考慮有界場(chǎng)的幾何不確定性非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化1)

戰(zhàn)俊杰 彭秀林 白仲航,?,2)

* (河北省健康人居環(huán)境重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300132)

? (河北工業(yè)大學(xué)國(guó)家技術(shù)創(chuàng)新方法與實(shí)施工具工程技術(shù)研究中心,天津 300401)

引言

拓?fù)鋬?yōu)化作為一種有效的自動(dòng)化設(shè)計(jì)工具,已廣泛應(yīng)用于各種結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)問(wèn)題.常用的拓?fù)鋬?yōu)化方法主要包括SIMP (solid isotropic material with penalization)法[1-2]、ESO (evolutionary structural optimization)法[3]、水平集法[4-5]、智能拓?fù)鋬?yōu)化方法[6-7]等.此外,Guo 等[8-12]提出了一種基于移動(dòng)可變形組件/孔洞的拓?fù)浞椒?以可移動(dòng)可變形組件為基本元件進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).近期,Luo 等[13-16]提出了一種基于材料場(chǎng)級(jí)數(shù)展開 (material-field series-expansion,MFSE)的拓?fù)鋬?yōu)化方法,該方法能夠有效避免結(jié)構(gòu)中的棋盤格現(xiàn)象及網(wǎng)格依賴性問(wèn)題,并且能夠大幅減少設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù),提高計(jì)算效率.

在結(jié)構(gòu)的加工制造及使用過(guò)程中,不可避免會(huì)存在各種不確定性,比如加工誤差導(dǎo)致的幾何不確定性,工作時(shí)的載荷不確定性等.這些不確定性會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生性能波動(dòng)和關(guān)鍵指標(biāo)降低,嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的安全性.現(xiàn)有處理不確定性的方法主要是基于概率框架進(jìn)行的.隨著概率可靠性優(yōu)化方法的發(fā)展,一些實(shí)用的求解策略如功能度量法[17-18],序列優(yōu)化方法[19]及概率神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[20]等都極大地促進(jìn)了概率可靠性方法在實(shí)際工程中的應(yīng)用.此外,實(shí)際工程中的許多不確定性,如分布荷載、幾何尺寸、材料屬性等,其在空間不同位置上的實(shí)現(xiàn)是隨空間位置的變化而變化的,這屬于“不確定場(chǎng)”問(wèn)題.目前,常用來(lái)描述不確定場(chǎng)的模型為隨機(jī)場(chǎng)模型[21-23].將制造誤差引起的幾何缺陷描述為隨機(jī)閾值場(chǎng)模型,Kang 等[22]提出了一種考慮幾何空間不確定性的概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化方法.通過(guò)將非侵入式PCE (the polynomial chaos expansion) 方法與設(shè)計(jì)靈敏度分析相結(jié)合,Keshavarzzadeh 等[23]提出了一種隨機(jī)場(chǎng)幾何不確定性下的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化的系統(tǒng)方法.

針對(duì)工程實(shí)際中廣泛存在的未知但有界不確定性,由于缺少大量樣本數(shù)據(jù)信息,難以獲得不確定性準(zhǔn)確地概率分布特征,因此概率不確定性理論不再適用.作為概率可靠性理論的有效補(bǔ)充,研究人員提出了許多描述參數(shù)不確定性的非概率模型,比如模糊模型[24-25]、證據(jù)理論[26-27]、區(qū)間模型及凸模型[28-34]等.Sofi 等[30]通過(guò)結(jié)合區(qū)間運(yùn)算和安全系數(shù)方法,將非概率可靠性指標(biāo)描述為一個(gè)區(qū)間變量.Pantelides等[33]提出了一種反優(yōu)化技術(shù)進(jìn)行考慮載荷不確定性的非概率可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì).將結(jié)構(gòu)邊界長(zhǎng)度變化描述為凸模型,Luo 等[34]完成了考慮結(jié)構(gòu)幾何不確定性的非概率可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì),優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)具有更高的可靠性.

至于少樣本的場(chǎng)不確定性問(wèn)題,由于樣本數(shù)量有限,因此隨機(jī)場(chǎng)模型也不再適用.通過(guò)引入EUI(external unit interval)變量,Muscolino 等[35-36]提出了一種區(qū)間場(chǎng)方法來(lái)量化未知但有界的不確定場(chǎng).基于空間相關(guān)性的數(shù)學(xué)定義和非概率級(jí)數(shù)展開方法,Luo 等[37]提出了一種處理有限樣本下不確定場(chǎng)問(wèn)題的有界場(chǎng)模型.基于有界場(chǎng)模型,Zhan 等[38]提出了一種非概率可靠性指標(biāo)進(jìn)行結(jié)構(gòu)場(chǎng)不確定性下的非概率可靠性評(píng)估,并進(jìn)一步完成了不確定載荷場(chǎng)作用下的結(jié)構(gòu)非概率可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)研究[39].

文獻(xiàn)調(diào)研顯示,盡管基于參數(shù)的非概率可靠性優(yōu)化方法已應(yīng)用于結(jié)構(gòu)幾何不確定性分析,但針對(duì)工程實(shí)際中考慮少樣本及空間變化特性的幾何不確定性,仍缺乏合理的可靠性優(yōu)化模型.因此,本文將采用閾值技術(shù)[40]進(jìn)行具有空間變化特性的幾何不確定性表征,并將Heaviside 過(guò)濾函數(shù)中的閾值 η 假定為有界不確定閾值場(chǎng),建立非概率有界場(chǎng)模型,進(jìn)而完成考慮結(jié)構(gòu)幾何不確定性的非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).

本文的具體安排如下: 首先進(jìn)行不確定場(chǎng)的非概率描述,即將不確定場(chǎng)描述為非概率有界場(chǎng)模型;第2 節(jié)進(jìn)行結(jié)構(gòu)幾何不確定性的描述,即通過(guò)不確定閾值場(chǎng)來(lái)表示,進(jìn)而描述為有界場(chǎng)模型;第3 節(jié)為建立結(jié)構(gòu)的非概率可靠性優(yōu)化模型;在第4 節(jié)推導(dǎo)了模型的靈敏度信息,并采用移動(dòng)漸近線法 (method of moving asymptotes)[41]求解優(yōu)化問(wèn)題;最后通過(guò)2 個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了模型的有效性.

1 不確定場(chǎng)的非概率描述

其中Z0(x) 為標(biāo)準(zhǔn)化的不確定場(chǎng),且滿足-1 ≤Z0(x)≤1.

考慮到在實(shí)際工程中結(jié)構(gòu)的不確定邊界是連續(xù)變化的,因此假定有界不確定場(chǎng)Z(x) 的空間波動(dòng)具有一定相關(guān)性.在本文中,設(shè)計(jì)域 Ωdom內(nèi)任意兩個(gè)觀察點(diǎn)xa和xb對(duì)應(yīng)的不確定場(chǎng)的相關(guān)性通過(guò)相關(guān)函數(shù)R(xa,xb) 來(lái)描述,R(xa,xb) 的表達(dá)式為

其中,符號(hào) ‖·‖表示2 范數(shù).L是不確定場(chǎng)Z(x) 的相關(guān)長(zhǎng)度,它用來(lái)控制不確定場(chǎng)的空間波動(dòng)程度.當(dāng)相關(guān)長(zhǎng)度L較小時(shí),不確定場(chǎng)的空間波動(dòng)較為劇烈,L=0表示所有觀察點(diǎn)處的變量都是不相關(guān)的;當(dāng)相關(guān)長(zhǎng)度L較大時(shí),波動(dòng)較為平緩,L→+∞ 表示不確定場(chǎng)完全相關(guān),即所有觀察點(diǎn)處的不確定場(chǎng)值Z(xi) 均相等.

設(shè)計(jì)域內(nèi)各觀察點(diǎn)之間的相關(guān)性構(gòu)成了相關(guān)矩陣R,因此R表示為

基于非概率級(jí)數(shù)擴(kuò)展,標(biāo)準(zhǔn)化的不確定場(chǎng)Z0(x)可表示為

在式(4)中,特征值 λj為降序排列,特征值越小的項(xiàng)對(duì)不確定場(chǎng)的貢獻(xiàn)值越小.因此,為提高模型的計(jì)算效率,可對(duì)式(4)進(jìn)行截?cái)?僅保留前M項(xiàng),即通過(guò)M個(gè)不確定系數(shù)(ξj(j=1,2,···,M))來(lái)描述不確定場(chǎng).截?cái)喙娇杀硎緸?/p>

其中,α 是一個(gè)很小的值.在本文中,α=1.0×10-6.

對(duì)式(4)進(jìn)行截?cái)嗪蟛⒋胧?1)中,可得到不確定場(chǎng)的表達(dá)式為

已知標(biāo)準(zhǔn)化的不確定場(chǎng)Z0(x) 的變化范圍為Z0(x)∈[-1,1],得

對(duì)式(7) 兩邊平方,并寫成向量的形式,可以得到

2 幾何不確定性的描述

在現(xiàn)有的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中,Heaviside 過(guò)濾技術(shù)已得到了廣泛的應(yīng)用.與敏度法和密度法過(guò)濾相比,優(yōu)化的結(jié)構(gòu)經(jīng)Heaviside 過(guò)濾可獲得清晰的結(jié)構(gòu)邊界.本文用到的Heaviside 過(guò)濾函數(shù)定義為

其中,不確定系數(shù) ξj的變化范圍如式(9)所示.

為了進(jìn)一步說(shuō)明不確定閾值場(chǎng) η (x) 對(duì)結(jié)構(gòu)不確定性的影響,圖2 以MBB 梁為例分別給出了不確定閾值場(chǎng) η (x) 和確定閾值 η (x)≡0.5 對(duì)結(jié)構(gòu)邊界的影響.從圖2 中可以看出,與閾值為恒定值(η (x)≡0.5)相比,當(dāng)閾值描述為不確定場(chǎng)時(shí),結(jié)構(gòu)的邊界會(huì)存在一定的擾動(dòng)(認(rèn)為是幾何不確定性).

3 考慮幾何不確定的結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化模型

3.1 考慮不確定閾值場(chǎng)的結(jié)構(gòu)非概率可靠性指標(biāo)

正如第2 節(jié)描述的那樣,不確定閾值場(chǎng) η (x) 會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的邊界產(chǎn)生影響,進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)的性能.因此,結(jié)構(gòu)性能可表示為不確定閾值場(chǎng) η (x) 的函數(shù).在本文中,結(jié)構(gòu)的性能函數(shù)可表示為C(η)≤C*,其中C為結(jié)構(gòu)的柔順性,C*為給定的柔順性約束.令g(η)=C*-C(η),則g(η) 稱為極限狀態(tài)函數(shù).

由式(6)可知,不確定閾值場(chǎng) η (x) 是關(guān)于不確定系數(shù) ξ 的函數(shù).因此,在不確定系數(shù) ξ 的空間中,極限狀態(tài)函數(shù)g(η) 可進(jìn)一步表示為G(ξ)=g(η(ξ,x)).

依據(jù)有界不確定場(chǎng)的非概率可靠性指標(biāo)的定義[39],極限狀態(tài)函數(shù)G(ξ) 可將不確定系數(shù) ξ 空間劃分為可靠區(qū)和失效區(qū),如圖3 所示(為便于表示,示意圖中只考慮了2 個(gè)不確定性系數(shù) ξ1和 ξ2).因此,考慮幾何不確定性的結(jié)構(gòu)非概率可靠性指標(biāo)定義為

即表示在可靠區(qū)域內(nèi)所允許的最大不確定性.其中,式(11)的最優(yōu)解 β*為非概率可靠性指標(biāo).jud(G(0))用來(lái)判斷可靠性指標(biāo) β*的正負(fù),具體的表達(dá)式為

3.2 基于MFSE 模型的拓?fù)鋬?yōu)化方法

為避免傳統(tǒng)密度法拓?fù)鋬?yōu)化中的棋盤格現(xiàn)象及網(wǎng)格依賴性問(wèn)題,本文將采用基于MFSE 的拓?fù)鋬?yōu)化方法[13].在本方法中,結(jié)構(gòu)拓?fù)渫ㄟ^(guò)一個(gè)具有一定空間相關(guān)性的有界材料場(chǎng)函數(shù)φ(y)∈[-1,1],y∈Ωdom來(lái)描述.經(jīng)材料場(chǎng)級(jí)數(shù)展開,并進(jìn)行截?cái)啾Ａ羟癕e(Me≤N)項(xiàng),則場(chǎng)函數(shù) φ (y) 可表示為

其中,κk和 ψk為相關(guān)矩陣 Γ 的特征值和特征向量.相關(guān)矩陣 Γ 的表達(dá)式為

類似于前面不確定場(chǎng)的處理方式,依據(jù)有界不確定場(chǎng)函數(shù) φ (y)∈[-1,1] 的界限并引入符號(hào)Hm=κ-1/2ΨTΓD(ym)ΓD(ym)TΨκ-1/2,則式(13) 可轉(zhuǎn)化為如下形式

在本方法中,假定結(jié)構(gòu)的單元中心與不確定場(chǎng)函數(shù) φ (y) 的觀察點(diǎn)ym一一對(duì)應(yīng).單元的插值函數(shù)可表示為

基于MFSE 的結(jié)構(gòu)柔順性拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題可表示為

3.3 結(jié)構(gòu)非概率可靠性優(yōu)化模型

在本文中,結(jié)合MFSE 優(yōu)化模型(式(17))及考慮不確定場(chǎng)的可靠性指標(biāo)(式(11)),考慮結(jié)構(gòu)幾何不確定性的非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題可表示為:在結(jié)構(gòu)體積一定的情況下使結(jié)構(gòu)的可靠性指標(biāo)最大化,進(jìn)而來(lái)提高結(jié)構(gòu)的可靠性,優(yōu)化列式如下所示

需要注意的是,在式(18)的外層優(yōu)化中,很難準(zhǔn)確地獲得可靠性指標(biāo) β*對(duì)設(shè)計(jì)變量χ的靈敏度信息.因此,可采用關(guān)心性能法[34,39]對(duì)式(18)進(jìn)行等效變換.基于關(guān)心性能法(詳見文獻(xiàn)[34,39]),式(18)的非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為

其中,內(nèi)層優(yōu)化為獲得在外層設(shè)計(jì)變量為χ時(shí)的關(guān)心性能值 σ (χ,ξ*),ξ*稱為關(guān)心點(diǎn).確定了關(guān)心點(diǎn) ξ*后便可得到此時(shí)對(duì)應(yīng)的不確定閾值場(chǎng) η (x) (依據(jù)式(11))分布情況.極限狀態(tài)函數(shù)G(χ,ξ) 是結(jié)構(gòu)柔順性的函數(shù),表示為G(χ,ξ)=C*-C(χ,ξ).由于C*為一給定常數(shù),因此式(19)中外層優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)maxG(χ,ξ*)可等效表示為 m inC(χ,ξ*);內(nèi)層優(yōu)化等效為 maxC(χ,ξ).為給定的非概率可靠性指標(biāo)下限值.

本文采用移動(dòng)漸近線方法(MMA)[41]求解該非概率可靠性優(yōu)化問(wèn)題.優(yōu)化模型的收斂準(zhǔn)則定義為變量(內(nèi)層為變量 ξ,外層為變量χ)在相鄰兩步迭代中的最大變化值小于0.01.

4 靈敏度分析

4.1 極限狀態(tài)函數(shù)對(duì)不確定系數(shù)的靈敏度分析

本文考慮幾何不確定性的非概率可靠性優(yōu)化問(wèn)題是基于梯度算法求解的,因此靈敏度分析是必不可少的過(guò)程.該優(yōu)化模型(式(19))為嵌套優(yōu)化,首先求解內(nèi)層優(yōu)化的靈敏度信息,即極限狀態(tài)函數(shù)G(χ,ξ) 對(duì)不確定系數(shù) ξj的靈敏度分析.具體求解過(guò)程如下所示

平衡方程Ku=F兩邊對(duì)不確定閾值場(chǎng) η (xi) 求導(dǎo),并等式變換,得

4.2 關(guān)心性能值對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度分析

優(yōu)化模型中外層優(yōu)化主要涉及的靈敏度為關(guān)心性能值 σ 對(duì)設(shè)計(jì)變量χk的靈敏度分析,為實(shí)現(xiàn)優(yōu)化模型的解耦,假設(shè)關(guān)心性能點(diǎn) ξ 對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度為0.因此,其表達(dá)式為

其中,關(guān)心性能點(diǎn) ξ*為優(yōu)化模型內(nèi)層的最優(yōu)解.

依據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t,式(24)表示為

引入伴隨向量 γ,式(27)表示為

依據(jù)式(16)的插值函數(shù),可得到

在單元層面上,關(guān)心性能值 σ 對(duì)設(shè)計(jì)變量χk的靈敏度可表示為

4.3 非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化流程圖

為便于理解式(19)的非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化模型,圖4 給出了優(yōu)化過(guò)程的流程圖.優(yōu)化過(guò)程為嵌套優(yōu)化,其中右側(cè)為內(nèi)層優(yōu)化,目的是得到在幾何不確定性下的關(guān)心性能值,求解過(guò)程涉及極限狀態(tài)函數(shù)G(χ,ξ) 對(duì)不確定系數(shù) ξj的靈敏度分析(第4.1 節(jié)內(nèi)容);左側(cè)為外層優(yōu)化,即在給定體積約束下獲得結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)?求解過(guò)程涉及關(guān)心性能值G(χ,ξ*) 對(duì)設(shè)計(jì)變量χk的靈敏度分析(第4.2 節(jié)內(nèi)容).

5 數(shù)值算例

本節(jié)給出了2 個(gè)數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證本文提出的考慮幾何不確定性的非概率可靠性優(yōu)化模型的有效性.對(duì)于這2 個(gè)算例,結(jié)構(gòu)的彈性模量和泊松比分別為E0=2.0×105MPa 和υ=0.3.在整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中,結(jié)構(gòu)始終處于線彈性階段.這2 個(gè)算例都是Windows 10 操作系統(tǒng)性下基于MATLAB 軟件計(jì)算的,電腦的配置為AMD Ryzen Threadripper PRO 5965 WX 24-Cores 3.80 GHz,128 GB RAM.

5.1 MBB 梁結(jié)構(gòu)的非概率可靠性優(yōu)化

如圖5 所示為半個(gè)MBB 梁結(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)的尺寸為140 mm×70 mm,整個(gè)設(shè)計(jì)域離散為140×70(9800)個(gè)平面應(yīng)力單元.結(jié)構(gòu)右下角約束了Y方向的位移,左邊約束了X方向的位移.集中載荷F=100 N 垂直作用于結(jié)構(gòu)的左上角,方向?yàn)?Y方向.不確定閾值場(chǎng)的范圍為 η (x)∈[0.25,0.75],在本算例中考慮了不確定閾值場(chǎng)2 種不同的相關(guān)長(zhǎng)度,即L=80 mm 和L=30 mm.此外,還討論了2 種不同的可靠性指標(biāo)約束(=1.0 和=1.5)對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響.本算例給定的結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)為f=50%.

作為對(duì)比,首先給出了本算例的確定性優(yōu)化結(jié)果,即不確定閾值場(chǎng) η (x)≡0.5 的情況(等價(jià)于相關(guān)長(zhǎng)度L→+∞ 時(shí)的閾值場(chǎng)),優(yōu)化結(jié)果如圖6 所示.考慮不確定閾值場(chǎng)的結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖7 所示.通過(guò)對(duì)比非概率可靠性優(yōu)化結(jié)果(圖7 左列)與確定性優(yōu)化結(jié)果(圖6),可以看出非概率可靠性優(yōu)化的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型與確定性優(yōu)化的不同,并且非概率可靠性優(yōu)化的最優(yōu)解是通過(guò)增加更多的肋來(lái)保證結(jié)構(gòu)在不確定閾值場(chǎng)下的可靠性.

此外,圖7(a)和圖7(b)為考慮了不確定閾值場(chǎng)η(x)相 同的相關(guān)長(zhǎng)度(L=80 mm),但優(yōu)化模型(式(19))的可靠性指標(biāo)約束值不同(=1.0 和=1.5).對(duì)比這兩個(gè)工況,可以看出非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果存在一定差異(如圖7(a)和圖7(b)左列),即結(jié)構(gòu)中的“桿件”數(shù)量和位置存在明顯不同.另外,當(dāng) β 不同時(shí),盡管關(guān)心點(diǎn)處的不確定閾值場(chǎng)空間分布波動(dòng)情況類似,但不確定場(chǎng) η (x) 的空間波動(dòng)范圍會(huì)隨著可靠性指標(biāo)約束值的增大而增大: (1)=1.0 時(shí),波動(dòng)范圍是 [ 0.34,0.75] (如圖7(a)右列);(2)=1.5 時(shí),波動(dòng)范圍是 [ 0.19,0.87] (如圖7(b)右列).優(yōu)化結(jié)果存在差異的原因在于,隨著可靠性指標(biāo)約束值的增加,進(jìn)行結(jié)構(gòu)的可靠性設(shè)計(jì)時(shí)考慮的幾何不確定性范圍更大,關(guān)心點(diǎn)處不確定閾值場(chǎng)的波動(dòng)范圍也會(huì)更大(如圖7(a)和圖7(b)右列).同時(shí),由于考慮了更多的不確定性,那么設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)可靠性會(huì)更高,最優(yōu)的拓?fù)錁?gòu)型也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生變化(如圖7(a)和圖7(b)左列).此外,不確定閾值場(chǎng) η (x) 的分布特點(diǎn)基本滿足在結(jié)構(gòu)左側(cè)區(qū)域數(shù)值較大,右側(cè)區(qū)域數(shù)值較小的特點(diǎn).

不同情況下的考慮幾何不確定性的非概率可靠性優(yōu)化模型計(jì)算時(shí)間如表1 所示.其中,內(nèi)層優(yōu)化和外層優(yōu)化的計(jì)算時(shí)間均為迭代一次的平均時(shí)間,內(nèi)層優(yōu)化的迭代步數(shù)為30 步左右,外層優(yōu)化迭代為150 步左右.從表1 中可以看出,當(dāng)不確定閾值場(chǎng)的相關(guān)長(zhǎng)度較小(L=30 mm)時(shí),內(nèi)層優(yōu)化需要的時(shí)間更長(zhǎng)(23.360 4 s).這是因?yàn)楫?dāng)相關(guān)長(zhǎng)度較小時(shí),則需要更多的截?cái)囗?xiàng)才能保證要求的不確定場(chǎng)截?cái)嗑?式(5)),那么式(19)中內(nèi)層優(yōu)化中的變量數(shù)(ξj)會(huì)更多,計(jì)算時(shí)間也會(huì)相應(yīng)地增加.

表1 不同情況下非概率可靠性優(yōu)化模型計(jì)算時(shí)間Table 1 The computing time of non-probability reliabilitybased topology for different cases

為了說(shuō)明優(yōu)化結(jié)果的正確性,我們將通過(guò)差分靈敏度分析法來(lái)驗(yàn)證第4 節(jié)的解析靈敏度分析的正確性,差分法采用的差分步長(zhǎng)為0.001.以L=80 mm,=1.0的工況為例,內(nèi)層優(yōu)化共包含25 個(gè)不確定系數(shù) ξj(j=1,2,···,25),隨機(jī)選取4 個(gè)不確定系數(shù)(ξ2,ξ5,ξ10,ξ15) 進(jìn)行靈敏度對(duì)比,對(duì)比結(jié)果如表2 所示.外層優(yōu)化同樣隨機(jī)選取4 個(gè)設(shè)計(jì)變量(χ2,χ10,χ30,χ70),對(duì)比結(jié)果如表3 所示.

表2 內(nèi)層優(yōu)化中不確定系數(shù)的靈敏度Table 2 Sensitivity of uncertainty coefficients in inner-loop optimization

表3 外層優(yōu)化中設(shè)計(jì)變量的靈敏度Table 3 Sensitivity of design variables in outer-loop optimization

從表2 和表3 的對(duì)比結(jié)果中可以看出,第4 節(jié)的解析靈敏度和差分法的靈敏度計(jì)算結(jié)果非常相近,其相對(duì)誤差均在 1%以內(nèi).這證明了本文優(yōu)化模型及解析靈敏度推導(dǎo)的正確性.

基于本文提出的考慮結(jié)構(gòu)幾何不確定性的非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化模型,本算例中不同工況下的內(nèi)層優(yōu)化和外層的優(yōu)化迭代歷史分別如圖8,圖9 所示.其中,圖8 表示第一次的內(nèi)層優(yōu)化.從圖8 中可以看出,在整個(gè)內(nèi)層優(yōu)化的過(guò)程中,目標(biāo)函數(shù)都能夠快速收斂到某一特定值(圖8 實(shí)線所示),并且結(jié)構(gòu)能夠始終滿足指定的可靠性指標(biāo)約束(圖8 虛線所示).此外,圖9 的外層優(yōu)化迭代歷史也體現(xiàn)了優(yōu)化模型穩(wěn)定的收斂性.因此,這也進(jìn)一步證明了采用梯度優(yōu)化算法來(lái)求解本文提出的非概率可靠性優(yōu)化模型是合理有效的.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的合理性,我們將非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化關(guān)心點(diǎn)ξ*(式19)處的幾何不確定性(即表示為圖7 右列的不確定閾值場(chǎng))施加到確定性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)(圖6 所示)和可靠性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)(圖7 左列)上,來(lái)進(jìn)行結(jié)構(gòu)的柔順性對(duì)比,對(duì)比結(jié)果如表4 所示.以L=80 mm;=1.0的非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)為例(如表4第2,3 列所示),當(dāng)確定性優(yōu)化結(jié)構(gòu)中存在幾何不確定性時(shí)(即關(guān)心點(diǎn) ξ*處的不確定閾值場(chǎng)),結(jié)構(gòu)柔順性值為C=34.95 N·mm,大于可靠性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)在該關(guān)心點(diǎn) ξ*處的柔順性值C=33.66 N·mm.此外,其他條件下的非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)同樣滿足這種情況: (1)L=80 mm,=1.5 時(shí),如表4 第4,5 列所示,C=35.57 N·mm 和C=34.94 N·mm;(2)L=30 mm,=1.0 時(shí),如表4 第6,7 列所示,C=38.78 N·mm 和C=34.87 N·mm.因此,通過(guò)上述對(duì)比可以看出,當(dāng)存在幾何不確定性時(shí),考慮幾何不確定性的非概率可靠性優(yōu)化結(jié)構(gòu)具有更好的抵抗幾何不確定性的能力,即有更小的結(jié)構(gòu)柔順性.

表4 可靠性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)和確定性優(yōu)化結(jié)構(gòu)在關(guān)心點(diǎn) ξ* 處的柔順性對(duì)比Table 4 Comparison of compliance between reliability-based and deterministic topology optimization structures at concerned point ξ*

5.2 懸臂梁結(jié)構(gòu)的非概率可靠性優(yōu)化

在本算例中,以懸臂梁結(jié)構(gòu)為例,如圖10 所示,懸臂梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域的尺寸為 1 12 mm×70 mm,離散為 7 840 (112×70) 個(gè)單元.懸臂梁結(jié)構(gòu)的左側(cè)完全約束,集中力F=100 N 作用于結(jié)構(gòu)的右下角,方向?yàn)?Y方向.不確定閾值場(chǎng)的變化范圍為 η(x)∈[0.25,0.75].結(jié)構(gòu)的體積分?jǐn)?shù)約束同樣設(shè)定為f=50%.本算例考慮了一種不確定閾值場(chǎng)的相關(guān)長(zhǎng)度L=30 mm 和一種可靠性指標(biāo)約束值=1.0 來(lái)進(jìn)行考慮幾何不確定性的結(jié)構(gòu)非概率可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì).

圖1 光滑系數(shù) δ=20 時(shí),不同閾值 η 下Heaviside 函數(shù)Fig.1 The Heaviside function under different thresholds η when smoothing parameterδ=20

圖2 閾值為定值(η (x)≡0.5)及不確定閾值場(chǎng) η (x) 下的MBB 梁拓?fù)錁?gòu)型Fig.2 Topological structure of MBB beam considering the constant threshold η (x)≡0.5 and uncertain threshold field

圖3 有界場(chǎng)模型非概率可靠性指標(biāo)示意圖Fig.3 Schematic diagram of non-probabilistic reliability index for the bounded field model

圖4 非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化流程圖Fig.4 The flowchart of non-probabilistic reliability-based topology optimization

圖5 MBB 梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域Fig.5 Design domain for the MBB beam structure

圖6 MBB 梁結(jié)構(gòu)確定性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果(不確定閾值場(chǎng) η (x)≡0.5),目標(biāo)函數(shù)值C=34.22 N·mmFig.6 Deterministic topology optimization solution for the MBB beam structure (uncertain threshold field η (x)≡0.5) and the objective function valueC=34.22 N·mm

圖7 不同相關(guān)長(zhǎng)度 L 及不同可靠性指標(biāo) 約束下的非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果(左列)和關(guān)心點(diǎn)處的不確定閾值場(chǎng) η (x) 分布情況(右列)Fig.7 Non-probabilistic reliability-based topology optimization solution (left column) and the distribution of uncertain threshold fields at the concerned point (right column) with different correlation lengthL and non-probability reliability index

圖8 內(nèi)層優(yōu)化迭代歷史(實(shí)線表示目標(biāo)函數(shù),虛線表示可靠性指標(biāo)約束)Fig.8 Iteration history of inner-loop optimization (solid lines represent the objective function and dashed lines represent reliability index constraints)

圖9 確定性和非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化的迭代歷史Fig.9 Iteration histories of the deterministic and non-probability reliability-based topology optimization

圖10 懸臂梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域Fig.10 Design domain for the cantilever structure

作為對(duì)比,本算例中同樣進(jìn)行了懸臂梁結(jié)構(gòu)的確定性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),在整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中閾值場(chǎng)在設(shè)計(jì)域內(nèi)各點(diǎn)處的閾值均為恒定值,即 η (x)≡0.5,懸臂梁結(jié)構(gòu)的確定性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖11 所示.考慮不確定閾值場(chǎng)的結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果及關(guān)心點(diǎn)對(duì)應(yīng)的不確定閾值場(chǎng)分布情況如圖12 所示(L=40 mm,=1.0).對(duì)比2 個(gè)優(yōu)化結(jié)果可以看出,在材料體積一定的情況下,可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了更多的肋來(lái)抵抗結(jié)構(gòu)中的幾何不確定性,以提高結(jié)構(gòu)的可靠性.本算例進(jìn)一步證明了本文提出的考慮幾何不確定性的非概率可靠性優(yōu)化模型的有效性.

圖11 懸臂梁結(jié)構(gòu)確定性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果(不確定閾值場(chǎng) η (x)≡0.5),目標(biāo)函數(shù)值C=19.62 N·mmFig.11 Deterministic topology optimization solution for the cantilever structure (uncertain threshold field η (x)≡0.5) and the objective function valueC=19.62 N·mm

圖12 相關(guān)長(zhǎng)度 L=40 mm 及可靠性指標(biāo)約束值 β=1.0 時(shí)的懸臂梁結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果和關(guān)心點(diǎn)處的閾值場(chǎng)分布,目標(biāo)函數(shù)值C=19.79 N·mmFig.12 Non-probabilistic reliability-based topology optimization solution and the distribution of uncertain threshold fields at the concerned point with correlation length L=40 mm and non-probability reliability index β=1.0 and the objective function valueC=19.79 N·mm

6 結(jié)論

本文提出了一種考慮結(jié)構(gòu)幾何不確定性的非概率可靠性優(yōu)化模型,其中結(jié)構(gòu)的幾何不確定性通過(guò)有界不確定閾值場(chǎng)函數(shù)來(lái)表示.基于材料場(chǎng)級(jí)數(shù)展開,不確定閾值場(chǎng)可通過(guò)一組不確定系數(shù)來(lái)描述.優(yōu)化模型為嵌套優(yōu)化問(wèn)題,內(nèi)層是進(jìn)行結(jié)構(gòu)的可靠性評(píng)估,外層為確定結(jié)構(gòu)的最優(yōu)布局.本文采用了基于梯度的優(yōu)化算法來(lái)求解該非概率可靠性優(yōu)化模型.數(shù)值算例表明,采用本文提出的非概率可靠性優(yōu)化方法,可以得到分布更為合理的拓?fù)錁?gòu)型來(lái)提高結(jié)構(gòu)在考慮幾何不確定性下的可靠性.