用解析法求正方形背景下線段(之和)的最值

徐 嵐

(蘇州市第十六中學(xué)校, 江蘇 蘇州 215003)

正方形是一種特殊的四邊形,在角和邊等方面具有多重性質(zhì),便于旋轉(zhuǎn)形成線段的最值,因而成為命題熱點(diǎn).而求解最值往往有多種模型,有沒(méi)有一種模型可以解決大部分關(guān)于正方形背景的求解線段最值呢?有,那就是直角坐標(biāo)系模型.

1 常見(jiàn)題型

1.1 “一定一動(dòng)”基本型

例1 如圖1,正方形ABCD中,邊長(zhǎng)為4,E是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AE,過(guò)E作EF⊥AE交DC于F,求AF的最小值.

圖1 例1(a)圖 圖2 例1(b)圖

分析圖1中,求AF最小值,A是定點(diǎn),F是動(dòng)點(diǎn),組成“一定一動(dòng)”最值題的基本類(lèi)型.解題關(guān)鍵抓住EF⊥AE這個(gè)條件,結(jié)合正方形相關(guān)性質(zhì),構(gòu)造全等三角形或相似三角形,得到相應(yīng)線段比值關(guān)系.在此基礎(chǔ)上,建立坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)距離公式求值.

解答如圖2,∵四邊形ABCD是正方形,EF⊥AE

∴Rt△ABE∽R(shí)t△ECF(一線三直角).

要AF為最小值時(shí),則a=2,代入原式,解得AFmin=5.

1.2 “兩定一動(dòng)”引申型

例2 如圖3,正方形ABCD中,E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),△AEP為等腰直角三角形,若AB為4,則PA+PD的最小值是多少?

圖3 例2(a)圖 圖4 例2(b)圖

分析圖3中,求PA+PD的最小值是多少,屬于“兩定一動(dòng)”類(lèi)型,顯然是例1基礎(chǔ)上引申而來(lái).由“兩定一動(dòng)”自然想到將軍飲馬模型,而P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是什么呢?因?yàn)镻是隨E點(diǎn)而動(dòng),而且,點(diǎn)P、E都繞A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),它們比值是定值,夾角∠PAE也是定角,符合瓜豆原理,所以,P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡也是一條直線.據(jù)此分析,根據(jù)瓜豆原理和將軍飲馬模型可以求得線段和的最小值.用直角坐標(biāo)系模型更為簡(jiǎn)便[1].思路和方法與例1同理.

解如圖4,過(guò)P點(diǎn)作PF⊥BC,

∵△AEP為等腰直角三角形,∴Rt△ABE≌Rt△EFP,

則AB=EF=4,BE=PF.設(shè)BE=a,

則PF=a,BF=4+a.

在直角坐標(biāo)系中,有A(0,4),D(4,4),P(4+a,a).

設(shè)P(a,0),A(0,4),D(2,-2),如圖5.

圖5 例2(c)圖

反思此題需要以數(shù)解形,簡(jiǎn)化解題思維;又需要以形解數(shù),簡(jiǎn)化計(jì)算.數(shù)形結(jié)合,靈活運(yùn)用,思維含量極高.

1.3 “雙動(dòng)點(diǎn)”提高型

例3 如圖6,正方形ABCD邊長(zhǎng)為4,E為BC上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AE,DE.將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF,G為DE中點(diǎn),連結(jié)FG,求FG的最小值.

圖6 例3(a)圖 圖7 例3(b)圖

分析圖6中,F、G都是動(dòng)點(diǎn),對(duì)于雙動(dòng)點(diǎn),第一步,考慮將其轉(zhuǎn)化為“一動(dòng)一定”,此題可以延長(zhǎng)EF至H使EF=FH,連結(jié)DH,則DH=2GF,而D是定點(diǎn).第二步,求出動(dòng)點(diǎn)H的軌跡,應(yīng)該是一條直線,然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出最小值.如果用坐標(biāo)系模型,解題思路更簡(jiǎn)潔.

解答 過(guò)F作FP⊥BC延長(zhǎng)線交于P點(diǎn),如圖7,

∵AE=EF,∠AEF=90°,

∴Rt△ABE≌Rt△EPF,

則AB=PE,BE=PF.設(shè)BE=2a,

則E(2a,0),D(4,4),F(4+2a,2a),G(a+2,2),

1.4 “多動(dòng)點(diǎn)”拓展型

例4 如圖8,正方形ABCD邊長(zhǎng)為4,E為BC上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AE,DE.將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF,G為DE中點(diǎn),H為AE中點(diǎn),連結(jié)FG,FH,求FG+FH的最小值.

圖8 例4(a)圖 圖9 例4(b)圖

分析圖8中,F,G,H都是動(dòng)點(diǎn),FG、FH又是動(dòng)線段,屬于多動(dòng)點(diǎn)類(lèi)型,難度較大.先考慮把動(dòng)線段轉(zhuǎn)化為“一定一動(dòng)”的線段,可以延長(zhǎng)EF至P使EF=PF,連結(jié)PA、PD,則FG+FH就是PA+PD的一半,變成“兩定一動(dòng)”類(lèi)型.下面同例2.如果用坐標(biāo)法,思路簡(jiǎn)潔.

解答:過(guò)F點(diǎn)作PF⊥BC交BC延長(zhǎng)線于P,如圖9,則Rt△ABE≌Rt△EPF,有BE=PF,AB=EP,設(shè)BE=a,則有F(4+a,a),

下面解答同例2,略

2 模型思考

數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考,用思維方法的分析帶動(dòng)具體知識(shí)的學(xué)習(xí),才能提高學(xué)生的解題能力.既要學(xué)會(huì)一題多解的發(fā)散思維,也要訓(xùn)練多題一解的集中思維,在解題過(guò)程中,學(xué)生要不斷地感悟和理解抽象、推理、直觀的作用,得到新的數(shù)學(xué)模型,改進(jìn)思維品質(zhì),擴(kuò)大應(yīng)用范圍,提升關(guān)鍵能力[2].通過(guò)一個(gè)問(wèn)題解決一類(lèi)問(wèn)題,達(dá)到認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì),提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

運(yùn)用坐標(biāo)模型解決正方形背景下多種類(lèi)型的最值問(wèn)題,有兩點(diǎn)思考.

2.1 適用的題目條件

首先,正方形背景.因?yàn)檎叫卧谶?角,對(duì)角線等多方面有特殊的性質(zhì),易于建立直角坐標(biāo)系,正方形頂點(diǎn)和對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)容易建立,為解題帶來(lái)了諸多的便捷.其次,要有動(dòng)點(diǎn)線段90度旋轉(zhuǎn).因?yàn)檫@個(gè)條件結(jié)合正方形性質(zhì)可以構(gòu)造“一線三直角”模型,得到兩直角三角形相似或全等,求出對(duì)應(yīng)邊的數(shù)量關(guān)系,便于求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)值.最后,動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為直線,一般不適用于圓的軌跡,因?yàn)閳A軌跡上的點(diǎn)坐標(biāo)建立比較復(fù)雜.

2.2 解題思路歸一

學(xué)習(xí)要遵循循序漸進(jìn)原則,透徹理解基本題型的解題思路及原理.所以要讓學(xué)生對(duì)“一定一動(dòng)”基本型搞清搞透.首先,利用“一線三直角”模型,應(yīng)用全等三角形模型或相似三角形模型,求出對(duì)應(yīng)邊數(shù)量關(guān)系,得出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)值[3];如圖1中,求出F點(diǎn)坐標(biāo);其次,根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)坐標(biāo),代入兩點(diǎn)距離公式;最后,根據(jù)函數(shù)公式等求出最值.

總之,各種問(wèn)題都有這個(gè)內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系,只要我們善于探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律,探究多題一解的規(guī)律,我們的思維品質(zhì)才會(huì)提升,要善于分析、歸納、總結(jié),解題思維水平一定得到極大提高.