海浪擾動(dòng)下電液3-UPS/S艦船并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)振動(dòng)特性分析

袁曉明, 王維锜, 張睿聰, 周如林, 張立杰

(1. 燕山大學(xué) 河北省重型機(jī)械流體動(dòng)力傳輸與控制實(shí)驗(yàn)室, 河北 秦皇島 066004; 2.北京天瑪智控科技股份有限公司, 北京 101399)

引言

艦船在海上行駛過(guò)程中,海浪激勵(lì)是艦船搖擺運(yùn)動(dòng)的主要因素[1]。對(duì)于隨機(jī)海浪運(yùn)動(dòng)規(guī)律的分析,主要有切片理論[2-3]和譜分析法[4-5]兩種方法。切片理論以空氣動(dòng)力學(xué)的細(xì)長(zhǎng)體概念為基礎(chǔ),在1955年被用于解決船舶搖擺問(wèn)題[6],成為計(jì)算船舶縱搖運(yùn)動(dòng)的理論起點(diǎn);譜分析法以海浪頻譜與方向譜為基礎(chǔ),多用于隨機(jī)海浪造型演示[7-8]、海浪運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)研發(fā)[9-10]等領(lǐng)域。

為了隔絕船舶運(yùn)動(dòng)對(duì)船舶設(shè)備的影響,通常使用艦船穩(wěn)定平臺(tái)補(bǔ)償船舶的運(yùn)動(dòng),維持設(shè)備在慣性空間內(nèi)的相對(duì)穩(wěn)定[11-13]。依據(jù)機(jī)構(gòu)類型分類,艦船穩(wěn)定平臺(tái)可分為串聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)和并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)兩種[14]。相對(duì)串聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái),并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)以承載能力強(qiáng)、易于實(shí)現(xiàn)多軸耦合驅(qū)動(dòng)等優(yōu)點(diǎn),在高精度作業(yè)場(chǎng)合具有廣泛的應(yīng)用前景[15]。

為進(jìn)一步提高穩(wěn)定平臺(tái)的性能,通常采用具有響應(yīng)速度快,累計(jì)誤差小等優(yōu)點(diǎn)的電液驅(qū)動(dòng)形式[16-18]。但是流體工作介質(zhì)引入導(dǎo)致的機(jī)液耦合作用[19-20]、機(jī)械構(gòu)件的間隙與局部剛度帶來(lái)的非線性特征[21]、穩(wěn)定平臺(tái)工作過(guò)程中的姿態(tài)變化[22]等因素使機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特性更為復(fù)雜,嚴(yán)重制約了穩(wěn)定平臺(tái)的補(bǔ)償與控制精度的提升[23]。當(dāng)平臺(tái)在復(fù)雜海況下運(yùn)行時(shí),可能出現(xiàn)外部激勵(lì)接近穩(wěn)定平臺(tái)固有頻率的情況,嚴(yán)重時(shí)甚至可能導(dǎo)致設(shè)備的損壞[24],因此研究電液驅(qū)動(dòng)的艦船并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)振動(dòng)特性具有重要意義。但是在研究電液驅(qū)動(dòng)的艦船并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)振動(dòng)特性問(wèn)題時(shí),大多數(shù)學(xué)者建立動(dòng)力學(xué)方程時(shí)通常忽略鉸鏈剛度的影響,對(duì)隨機(jī)海浪激勵(lì)條件下機(jī)構(gòu)固有頻率變化規(guī)律的研究也尚未開(kāi)展。

因此,以電液3-UPS/S艦船并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)為研究對(duì)象,在考慮鉸鏈剛度的基礎(chǔ)上利用虛功原理建立機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程。以6級(jí)海況下機(jī)構(gòu)的姿態(tài)補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)曲線作為輸入,分析了機(jī)構(gòu)固有頻率的變化特性,以及機(jī)構(gòu)固有頻率在連續(xù)變化工作空間內(nèi)隨位姿的變化規(guī)律。本研究可為揭示電液驅(qū)動(dòng)的并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)振動(dòng)的振動(dòng)機(jī)理提供一定的理論基礎(chǔ)。

1 海浪擾動(dòng)激勵(lì)下船舶運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析

1.1 海浪運(yùn)動(dòng)描述

通常在工程中考慮的海浪為充分發(fā)展的海浪,因此基于海浪隨機(jī)理論,海浪被認(rèn)為是長(zhǎng)峰不規(guī)則波,即傳播方向單一,波峰線很長(zhǎng)且相互平行。依據(jù)線性波理論,長(zhǎng)峰不規(guī)則波可以被簡(jiǎn)化為無(wú)限個(gè)不同波長(zhǎng)、不同波幅、隨機(jī)初相位的單元規(guī)則波線性疊加組成,其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(1)所示:

(1)

式中,ζn—— 第n項(xiàng)組成波的波幅

kn—— 第n項(xiàng)組成波的波數(shù)

x—— 第n項(xiàng)自由度方向上的坐標(biāo)

ωn—— 第n項(xiàng)組成波的頻率

εn—— 第n項(xiàng)組成波的隨機(jī)相位

實(shí)際海浪的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以看作是海浪的能量傳遞過(guò)程,因此為了描述海浪的統(tǒng)計(jì)特性引入了“能量譜”的概念。海浪的“能量譜”也被稱為海浪譜,描述了海浪的能量與各組成波的分布關(guān)系?，F(xiàn)在常用的海浪譜多為半經(jīng)驗(yàn)半理論公式,為適應(yīng)我國(guó)海域的海浪特點(diǎn),我國(guó)海洋局也提出了適合我國(guó)海域的海浪譜函數(shù),表達(dá)式如式(2)所示[25-26]:

(2)

式中,g—— 重力加速度

ωh—— 海浪波的頻率

U1—— 風(fēng)速

1.2 船舶運(yùn)動(dòng)方程建立

在實(shí)際中,船舶受到海浪激勵(lì)而產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)是十分復(fù)雜的,同時(shí)受到自然環(huán)境、船體結(jié)構(gòu)的影響,因此本研究對(duì)船舶運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)方程的推導(dǎo)是基于以下三點(diǎn)假設(shè):

(1) 船體是剛體,即在運(yùn)動(dòng)和受力時(shí)不發(fā)生彈性變形;

(2) 船體的運(yùn)動(dòng)可以使用線性疊加原理進(jìn)行求解;

(3) 海浪為理想流體,不可壓縮,忽略其表面張力和流體黏性。

如圖1所示,分別建立固連于船舶的動(dòng)坐標(biāo)系O-xyz和固連于大地的慣性參考系G-XYZ,由假設(shè)(1)可知,船舶的運(yùn)動(dòng)可在動(dòng)坐標(biāo)系O-xyz中由6個(gè)相互獨(dú)立的空間坐標(biāo)表示。

圖1 船體運(yùn)動(dòng)描述坐標(biāo)系Fig.1 Description frame of hull motion

由假設(shè)(2)可知,船舶的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)可分解為各空間坐標(biāo)方向上的運(yùn)動(dòng),依據(jù)微幅波理論,船舶在各空間坐標(biāo)方向上的運(yùn)動(dòng)方程類似,可統(tǒng)一表示為如下形式:

(3)

表1 表征船舶運(yùn)動(dòng)的物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters of ship motion

式中,Y(t) —— 船舶在海浪激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)

X(t) —— 海浪運(yùn)動(dòng)函數(shù)

χ—— 修正系數(shù)

c—— 衰減系數(shù)

ωc—— 船舶運(yùn)動(dòng)固有頻率

若船舶受到規(guī)則的波浪作用,則波浪的波面角方程可以擬合為正弦函數(shù),則其復(fù)數(shù)形式為:

x(t)=Imx0ejωht

(4)

式中, Im —— 復(fù)數(shù)的虛部

j—— 虛數(shù)單位

船舶自身為一個(gè)二階線性系統(tǒng),則其響應(yīng)也為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),因此設(shè)式(3)特解如式(5)所示:

y(t)=Imy0ej(ωht+ε0)

(5)

式中,ε0為船舶運(yùn)動(dòng)與波面角的位相差。

將式(4)、式(5)代入式(3),并去掉虛部,可得:

(6)

由式(6)可得船舶運(yùn)動(dòng)的頻響函數(shù)為:

(7)

類比不規(guī)則海浪的簡(jiǎn)化過(guò)程,船舶的運(yùn)動(dòng)也可以表示為無(wú)數(shù)個(gè)規(guī)則海浪激勵(lì)下的船舶運(yùn)動(dòng)的線性疊加。當(dāng)船舶以一定航速和航向行駛時(shí),遇到海浪時(shí)將會(huì)形成隨機(jī)海浪遭遇波能譜,其表達(dá)式為:

(8)

式中,Sx(ωe) —— 遭遇頻率的波能譜函數(shù)

Sζ(ωh) —— 海浪譜函數(shù),選取式(2)

ωe—— 遭遇頻率

v1—— 船舶航速

σ—— 船舶航向角

則船舶運(yùn)動(dòng)的能譜密度函數(shù)與遭遇頻率的波能譜密度函數(shù)之間的關(guān)系為:

Sy(ωe)=|W(jωe)|2Sx(ωe)

(9)

為得到船舶在某段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)樣本,參照隨機(jī)海浪模擬的方式,在船舶運(yùn)動(dòng)的譜空間內(nèi)以Δω為間隔進(jìn)行隨機(jī)抽樣,Δω的選取原則如表2所示,最終得到船舶運(yùn)動(dòng)響應(yīng)解析表達(dá)式如下:

表2 海浪譜采樣頻段分布Tab.2 Distribution of wave spectrum sampling frequency

(10)

式中,Sy(ωi) —— 第i個(gè)遭遇波的能譜密度

ωi—— 第i個(gè)遭遇波頻率

εi—— 第i個(gè)遭遇波的初相位,εi∈[0,2π]

1.3 船舶運(yùn)動(dòng)響應(yīng)仿真

電液3-UPS/S平臺(tái)在實(shí)際工況中主要功能是為了補(bǔ)償船舶的橫搖和縱搖方向上的運(yùn)動(dòng),因此為了獲得平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,下文將對(duì)船舶在不規(guī)則海浪激勵(lì)下俯仰和回轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行求解,仿真相關(guān)參數(shù)如表3所示。

表3 仿真相關(guān)參數(shù)Tab.3 Correlation parameter of simulation

將表3中相關(guān)參數(shù)代入式(2)中,可得到6級(jí)海況條件下的海浪譜密度曲線,如圖2所示。從圖中可以看出,當(dāng)波浪激勵(lì)頻率ωh∈[0.2,2.2]時(shí),海浪譜存在有明顯能量,當(dāng)ωh為0.471 rad/s時(shí),海浪能量譜達(dá)到峰值,能量峰值為2.772 m2/s。

圖2 海浪譜密度曲線Fig.2 Density curve of wave spectral

船舶運(yùn)動(dòng)的相關(guān)參數(shù)如表4所示。

表4 船舶運(yùn)動(dòng)相關(guān)參數(shù)Tab.4 Related parameters of ship motion

將船舶橫搖、縱搖運(yùn)動(dòng)相關(guān)參數(shù)代入式(8)～式(10)中即可得到船舶橫搖、縱搖能量譜,如圖3所示。從圖3a中可以看出當(dāng)波浪激勵(lì)頻率ωh∈[0.3,1.2]時(shí),橫搖能量譜存在有明顯能量,當(dāng)波浪激勵(lì)頻率ωh為0.696 rad/s時(shí),船舶橫搖運(yùn)動(dòng)能量譜達(dá)到峰值,能量峰值為0.0114 m2/s;由圖3b可知,當(dāng)波浪激勵(lì)頻率ωh∈[0.3,1.35]時(shí),海浪譜存在有明顯能量,當(dāng)波浪激勵(lì)頻率ωh為0.933 rad/s時(shí),船舶縱搖運(yùn)動(dòng)能量譜達(dá)到峰值,能量峰值為0.0254 m2/s,縱搖運(yùn)動(dòng)能量譜峰值約為橫搖運(yùn)動(dòng)能量譜峰值的2倍。

仿真風(fēng)速為12 m/s,根據(jù)表2可知采樣間隔Δω取為0.08 rad/s,將相關(guān)參數(shù)代入式(10),可得到不規(guī)則海浪激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)曲線如圖4所示。從圖4a中可看出,在船舶在6級(jí)海況下的橫搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)最大值約為2.625°。從圖4b中可得知,船舶在6級(jí)海況下的縱搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)最大值約為5.17°,對(duì)應(yīng)圖3的分析結(jié)果,縱搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)最大值約為橫搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)響應(yīng)最大值的2倍。橫搖與縱搖運(yùn)動(dòng)曲線變化具有周期性,這是隨機(jī)海浪運(yùn)動(dòng)具有周期性的結(jié)果。

圖4 船舶運(yùn)動(dòng)響應(yīng)曲線Fig.4 Response curve of ship motion

2 電液3-UPS/S平臺(tái)動(dòng)力學(xué)分析

2.1 電液3-UPS/S平臺(tái)姿態(tài)描述

為對(duì)電液3-UPS/S平臺(tái)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,需要建立如圖5所示的3-UPS/S平臺(tái)系統(tǒng)坐標(biāo)系,各坐標(biāo)系意義如下。

穩(wěn)定平臺(tái)動(dòng)平臺(tái)固連坐標(biāo)系U-xyz:坐標(biāo)系原點(diǎn)U位于三角形u1u2u3的中點(diǎn),x軸指向球鉸中心u1,z軸垂直于動(dòng)平臺(tái),y軸通過(guò)右手法則確定。

穩(wěn)定平臺(tái)靜平臺(tái)固連坐標(biāo)系D-XYZ:坐標(biāo)系原點(diǎn)D位于三角形d1d2d3的中點(diǎn),X軸指向萬(wàn)向鉸中心d1,Z軸垂直于靜平臺(tái),Y軸通過(guò)右手法則確定。

船舶運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系Os-xsyszs:坐標(biāo)系原點(diǎn)Os固連于船舶搖蕩運(yùn)動(dòng)的中心,xs軸指向船舶航行方向,zs軸垂直于x軸,ys軸通過(guò)右手法則確定。

船舶固連坐標(biāo)系O-xyz:無(wú)擾動(dòng)時(shí)坐標(biāo)系方向與船舶運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系方向平行, 當(dāng)船舶由于海浪激勵(lì)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)時(shí)方向隨船舶運(yùn)動(dòng)方向改變。

當(dāng)進(jìn)行姿態(tài)補(bǔ)償時(shí),動(dòng)平臺(tái)固連坐標(biāo)系U-xyz應(yīng)時(shí)刻與船舶運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系Os-xsyszs方向平行。動(dòng)平臺(tái)固連坐標(biāo)系與船舶運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣可表示為:

(11)

采取RPY角描述平臺(tái)姿態(tài),即選取坐標(biāo)系U-xyz相對(duì)于坐標(biāo)系D-XYZ3個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)α,β,γ作為廣義坐標(biāo),則平臺(tái)的位姿也隨之相應(yīng)確定。依據(jù)RPY角的描述,X,Y,Z軸方向上的旋轉(zhuǎn)為依次被稱為回轉(zhuǎn)、俯仰、偏轉(zhuǎn)姿態(tài),由此可得到坐標(biāo)系U-xyz相對(duì)于坐標(biāo)系D-XYZ的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為:

(12)

s —— sin()

c —— cos()

將船舶在隨機(jī)海浪激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)代入式(11)、式(12)中計(jì)算在6級(jí)海況下平臺(tái)為保持設(shè)備的穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)曲線,結(jié)果如圖6所示。

對(duì)比圖6a和圖4a可以看出,平臺(tái)回轉(zhuǎn)姿態(tài)補(bǔ)償角度與船舶橫搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)變化趨勢(shì)近似相同,但是當(dāng)船舶進(jìn)行小幅度的橫搖運(yùn)動(dòng)時(shí), 回轉(zhuǎn)姿態(tài)補(bǔ)償角度與船舶橫搖運(yùn)動(dòng)角度存在數(shù)值差異;對(duì)比圖6b和圖4b可知,平臺(tái)俯仰姿態(tài)補(bǔ)償角度與船舶縱搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)之間存在相同的規(guī)律。由圖6c可以看出,偏轉(zhuǎn)方向姿態(tài)補(bǔ)償角度最大值約為0.17°,且呈現(xiàn)一定的周期性,運(yùn)動(dòng)周期大于回轉(zhuǎn)與俯仰姿態(tài)補(bǔ)償角度的運(yùn)動(dòng)周期,這是船舶運(yùn)動(dòng)存在周期性的結(jié)果。

2.2 電液3-UPS/S平臺(tái)位置分析

球鉸中心ui(i=1, 2, 3)在坐標(biāo)系U-xyz中的位置矢量可表示為:

(13)

ru—— 上平臺(tái)半徑

萬(wàn)向鉸中心di在坐標(biāo)系D-XYZ中的位置矢量可表示為:

(14)

rd—— 下平臺(tái)半徑

建立如圖7所示的支鏈位置矢量圖,坐標(biāo)系U-xyz為穩(wěn)定平臺(tái)動(dòng)平臺(tái)固連坐標(biāo)系;坐標(biāo)系D-XYZ為穩(wěn)定平臺(tái)靜平臺(tái)固連坐標(biāo)系;局部坐標(biāo)系di-xdiydizdi建立于萬(wàn)向鉸中心處,局部坐標(biāo)系ui-xuiyuizui建立于球鉸中心處。zdi軸,zui軸與支鏈單位方向向量ei方向相同,萬(wàn)向鉸繞著xdi軸,ydi軸的轉(zhuǎn)角值分別為θdi,φdi;球鉸繞著xui軸,yui軸,zui的轉(zhuǎn)角值分別為θui,φui,γui;ψdi,ψu(yù)i分別為萬(wàn)向鉸和球鉸的安裝角度,由平臺(tái)結(jié)構(gòu)確定。

由圖7可知,支鏈的閉環(huán)方程可表示為:

(15)

式中,li—— 第i條支鏈的長(zhǎng)度,i=1,2,3

ei—— 第i條支鏈的單位方向向量

u0—— 坐標(biāo)系U-xyz相對(duì)于坐標(biāo)系D-XYZ的初始位移矢量

u—— 坐標(biāo)系U-xyz相對(duì)于坐標(biāo)系D-XYZ的位移矢量

由此可得機(jī)構(gòu)的支鏈長(zhǎng)度表達(dá)式為:

(16)

支鏈中下連桿質(zhì)心位置可表示為:

(17)

式中,pgi—— 第i條支鏈下連桿質(zhì)心位置矢量

qi—— 第i條支鏈下連桿質(zhì)心到萬(wàn)向鉸中心的距離

對(duì)于第i個(gè)萬(wàn)向鉸,其局部坐標(biāo)系di-xdiydizdi與坐標(biāo)系D-XYZ之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣可表示為:

(18)

(19)

根據(jù)式(19)可計(jì)算萬(wàn)向鉸的轉(zhuǎn)角值,所得表達(dá)式為:

(20)

(21)

式中, (RFi)a,b為矩陣RFi的元素,i,a,b=1,2,3。

2.3 電液3-UPS/S平臺(tái)速度分析

求解式(15)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),即可得到支鏈的速度方程為:

(22)

式中,ωzi—— 第i條支鏈角速度

ωu—— 動(dòng)平臺(tái)角速度

由此可得到支鏈伸縮速率與動(dòng)平臺(tái)角速度之間的關(guān)系為:

(23)

由式(23)可得支鏈與動(dòng)平臺(tái)之間的速度雅克比矩陣為:

(24)

計(jì)算式(22)與支鏈單位方向向量ei的乘積,并將結(jié)果在局部坐標(biāo)系di-xdiydizdi中表示,則可得:

(25)

支鏈的角速度由萬(wàn)向鉸的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生,因此支鏈轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度在局部坐標(biāo)系di-xdiydizdi可表示為:

(26)

將式(26)中的矢量在局部坐標(biāo)系di-xdiydizdi中表示,則式(26)可轉(zhuǎn)化為:

(27)

結(jié)合式(25)、式(27),可得萬(wàn)向節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為:

(28)

由此可以得到萬(wàn)向鉸的速度雅克比矩陣為:

(29)

(30)

同理,考慮球鉸與動(dòng)平臺(tái)之間的運(yùn)動(dòng)傳遞關(guān)系,支鏈的角速度可表達(dá)為:

(31)

將式(31)中矢量在局部坐標(biāo)系ui-xuiyuizui中表示,可得到:

R(φui,yui)T(0 1 0)T+

(32)

結(jié)合式(25)和式(32)可求得球鉸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度表達(dá)式為:

(33)

由此可以得到球鉸的速度雅克比矩陣為:

(34)

(35)

(36)

求式(17)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),則有:

(37)

結(jié)合式(20)和式(37),可到下連桿的速度雅克比矩陣為:

(38)

同理可得上連桿的速度雅克比矩陣為:

(39)

式中,hi為第i條支鏈上連桿質(zhì)心到萬(wàn)向鉸中心的距離。

2.4 電液3-UPS/S平臺(tái)動(dòng)力學(xué)方程

為構(gòu)建機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程,需要做出如下假設(shè):

(1) 忽略機(jī)構(gòu)在加工和裝配過(guò)程中所產(chǎn)生的誤差;

(2) 支鏈對(duì)上平臺(tái)的作用力可等效為沿著支鏈伸縮方向的彈簧力;

(3) 忽略各構(gòu)件之間的相對(duì)摩擦。

由此計(jì)算作用在機(jī)構(gòu)各構(gòu)件上作用力虛功率,則由虛功率原理可得式(40):

(40)

式中,fu—— 動(dòng)平臺(tái)作用力矩陣

k—— 支鏈剛度矩陣

c—— 支鏈阻尼矩陣

Iu—— 動(dòng)平臺(tái)慣量矩陣

ωu—— 動(dòng)平臺(tái)角速度矢量

mgi—— 第i條支鏈下連桿質(zhì)量

mhi—— 第i條支鏈上連桿質(zhì)量

忽略科氏力和離心力,則式(40)可化簡(jiǎn)為如下形式:

(41)

由于各廣義坐標(biāo)相互獨(dú)立,則ωu各分量也是相互獨(dú)立的,則系數(shù)應(yīng)全部為0,最終可得到機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程如下:

(42)

式中,M—— 機(jī)構(gòu)慣量矩陣

C—— 機(jī)構(gòu)阻尼矩陣

K—— 機(jī)構(gòu)剛度矩陣

(43)

(44)

(45)

3 電液3-UPS/S平臺(tái)振動(dòng)特性分析

3.1 電液3-UPS/S平臺(tái)支鏈剛度分析

電液3-UPS/S平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表5所示。

表5 電液3-UPS/S平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.5 Structure parameter of electro-hydraulic 3-UPS/S platform

為避免機(jī)構(gòu)的奇異位姿,取初始位姿為α=0°,β=0°,γ=28°,計(jì)算電液3-UPS/S平臺(tái)機(jī)構(gòu)在該位姿下的剛度矩陣,如式(46)所示:

(46)

從剛度矩陣可以看出,電液3-UPS/S平臺(tái)機(jī)構(gòu)在回轉(zhuǎn)、俯仰方向上液壓剛度數(shù)值相同,而偏轉(zhuǎn)方向上液壓剛度數(shù)值最小。同時(shí)可以看到在初始位姿下,剛度矩陣為軸對(duì)稱矩陣,各個(gè)方向上的耦合剛度較小,基本可忽略不計(jì),剛度矩陣可近似看作對(duì)角陣。

3.2 電液3-UPS/S平臺(tái)固定位姿下模態(tài)分析

基于式(42)所示的自由振動(dòng)模型和表5所示結(jié)構(gòu)參數(shù),計(jì)算了平臺(tái)在初始位姿α=0°,β=0°,γ=28°和隨機(jī)位姿α=10°,β=10°,γ=28°下的固有頻率和模態(tài)振型,結(jié)果如表6、表7所示。

表6 初始位姿下固有頻率和模態(tài)振型Tab.6 Natural frequency and mode shape at initial pose

表7 隨機(jī)位姿下固有頻率和模態(tài)振型Tab.7 Natural frequency and mode shapes at random pose

表8 模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果Tab.8 Results of modal test

對(duì)表6、表7的數(shù)據(jù)分析可知,可得到如下結(jié)論:

(1) 振動(dòng)頻率依次為機(jī)構(gòu)的各階固有頻率時(shí),機(jī)構(gòu)的最大振動(dòng)響應(yīng)依次出現(xiàn)于偏轉(zhuǎn)、俯仰和回轉(zhuǎn)方向,在實(shí)際工況中,激勵(lì)頻率最容易接近一階固有頻率,因此機(jī)構(gòu)在偏轉(zhuǎn)方向上最易出現(xiàn)共振現(xiàn)象;

(2) 在初始位姿下,偏轉(zhuǎn)方向上固有頻率最小,回轉(zhuǎn)和俯仰方向上固有頻率近似相等,這與剛度矩陣分析的結(jié)果一致;俯仰和回轉(zhuǎn)方向上的振動(dòng)響應(yīng)存在一定的耦合性,但是二者與偏轉(zhuǎn)方向的耦合性較小;

(3) 隨著機(jī)構(gòu)位姿發(fā)生改變,各方向上振動(dòng)的耦合性增強(qiáng),各階固有頻率數(shù)值也發(fā)生了改變,這是由于機(jī)構(gòu)的速度雅克比矩陣發(fā)生改變,進(jìn)而影響了機(jī)構(gòu)的質(zhì)量矩陣與剛度矩陣;

(4) 當(dāng)機(jī)構(gòu)位姿發(fā)生改變時(shí),各階固有頻率的變化趨勢(shì)并不相同,一階、三階固有頻率增大,二階固有頻率減小。

3.3 海浪激勵(lì)下電液3-UPS/S平臺(tái)固有頻率分析

以圖6所示的平臺(tái)運(yùn)動(dòng)曲線作為輸入,通過(guò)式(42)即可得到在6級(jí)海況下電液3-UPS/S平臺(tái)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中固有頻率的變化規(guī)律,得到的最終結(jié)果如圖8所示。

圖8 固有頻率變化曲線Fig.8 Natural frequency curve

從圖8中可以看出,機(jī)構(gòu)的固有頻率隨著位姿的不同而發(fā)生改變,其中一階固有頻率極差最小,對(duì)機(jī)構(gòu)的位姿變化最不敏感。當(dāng)機(jī)構(gòu)偏離初始位姿的角度較小時(shí),二階固有頻率和三階固有頻率近似相等,這是由于機(jī)構(gòu)偏離初始位姿角度較小,機(jī)構(gòu)在俯仰與回轉(zhuǎn)方向上的流體等效剛度近似相等。同時(shí),各階固有頻率變化具有周期性,這是由于機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡具有周期性,進(jìn)而影響了機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛度。

3.4 電液3-UPS/S平臺(tái)工作空間固有頻率分析

由圖6可知,當(dāng)平臺(tái)用于維持設(shè)備水平方向穩(wěn)定時(shí),偏轉(zhuǎn)方向上姿態(tài)補(bǔ)償角度變化范圍較小,主要通過(guò)回轉(zhuǎn)、俯仰方向上的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行角度補(bǔ)償。根據(jù)工作空間搜索理論,當(dāng)偏轉(zhuǎn)姿態(tài)角度γ=28°時(shí),回轉(zhuǎn)、俯仰姿態(tài)角度連續(xù)變化范圍最大[27],因此以該位姿作為初始工作空間,得到機(jī)構(gòu)的固有頻率變化曲線如圖9所示。

圖9 工作空間內(nèi)固有頻率變化曲線Fig.9 Natural frequency curve in workspace

由圖9可知,在偏轉(zhuǎn)姿態(tài)角度不發(fā)生改變的情況下,各階固有頻率隨位姿的變化呈現(xiàn)明顯的對(duì)稱性,且以一階固有頻率最為明顯,對(duì)應(yīng)的是偏轉(zhuǎn)姿態(tài)方向上的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)機(jī)構(gòu)逐漸偏離初始位姿時(shí),各階固有頻率變化趨勢(shì)并不相同,有的增大,有的減小。對(duì)比圖9a,圖9b發(fā)現(xiàn),機(jī)構(gòu)各階固有頻率取得最大值與最小值的姿態(tài)位置并不相同,通常情況下,當(dāng)機(jī)構(gòu)的俯仰姿態(tài)角度與回轉(zhuǎn)姿態(tài)角度相差較大時(shí),機(jī)構(gòu)的固有頻率會(huì)接近極限值,但是二階固有頻率在機(jī)構(gòu)初始位姿下數(shù)值較大,當(dāng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行姿態(tài)補(bǔ)償而逐漸偏離初始位姿時(shí),二階固有頻率逐漸減小,并在α=-20°,β=-20°附近取得最小值。另外可以看到,一階固有頻率受姿態(tài)影響最小,二階固有頻率次之,三階固有頻率受姿態(tài)影響最大。

4 電液3-UPS/S平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型的正確性,采用脈沖激振法對(duì)電液3-UPS/S平臺(tái)樣機(jī)進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn),樣機(jī)如圖10所示。

圖10 電液3-UPS/S平臺(tái)樣機(jī)Fig.10 Proto of electro-hydraulic 3-UPS/S platform

1.油箱 2.液位計(jì) 3.液溫計(jì) 4.過(guò)濾器 5.電機(jī)、液壓泵 6.溢流閥 7.截止閥 8.精過(guò)濾器 9.伺服閥 10.平臺(tái)樣機(jī) 11.加速度傳感器 12.力錘 13.下位機(jī) 14.計(jì)算機(jī)圖11 模態(tài)試驗(yàn)原理圖Fig.11 Schematic diagram of modal test

圖12 模態(tài)試驗(yàn)系統(tǒng)Fig.12 Modal test system

為驗(yàn)證自由振動(dòng)理論模型的正確性,采用脈沖激振法測(cè)量3-UPS/S平臺(tái)樣機(jī)在隨機(jī)位姿α=10°,β=10°,γ=28°下的固有頻率,實(shí)驗(yàn)原理圖如11所示。力錘敲擊樣機(jī)動(dòng)平臺(tái)給予脈沖激勵(lì),樣機(jī)的加速度變化通過(guò)加速度傳感器收集并傳遞至下位機(jī),由此產(chǎn)生的力信號(hào)經(jīng)由力錘自帶的傳感器傳遞至下位機(jī),最終下位機(jī)將收集到信號(hào)傳輸至電腦進(jìn)行儲(chǔ)存。

實(shí)驗(yàn)中所用采樣頻率為640 Hz, 因此滿足采樣定理要求,采集信號(hào)具有可信度,實(shí)驗(yàn)所采集的激勵(lì)信號(hào)與振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域曲線,如圖13所示。

圖13 測(cè)量信號(hào)時(shí)域曲線Fig.13 Time domain curve of measure signal

對(duì)圖13所得數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,可得到樣機(jī)響應(yīng)信號(hào)的功率譜密度PSD曲線,如圖14所示。觀察圖14可以看出,曲線在26.31, 126.41, 141.88 Hz處具有明顯峰值,通過(guò)與機(jī)構(gòu)固有頻率理論值對(duì)比,理論值與實(shí)驗(yàn)值的最大誤差為4.66%,因此可驗(yàn)證理論模型的正確性。

圖14 功率譜密度曲線Fig.14 Density curve of power spectral

5 結(jié)論

(1) 在考慮球鉸、萬(wàn)向鉸剛度的基礎(chǔ)上,應(yīng)用虛功率原理建立了機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程,并以6級(jí)海況下機(jī)構(gòu)的姿態(tài)補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)曲線作為輸入,分析了機(jī)構(gòu)的固有頻率變化規(guī)律,結(jié)果表明:當(dāng)機(jī)構(gòu)主要維持設(shè)備水平方向的穩(wěn)定時(shí),機(jī)構(gòu)的二階、三階固有頻率將發(fā)生顯著改變,一階固有頻率則幾乎不變,且固有頻率的變化呈現(xiàn)周期性;

(2) 機(jī)構(gòu)的固有頻率是機(jī)構(gòu)位姿的函數(shù),在初始工作空間內(nèi),機(jī)構(gòu)的固有頻率變化具有對(duì)稱性,取得極值的位置也并不相同,且對(duì)比發(fā)現(xiàn),隨著機(jī)構(gòu)位姿的改變,機(jī)構(gòu)的三階固有頻率變化最為劇烈,二階固有頻率次之,一階固有頻率變化最為平緩;

(3) 采用模態(tài)試驗(yàn)方法對(duì)理論模型進(jìn)行驗(yàn)證,模態(tài)試驗(yàn)中理論頻率與實(shí)際頻率最大誤差為4.66%,驗(yàn)證了振動(dòng)理論模型的正確性。