基于問題驅(qū)動(dòng)的高中數(shù)學(xué)微課設(shè)計(jì)
——以“二面角及其平面角”為例

朱 楠

衡陽師范學(xué)院 湖南衡陽 421000

1 概述

1.1 微課

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的實(shí)施建議指出:教師要注重信息技術(shù)和數(shù)學(xué)課程的深度融合,提倡利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)中難以達(dá)到的效果,加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合[1]。微課是以微型錄像為載體,以短片的形式,將各種知識(shí)導(dǎo)入課堂,具有簡(jiǎn)練、簡(jiǎn)潔、靈活、突破時(shí)空限制等特點(diǎn)。在“互聯(lián)網(wǎng)+”教育時(shí)代,微課作為一種信息技術(shù)手段和重要的教學(xué)輔助資源,正在迅速對(duì)數(shù)學(xué)課程教育產(chǎn)生深刻的影響。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)用微課的教學(xué)方式降低了高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)難度,學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)重難點(diǎn)的理解更透徹,為深入直觀的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。因此,高中數(shù)學(xué)教師要充分發(fā)揮主導(dǎo)作用,充分發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì),打造具有信息化和實(shí)用化的數(shù)學(xué)課堂,將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中。

1.2 問題驅(qū)動(dòng)

問題是促進(jìn)學(xué)科發(fā)展的原動(dòng)力,數(shù)學(xué)也不例外。M.Kline曾指出:“每一個(gè)數(shù)學(xué)分支均是為攻克一類問題而發(fā)展起來的?！盵2]數(shù)學(xué)教育家張奠宙教授曾提出了以問題驅(qū)動(dòng)的新概念數(shù)學(xué)。[3]問題驅(qū)動(dòng)是一種培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要教學(xué)模式,與數(shù)學(xué)課程改革要求相符合。具體來說,問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)指的是教師圍繞備課所設(shè)計(jì)的問題來組織課堂活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生逐步深入的探究問題,提高學(xué)生分析和解決問題的能力,并借此提升學(xué)生的學(xué)習(xí)、表達(dá)、應(yīng)用、創(chuàng)新等能力。如何把微課與問題驅(qū)動(dòng)結(jié)合起來,更好地突出微課在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用,是高中數(shù)學(xué)教師思考的一個(gè)問題。因此,本研究采用問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法對(duì)“二面角的平面角”進(jìn)行微課設(shè)計(jì)。

2 教學(xué)分析

2.1 教材分析

“二面角及其平面角”是人教A版《數(shù)學(xué)》(必修2)第八章第6節(jié)第3課時(shí)內(nèi)容,二面角及其平面角的概念是立體幾何中的基礎(chǔ)概念也是重要概念,二面角的概念完善了空間角的概念。

2.2 學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)“二面角”之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩條直線的垂直定義、兩條直線所成角的定義、直線與平面所成角的定義,以及異面直線所成的角的定義,至此,學(xué)生已經(jīng)具備了一定的空間想象力和概括能力,因此可以從這些已經(jīng)學(xué)過的角的定義出發(fā)進(jìn)行類比教學(xué)。

2.3 教學(xué)目標(biāo)

2.3.1 知識(shí)與技能

掌握“二面角”及“二面角的平面角”概念;能根據(jù)定義正確地作出二面角的平面角;會(huì)求簡(jiǎn)單的二面角的平面角的大小。

2.3.2 過程與方法

學(xué)生通過經(jīng)歷探究“二面角”及“二面角的平面角”概念的過程提高空間想象能力、動(dòng)手能力,體會(huì)類比、轉(zhuǎn)化和化歸思想方法,感受數(shù)學(xué)魅力。

2.3.3 情感態(tài)度價(jià)值觀

通過實(shí)際問題的引入,激發(fā)學(xué)生的求知欲。由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的問題導(dǎo)入也可以培養(yǎng)學(xué)生問題意識(shí)和勤于動(dòng)腦的學(xué)習(xí)習(xí)慣。學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,積極交流感受二面角既來源于生活,也能解決生活中的實(shí)際問題,提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

2.4 教學(xué)重點(diǎn)

(1)掌握二面角的大小計(jì)算。

(2)理解和掌握“二面角”及“二面角平面角”的概念。

2.5 教學(xué)難點(diǎn)

二面角的平面角概念。

2.6 教學(xué)方法

(1)啟發(fā)式教學(xué)法:教師設(shè)計(jì)層層問題來引導(dǎo)學(xué)生獲得“二面角”及“二面角平面角”的概念。

(2)探究式教學(xué)法:引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行折紙活動(dòng),主動(dòng)探究,培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力和科學(xué)探究能力。

(3)直觀式教學(xué)法:利用多媒體、實(shí)物視頻、教具,化抽象為具體,突破難點(diǎn)。

2.7 教具

自制教具、自制多媒體教學(xué)課件、A4紙。

3 教學(xué)過程

3.1 問題驅(qū)動(dòng),引入情境

師:同學(xué)們,你們知道中國空間站是在哪個(gè)平面上繞地球旋轉(zhuǎn)的嗎?(播放空間站繞地球旋轉(zhuǎn)的視頻)其實(shí)空間站的軌道面與赤道面是不重合的。這里標(biāo)黃色的為軌道面,它與標(biāo)藍(lán)色的赤道面可以抽象出兩個(gè)相交的平面。

問題1:如何準(zhǔn)確地描述兩個(gè)平面相交的狀態(tài),想一想初中是借助什么來描述兩直線相交的狀態(tài)?

教師引導(dǎo)學(xué)生思考:在平面上兩條直線相交于一點(diǎn),會(huì)把平面分成四個(gè)區(qū)域,任意一個(gè)區(qū)域都可以用兩條射線所構(gòu)成的角表示。說清角的大小就可以說明兩條直線相交的狀態(tài)了。

問題2:想一想,在初中,“角”是如何定義的?

教師引導(dǎo)學(xué)生得到角的靜態(tài)定義:具有公共點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角,這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn),這兩條射線叫做角的兩條邊。

3.2 問題驅(qū)動(dòng),導(dǎo)入概念

問題3:類比嘗試給“二面角”下定義。

教師引導(dǎo)學(xué)生思考:回到空間中,兩平面相交于一條直線,把空間也分成了四個(gè)部分。類比兩直線相交,只要說清楚一部分的大小,就可以表示兩平面相交的狀態(tài)。

教師引導(dǎo)學(xué)生通過圖形、表格等形式將平面幾何中“角”的概念與二面角做對(duì)比,引出與二面角有關(guān)的概念:半平面、二面角的棱、二面角的面以及二面角的表示方法。

角與二面角的對(duì)比表

生:嘗試歸納二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。把構(gòu)成二面角的元素順次用符號(hào)寫出來,就可以得到二面角的符號(hào)表示。

[設(shè)計(jì)意圖]通過平面幾何中“角”與立體幾何中的“二面角”作類比,使學(xué)生溫故而知新,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。通過動(dòng)畫等抽象知識(shí)具體化,便于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力。

3.3 問題驅(qū)動(dòng),探究角大小

教師活動(dòng):演示書本翻開的過程,打開門的過程,展示二面角連續(xù)變化的過程。

問題4:根據(jù)角的研究經(jīng)驗(yàn),在定義二面角的概念之后,你認(rèn)為接下來應(yīng)該做什么?

生:應(yīng)該測(cè)量角的大小了。

問題5:生活中我們常說“把書翻開些”“把門開大些”是指哪個(gè)角開大些?二面角的大小具體應(yīng)該怎樣度量?

問題6:類比之前我們所學(xué)過的“異面直線所成的角”和“直線和平面所成的角”,想想這些角是如何度量的?

生:我們可以將這個(gè)二面角轉(zhuǎn)化成平面角。

師:轉(zhuǎn)化成平面角進(jìn)行測(cè)量的思路是正確的。我們?cè)谇螽惷嬷本€的夾角時(shí)是通過平移,在一條直線上找一點(diǎn),過該點(diǎn)做另一條直線的平行線,這兩條相交直線所成的角即為所求。那對(duì)于直線和平面的夾角,我們可以先將它們的交點(diǎn)記為點(diǎn)a。在直線上另取一點(diǎn)b,作點(diǎn)b到平面的投影b1,過這兩點(diǎn)作直線,這兩條直線的夾角就可以度量線面角的大小了。

生:哦,我明白了。要度量二面角的大小需要找到它的平面角。

師:沒錯(cuò),我們要把復(fù)雜的空間問題化歸為簡(jiǎn)單的平面問題?？梢灶惐戎八鶎W(xué),運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想方法,將空間角的度量轉(zhuǎn)化為平面角度量。

[設(shè)計(jì)意圖]通過問題串引發(fā)學(xué)生對(duì)二面角的平面角定義合理性的思考。這個(gè)過程能讓學(xué)生逐步體會(huì)到數(shù)學(xué)定義不是憑空產(chǎn)生的,感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

3.4 問題驅(qū)動(dòng),找二面角的平面角

問題7:請(qǐng)大家翻動(dòng)書頁,思考用哪兩條邊所成的角來度量這個(gè)二面角呢?從直觀上看又是什么呢?

生:我們將書頁翻轉(zhuǎn),從直觀上猜測(cè)度量書頁的邊緣所夾角的度數(shù)可以得到這個(gè)二面角的大小。

師:那順著大家的思路,我們一起來觀察,當(dāng)書合上時(shí),邊緣所構(gòu)成的夾角也是0°。當(dāng)書攤開時(shí),邊緣所構(gòu)成的夾角也是平角。得出結(jié)論,書的邊緣所構(gòu)成的角大小正好和我們認(rèn)知中的二面角大小一致。

問題8:那是不是所有的邊緣構(gòu)成的角都有這樣的性質(zhì)呢?

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行折紙活動(dòng)來觀察解決問題8。

師:我們先把紙斜折,此時(shí)構(gòu)成了兩種邊緣的夾角。將二面角攤平,兩個(gè)半平面在同一平面上,而邊緣構(gòu)成的角不是平角。另一種情況,將這張紙折合,二面角的兩個(gè)半平面重合了,而邊緣所構(gòu)成的角不是0°。通過折紙活動(dòng),發(fā)現(xiàn)折紙結(jié)果與我們的猜測(cè)不相符,產(chǎn)生了認(rèn)知沖突:頁面邊緣所夾角的大小不一定反映二面角大小。

生:那為什么在前面書本的例子中書本邊緣所構(gòu)成的角就能表示二面角的大小呢?

問題9:大家一起觀察在書本翻折的例子中,這個(gè)平面角的頂點(diǎn)落在什么位置?角的射線落在什么位置?角的兩邊與棱有什么關(guān)系?

生:點(diǎn)在棱上,線在面內(nèi),與棱垂直。

師:總結(jié)得很好,二面角的平面角必須滿足這三個(gè)條件(1)角的頂點(diǎn)在棱上;(2)角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi);(3)角的兩邊都要垂直于二面角的棱。所以在數(shù)學(xué)中二面角的平面角是這樣定義的:在二面角α-α-β的棱上任取一點(diǎn)O,在α內(nèi)過O點(diǎn)作OA⊥α,在β內(nèi)過O作OB⊥α,射線OA和OB組成∠AOB,我們把這樣的角叫二面角的平面角。

問題10:我們繼續(xù)思考二面角的平面角的取值范圍是什么呢?

生:書頁既然可以在0°～180°之間轉(zhuǎn)動(dòng),那么二面角的平面角的范圍應(yīng)該就是0°～180°。

師:那如果書頁翻折到超過180°呢?

生:那這兩個(gè)半平面所成的角可以看成是另一個(gè)方向小于180°的角,所以范圍仍然為0°～180°之間。

師:思考得很全面,二面角可以用它的平面角來度量,對(duì)于任意一個(gè)二面角的平面角,度數(shù)都在0°～180°之間。那么二面角的度數(shù)范圍也就是[0°,180°],寫成弧度就是[0,π]

3.5 問題驅(qū)動(dòng),證明二面角平面角頂點(diǎn)的任意性

問題11:我們繼續(xù)思考,異面直線所成的角的頂點(diǎn)是任取的,那二面角的平面角的頂點(diǎn)在棱上也是任取的嗎?(展示建筑工人用直角三角板測(cè)量墻角的視頻)

生:我發(fā)現(xiàn)在生活中,建筑工人為了要證明兩個(gè)墻面是垂直的,通常用直角三角板在墻面不同位置進(jìn)行測(cè)量,直角邊與墻面都是緊密貼合的,就說明角度都是相同的。

問題12:如何用數(shù)學(xué)的方法來證明二面角的平面角的頂點(diǎn)在棱上也是任取的?

生:我們之前學(xué)習(xí)過等角定理可以證明二面角的平面角的頂點(diǎn)在棱上也是任取的。

問題13:如何用等角定理來證明?

生:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,并且方向相同,就說這兩個(gè)角相等。所以我們可以證出二面角的平面角的大小和它的頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān)。

師:回答得非常準(zhǔn)確。最后,我們來總結(jié)一下吧。為了描述兩個(gè)平面相交的狀態(tài),我們學(xué)習(xí)了二面角。它是由兩個(gè)半平面夾著一條直線組成的。在兩個(gè)半平面中各做一條垂直于棱的射線形成的角就叫做二面角的平面角,它的大小就是二面角的大小。

[設(shè)計(jì)意圖]培養(yǎng)學(xué)生類比的思想方法,并且聯(lián)系生活實(shí)際,從生活中觀察數(shù)學(xué),并用等角定理證明二面角的平面角的大小與點(diǎn)O在棱上的位置無關(guān),為后面從復(fù)雜幾何體中準(zhǔn)確找平面角做好理論鋪墊。

3.6 學(xué)以致用

(1)概念辨析題:判斷圖中哪個(gè)平面角是正確的?

(1)

(2)

(3)

(4)

(2)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,找出二面角D1-AB-D的平面角,并求出大小。

[設(shè)計(jì)意圖]設(shè)計(jì)課中練習(xí)題,是教師掌握學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效果與質(zhì)量的重要環(huán)節(jié),反饋題圍繞本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,讓學(xué)生獨(dú)立思考,檢查學(xué)生是否理解二面角平面角的定義,檢查學(xué)生從幾何中分離出二面角;檢查學(xué)生對(duì)二面角的平面角的定義的掌握情況。

4 反思小結(jié)

這一節(jié)課是從衛(wèi)星軌道繞地球旋轉(zhuǎn)開展的,同時(shí)結(jié)合生活中的開門與翻書等生活實(shí)例。學(xué)生從本節(jié)課中體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活,也服務(wù)于生活,提高對(duì)二面角的感知和認(rèn)識(shí),激發(fā)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。此外,教師以學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、最近發(fā)展區(qū)為前提進(jìn)行問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué),所設(shè)置的問題需要對(duì)大部分學(xué)生而言具有一定的挑戰(zhàn)性,但不至于過難、過偏,以免讓學(xué)生喪失解決問題的興趣,打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。再者,問題的設(shè)置也要有邏輯性,一步步引領(lǐng)學(xué)生探究和思考,運(yùn)用類比的方式,讓學(xué)生根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來經(jīng)歷二面角的概念形成過程,提高學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。第四,二面角的平面角研究比較復(fù)雜,運(yùn)用問題驅(qū)動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生類比異面直線所成角和線面角的解決方式,由繁到易,培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法。第五,本節(jié)課注重發(fā)揮學(xué)生的主體作用,在探究二面角的平面角過程中,先讓學(xué)生直觀感受二面角平面角的位置,進(jìn)行大膽猜測(cè),再組織折紙活動(dòng)進(jìn)行驗(yàn)證,鼓勵(lì)學(xué)生探究和交流反饋,使學(xué)生成為課堂的主體,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。