基于降維狀態(tài)觀測(cè)器的網(wǎng)絡(luò)化廣義系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)①

梁茜 劉蕾 龐中華

(北方工業(yè)大學(xué)北京市現(xiàn)場(chǎng)總線及自動(dòng)化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100144)

0 引言

網(wǎng)絡(luò)化廣義系統(tǒng)是利用網(wǎng)絡(luò)連接的閉環(huán)控制系統(tǒng)。與傳統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)控制系統(tǒng)相比,網(wǎng)絡(luò)化廣義系統(tǒng)具有遠(yuǎn)程數(shù)據(jù)交換[1]、可靠性高、功率要求低[2]等優(yōu)點(diǎn)。但由于有網(wǎng)絡(luò)的介入,會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)存在網(wǎng)絡(luò)時(shí)延、數(shù)據(jù)丟包[3]、通信受限[4]等不確定性問(wèn)題。網(wǎng)絡(luò)化廣義系統(tǒng)可用于描述電力網(wǎng)絡(luò)、航空器等一類具有微分代數(shù)方程描述的實(shí)際系統(tǒng)[5]。

但由于廣義系統(tǒng)在形式上和結(jié)構(gòu)上的特殊性,正常系統(tǒng)的某些理論不適用于網(wǎng)絡(luò)化廣義系統(tǒng),因此有必要研究網(wǎng)絡(luò)化廣義系統(tǒng)。

對(duì)于網(wǎng)絡(luò)化廣義系統(tǒng)中產(chǎn)生數(shù)據(jù)丟包的情況,仍然可以設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器,對(duì)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì),觀測(cè)系統(tǒng)獲得不到的狀態(tài)。文獻(xiàn)[6]研究了具有數(shù)據(jù)丟包的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中基于觀測(cè)器的保成本控制問(wèn)題,將傳感器-控制器和控制器-執(zhí)行器的丟包建模為2 個(gè)相互獨(dú)立且滿足伯努利二元分布的隨機(jī)變量。文獻(xiàn)[7]中針對(duì)具有伯努利分布丟包的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),設(shè)計(jì)了基于觀測(cè)器的反饋控制器,可在均方意義下實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的魯棒指數(shù)穩(wěn)定。

狀態(tài)估計(jì)是根據(jù)系統(tǒng)的模型和測(cè)量序列,對(duì)系統(tǒng)內(nèi)在狀態(tài)進(jìn)行重構(gòu)。對(duì)系統(tǒng)的輸入輸出進(jìn)行測(cè)量得到的數(shù)據(jù)只能反映系統(tǒng)的外部特性,而系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)律需要用內(nèi)部狀態(tài)變量來(lái)描述。

文獻(xiàn)[8]給出了基于線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)的廣義區(qū)間觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法,并通過(guò)引入自由度擴(kuò)展了區(qū)間觀測(cè)器的設(shè)計(jì)條件。文獻(xiàn)[9]討論了帶時(shí)延和丟包的狀態(tài)觀測(cè)器的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]對(duì)于具有時(shí)變傳輸時(shí)延和時(shí)間間隔的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),構(gòu)造了一種依賴于時(shí)間的非連續(xù)的Lyapunov 泛函,并提出了一種新的穩(wěn)定性判據(jù)。文獻(xiàn)[11]在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中考慮了雙邊隨機(jī)時(shí)延和數(shù)據(jù)包丟包,研究了控制器和觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問(wèn)題。文獻(xiàn)[12]對(duì)于具有時(shí)延和丟包的廣義網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),利用Lyapunov 函數(shù)和LMI 給出了指數(shù)穩(wěn)定條件和基于正常狀態(tài)觀測(cè)器的反饋控制器。文獻(xiàn)[13]對(duì)于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)同步控制,提出了采用全局狀態(tài)觀測(cè)器的方法來(lái)實(shí)現(xiàn),該方法可以消除網(wǎng)絡(luò)控制節(jié)點(diǎn)的同步控制誤差和一些不良影響。

對(duì)于一些確定的系統(tǒng),由于不易直接測(cè)得,或者測(cè)量設(shè)備具有局限性,那么在諸多情況下不能實(shí)際獲得系統(tǒng)的狀態(tài)。為了克服這些難題,就需要采用狀態(tài)反饋,引入一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器,去測(cè)量系統(tǒng)所需要的狀態(tài)。

本文根據(jù)有時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)化廣義系統(tǒng),給出了n-l維狀態(tài)觀測(cè)器,并引入了狀態(tài)反饋控制器使系統(tǒng)的指數(shù)保持穩(wěn)定。并通過(guò)數(shù)值算例,證明了此算法的正確性。

1 問(wèn)題描述

考慮具有時(shí)滯線性時(shí)不變廣義系統(tǒng):

式中,x(t) ∈Rn為狀態(tài)向量、u(t) ∈Rm是輸入向量、y(t) ∈Rl是輸出向量;E、A、B、C為適當(dāng)維數(shù)矩陣;E為奇異矩陣,即rank(E)=q ＜n;采樣周期為T(mén);τ為小于T的時(shí)延。

文獻(xiàn)[12]給出了具有數(shù)據(jù)包丟失的廣義網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,如圖1 所示。

圖1 具有丟包的網(wǎng)絡(luò)化廣義系統(tǒng)

對(duì)于系統(tǒng)式(1)作如下假設(shè):

(1)廣義被控對(duì)象正則,能檢測(cè),無(wú)脈沖;

(2)傳感器使用時(shí)鐘驅(qū)動(dòng),控制器和執(zhí)行器使用事件驅(qū)動(dòng);

(3)系統(tǒng)存在數(shù)據(jù)丟包和時(shí)延。

根據(jù)文獻(xiàn)[14],系統(tǒng)式(1)可以受限等價(jià)為如下形式:

算法1矩陣P、Q的求解。

定理1[14]若廣義系統(tǒng)能檢測(cè)和能對(duì)偶正?；?且rank(C)=l,即矩陣C行滿秩,則該廣義系統(tǒng)存在一個(gè)n-l維的正常狀態(tài)觀測(cè)器:

算法2

(1) 判斷系統(tǒng)是否能觀,且rank(C)=l。

(3) 求矩陣L。

(4) 式(3)為所求的正常狀態(tài)觀測(cè)器。

由定理1 有,被控對(duì)象存在一個(gè)n-l維狀態(tài)觀測(cè)器,表示為

系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器為

帶有觀測(cè)器的反饋控制系統(tǒng)如圖2 所示。由文獻(xiàn)[12]可知,當(dāng)開(kāi)關(guān)位于s1時(shí),控制器并不出現(xiàn)丟包現(xiàn)象,即(k)=xc(k);當(dāng)開(kāi)關(guān)位于s2時(shí),控制器出現(xiàn)了丟包現(xiàn)象,即保持上一個(gè)周期的數(shù)值(k)=(k-1)。

圖2 具有觀測(cè)器的反饋控制系統(tǒng)

當(dāng)開(kāi)關(guān)位于s1時(shí),沒(méi)有數(shù)據(jù)包丟失的現(xiàn)象發(fā)生,式(2)、(4)和(5)構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng),將其進(jìn)行離散化后為

當(dāng)開(kāi)關(guān)位于s2時(shí),發(fā)生數(shù)據(jù)包丟失,式(2)、(4)和(5)構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng),將其進(jìn)行離散化后為

2 廣義網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

由式(2)、(4)、(5)所描述狀態(tài)丟包率為r1,存在對(duì)稱正定矩陣P、Q、S、M,標(biāo)量a1＞0,a2＞0,滿足＞1,

因此系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定,相應(yīng)的狀態(tài)反饋增益矩陣為K=NS-1。

證明對(duì)于系統(tǒng)式(2)和(4),假設(shè)Lyapunov 函數(shù)為

當(dāng)開(kāi)關(guān)位于s1時(shí),無(wú)數(shù)據(jù)包丟失,根據(jù)Schur 補(bǔ)性質(zhì)可得:

在式(11)左右兩邊分別乘diag(U-1,V-1,W-1,X-1,I,I,I,I),并且令P=U-1,Q=V-1,S=W-1,M=X-1,N=KW-1,則可得到式(8)。

當(dāng)開(kāi)關(guān)位于s2時(shí),有數(shù)據(jù)包丟失,根據(jù)Schur 補(bǔ)性質(zhì)可得:

在式(12)左右兩邊分別乘diag(U-1,V-1,W-1,X-1,I,I,I),并且令P=U-1,Q=V-1,S=W-1,M=X-1,則可得到式(9)。

3 仿真實(shí)例

用文獻(xiàn)[15]的數(shù)值算例進(jìn)行仿真驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)方法的可行性,系統(tǒng)參數(shù)如下所示:

設(shè)定T=0.3 s,τ=0.2 s,數(shù)據(jù)包的有效傳輸率為r1=0.90,取a1=1.2516,a2=0.5416,則=1.1510＞1

通過(guò)算法1 進(jìn)行計(jì)算可得:

通過(guò)算法2 計(jì)算可得:

由Matlab 程序計(jì)算得到矩陣參數(shù):

A0=0.5092,A1=1,A2=0,A3=0.3,A=0.5092,Γ=1.3499,Γ0=0.1182,Γ1=0.1698,Γ2=0.0871,Γ3=0.1084

程序計(jì)算流程圖如圖3 所示。

圖3 計(jì)算流程圖

并利用Matlab 中的LMI 工具箱可得:

P=0.0412,Q=0.0098,N=5.2062,S=6779.1458,M=0.3920

反饋控制矩陣K=0.000 768,則期望的狀態(tài)反饋控制率為u(k)=-0.000 768^x(k)。

假定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)=[1 0]T,在時(shí)延τ=0.2 s 情況下,系統(tǒng)x1的實(shí)際值如圖4 所示,圖5為系統(tǒng)x2的實(shí)際值,系統(tǒng)重構(gòu)狀態(tài)xc軌跡如圖6 所示。從這些圖中可以看出,在文獻(xiàn)[15]提出的實(shí)際系統(tǒng)中,本文所設(shè)計(jì)的方法可以使實(shí)際系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)與估計(jì)狀態(tài)達(dá)到穩(wěn)定。

圖4 系統(tǒng)x1 實(shí)際值

圖5 系統(tǒng)x2 實(shí)際值

圖6 系統(tǒng)重構(gòu)狀態(tài)xc

4 結(jié)論

本文針對(duì)具有時(shí)延和丟包的廣義網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),設(shè)計(jì)了n-l維狀態(tài)觀測(cè)器,并利用Lyapunov 穩(wěn)定性定理和LMI 工具箱對(duì)廣義網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析和控制。仿真實(shí)例驗(yàn)證了此方法的有效性和正確性。