過(guò)在接收端對(duì)匹配濾波器系數(shù)時(shí)域窗函數(shù)加權(quán)來(lái)抑制旁瓣，雙向加權(quán)法是在單向加權(quán)法的基礎(chǔ)上，對(duì)發(fā)射信號(hào)再進(jìn)行窗函數(shù)時(shí)域加權(quán)，從而進(jìn)一步的抑制旁瓣［11］。不過(guò)這兩種常用的窗函數(shù)加權(quán)法都是以不同程度的主瓣展寬獲取峰值旁瓣的降低，相對(duì)單向加權(quán)法，雙向加權(quán)法脈壓后的旁瓣更低，但帶來(lái)了更嚴(yán)重的主瓣展寬增加，導(dǎo)致雷達(dá)距離分辨率嚴(yán)重下降［12］。

本文試圖回歸窗函數(shù)的本身研究，在LFM 信號(hào)加權(quán)窗函數(shù)脈沖壓縮的理論基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)學(xué)方法對(duì)常用的窗函數(shù)進(jìn)行分析并加以改進(jìn)，尋求一種在雷達(dá)脈沖壓縮后主瓣展寬不變前提下，降低脈沖壓縮信號(hào)峰值旁瓣的新方法。

1 窗函數(shù)線性組合法的基本原理

單向窗函數(shù)加權(quán)脈壓和雙向窗函數(shù)加權(quán)脈壓的過(guò)程分別為

式中:s（t）為發(fā)射信號(hào)；h（t）為對(duì)應(yīng)的匹配濾波器系數(shù)；w（t）為窗函數(shù)；y（t）為脈壓輸出；“?”表示卷積。在窗函數(shù)特性研究中［13］，發(fā)現(xiàn)海明窗和漢寧窗的結(jié)構(gòu)相似［14］，都由一個(gè)常數(shù)和余弦函數(shù)加權(quán)組成，它們的表達(dá)式分別如下:

對(duì)這兩種窗函數(shù)的表達(dá)式分析可知，海明窗、漢寧窗可分解為矩形窗和余弦函數(shù)窗的線性組合，但這兩種組合結(jié)構(gòu)相同的窗函數(shù)旁瓣抑制能力卻有較大差異，因此，基于這兩種一次余弦窗的思想，本文引出了窗函數(shù)的線性組合法，過(guò)程如下:

式中，w1和w2為窗函數(shù)線性組合法的兩種基窗函數(shù)，w3為線性組合后的窗函數(shù)，a為組合系數(shù)。為了在理論中證明窗函數(shù)線性組合法的旁瓣抑制能力，將上述組合后的窗函數(shù)w3與線性調(diào)頻信號(hào)進(jìn)行加窗脈沖壓縮，設(shè)其脈壓后的信號(hào)為y(t)，由公式（1）可得窗函數(shù)線性組合法的組合窗w3加窗脈壓過(guò)程為

則脈壓輸出信號(hào)y(t)的總能量E為

將公式（5）代入可得

式中，第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別為基窗函數(shù)w1和w2分別做脈沖壓縮輸出的總能量，將其分別設(shè)為E1和E2，則

假設(shè)E1>E2，則

由于脈壓輸出總能量為主瓣能量與旁瓣總能量之和，若這三種窗函數(shù)w1、w2、w3脈壓后主瓣不變，由E

為了檢驗(yàn)窗函數(shù)線性組合法的旁瓣抑制效果，取基窗函數(shù)w1與w2分別為三角窗與漢寧窗、變形布萊克曼窗與海明窗的兩種線性組合窗，變形布萊克曼窗表達(dá)式為

式中，w0為布萊克曼窗的表達(dá)式，窗函數(shù)組合原理如公式（5）所示。將這兩種線性組合窗分別與線性調(diào)頻信號(hào)做單向加窗脈壓與雙向加窗脈壓，該過(guò)程分別如公式（1）與公式（2）所示。為了使線性組合窗獲得理想情況下極低的旁瓣［15］，令其脈壓輸出信號(hào)y（t）主瓣不變，所有旁瓣的總能量無(wú)窮?。ń茷?），由此即可推導(dǎo)出線性組合窗中組合系數(shù)a的值，該過(guò)程如下:

式中，t1，t2是信號(hào)y（t）的主瓣起點(diǎn)和終點(diǎn)，通過(guò)對(duì)y（t）求微分后取其零點(diǎn)而得。所求兩種線性組合窗的組合系數(shù)a分別為0.74 和0.7，為檢驗(yàn)這兩種組合窗的加權(quán)脈壓效果，設(shè)置時(shí)寬T=20 μs，帶寬B=4 MHz，采樣頻率Fs=20 MHz，輸入信號(hào)為調(diào)頻斜率K=B/T的LFM 信號(hào)，本文所有仿真條件均與此相同。這兩種線性組合窗與其基窗函數(shù)脈沖壓縮結(jié)果對(duì)比如圖1和圖2所示。

圖1 三角窗、漢寧窗與它們的線性組合窗的脈壓對(duì)比

圖2 變形布萊克曼窗、海明窗與它們的線性組合窗的雙向脈壓結(jié)果對(duì)比

由仿真結(jié)果可知，這兩種線性組合窗分別做單向加窗脈壓與雙向加窗脈壓后，與對(duì)應(yīng)的基窗函數(shù)相比，脈壓輸出的主瓣寬度基本不變、峰值旁瓣降低，三角漢寧線性組合窗相比它的基窗函數(shù)峰值旁瓣降低5 dB 以上，變形布萊克曼海明線性組合窗相比它的基窗函數(shù)峰值旁瓣降低10 dB 以上，這兩種線性組合窗遠(yuǎn)區(qū)旁瓣較高，不過(guò)該影響相對(duì)較小。

綜上所述，窗函數(shù)線性組合法在它的基窗函數(shù)基礎(chǔ)上，理論上可在主瓣不變時(shí)降低脈壓信號(hào)旁瓣，并且通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法在一些窗函數(shù)組合中的旁瓣抑制效果得到提高。

2 一種改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法

在雷達(dá)脈沖壓縮中，有些情況下需要很低的旁瓣，從而獲取更高的目標(biāo)檢測(cè)率［16］。因此，本節(jié)對(duì)窗函數(shù)線性組合法改進(jìn)，尋求在主瓣寬度不變下，將脈壓輸出的旁瓣進(jìn)一步降低。對(duì)此，通過(guò)對(duì)窗函數(shù)線性組合法中引入一個(gè)參數(shù)r 改進(jìn)該方法的組合關(guān)系，使窗函數(shù)線性組合法由傳統(tǒng)的線性組合關(guān)系變?yōu)榉蔷€性組合關(guān)系，改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法如下:

式中，w'3為非線性組合后的窗函數(shù)，w1、w2為基窗函數(shù)，a為組合系數(shù)，r為可變參數(shù)。為了證明改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法旁瓣抑制效果，將其與窗函數(shù)線性組合法進(jìn)行脈壓結(jié)果對(duì)比，脈沖壓縮過(guò)程如公式（1）所示，設(shè)窗函數(shù)線性組合法與改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法脈壓輸出信號(hào)分別為y3(t)和y'3(t)，它們的脈壓輸出總能量差ΔE為

設(shè)Δw3(τ)=w3(τ)-w'3(τ)，根據(jù)公式（5）與公式（13）可得

當(dāng)a趨近于1時(shí)，1-a趨近于0，此時(shí)(1-a)?w1可近似為0，則

故當(dāng)0

將上式代入ΔE中可得

同理，當(dāng)r>1，a→0-時(shí)，也可推得ΔE>0。故當(dāng)參數(shù)r>0 時(shí)，存在組合系數(shù)a使得改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法脈壓輸出總能量低于窗函數(shù)線性組合法，由于脈沖壓縮輸出總能量為主瓣能量與旁瓣總量之和，若脈壓輸出信號(hào)主瓣不變，則此時(shí)改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法脈壓輸出旁瓣總能量低于窗函數(shù)線性組合法。因此，通過(guò)上述理論分析，證明在主瓣不變下，改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法相比窗函數(shù)線性組合法可取得更低的旁瓣。

為了檢驗(yàn)改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法的旁瓣抑制效果，取與第2 節(jié)相同的基窗函數(shù)w1、w2分別為三角窗與漢寧窗、變形布萊克曼窗與海明窗的兩種非線性組合窗，并對(duì)這兩種組合窗分別進(jìn)行單向加窗脈壓和雙向加窗脈壓，脈壓過(guò)程分別如公式（1）和公式（2）所示。為了便于對(duì)比，令改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法的參數(shù)r為自變量，組合系數(shù)a為因變量，通過(guò)對(duì)不同r值的非線性組合窗脈壓峰值旁瓣取最理想結(jié)果，求出此時(shí)組合系數(shù)a的值，該過(guò)程如公式（12）所示，參數(shù)r取不同值時(shí)兩種非線性組合窗的組合系數(shù)a的值以及加窗脈壓的峰值旁瓣比和主瓣展寬結(jié)果分別如表1、表2所示。

表1 不同參數(shù)r下的三角窗、漢寧窗及它們的組合窗單向加窗脈壓結(jié)果

表2 不同參數(shù)r下的海明窗、變形布萊克曼窗及它們的組合窗雙向加窗脈壓結(jié)果

兩種非線性組合窗的主瓣展寬、峰值旁瓣與參數(shù)r值的變化關(guān)系分別如圖3 和圖4所示。由圖3 和圖4 可知，隨著r值的增加，兩種非線性組合窗脈壓后的主瓣展寬先降低而后趨于飽和；峰值旁瓣先提高再降低又提高，最后趨于飽和，這種非線性變化的原因是當(dāng)參數(shù)r靠近1 時(shí)，r與1/r都接近為1，影響較弱，所以此時(shí)組合系數(shù)a的存在產(chǎn)生干擾作用，主瓣展寬和峰值旁瓣趨于飽和是由于1/r隨著r的增大而趨于0，使得非線性組合窗形式趨于相同。因此，由于非線性組合窗脈壓后的峰值旁瓣隨著參數(shù)r呈非線性變化，會(huì)出現(xiàn)峰值旁瓣極小值點(diǎn)，故兩種非線性組合窗相比其對(duì)應(yīng)的線性組合窗的主瓣展寬不變下可獲得更低的峰值旁瓣。

圖3 三角漢寧非線性組合窗脈沖壓縮性能和r值的關(guān)系

分別取上述表1 和表2 中相對(duì)其線性組合窗的主瓣不展寬、峰值旁瓣最低的三角漢寧非線性組合窗和變形布萊克曼海明非線性組合窗，它們的參數(shù)分別為r=2.2、a=0.96 與r=0.9、a=48，將這兩種改進(jìn)非線性組合窗與其線性組合窗以及基窗函數(shù)分別進(jìn)行單向加窗脈壓與雙向加窗脈壓，脈壓結(jié)果如圖5 和圖6所示。由圖5 和圖6 的脈壓結(jié)果可知，兩種非線性組合窗在主瓣寬度不變下，峰值旁瓣大幅降低，相比對(duì)應(yīng)的線性組合窗峰值旁瓣分別降低7 dB 和3 dB 以上，相比對(duì)應(yīng)的基窗函數(shù)峰值旁瓣分別降低12 dB和13 dB以上。

圖5 三角窗、漢寧窗及它們的非線性組合窗、線性組合窗的脈壓結(jié)果對(duì)比

圖6 變形布萊克曼窗、海明窗及它們的非線性組合窗、線性組合窗的雙向脈壓結(jié)果對(duì)比

綜上所述，在窗函數(shù)線性組合法的基礎(chǔ)上，改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法理論上可在主瓣展寬不變下，進(jìn)一步降低脈壓后的旁瓣，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法在一些窗函數(shù)組合中的旁瓣抑制效果也進(jìn)一步提高。

3 改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法實(shí)驗(yàn)分析

3.1 改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法脈壓效果檢驗(yàn)

為了驗(yàn)證改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法在不同窗函數(shù)中使用效果，本節(jié)將幾種常用的窗，分別是二次冪函數(shù)窗、三角窗、漢寧窗、海明窗以及布萊克曼窗，與主瓣展寬、峰值旁瓣可調(diào)的凱塞窗用改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法進(jìn)行組合，為了便于對(duì)比，所取凱塞窗的主瓣寬度分別與這幾種常用窗相同，對(duì)應(yīng)凱塞窗階數(shù)k分別為3.3，4.9，5.7，6.6 和8.5，比較在相同主瓣展寬下，這幾種常用窗與凱塞窗以及它們的非線性組合窗的脈壓效果。改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法與上文相同，過(guò)程如下:

式中w'3為非線性組合后的窗函數(shù)，w1為二次冪函數(shù)窗、三角窗、漢寧窗、海明窗或布萊克曼窗，w2為與w1主瓣寬度相同的凱塞窗，a、r為使得組合窗主瓣不展寬、峰值旁瓣取最低值時(shí)的參數(shù)，該參數(shù)的求解過(guò)程與第2 節(jié)相同。二次冪函數(shù)窗的表達(dá)式如下:

與上文相同，設(shè)置時(shí)寬T=20 μs，帶寬B=4 MHz，采樣頻率Fs=20 MHz，輸入的LFM 信號(hào)調(diào)頻斜率為K=B/T。表3給出了這幾種常用窗函數(shù)與凱塞窗以及它們的非線性組合窗在相同主瓣展寬下的脈沖壓縮結(jié)果，由于LFM 信號(hào)脈壓后的旁瓣峰值會(huì)受到時(shí)寬帶寬積的限制，因此為了便于對(duì)比，該表格中的峰值旁瓣比為窗函數(shù)頻率響應(yīng)的旁瓣峰值，主瓣展寬與信噪比損失為加窗脈壓后結(jié)果。

表3 相同主瓣展寬下幾種窗函數(shù)與凱塞窗以及它們的非線性組合窗的脈壓結(jié)果對(duì)比

圖7 給出了這幾種常用窗函數(shù)與凱塞窗及其非線性組合窗在相同主瓣展寬時(shí)的脈壓結(jié)果對(duì)比。

圖7 相同主瓣展寬下幾種窗函數(shù)與凱塞窗以及它們的非線性組合窗的脈沖壓縮結(jié)果對(duì)比

由表3可以看出，這幾種不同基窗函數(shù)的非線性組合窗脈壓后的主瓣展寬、峰值旁瓣比、信噪比損失等性能各不相同。由圖7（a）可知，在相同的主瓣展寬下，幾種非線性組合窗的峰值旁瓣最低，其次是凱塞窗，幾種常用窗函數(shù)的峰值旁瓣最高，幾種非線性組合窗相比凱塞窗峰值旁瓣降低4 dB以上、相比幾種常用窗函數(shù)降低7 dB 以上；由圖7（b）可知，相同的主瓣展寬下，幾種非線性組合窗信噪比損失相比其他窗函數(shù)增加了0.1～0.5 dB，該影響相對(duì)較小。

綜上所述，本文改進(jìn)窗函數(shù)非線性組合法應(yīng)用在多種常用的窗函數(shù)中，加窗脈壓均可達(dá)到主瓣展寬不變、峰值旁瓣降低的效果，并且在相同主瓣展寬下的旁瓣抑制能力相比凱塞窗進(jìn)一步提高。

3.2 改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法在多目標(biāo)問(wèn)題的應(yīng)用和分析

由于在雷達(dá)信號(hào)的多目標(biāo)檢測(cè)中，若大目標(biāo)的旁瓣過(guò)高則會(huì)產(chǎn)生虛假目標(biāo)，無(wú)法準(zhǔn)確地檢測(cè)出小信號(hào)和小目標(biāo)［17］；若是脈壓后信號(hào)主瓣寬度過(guò)大，則會(huì)導(dǎo)致分辨率下降，無(wú)法檢測(cè)出兩個(gè)臨近的目標(biāo)［18］。故本文以三目標(biāo)檢測(cè)為例，檢驗(yàn)改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法多目標(biāo)檢測(cè)能力，為了便于對(duì)比，以上文中主瓣展寬相同的三角窗、k=4.7的凱塞窗以及它們的非線性組合窗為代表，分別檢驗(yàn)這三種窗面對(duì)多個(gè)目標(biāo)的檢測(cè)能力，其中該非線性組合窗中的參數(shù)與上文相同。

由于以上3種窗的峰值旁瓣比不同，于是設(shè)置3 個(gè)強(qiáng)弱不等的目標(biāo)，分別在第100、130、150個(gè)采樣點(diǎn)上。仿真條件設(shè)置時(shí)寬T=20 μs，帶寬B=4 MHz，采樣頻率Fs=20 MHz，發(fā)射信號(hào)為調(diào)頻斜率K=B/T的LFM 信號(hào)，仿真參數(shù)與上文一致。仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 三角窗、凱塞窗（k=4.7）以及它們的非線性組合窗多目標(biāo)加窗脈壓輸出

由圖8（a）可知，由于三角窗峰值旁瓣過(guò)高，導(dǎo)致第二個(gè)目標(biāo)附近有很多較高的副瓣，這些副瓣強(qiáng)度超過(guò)另外兩個(gè)目標(biāo)，因此無(wú)法準(zhǔn)確的區(qū)分另外兩個(gè)目標(biāo)。圖8（b）是k=4.7 的凱塞窗多目標(biāo)脈壓輸出，其旁瓣有所下降，使第一個(gè)目標(biāo)可以被區(qū)分，但是第三個(gè)較弱的目標(biāo)淹沒(méi)在與其相鄰的第二個(gè)大目標(biāo)的旁瓣中。圖8（c）是以三角窗和凱塞窗（k=4.7）為基窗函數(shù)的非線性組合窗多目標(biāo)脈壓輸出，有著較低的旁瓣，可以很清楚地分辨這三個(gè)目標(biāo)。

通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了上述非線性組合窗多目標(biāo)加窗脈壓具有較好的旁瓣性能，在主瓣寬度不變下，相比其基窗函數(shù)旁瓣抑制能力大大提高，適用于多目標(biāo)的檢測(cè)。本節(jié)基于改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法的其他幾種非線性組合窗皆做過(guò)多目標(biāo)檢測(cè)仿真，效果良好，不再贅述。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)雷達(dá)脈沖壓縮中主瓣展寬與旁瓣抑制相矛盾的問(wèn)題，本文提出了一種以常用窗函數(shù)為基窗函數(shù)的改進(jìn)窗函數(shù)非線性組合法。通過(guò)對(duì)窗函數(shù)加權(quán)脈沖壓縮的理論分析，首先證明窗函數(shù)線性組合法的旁瓣抑制能力，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步證明本文所提的改進(jìn)窗函數(shù)非線性組合法可以在主瓣展寬不變的前提下，將加窗脈壓的旁瓣抑制能力相比窗函數(shù)線性組合法進(jìn)一步提高。在改進(jìn)窗函數(shù)非線性組合法的仿真實(shí)驗(yàn)中，驗(yàn)證了該方法應(yīng)用在多種常用窗函數(shù)時(shí)，都可以在主瓣展寬不變、信噪比損失增加低于0.5 dB 的前提下，將峰值旁瓣相比凱塞窗降低4 dB 以上、相比幾種常用窗函數(shù)降低7 dB 以上，并且在多目標(biāo)檢測(cè)仿真中，改進(jìn)的窗函數(shù)非線性組合法也取得了比較理想的效果。