狄利克雷——科研教學(xué)兩不誤的數(shù)學(xué)家

孟祥蕊 王淑紅

德國著名數(shù)學(xué)家黎曼認(rèn)為，約翰·狄利克雷（Johann P. G. L. Dirichlet， 1805—1859）是當(dāng)時(shí)除了高斯之外最偉大的數(shù)學(xué)家。和人們通常認(rèn)為不喜教學(xué)的高斯不同，狄利克雷一生熱愛從教，不僅培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，而且在提升德國數(shù)學(xué)教育水平方面也做出了重要貢獻(xiàn)。然而，忙碌的教書生活并沒有阻礙他的科研進(jìn)程，狄利克雷的研究成果不僅推動了德國數(shù)學(xué)的發(fā)展，更是在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史上都留下了不可磨滅的印記。

1805年2月13日，狄利克雷出生在德國迪倫（當(dāng)時(shí)屬于法國）的一個(gè)普通家庭。狄利克雷的祖父安托萬·狄利克雷（Antoine L. Dirichlet）是一位布料制造商，到迪倫發(fā)展事業(yè)并組建了家庭。狄利克雷的父親約翰·狄利克雷（Johann A. L. Dirichlet）既是商人也是鎮(zhèn)政府官員，先后擔(dān)任過迪倫的初級議員、市政代表和郵政局長，是一個(gè)和藹又正直的人。母親安娜·伊麗莎白（Anna Elisabeth）同樣出身布商家庭。[1]狄利克雷是家中最小的孩子，排行第七。由于當(dāng)時(shí)政局動蕩，在狄利克雷出生后，全家由法國公民轉(zhuǎn)變?yōu)槠蒸斒抗瘛?/p>

盡管并不富裕，但狄利克雷的父母對他們天賦極高的兒子給予了非常精心的教育。狄利克雷早年在迪倫的一所小學(xué)讀書，當(dāng)這所學(xué)校不再能滿足他對知識的需求時(shí)，父母就將他轉(zhuǎn)到了一所私立學(xué)校。在那里，他還學(xué)習(xí)了拉丁語，為進(jìn)入高中做準(zhǔn)備。狄利克雷很早就表現(xiàn)出對數(shù)學(xué)的喜愛，不到12歲時(shí)就已開始用零用錢買數(shù)學(xué)書了。當(dāng)被告知他無法理解這些數(shù)學(xué)書時(shí)，他回答說“無論如何我都會讀這些書，直到理解為止”。[2]可見其對數(shù)學(xué)的熱愛。

起初，父母希望他成為一名商人，不過因?yàn)榈依死赘雽W(xué)習(xí)而放棄這一想法，并在1817年送他到波恩高中學(xué)習(xí)。在波恩高中狄利克雷因勤奮、有禮，很快贏得了周圍人的喜歡，并對數(shù)學(xué)和歷史表現(xiàn)出特殊興趣，歷史方面尤其關(guān)注法國大革命后的近代歷史。

兩年后，狄利克雷轉(zhuǎn)到科隆的耶穌會高中，并跟著歐姆（S. Ohm）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，后來歐姆因發(fā)現(xiàn)以其名字命名的歐姆定律而聞名。1821年，狄利克雷離開科隆高中，同年8月20日，狄利克雷收到了學(xué)校相關(guān)負(fù)責(zé)人簽署的證書，證明他是高年級學(xué)生，在學(xué)習(xí)古代語言、數(shù)學(xué)、歷史、物理和德語方面很勤奮，在所有科目上都取得了顯著進(jìn)步，表現(xiàn)良好[1]。

準(zhǔn)備進(jìn)入大學(xué)時(shí)，父母又希望狄利克雷學(xué)習(xí)法律以確保他有一個(gè)好的前途。然而，父母的想法由于狄利克雷對數(shù)學(xué)的喜愛再次夭折，因?yàn)榈依死妆硎舅麜诎滋鞂W(xué)習(xí)法律，在晚上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，所以狄利克雷的父母明智地做了讓步。

確定了學(xué)習(xí)方向后，去哪里學(xué)習(xí)是當(dāng)時(shí)面臨的主要問題。由于當(dāng)時(shí)德國大學(xué)的數(shù)學(xué)水平不高，唯一聞名世界的數(shù)學(xué)家還是不喜普通教學(xué)的高斯，所以狄利克雷決定去巴黎學(xué)習(xí)，當(dāng)時(shí)的巴黎是世界數(shù)學(xué)之都。此外，在被法國占領(lǐng)時(shí)期，狄利克雷家族的許多老熟人就定居在巴黎或經(jīng)常訪問巴黎，他們可以為16歲的狄利克雷提供必要的幫助，后來也確實(shí)幫了他很多。

1822年5月，狄利克雷動身前往巴黎，在本月最后一個(gè)星期日抵達(dá)后，寫信告知父母他將在法蘭西學(xué)院和巴黎理學(xué)院學(xué)習(xí)。在那里很多頂尖的數(shù)學(xué)家都成了他的老師，比如畢奧（B. Biot）、傅里葉（J. Fourier）、弗朗科爾（B. Francoeur）、阿謝特（P. Hachette）、拉普拉斯（S. Laplace）、拉克魯瓦（S. Lacroix）、勒讓德（A. Legendre）和泊松（S. Poisson），使狄利克雷獲益良多。[3]

除了學(xué)習(xí)課程之外，狄利克雷還自學(xué)高斯的杰作《算術(shù)研究》。來到巴黎后狄利克雷曾請求母親給他寄幾本數(shù)學(xué)書，其中就包括《算術(shù)研究》的副本。狄利克雷一生多次研究《算術(shù)研究》，是第一個(gè)完全理解它的人。狄利克雷從來不把它放到書架上而是經(jīng)常放在桌子上，以便隨時(shí)研究，睡前狄利克雷也會讀一些難懂的段落，睡覺時(shí)就把書放在枕頭下面，希望夜里醒來重讀一下就清楚了這些段落[4]。據(jù)說狄利克雷每次旅行時(shí)也都帶著它，就像一些牧師總是帶著自己的祈禱書一樣[2]。

然而，巴黎的求學(xué)路并非一帆風(fēng)順。1822年秋天，狄利克雷剛到法國不久，巴黎就爆發(fā)了大規(guī)模流感，數(shù)千人感染了天花，狄利克雷也在其中。不過幸好他之前接種了疫苗，降低了病毒的危害，他的名字沒有出現(xiàn)在有1000多人的死亡名單上，并且他很快恢復(fù)健康，回歸課堂。

在巴黎，除了正常學(xué)習(xí)外，狄利克雷還有另外的機(jī)遇。1823年夏，狄利克雷家族的老熟人推薦他去福伊（S. Foy）將軍家里教授孩子們德語和文學(xué)，這是一份高薪水的工作，使他在經(jīng)濟(jì)方面得以獨(dú)立。福伊將軍是拿破侖時(shí)代的戰(zhàn)爭英雄，1819年被選入眾議院，擔(dān)任反對派領(lǐng)袖。他的住所是巴黎許多名人的聚會場地，這使狄利克雷在社交方面獲得自信并對他今后的生活產(chǎn)生了顯著的影響。這份工作一直持續(xù)到1825年11月28日福伊因心臟病去世。福伊一家視他為家人，狄利克雷在這期間過得非常舒適。多年后，福伊的遺孀還記得那個(gè)身材瘦長的家教老師坐在狹窄的爐子邊上，一邊監(jiān)督孩子們學(xué)習(xí)，一邊繼續(xù)自己的研究[1]。

狄利克雷的家教工作結(jié)束后，當(dāng)務(wù)之急便是尋找一份固定的工作。在傅里葉和泊松的建議下，狄利克雷開始接觸洪堡（A. von Humboldt）。第一次拜訪洪堡時(shí)，狄利克雷就表達(dá)了他想回普魯士尋求職位的愿望，并得到了洪堡的支持和幫助。

1826年5月14日，狄利克雷在洪堡的幫助下，給洪堡的老朋友普魯士文化和教育部長阿爾滕斯坦（F. von Altenstein）寫了一封求職信并附上他的研究成果和洪堡的推薦信。狄利克雷也將其研究成果的副本和對艾特魏因（A. Eytelwein）文章的譯文以及洪堡的推薦信一起寄給了柏林科學(xué)院，希望得到艾特魏因院士和天文學(xué)家恩克（F. Encke）的支持，恩克是高斯的學(xué)生也是柏林科學(xué)院的干事。在1826年5月28日，狄利克雷又給高斯寫了一封信，連同研究成果副本和洪堡的推薦信寄到了格丁根，信中狄利克雷說明了他的情況。[2]

后來高斯寫信給恩克，極力夸贊了狄利克雷表現(xiàn)出的卓越才能，這令恩克十分震驚，然后毫不猶豫地將此事告訴了教育和文化事務(wù)部的相關(guān)負(fù)責(zé)人。因?yàn)樵诙骺丝磥?，高斯的這個(gè)評價(jià)有很高的價(jià)值，并且自從他認(rèn)識高斯以來，從未見過高斯以如此熱情的方式表達(dá)意見。恩克告訴高斯事情的進(jìn)展之后，高斯在1826年給狄利克雷寫了一封信，親切地告訴他事情的進(jìn)展并表達(dá)了他對狄利克雷的美好祝愿。等待結(jié)果期間狄利克雷回到了迪倫。

他的申請獲得了回應(yīng)，阿爾滕斯坦在布雷斯勞大學(xué)給狄利克雷提供了一個(gè)教師職位。由于狄利克雷還沒有通過博士考試，在阿爾滕斯坦的幫助下，波恩大學(xué)在1827年授予狄利克雷榮譽(yù)博士學(xué)位。同年春天狄利克雷從迪倫搬到布雷斯勞任職，這期間狄利克雷曾繞道格丁根親自拜訪高斯。

到布雷斯勞后，狄利克雷先是獲得了任職資格。1827年4月1日，他正式成為布雷斯勞大學(xué)的一名講師，年薪400泰勒，1828年升為副教授[1]。

后來狄利克雷有了去柏林工作的機(jī)會。又一次在洪堡的幫助下，狄利克雷得到了柏林軍事學(xué)院的一個(gè)職位。因?yàn)榘栯固乖试S狄利克雷在休假期間到軍事學(xué)院任教，所以狄利克雷先是在布雷斯勞申請了10個(gè)月的帶薪假期。1828年10月1日，狄利克雷開始在軍事學(xué)院任職，年薪600泰勒。剛開始是做助教，一年后才正式教學(xué)。后來狄利克雷又延長了兩次假期，后來再也沒有回到過布雷斯勞。

當(dāng)然，軍事學(xué)院并不是吸引他的地方，吸引他的是能夠同時(shí)在柏林大學(xué)任教[3]。1828年，狄利克雷開始在柏林大學(xué)教書，1831年正式調(diào)到柏林大學(xué)哲學(xué)系，提升為副教授，同時(shí)也保留了在軍事學(xué)院的工作，這使得狄利克雷的工作比他所希望的繁重很多。同年，狄利克雷入選柏林皇家科學(xué)院，經(jīng)國王確認(rèn)后，選舉于1832年生效。當(dāng)時(shí)27歲的狄利克雷是科學(xué)院中最年輕的成員。1839年，狄利克雷被提升為柏林大學(xué)正教授。

就這樣狄利克雷在軍事學(xué)院和柏林大學(xué)一直工作到1855年。其實(shí)狄利克雷本可以繼續(xù)在柏林大學(xué)任職，不過他卻有了離開軍事學(xué)院的想法，主要有兩方面原因。其一是，多年來狄利克雷厭倦了軍事學(xué)院每三年就重復(fù)的課程，加上他在柏林大學(xué)的課程，每周的教學(xué)工作量通常是18個(gè)小時(shí)左右，很繁重，令他沒有足夠的時(shí)間進(jìn)行研究。其二是，1848年三月革命之后，當(dāng)軍事學(xué)院重新開放時(shí)，狄利克雷的自由主義信念和軍官們的精神截然相反。這兩個(gè)原因致使他想從軍事學(xué)院辭職的愿望越來越強(qiáng)烈。但經(jīng)濟(jì)條件不容許他干脆利落地直接辭職，他需要一筆補(bǔ)償以彌補(bǔ)他的收入損失，因?yàn)樗诎亓执髮W(xué)的薪水相當(dāng)微薄。1855年，恰逢高斯去世，格丁根大學(xué)向狄利克雷發(fā)出邀請，希望他能繼任高斯的工作。狄利克雷當(dāng)時(shí)并沒有立即答應(yīng)，而是利用它向普魯士文化部提出請求，希望能辭去軍事學(xué)院的職位并獲得補(bǔ)償，但并沒有得到及時(shí)的答復(fù)，當(dāng)普魯士政府極不情愿地答應(yīng)他的請求時(shí)，狄利克雷已經(jīng)決定應(yīng)邀前往格丁根。此后狄利克雷再也沒有換過工作，直到去世。政府的態(tài)度仿佛是壓死駱駝的最后一根稻草，讓狄利克雷最終下定決心離開柏林，即便他依然喜歡柏林大學(xué)的工作。

狄利克雷1825年結(jié)束學(xué)業(yè)，耗時(shí)一年用來落實(shí)工作，1827年步入了教育行業(yè)，那一年他才22歲，而且終身從教。工作期間，狄利克雷因?qū)W識淵博而受尊敬，因謙虛而受歡迎。他的一生不僅影響和培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，還提升了德國數(shù)學(xué)和教學(xué)水平。

在軍事學(xué)院任教期間，狄利克雷開設(shè)的課程有方程論、級數(shù)論、體積測量、畫法幾何、三角學(xué)、二次曲線理論、解析幾何、微分和積分、分析力學(xué)、流體力學(xué)、大地測量學(xué)等。起初微分和積分并不包括在課程內(nèi)，狄利克雷通過把所謂的高等分析及其在力學(xué)問題上的應(yīng)用引入課程，成功提高了教學(xué)水平。這也標(biāo)志著一些微積分第一次被引入課程。

在柏林大學(xué)的最初幾年里，狄利克雷的學(xué)生很少，一般是5到10人。有些講座甚至因?yàn)閷W(xué)生太少而無法進(jìn)行。但這并不奇怪，因?yàn)榻^大多數(shù)學(xué)生只滿足于通過期末考試，而狄利克雷課程的要求遠(yuǎn)不止于此。但很快，隨著學(xué)生們數(shù)學(xué)水平的提升，再加上狄利克雷明智地選擇了更適合的授課內(nèi)容，增加了和學(xué)生們相處的時(shí)間，狄利克雷優(yōu)秀教師的名聲廣為人知，學(xué)生也增加到了20到40人，這在當(dāng)時(shí)是相當(dāng)多的。

狄利克雷是德國第一個(gè)講授數(shù)論以及分析技術(shù)在數(shù)論中的應(yīng)用的大學(xué)教師，這也是他最喜歡的科目，他的講座有23次是關(guān)于這些主題的。最重要的是，雅可比（C. Jacobi）在哥尼斯堡的講座和狄利克雷在柏林的講座推動了德國數(shù)學(xué)教學(xué)水平的普遍提高，從19世紀(jì)下半葉到1933年，德國大學(xué)數(shù)學(xué)基本上都達(dá)到了很高的水平。[2]

在那個(gè)時(shí)代，很多人都受到了狄利克雷的影響，或是通過他的講座，或是通過和他交談。無須細(xì)說他是如何影響的，只這一長串的名字就足以令人震驚。他們是巴赫曼（P. Bachmann）、鮑爾（G. Bauer）、博爾夏特（C. Borchardt）、康托爾（M. Cantor）、克里斯托費(fèi)爾（E. Christoffel）、戴德金（R. Dedekind）、艾森斯坦（G. Eisenstein）、恩尼珀（A. Enneper）、海涅（E. Heine）、克羅內(nèi)克（L. Kronecker）、庫默爾（E. Kummer）、利普希茨（R. Lipschitz）、黎曼、舍林（E. Schering）、施羅特（H. Schr？ter）、賽德爾（P. Seidel）、魏因加滕（J. Weingarten）、戈佩爾（A. Goepel）、福爾辛（J. Foelsing）、穆勒（E. Müller）、格哈特（C. Gerhardt）、米凱利斯（G. Michaelis）和博伊曼（J. Boymann），其中大多數(shù)人后來都成為著名數(shù)學(xué)家，也有一部分是中學(xué)老師。除此之外，許多化學(xué)和物理專業(yè)的學(xué)生也聽過狄利克雷的講座，比如巴倫丁（F. Barentin）和維德曼（G. Wiedemann），他們是著名物理學(xué)家馬格努斯（G. Magnus）和化學(xué)家米切爾利希（E. Mitscherlich）的學(xué)生。

狄利克雷的輝煌成就主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)和力學(xué)兩方面。和很多著名數(shù)學(xué)家相比，狄利克雷發(fā)表文章不算多，但文章質(zhì)量非常高。高斯曾評價(jià)道：“狄利克雷的作品是珠寶，珠寶不能用雜貨店的秤來衡量?！盵5]

狄利克雷的第一部作品是對柏林皇家科學(xué)院成員艾特魏因關(guān)于流體動力學(xué)的一篇論文的法文翻譯稿，它為狄利克雷贏得了贊譽(yù)。1825年，狄利克雷完成了他的第一篇數(shù)學(xué)論文“關(guān)于某些五次不定方程的不可解”，在文中狄利克雷討論了費(fèi)馬大定理n=5的情況。狄利克雷向法國科學(xué)院提交這篇論文后獲得給科學(xué)院成員進(jìn)行講座的許可。這次講座在當(dāng)時(shí)很轟動，狄利克雷也因此贏得了科學(xué)界的高度認(rèn)可，因?yàn)樗菚r(shí)還只是一個(gè)默默無名的20歲德國學(xué)生。7年后，也就是1832年，狄利克雷又證明了n=14情況下的費(fèi)馬大定理。這次講座也使狄利克雷與許多著名院士有了更密切的聯(lián)系，特別是傅里葉和泊松，他們喚醒了狄利克雷對數(shù)學(xué)物理的興趣。與傅里葉的熟悉以及對其熱分析理論的研究為狄利克雷后來進(jìn)行關(guān)于傅里葉級數(shù)的劃時(shí)代研究做了鋪墊。

由于高斯，狄利克雷對雙二次剩余這個(gè)主題產(chǎn)生了興趣。1825年4月，高斯首次發(fā)表了他關(guān)于雙二次剩余的論文。我們知道，整數(shù)a是模p的雙二次剩余，其中p為奇素?cái)?shù)且p|a，當(dāng)且僅當(dāng)同余式x4≡a（modp）有整數(shù)解。在這篇文章的最后高斯談到了關(guān)于數(shù)±2的雙二次特征的結(jié)果，這使狄利克雷對該主題產(chǎn)生了濃厚興趣，后來狄利克雷不僅發(fā)現(xiàn)了這個(gè)結(jié)果的簡單證明，還得出許多新的結(jié)果。自此雙二次剩余這個(gè)主題一直留在狄利克雷的腦海中直到他生命結(jié)束。

狄利克雷工作的一個(gè)典型特點(diǎn)是用分析方法解決數(shù)論問題，他也因此成為解析數(shù)論的創(chuàng)始人。這一特點(diǎn)首次出現(xiàn)在其1835年的論文“關(guān)于定積分在有窮或無窮級數(shù)求和中的新應(yīng)用”中。1837年，狄利克雷首次給出了算術(shù)級數(shù)中素?cái)?shù)分布的證明，即任何首項(xiàng)與公差互素的算術(shù)級數(shù)中存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)，其中首項(xiàng)和公差為正整數(shù)，這可以說是他將分析應(yīng)用于數(shù)論最令人印象深刻的體現(xiàn)。狄利克雷能夠證明這一定理的關(guān)鍵的新工具是L級數(shù)，現(xiàn)以狄利克雷的名字命名。在發(fā)表這篇論文后不久，狄利克雷又分別于1838年和1839年發(fā)表了兩篇關(guān)于解析數(shù)論的更深刻的論文。這些論文介紹了狄利克雷級數(shù)，確定了關(guān)于二次型的類數(shù)公式。1840年，狄利克雷在論文“關(guān)于二次型的性質(zhì)”（Uber eine Eigenschaft der quadratischen Formen）中又將算術(shù)級數(shù)中素?cái)?shù)分布的定理推廣到了形如ax2+2bxy+cy2的二次型，其中a， 2b， c沒有公因子。

1834年狄利克雷提出了一個(gè)簡單而高效的原理——抽屜原理，即若將多于n個(gè)的物體放入n個(gè)抽屜，則至少有一個(gè)抽屜中有不止一個(gè)物體。后來人們也將其稱之為鴿籠原理，該原理在現(xiàn)代數(shù)論中具有重要作用。1842年狄利克雷在論文“連分?jǐn)?shù)理論中一個(gè)定理的推廣及其在數(shù)論中的一些應(yīng)用”中呈現(xiàn)了鴿籠原理的驚人應(yīng)用。進(jìn)一步地，鴿籠原理在狄利克雷后來證明單位定理時(shí)也發(fā)揮了重要作用。

1837年，狄利克雷提出了函數(shù)的現(xiàn)代定義，即如果變量y與變量x相關(guān)，使得根據(jù)某個(gè)規(guī)則，每個(gè)x值都對應(yīng)唯一一個(gè)y值，那么y就是關(guān)于自變量x的函數(shù)。

從1840年開始，狄利克雷將由整系數(shù)方程xn+axn-1+bxn-2+…+p=0定義的量（所謂的代數(shù)整數(shù)）置于他研究的中心位置[6]，發(fā)表了一系列相關(guān)論文，并在1846年給出并證明了一般情形的單位定理，后來這一定理逐步演變?yōu)橹摹暗依死讍挝欢ɡ怼?。不得不說的是，狄利克雷的類數(shù)公式和單位定理是建立代數(shù)數(shù)論的重要支柱，在代數(shù)數(shù)論的發(fā)展中占據(jù)重要地位。

《數(shù)論講義》也是狄利克雷極其重要的貢獻(xiàn)，這本書是由戴德金[7]根據(jù)狄利克雷的講座編輯出版的，是對高斯《算術(shù)研究》最好的詮釋，其中也包含了不少狄利克雷自己的創(chuàng)見，是數(shù)論經(jīng)典著作之一。

在力學(xué)方面，狄利克雷研究了系統(tǒng)的平衡和位勢論。這些研究始于1839年發(fā)表的幾篇論文，給出了多重積分的估值方法，并將其應(yīng)用于確定橢球體對其內(nèi)部或外部任意質(zhì)點(diǎn)的引力。之后狄利克雷轉(zhuǎn)向拉普拉斯證明太陽系穩(wěn)定性的問題，這使他得到了關(guān)于給定邊界條件下的調(diào)和函數(shù)的狄利克雷問題（也稱第一邊值問題）。1852年，狄利克雷研究了球在不可壓縮流體中的運(yùn)動問題，在這一研究過程中，他成為第一個(gè)精確解出流體力學(xué)方程的人。[3]

狄利克雷的主要論文收錄在《狄利克雷全集》（G. Lejeune Dirichlet’s Werke）中，共兩卷，第一卷由克羅內(nèi)克編輯，出版于1889年，第二卷由富克斯（L. Fuchs）完成，并于1897年出版。

科赫（H. Koch）曾這樣評價(jià)狄利克雷的貢獻(xiàn)：數(shù)學(xué)的重要部分都受到狄利克雷的影響。他證明的慣常思路是從令人驚訝的簡單觀察開始，然后對剩下的問題進(jìn)行極其敏銳的分析。隨著狄利克雷的到來，柏林迎來了數(shù)學(xué)的黃金時(shí)代。[3]

說到狄利克雷愛情事業(yè)雙豐收，就不得不提音樂了。很多數(shù)學(xué)家都和音樂有著不解之緣，有的是喜歡演奏，有的則是喜歡聽音樂。比如拉格朗日（J. Lagrange），對他來說，最優(yōu)美的音樂作品是最快樂的數(shù)學(xué)靈感來源[8]；艾森斯坦在音樂方面也很有天賦，研究之余經(jīng)常彈鋼琴甚至作曲[9]。與這些人不同的是，狄利克雷不僅在音樂上獲得靈感，而且因音樂收獲了愛情。

搬到柏林后，通過洪堡引薦，狄利克雷結(jié)識了亞伯拉罕·門德爾松·巴托爾迪（Abraham Mendelssohn Bartholdy）一家。亞伯拉罕是一位成功的銀行家，其父親是鼎鼎有名的哲學(xué)家摩西·門德爾松（Moses Mendelssohn）。亞伯拉罕還有4個(gè)優(yōu)秀子女，分別是芬妮（Fanny）、費(fèi)利克斯（Felix）、麗貝卡（Rebecca）和保羅（Paul）[10]，其中芬妮和費(fèi)利克斯都是著名鋼琴家和作曲家，保羅是著名大提琴家和演奏家，麗貝卡雖然沒有那樣的音樂天賦，但她機(jī)敏、博覽群書、魅力十足。[1]

門德爾松一家習(xí)慣定期舉辦宴會——著名的周末音樂會，就在他們家的大花園中。這也是柏林文化的一個(gè)獨(dú)特聚會地，很多名人都會參加。聚會上兄弟姐妹四人會進(jìn)行表演，人們也會談?wù)摳鞣N話題，比如政治、科學(xué)、音樂、藝術(shù)、歷史、哲學(xué)等。結(jié)識亞伯拉罕后，狄利克雷也加入了這個(gè)社交圈。得益于此，狄利克雷和麗貝卡相遇、相識、相知。

狄利克雷一開始就喜歡上了麗貝卡，雖然麗貝卡追求者眾多，但她還是選擇了狄利克雷。他們在1831年11月訂婚，1832年5月結(jié)婚。從此，麗貝卡深深影響其一生，狄利克雷和音樂也愈發(fā)緊密。

順便提一下，在1832年，狄利克雷的生活本可以走上完全不同的道路。高斯原本計(jì)劃推薦狄利克雷作為他已故同事——數(shù)學(xué)家蒂鮑特（B. Thibaut）的繼任者，但當(dāng)他聽說狄利克雷已經(jīng)結(jié)婚的消息后就取消了這個(gè)計(jì)劃，因?yàn)樗J(rèn)為狄利克雷不會愿意離開柏林。

1833年7月2日，狄利克雷和麗貝卡迎來了他們的第一個(gè)孩子——沃爾特（Walter），后來他成為一位著名的政治家，并于1881—1887年成為德國國會的議員。

關(guān)于沃爾特的出生有一則趣事。狄利克雷是出了名的懶于寫信，這一點(diǎn)和他的父親很像，他更喜歡通過直接聯(lián)系來解決問題。亞伯拉罕在倫敦的一次商業(yè)旅行中得到了沃爾特出生的消息，他在信中向麗貝卡表示祝賀，并憤憤不平地繼續(xù)說：“我不祝賀狄利克雷，至少不在信中祝賀他，因?yàn)榧词乖谶@種情況下，他也不肯給我寫一個(gè)字；至少他可以這樣寫：2+1=3。”[2]

之后狄利克雷夫婦又有了三個(gè)孩子，分別是費(fèi)利克斯（Felix）、恩斯特（Ernst）和女兒弗洛拉（Flora），不幸的是費(fèi)利克斯在1歲的時(shí)候就去世了。

1843年，狄利克雷一家開始了意大利之旅。1843年初，狄利克雷的好朋友雅可比被診斷出患有糖尿病，醫(yī)生建議他去氣候溫和的意大利療養(yǎng)。后來狄利克雷也申請了18個(gè)月的假期，并于1843年秋季和雅可比一起動身前往意大利。與他們同行的還有施泰納（J. Steiner）、雅可比的學(xué)生博爾夏特以及精通意大利語等多種語言的施萊弗利（L. Schl？fli）。他們的女兒弗洛拉就是在這次旅行期間出生的。值得一提的是，意大利旅行期間，狄利克雷在西斯廷教堂聽復(fù)活節(jié)音樂時(shí)突發(fā)靈感，發(fā)現(xiàn)了一般情形單位定理的證明思路。

1855年，狄利克雷一家搬到格丁根。格丁根的生活是舒適的，這里沒有繁重的工作。下課后，狄利克雷會抽出時(shí)間在家里與麗貝卡和他媽媽一起喝茶，這是在柏林沒有的，因?yàn)槟抢锛液徒淌揖嚯x太遠(yuǎn)。格丁根的許多教師是業(yè)余音樂家，狄利克雷夫婦也經(jīng)常聽音樂，麗貝卡深受音樂愛好者的喜愛，不僅是因?yàn)樗值芙忝妹值墓猸h(huán)，還因?yàn)樗С忠魳坊顒?，麗貝卡也會在家中舉辦音樂會。[2]狄利克雷很滿足，他在這里度過了一段輕松快樂的時(shí)光。特別是，她在格丁根大學(xué)協(xié)助狄利克雷和黎曼形成良好的音樂氛圍，是格丁根大學(xué)歷史上溫馨浪漫的一筆[9]。

然而，幸運(yùn)之神并不是一直都在。1858年夏季學(xué)期結(jié)束后，狄利克雷去瑞士蒙特勒旅行。在蒙特勒，狄利克雷心臟病發(fā)作，回到格丁根時(shí)已是病危。通過精心照料，他似乎康復(fù)了。然而，誰都無法預(yù)料意外和明天哪個(gè)先到，同年11月29日，麗貝卡中風(fēng)了，之后她一直處于昏迷狀態(tài)，直到12月1日早上去世。麗貝卡的突然離世對狄利克雷的打擊很大，使他的病情愈加嚴(yán)重，此后的五個(gè)月，他基本上臥床不起，似乎對生活失去了希望。這可能是狄利克雷一生中最痛苦的日子了，痛苦到不想去克服，悲傷到任由病魔肆虐侵蝕，最終，在1859年5月5日，狄利克雷與世長辭，享年54歲。

人的一生，或多或少，或大或小，總會遇到一些挫折，經(jīng)歷一些磨難。狄利克雷的一生是機(jī)遇和磨難相伴的一生，有喜悅也有悲傷，有挫折亦有幸運(yùn)。縱觀狄利克雷一生，是成功的、幸福的、輝煌的，是令人敬仰的。

[本文獲國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（12271138）資助]

[1]Merzbach Uta C. Dirichlet. Cham： Birkh？user， 2018： 1-276.

[2]William D， Tschinkel Y. Analytic Number Theory—A Tribute to Gauss and Dirichlet. Providence： American Mathematical Society/ Cambridge： Clay Mathematics Institute， 2005： 1-38.

[3]O’Connor J J， Robertson E F. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. https：//mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/ Dirichlet/

[4]李曉奇. 先驅(qū)者的足跡： 高等數(shù)學(xué)的形成. 沈陽： 東北大學(xué)出版社， 2004： 227-231.

[5]Gorkin P， Smith J H. Dirichlet： His Life， His Principle， and His Problem. Mathematics Magazine， 2005， 78（4）： 283-296.

[6]Klein F. Development of Mathematics in the 19th Century. Brookline： Math Sci Press， 1979： 87-90.

[7]王淑紅， 孫小淳. 心靈的創(chuàng)造：戴德金的數(shù)學(xué)思想. 自然辯證法通訊， 2019， 41（2）： 115-122.

[8]Archibald R C. Mathematicians and Music. The American Mathematical Monthly， 1924， 31（1）： 1-25.

[9]蔣迅， 王淑紅. 數(shù)學(xué)都知道1. 北京： 北京師范大學(xué)出版社， 2016： 81-82.

[10]蘇洋， 王淑紅. 庫爾特·亨澤爾的數(shù)學(xué)人生. 今日科苑， 2021， （8）： 54-63.

關(guān)鍵詞：狄利克雷 高斯 狄利克雷單位定理 數(shù)論 ■