磁懸浮系統(tǒng)的相位超前校正控制器設(shè)計(jì)

藍(lán)昕雨，鐘志賢，李先瑄，陳金華

(桂林理工大學(xué) 機(jī)械與控制工程學(xué)院，廣西 桂林 541006)

0 引 言

磁懸浮系統(tǒng)在許多領(lǐng)域都具有很強(qiáng)的實(shí)用性[1-5], 在醫(yī)學(xué)上可用作磁懸浮人工心臟泵、 在機(jī)床中可用于超高速銑削、 在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中可作為硬盤光盤轉(zhuǎn)子支撐、 在石油與天然氣工業(yè)中被應(yīng)用于低溫渦輪膨脹機(jī)等, 隨著磁懸浮及控制技術(shù)的發(fā)展, 磁懸浮系統(tǒng)的應(yīng)用越來越廣泛。

在實(shí)際的磁懸浮控制系統(tǒng)中, 時(shí)滯是不可避免的, 并且該問題會(huì)嚴(yán)重影響磁懸浮控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[6]。針對(duì)磁懸浮系統(tǒng)的時(shí)滯問題, 眾多學(xué)者做了許多研究工作[7-10]。Soni等[11]采用帕德近似法對(duì)磁懸浮系統(tǒng)反饋信號(hào)的時(shí)滯值作線性逼近, 通過有時(shí)滯的數(shù)值模擬驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型的穩(wěn)定性, 為時(shí)滯磁懸浮系統(tǒng)的應(yīng)用提供了思路。Sun等[12]構(gòu)建了具有時(shí)滯補(bǔ)償?shù)幕Ｃ? 采用雙層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及自適應(yīng)方法線性逼近, 提出了有限時(shí)間自適應(yīng)跟蹤控制器, 利用李雅普諾夫法驗(yàn)證了所提控制器的有效性, 為時(shí)滯磁懸浮系統(tǒng)控制器的深入研究提供了理論依據(jù), 并在文獻(xiàn)[13]中針對(duì)磁懸浮系統(tǒng)的時(shí)滯問題提出了基于黎卡提法與滑?？刂葡嘟Y(jié)合的自適應(yīng)魯棒控制器, 通過仿真和實(shí)驗(yàn)表明所提方法能夠有效抑制磁懸浮系統(tǒng)的時(shí)滯。鄭凱[14]建立了磁懸浮系統(tǒng)的時(shí)滯動(dòng)力學(xué)模型, 并使用時(shí)滯控制律設(shè)計(jì)了鎮(zhèn)定控制器, 使磁懸浮系統(tǒng)的時(shí)滯得到了有效抑制。

以上方法從控制系統(tǒng)建模和控制器設(shè)計(jì)兩方面推進(jìn)了磁懸浮控制系統(tǒng)時(shí)滯的研究進(jìn)程, 但存在著如下問題: 1)控制算法過于復(fù)雜且部分控制算法依賴于精確的數(shù)學(xué)模型, 難以應(yīng)用于實(shí)際的控制系統(tǒng); 2)對(duì)磁懸浮系統(tǒng)的時(shí)滯等不確定性加以描述后, 基于模型設(shè)計(jì)的控制器的階數(shù)會(huì)增加, 控制效果難以符合預(yù)期設(shè)定。

針對(duì)以上問題, 本文將相位超前控制方法應(yīng)用于磁懸浮球系統(tǒng)。相位超前控制方法是控制系統(tǒng)中用于修正系統(tǒng)伯德圖的手段, 其優(yōu)點(diǎn)是能根據(jù)不同系統(tǒng)的伯德圖設(shè)置不同的參數(shù), 在不變更系統(tǒng)幅值的條件下減弱系統(tǒng)相位的滯后, 無須提高控制器的階數(shù)就能獲得良好的控制效果。除此之外, 相位超前校正具有抑振的特點(diǎn)[15-16]?；诖? 首先建立單自由度磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, 然后根據(jù)磁懸浮系統(tǒng)的相位裕度設(shè)計(jì)相位超前校正控制器, 進(jìn)而采用伯德圖與奈奎斯特圖驗(yàn)證相位超前校正控制器的穩(wěn)定性, 最后開展了仿真分析和懸浮實(shí)驗(yàn)研究, 以期設(shè)計(jì)出具有響應(yīng)速度快、 抖振小的相位超前控制器等。

1 磁懸浮球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

由圖1所示, 磁懸浮實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)由鋼球、 電磁繞組、 功率放大器、 激光傳感器、 驅(qū)動(dòng)電路以及上位機(jī)構(gòu)成。磁懸浮球系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

圖1 磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖[17]Fig.1 Structure diagram of magnetic levitation system

(1)

式中: 系數(shù)A=i0/2g;g為重力加速度, m/s2; 系數(shù)B=i0/x0;i0表示平衡電流, A;x0表示鋼球處于平衡狀態(tài)時(shí)鋼球質(zhì)心與電磁鐵磁極間的氣隙, mm;Ka代表功率放大器的增益[17]。

磁懸浮球系統(tǒng)的物理參數(shù)如表1所示。

表1 磁懸浮球各項(xiàng)物理參數(shù)

將表1中的物理參數(shù)代入式(1), 得到單自由度磁懸浮系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下:

(2)

2 相位超前校正控制器的設(shè)計(jì)

磁懸浮閉環(huán)控制系統(tǒng)的方框圖如圖2所示。其中, 被控系統(tǒng)G0(s)的伯德圖如圖3a。設(shè)校正后的磁懸浮系統(tǒng)的相位裕度為50°, 穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)Kp為5。由于相位超前校正控制會(huì)讓系統(tǒng)產(chǎn)生幅值衰減的影響, 故串聯(lián)放大倍數(shù)為Kc的功率補(bǔ)償放大器來消除此影響, 則相位超前校正控制器

圖2 校正后的磁懸浮閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖Fig.2 Block diagram of corrected magnetic suspension closed-loop control system

圖3 磁懸浮系統(tǒng)的伯德圖Fig.3 Bode diagrams of magnetic levitation system

(3)

計(jì)算出式(3)中的增益Kcα, 根據(jù)初始設(shè)定的穩(wěn)態(tài)誤差, 有

G1(s)=KcαG0(s);

(4)

(5)

添加增益后的開環(huán)系統(tǒng)G1(s)的伯德圖如圖3b所示。系統(tǒng)的相位裕度為0°, 系統(tǒng)需要補(bǔ)償50°的相位裕度, 但增加超前校正裝置會(huì)使幅值曲線發(fā)生變化, 增益的交界頻率會(huì)往右移, 需要補(bǔ)償系統(tǒng)的相位滯后增量, 故在原來基礎(chǔ)上增加5°。因此需要的最大相位超前量φmax近似等于55°, 有

(6)

幅值的變化為

(7)

其中, 轉(zhuǎn)角頻率ω=1/(αT)。

由圖4知, 被控系統(tǒng)的響應(yīng)速度隨著剪切頻率ωc的增大而變差, 但剪切頻率過大會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能變壞, 在相位裕度固定的情況下, 合適的剪切頻率能讓系統(tǒng)的控制性能更優(yōu)。

圖4 不同剪切頻率設(shè)置下相位超前校正器的控制效果Fig.4 Control effect of phase advance corrector under different cut off frequency

綜上, 針對(duì)單自由度磁懸浮系統(tǒng)所設(shè)計(jì)的相位超前校正控制器為

(8)

校正后磁懸浮系統(tǒng)的伯德圖如圖3c所示。相位裕度約為55°, 符合設(shè)計(jì)要求。由其奈奎斯特圖(圖5)可知, 包圍(-1, 0)點(diǎn)有一次負(fù)穿越, 并且系統(tǒng)有一個(gè)開環(huán)右半復(fù)平面極點(diǎn), 故系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖5 校正后磁懸浮系統(tǒng)的奈奎斯特圖Fig.5 Nyquist diagram of corrected magnetic levitation system

3 仿真與實(shí)驗(yàn)分析

分別通過相位超前校正控制器與Smith-PID控制器對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn), 如圖6所示。其中, PID控制器的具體控制參數(shù)為Kp=15、Ki=0.000 1、Kd=32、 采樣頻率=0.001。

圖6 磁懸浮系統(tǒng)相位超前校正與Smith-PID仿真程序?qū)Ρ菷ig.6 Comparison of phase advance correction and Smith-PID simulation programs for magnetic levitation system

圖7為相位超前校正控制器與Smith-PID控制器階躍響應(yīng)曲線對(duì)比, 相位超前校正控制的系統(tǒng)相較于Smith-PID控制的系統(tǒng)階躍響應(yīng)速度加快, 超調(diào)量減小。

圖7 相位超前校正控制器與Smith-PID控制仿真階躍響應(yīng)曲線對(duì)比Fig.7 Comparison of step response curves between phase advance correction controller and Smith-PID control simulation

在Matlab/Simulink中建立單自由度磁懸浮系統(tǒng)的相位超前校正控制器如圖8所示, 相位超前校正控制器在單自由度磁懸浮系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)完成實(shí)時(shí)懸浮的實(shí)驗(yàn)如圖9所示。可知, 鋼球的懸浮位置δ基本穩(wěn)定在7.8×10-3m處, 根據(jù)系統(tǒng)的比例關(guān)系換算, 與圖8最初給定的位移一致, 滿足預(yù)期目標(biāo)。

圖8 相位超前校正控制器實(shí)時(shí)控制磁懸浮球程序Fig.8 Program for real-time control of magnetic levitation ball by phase advance correction controller

圖9 系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的磁懸浮球Fig.9 Suspension of magnetic levitation ball in stable system

圖10為相位超前校正控制與Smith-PID控制的實(shí)時(shí)位移比較。相位超前校正控制與Smith-PID控制相比, 位移波動(dòng)幅度較小, 穩(wěn)定性得到了提高。

圖10 相位超前校正與Smith-PID控制器位移比較Fig.10 Comparison of displacement between phase advance correction controller and Smith-PID controller

4 結(jié) 論

針對(duì)磁懸浮系統(tǒng)的時(shí)滯問題, 提出相位超前校正控制器, 并將其與Smith-PID控制器在磁懸浮系統(tǒng)上進(jìn)行仿真與實(shí)時(shí)實(shí)驗(yàn)對(duì)比, 得到以下結(jié)論:

(1)采用相位超前校正控制器后, 減弱了磁懸浮系統(tǒng)相位的滯后, 提高了系統(tǒng)的收斂速度, 緩解了磁懸浮系統(tǒng)的時(shí)滯問題。

(2)相比于Smith-PID控制的磁懸浮控制系統(tǒng), 基于相位超前校正控制的磁懸浮系統(tǒng)的位移波動(dòng)幅度減小, 穩(wěn)定性明顯提高。